【文档说明】河北省石家庄市第二中学2021届高三上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(25)页，2.858 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2020—2021学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（每小题5分，共40分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合2|450Axxx=−−，|10

Bxx=−，则AB=（）A.(),1−B.(1,1)−C.()1,5D.()0,5【答案】C【解析】【分析】解不等式可得|15Axx=−，|1Bxx=，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为2|450|15Axxxxx=−−=−，

|10|1Bxxxx=−=，所以AB=()5|11,5xx=.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若函数sinyx=的图象与直线yx=−一个交点的坐标为()00,xy，则2200

31cos2xx−++=()A.1−B.1C.D.无法确定【答案】B【解析】【分析】由已知可得00sinxx=−，代入220031cos2xx−++，利用诱导公式化简求值．【详解】解：由题意，00sinxx=−，2222000031cos1sinsin12xxxx

−++=−+=．-2-故选：B．【点睛】本题考查诱导公式的应用，是基础题．3.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过

连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm，体积为372cm的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（）A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm【答案】B【解析】【分析】已知圆

锥体积和底面圆锥直径，代入公式可求其高.【详解】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为h，则211π672π33VShh===，6h=，故选：B．【点睛】考查圆锥体积公式的应用，基础题.4.已知向量()5,am=，()2,2

b=−，若()abb−⊥，则实数m=（）A.-1B.1C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】根据已知向量坐标，将ab−应用坐标表示，由()abb−⊥知()0abb−=rrr，结合数量积的坐标公式求参数值-3-

【详解】∵向量()5,=am，()2,2b=−∴()3,2abm−=+又()abb−⊥∴()0abb−=rrr，即()6220m−+=，解得1m=故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示求参数，根据向量垂直，由数量积的坐标公式列方程求参数5.设有直线m、n和

平面、.下列四个命题中，正确的是()A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥C.若⊥，m,则m⊥D.若⊥，m⊥，m,则m∥【答案】D【解析】【详解】

当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，D选项中由α⊥β

，m⊥β，m，可得m∥α，故是正确命题，故选D6.函数()sin()fxAx=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C与()fx的图象交于,MN两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是-4-A.函数()fx的最小正周期是2B.函数()fx的图象关于点,03

成中心对称C.函数()fx在2(,)36−−单调递增D.函数()fx的图象向右平移512后关于原点成中心对称【答案】B【解析】【分析】根据函数的图象，求得函数()sin23fxAx=+，再根

据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点C的横坐标为3，所以1()2362T=−−=，解得T=，所以()fx的最小正周期T=，不妨令0A，0，由周期T=，所以2=，又06f−=

，所以3=，所以()sin23fxAx=+，令2,3xkkZ+=，解得,26kxkZ=−，当3k=时，43x=，即函数()fx的一个对称中心为4,03，即函数()fx的图象关于点4,03成中心对称．故选B．【点睛】本题主要考查了由三角函

数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．7.将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三种分-

5-解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解.当pq(pq且p､N*q)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数()fnqp=−，例如()12431f=−=，则数列()3nf的前2020项和为（）A.101031−B.10103C.1

01131−D.10113【答案】A【解析】【分析】按照n为偶数、n为奇数分类，再结合等比数列的前n项和公式即可得解.【详解】当n为偶数时，()30nf=；当n为奇数时，()11122233323nnnnf+−−=−=；所以数列()3nf的前2

020项和()021009202023333S=++++()01010101031323113−==−−.故选：A.【点睛】本题考查了数学文化及等比数列前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8.若函数()()e,01

,1,0xxfxafxx=+是增函数，则实数a的取值范围是（）A.10,eB.10,eC.1,1eD.()0,1【答案】B【解析】【分析】先求出0x时()fx解

析式为()nxnfxae+=，式其在(),0−单调递增，所以0na，再结合0x时()fx最大值()00eennfa=，即可求出a的取值范围.【详解】由题知，当(()*,1xnnn−−+N时，(0,1xn+()*nN，所以()()()()212nnxnfxafxafxafxna

e+=+=+==+=，-6-要使()fx单调递增，只需0na且()00eennfa=，则0a且1enna，即0a且1ea，故10ea．故选：B．【点睛】本题主要考查了求函数解析式，利用函数在定义域内单调递增求参

数的取值范围，属于中档题.二、多项选择题（每小题5分，共20分．下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9.已知等比数列na中，满足11a=，2q=，nS是na的前n项和，则下列说法正确的是（）A.数列2na是等比数列B.数列1na

