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5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值必备知识基础练1.(2021四川眉山高二期末)函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极大值-3,则a+b的值等于()A.9B.6C.3D.22.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=f'(x)的图象如图所示

,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值

f(2)3.函数f(x)=(x-1)ex的极小值点为()A.(0,-1)B.(0,0)C.-1D.04.若函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值,则实数a的取值范围是()A.[0,32]B.(-∞,0)C.[32

,+∞)D.(-∞,0]∪[32,+∞)5.(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的值可以是()A.-4B.-3C.6D.86.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线

斜率为3,且x=23是y=f(x)的极值点,则a+b=.7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为.8.设函数f(x)=alnx+12𝑥+32x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a

的值;(2)求函数f(x)的极值.关键能力提升练9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)

和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)10.(2021河南开封高三模拟)

设函数f(x)=e𝑥𝑥+𝑎,若f(x)的极小值为√e,则a=()A.-12B.12C.32D.211.(2021安徽皖北名校高二联考)若函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值,则实数a

的取值范围是()A.(-∞,2)∪(2,+∞)B.(0,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.{2}12.(多选题)(2021江苏吴县中学高二月考)对于函数f(x)=ln𝑥𝑥2,下列说法正确的是()A.函数在x=√

e处取得极大值12eB.函数的值域为(-∞,12e]C.f(x)有两个不同的零点D.f(2)<f(√π)<f(√3)13.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为,若恰有两个极值点,则实数a的

取值范围是.14.(2021安徽示范高中高二联考)已知函数f(x)=x-𝑎𝑥-(a+1)lnx(a∈R).(1)当a=2时,求f(x)的极值;(2)若0<a≤1,讨论f(x)的极值.学科素养创新练15

.(2021安徽亳州高二期末)已知函数f(x)=xex-ex-a有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.[-4e3,0)B.(-1,0]C.[-4e3,-2e3]D.(-1,0)16.(多选题)(2021江苏盐城一中、大丰高级中学等四校高二期末联考)世界著名的国际科

技期刊《Nature》上有一篇名为《TheUniversalDecayofCollectiveMemoryandAttention》的论文,该文以12个不同领域的数据指出双指数型函数f(x)=C1e𝜆1𝑥+C2e𝜆2𝑥在描绘人类行为时的普适作用.关于

该函数下列说法正确的有()A.当C1C2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点B.当C1C2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点C.当C1C2λ1λ2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值D.当C1C2λ1λ2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值参考答案5.3.2函

数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值1.B由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b,因为f(x)在x=1处有极大值-3,所以{𝑓'(1)=12-2𝑎-2𝑏=0,𝑓(1)=4-𝑎-2𝑏+2=-3,解得{𝑎=3,𝑏=3,所以a+b=6.故选B.2.D由题图可知,当

x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.3.D由题意得f'(x)=ex+(x

-1)ex=xex,故f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故当x=0时,f(x)的极小值为f(0)=-1,故极小值点为0.4.D∵f(x)=x3-2ax+a,∴f'(x)=3x2-2a.∵函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值,∴f'(x)=3x2-2

a=0在(0,1)内无实数根.∵0<x<1,∴-2a<3x2-2a<3-2a,∴-2a≥0或3-2a≤0,∴a≤0或a≥32,故选D.5.AD由题意知f'(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的根,所以Δ=4a2-12(a+6)>0,解得a>6或a

<-3.6.-2∵f'(x)=3x2+2ax+b,∴{𝑓'(1)=3,𝑓'(23)=0,即{3+2𝑎+𝑏=3,43+43𝑎+𝑏=0,解得{𝑎=2,𝑏=-4,∴a+b=2-4=-2.7.(-∞,-1)∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.当a≥0时,y'>0,函数y

=ex+ax在R上单调递增,没有极值点.当a<0时,令y'=ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a).当x∈(-∞,ln(-a))时,y'<0,当x∈(ln(-a),+∞)时,y'>0,故x=ln(-a)是函数的极值点.又ln(-a)>0,∴-a>1,即a<-1.8.解

(1)f'(x)=𝑎𝑥−12𝑥2+32(x>0).由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12+32=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-lnx+12𝑥+32x+1(

x>0),f'(x)=-1𝑥−12𝑥2+32=3𝑥2-2𝑥-12𝑥2=(3𝑥+1)(𝑥-1)2𝑥2.令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-13(舍去).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0

,1)上是减函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上是增函数.故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值.9.D由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'

(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.10.B由已知得f'(x)=e𝑥(𝑥+𝑎-1)(𝑥+𝑎)2(x≠-a),令f'(x)=0,有x=1-a,且当x<1

-a时,f'(x)<0,当x>1-a时,f'(x)>0,则f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=√e,即1-a=12,得a=12.故选B.11.B因为f(x)=x2-(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x-a-2+𝑎𝑥=2𝑥2-(𝑎+2)𝑥