是递增数列C.数列2logna是等差数列D.数列na中，10S，20S，30S仍成等比数列【答案】AC【解析】【分析】由已知得12nna-=可得以2122nna−=，可判断A；又1111122nnna−−==，可判断B；由122loglog21nnan−==−

，可判断C；求得10S，20S，30S，可判断D.【详解】等比数列na中，满足11a=，2q=，所以12nna-=，所以2122nna−=，所以数列2na是等比数列，故A正确；又1111122nnna−−==，所以数列1na是递减数列，故B不正确；因为12

2loglog21nnan−==−，所以2logna是等差数列，故C正确；数列na中，101010111222S−==−−，202021S=−，303021S=−，10S，20S，30S不成等比数列，故D不正确；-7-故选：AC.【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和

公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题.10.xR，x表示不超过x的最大整数.十八世纪，yx=被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（）A.1,0x−，1x=−B.xR，1xx+C

.,xyR，xyxy++D.函数()yxxx=−R的值域为)0,1【答案】CD【解析】【分析】结合x的定义，对选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A，01,0−，而001=−，故A错误；对于B，因为

1xx−，所以1xx+恒成立，故B错误；对于C，,xyR，01xx−，01yy−，所以02xxyy−+−，当12xxyy−+−时，1xyxy++=+，此时xyxy++；当01xxyy−+−时

，xyxy+=+，此时xyxy+=+，所以,xyR，xyxy++，故C正确；对于D，根据定义可知，01xx−，所以函数()yxxx=−R的值域为)0,1，故D正确.故选：CD

.【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的推理能力，属于中档题.11.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作EDAC⊥于D.把ADE沿DE翻折至1ADE△的位置，连结1AC.翻折过程中，其中正确的结论是

（）-8-A.1DEAC⊥；B.存在某个位置，使1AEBE⊥；C.若12CFFA=，则BF的长是定值；D.若12CFFA=，则四面体CEFB−的体积最大值为439【答案】ACD【解析】【分析】根据线面垂直的性质判断

A，B；取AC中点M，可证明FMBM⊥，从而可计算出BF，判断C；折叠过程中，BCE不动，当F到平面ABC的距离最大时，四面体CEFB−的体积最大，从而计算出最大体积后判断D．【详解】由DEDC⊥，1DEAD⊥，1DCADD=得DE⊥平面1ADC，又1AC

平面1ADC，所以1DEAC⊥，A正确；若存在某个位置，使1AEBE⊥，如图，连接11,AAAB，因为BEAE=，所以1AEAB⊥，连接CE，正ABC中，CEAB⊥，1CEAEE=，所以AB⊥平面1A

CE，而1AC平面1ACE，所以1ABAC⊥，由选项A的判断有1DEAC⊥，且DEABE=，DE平面ABC，ABÌ平面ABC，所以1AC⊥平面ABC，又DC平面ABC，所以1ACDC⊥，则1ADCD，这是不可能的，事实上-9-11111cos60

2443ADADAEAEABACCD======，B错；设M是AC中点，连接,FMBM，则BMAC⊥，所以//BMDE，从而1BMAD⊥，D是AM中点，所以2CMAMMD==，若12CFFA=，即12CFFA=，所以1//FMAD，所以BMFM⊥，且由1//F

MAD得1CFMCAD△△，所以123FMCMADCD==，ABC边长为4，则11AD=，22133FM==，23BM=，()22222472333BFBMFM=+=+=为定值，C正确；折叠过程中，1AD不变，BCE不动，当F到平面ABC的距离最大时，

四面体CEFB−的体积最大，由选项C的判断知当1AD⊥平面ABC时，F到平面ABC的距离最大且为12233AD=，又21342324BCES==△，所以此最大值为124323339CEFBFBCEVV−−===，D正确．故选：ACD．-10-【点睛】本题考查折叠过程中的线面间

的位置关系，考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，考查空间想象能力，属于中档题．12.已知定义在(1,)+上的函数ln32()1xxxfxx+−=−，定义函数(),()(),()fxfxmgxmfxm=（其

中m为实数），若对于任意的(1,)x+，都有()()gxfx=，则整数m可以为（）A.4B.5C.6D.7【答案】AB【解析】【分析】根据题意，得到()mfx在(1,)x+恒成立，只需min()mfx，对()fx求导，根

据导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.【详解】由题若对于任意的(1,)x+，都有()()gxfx=，则有()mfx在(1,)x+恒成立，只需min()mfx，因为ln32()1xxxfxx+−=−，所以()()()()22ln1

31ln32ln2()(1)1xxxxxxxfxxx++−−+−−+−==−−，令()ln2hxxx=−+−，则1()10hxx=−+，∴()hx在(1,)+上单调递增，又由(3)ln310h=−+，(4)ln420h=−+，∴0(3,4)x满足()00h

x=，即有00ln2xx=−，此时()fx在()01,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，所以()000min00ln32()1xxxfxfxx+−==−()000002322(5,6)1xxxxx−+−==+−∴5m.故选：AB.【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程有实根的问题，将问

题转化为不等式恒成立求解，是解集该题的关键，属于常考题型.-11-第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13.已知函数()31,0log,0xxfxxx−+=，则()()8ff−=____________

．【答案】2【解析】【分析】由函数()yfx=的解析式由内到外逐层可计算得出()()8ff−的值.【详解】()31,0log,0xxfxxx−+=，()8819f−=+=，因此，()()()23389log9log32fff−====.故答案为：2.【点睛】

本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.14.若直线l：2(0,0)xyabab+=经过点(2,4)，则+ab的最小值是_______．【答案】322+【解析】由题意得()1212221332322ababababababbaba+=+=++=+++=+当且仅当

2abba=即2ba=时等号成立，即所求的最小值为322+．15.已知在锐角ABC中，3A=，2CACB−=，则CACB的取值范围是____________.【答案】()0,12【解析】【分析】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到点C的坐

标，找出ABC为锐角三角形的点C的坐标，即可得出CACB的取值范围.【详解】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，-12-3A=，2CACBBA−==，所以，()1,3B，设(),0Cx，因为ABC是锐角三角形，所以23BC+=，62C，即C在如图的线段DE上（

不与D、E重合），所以14x，(),0CAx=−，()1,3CBx=−，所以，()22110,1224CACBxxx=−=−−.因此，CACB的取值范围是()0,12.故答案为：()0,

12.【点睛】本题考查平面向量数量积取值范围的计算，解答的关键就是将平面向量数量积转化为坐标来计算，转化为以某变量为自变量的函数的值域来求解，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.16.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童A

BCDEFGH−有外接球，且26,22,15,5ABADEHEF====，平面EFGH与平面ABCD的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.【答案】36【解析】【分析】-13-首先设O为刍童外接球

的球心，1O，2O分别为矩形EFGH，ABCD的中心，由球的几何性质可知：O，1O，2O三点共线，连接1OO，1OG，OG，2OB，OB，再分别计算得到()215OGm=++，28OBm=+，根据ROGOB==，即可得到答案.【详解】设O

为刍童外接球的球心，1O，2O分别为矩形EFGH，ABCD的中心，由球的几何性质可知：O，1O，2O三点共线，连接1OO，1OG，OG，2OB，OB，如图所示：由题知：2OO⊥平面ABCD，1OO⊥平面EFGH，所以121OO=.因为2

2111155522OGEFFG=+=+=，设2OOm=，在1RTOGO△中，()2221115OGOOOGm=+=++，因为222118242222OBADAB=+=+=，在2RTOBO△中，222228OBOOOBm=+=+，设外接球的半

径为R，则ROGOB==，所以()22158mm++=+，解得1m=.所以()21153R=++=，36433VR==.故答案为：36【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体的外接球，解题的关键是找到外接球的球心，本题中首先设出外接球的球心，根据半径相等得到等量

关系，从而求出球体半径和体积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.-14-四、解答题：（本大题共6小题，共70分；第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知等差数列{}na的公差为()dd0，前n项和为nS，且满足_____.（从①10105

(1);Sa=+②126,,aaa成等比数列；③535S=，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（1）求na；（2）若12nnb=，求数列nnab+的前n项和nT.【答案】（1）选择①②、

①③、②③条件组合,32nan=−；（2）232122nnnnT−+=−【解析】【分析】（1）先将①②③条件简化，再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可；（2）3221nnnnab−=++，利用分组求和法计算即

可.【详解】（1）①由()101051Sa=+，得()11109105912adad+=++，即11a=；②由1a，2a，6a成等比数列，得2216aaa=，222111125aaddaad++=+，即13da=﹔③由535S=，得()

15355352aaa+==，即3127aad=+=；选择①②、①③、②③条件组合，均得13a=、3d=，即32nan=−﹔（2）由（I）得3221nnnnab−=++，则231111[147(32)]()2222nnTn=++++−+++++11(1)(132)