+𝑎𝑥=(2𝑥-𝑎)(𝑥-1)𝑥(x>0),所以f'(x)=0有两个不等实根,所以𝑎2>0,且𝑎2≠1,解得a>0,且a≠2.故选B.12.ABD函数的定义域为(0,+∞),导数为f'(x)=1𝑥·𝑥2-ln𝑥·2𝑥𝑥4=1-2ln𝑥𝑥3,令f'(x)=0,解得

x=√e.当x变化时,函数f(x),f'(x)的变化情况如下表:x(0,√𝑒)√𝑒(√𝑒,+∞)f'(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减所以当x=√e时,函数有极大值f(√e)=12e,故A正确;令f(x)=0得lnx=0,即x=1,当x→+∞时,lnx

>0,x2>0,则f(x)>0,作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示.由图可知函数的值域为(-∞,12e],故B正确;函数只有一个零点,故C错误;又函数f(x)在(√e,+∞)上单调递减,且√e<√3<√π<2,则f(2)<f(√π)<f(√3)

,故D正确.故选ABD.13.[1,5)-13,1∵f'(x)=3x2+2x-a,函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,∴f'(x)=0有两个不等实根且在(-1,1)内恰有一个根.又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-13,∴应满足{𝑓'(-13)<0,𝑓'

(-1)≤0,𝑓'(1)>0,∴{3×(-13)2+2×(-13)-𝑎<0,3-2-𝑎≤0,3+2-𝑎>0,∴1≤a<5.若在(-1,1)内恰有两个极值点,则应满足{𝑓'(-1)>0,𝑓'(-13)<0,∴{3-2-𝑎>0,3×(-13)2+2×(-13)-�

�<0,∴-13<a<1.14.解(1)因为当a=2时,f(x)=x-2𝑥-3lnx,所以f'(x)=𝑥2-3𝑥+2𝑥2(x>0).由f'(x)=0得x=1或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,2)2(2,+∞)f'

(x)+0-0+f(x)单调递增极大值-1单调递减极小值1-3ln2单调递增所以当x=1时,f(x)取极大值-1;当x=2时,f(x)取极小值1-3ln2.(2)f'(x)=𝑥2+𝑎-(𝑎+1)𝑥𝑥2=(𝑥-𝑎)(𝑥-1)𝑥2,①当a=1时,x∈(0,+

∞),f'(x)≥0,f(x)单调递增,函数不存在极值.②当0<a<1时,x∈(a,1),f'(x)<0,x∈(0,a)或x∈(1,+∞),f'(x)>0,因此函数在x=a处取得极大值f(a)=a-1-(a+1)l

na,函数在x=1处取得极小值f(1)=1-a.综上,当a=1时,f(x)不存在极值;当0<a<1时,极大值为f(a)=a-1-(a+1)lna,极小值为f(1)=1-a.15.D令函数f(x)=xex-ex-a=0,则有xex

-ex=a.令g(x)=xex-ex,g'(x)=ex+xex-ex=xex,∴当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增.∴当x=0时,g(x)取得极小值g(0)=-1,显然g(1

)=0,当x<1时,g(x)<0恒成立.由此可以画出函数g(x)的大致图象如图所示,由图象可得,要使函数f(x)有且仅有两个不同的零点,只需g(0)<a<0,即-1<a<0.故选D.16.BC∵函数f(x)=

C1e𝜆1𝑥+C2e𝜆2𝑥为双指数型函数,∴λ1≠λ2.令f(x)=C1e𝜆1𝑥+C2e𝜆2𝑥=0,得C1e𝜆1𝑥=-C2e𝜆2𝑥,-𝐶1𝐶2=e(𝜆2-𝜆1)𝑥.∵e(𝜆

2-𝜆1)𝑥>0,∴-𝐶1𝐶2>0,即C1C2<0,故A错误,B正确.f'(x)=C1λ1e𝜆1𝑥+C2λ2e𝜆2𝑥,∵函数f(x)有极值,∴f'(x)=0有解,即C1λ1e𝜆1𝑥=-C2λ2e𝜆2𝑥,∴-𝐶1𝜆1𝐶2𝜆2=e(𝜆2-𝜆1)𝑥.∵e(𝜆2-

𝜆1)𝑥>0,∴-𝐶1𝜆1𝐶2𝜆2>0,即C1C2λ1λ2<0,故D错误.当C1C2λ1λ2<0时,设C1λ1>0,C2λ2<0,λ1>λ2,则f'(x)=e𝜆2𝑥[C1λ1e(𝜆1-𝜆2)𝑥+C2λ2].由f'(x)=0得x0=1𝜆1

-𝜆2ln-𝐶2𝜆2𝐶1𝜆1.因此当x>x0时,f'(x)>0;当x<x0时,f'(x)<0,即x=x0为f(x)的极值点,故C正确.故选BC.