221212nnn−+−=+−232122nnn−+=−，即232122nnnnT−+=−【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和，考查学生的数学运算能力，属于容易题.-15-18.在ABC中，角、、ABC所对的边分别为abc、、，2sinco

ssin2sinbCAaAcB+=；（1）证明：ABC为等腰三角形；（2）若D为BC边上的点，2BDDC=，且2ADBACD=，3a=，求b的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3b=．【解析】【分析】(1)根据已有等式2s

incossin2sinbCAaAcB+=，利用正弦定理作角化边，可得22cos2bcAacb+=，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得2222222bcabcabcbc+−+=；最后，根据等式可化简出bc=，故可证ABC为等腰三角形.(2)由2BD=，1DC=，2,A

DBACDACDDAC==+可得ACDDAC=，然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可.【详解】（1）2sincossin2sinbCAaAcB+=，由正弦定理得：22cos2bcAacb+=，由余弦定理得：2222222bcabc

abcbc+−+=；化简得：222bcbc+=,所以()20bc−=即bc=，故ABC为等腰三角形．（2）如图，由已知得2BD=，1DC=，2,ADBACDACDDAC==+-16-ACDDAC=，1ADCD==，又coscosADBADC=−，22222222

ADBDABADCDACADBDADCD+−+−=−，即2222221211221211cb+−+−=−，得2229bc+=，由（1）可知bc=，得3b=．解法二：取BC的中点E，连接AE．由

（1）知,ABACAEBC=⊥，由已知得31,1,22ECDCED===，2,ADBACDACDDAC==+ACDDAC=，22213122AEADDE=−=−=，222233

322bACAEEC==+=+=．解法三：由已知可得113CDa==，由（1）知，,ABACBC==，又2DACADBCCCC=−=−=，CABCDA

∽，即CBCACACD=，即31bb=，3b=．【点睛】本题考查解三角形的问题，（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，(2)题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.-17-19.如图，三棱锥A

BCD−中，侧面ABD△是边长为2的正三角形，22ACCD==，平面ABD⊥平面BCD，把平面ACD沿CD旋转至平面PCD的位置，记点A旋转后对应的点为P（不在平面BCD内），M、N分别是BD、CD的中点.（1）求证：CDMN⊥；（2）求三棱锥CAP

D−的体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）58.【解析】【分析】（1）连接AM、MC，利用面面垂直的性质定理得出AM⊥平面BCD，可得出AMMC⊥，利用勾股定理计算出1MC=，推导出BCD△是以BCD为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出//MNBC，由此可得出MNCD⊥；（2

）由ACD△的面积为定值，可知当平面PCD⊥平面ACD时，三棱锥PACD−的体积最大，连接PN、AN，推导出PN^平面ACD，计算出AN、PN以及ACD△的面积，然后利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图，

连接AM、MC，因为ABAD=，M是BD的中点，所以AMBD⊥，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，AM平面ABD，所以AM⊥平面BCD，MC平面BCD，所以AMMC⊥．因为ABD

△为边长为2的正三角形，所以3AM=，又2AC=，所以由勾股定理可得221MCACAM=−=，又1MCMDMB===，MCBMBC=，MCDMDC=，180MBCMDCBCD++=，则2180BCD=，90BCD=，所以BCD△为

直角三角形，且BCCD⊥，-18-又M、N分别是BD、CD的中点，所以//MNBC，所以MNCD⊥；（2）如图，连接AN、PN，因为三棱锥CAPD−与三棱锥PACD−为同一个三棱锥，且ACD△的面积为定值，所以当三棱锥PACD−的体积最大时，则平面PCD⊥平面ACD，ACAD=，则PCP

D=，NQ为CD的中点，则PNCD⊥，平面PCD⊥平面ACD，平面PCD平面ACDCD=，PN平面PCD，PN⊥平面ACD，此时点P到平面ACD的距离为22152PNANACCN==−=，在ACD△中，因为2ACAD==，1CD=，所以11151512224ACDSCDAN===△，所

以PACDV−的最大值为111515533428ACDSPN==△，所以三棱锥CAPD−的体积的最大值为58．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥体积的最值，考查推理能力与计算能

力，属于中等题.20.为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过810时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%.天数t1234567…癌细胞个数

N1248163264…（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天)（2）若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否-19-仍然存活？请

说明理由.【答案】（1）第一次最迟应在第27天注射该种药物；（2）仍然存活.【解析】【分析】（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为12tta−=，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式18210t−，解不等式即可求得结论；（2）

设第n次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为na，可得1012(198%)nnna−=−，从而可知第3次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数，由此可得结论．【详解】（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为12tta−=，要使小白鼠在实验中不死亡，可建

立不等式18210t−.∴82log10127.58t+，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）设第n次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为na，则()912198%a=−，且()1012198%

nnaa+=−.∴()1012198%nnna−=−∴()3103132198%a−=−，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为3232100.∴到第38天小白鼠体内这种癌细胞个数为328783221.11010100∴第38天小白鼠仍然存活

.【点睛】本题考查数列模型的运用，考查解不等式，解题的关键是确定数列模型．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题做出解答，其中关键是建立数学模型.21.在四棱锥PABCD−中，//

ABCD，2224ABCDBCAD====，60DAB=，AEBE=，PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.-20-（1）求二面角PECD−−的余弦值；（2）线段PC上是否存在一点M，使异面直线DM和PE所成角的余弦值为68？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（

1）22（2）存在点M为线段PC的三等分点满足题意，详见解析【解析】【分析】（1）利用向量法求二面角PECD−−的余弦值；（2）设(01)PMPC=剟，利用向量法得到2|63|6cos,8610104DMPE−==−+，解方程即

得解.【详解】设O是AD中点，PAD为正三角形，则POAD⊥，平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥面ABCD，又∵2ADAE==，60DAB=，所以ADE为正三角形，OEAD⊥，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz−，则()()0,0,3,0,

3,0PE()()2,3,0,1,0,0CD−−，于是(2,3,3),(0,3,3)PCPE=−−=−，(1,0,3)DP=，(1)设平面PEC的法向量为1(,,)nxyz=，由120,0PCnPEn==得一个法向量为1(0,1,1)n=ur，平面

EDC的一个法向量为2(0,0,1)n=，设二面角PECD−−的平面角为，则-21-1212|cos|cos,22nn===由图知为锐角，所以，二面角PECD−−的余弦值为22.(2)设(01)PMPC=剟，则(2,3,3)PM=−−，(12,3,33)

,(0,3,3)DMDPPMPE=+=−−=−，所以2|63|6cos,8||610104DMPEDMPEDMPE−===−+‖解得13=或23，所以存在点M为线段PC的三等分点.【点睛】本题主

要考查空间二面角的求法，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数()2214ln3xafxxx+=++−，()4lngxx=．（1）求证：()211fxax−+；（2）用max,pq表示p，q中的

最大值，记()()()max,hxfxgx=，讨论函数()hx零点的个数．【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】(1）作差构造函数，用导数方法证明最小值大于等于0;(2）利用分类讨论思想和导数

方法以及零点存在性定理可得．【详解】（1）设()2221114ln314ln1xxaaxxxxx+=++−−−−=+−，其定义域为()0,+，()()2241114xxxxx−=−=．当01x时，()0x；当1x时，()0x

．-22-故()x在()0,1上是减函数，在()1,+上是增函数，所以1x=是()x的极小值点，也是()x的最小值点，即()()()min10xx==，故()211fxax−+成立．（2）函数()f

x的定义域为()0,+，()()()3232211422xxxxxfxx+−=−−=，当01x时，()0fx；当1x时，()0fx；所以()fx在()0,1上是减函数，在()1,+上是增函数，所以1x=是()fx的极小值点，也是()fx的最小值点，即()

()min1fxfa==．（ⅰ）若0a=，()()()()22131213xxxxxxxfg−++=−=−−．当01x时，()()fxgx；当1x=时，()()fxgx=；当1x时，()()fxgx，所以()()(),01,,1,fxxhxgxx=

此时，()hx只有一个零点1x=；（ⅱ）若0a，()()()()2131xxfxgxax−+−=−+，当01x时，()()fxgx，则()()0hxfxa=；当1x时，()0fxa，()0gx，则()0hx．此时()hx没有零点；（ⅲ）若0a，当01x时，根

据（1）知，()211fxax−+．-23-而1011a−+，所以()211101faaa−+−+=−+，又()()min10fxfa==，所以()fx在()0,1上只有一个零点0x，

从而一定存在()0,1cx，使得()()fcgc=，即22130cac++−=，即2213cac+−=．当xc时，()()222212121320xxcxccxaxxcgxfcxcxx+++−+=−−+=−+=+

−，所以()()gxfx，从而()()(),0,,fxxchxgxxc=从而()hx在()0,c上有一个零点0x，在(),c+上有一个零点1．此时，当0a时，()hx有两个零点．综上，当0a=时，()hx有一个零

点；当0a时，()hx没有零点；当0a时，()hx有两个零点．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，零点，证明不等式，考查了分类讨论思想，属难题．23.已知三棱锥ABCD−中，ABC与BCD△均为

等腰直角三角形，且90BAC=，6BCCD==，E为AD上一点，且CE⊥平面ABD.（1）求证：ABCD⊥；（2）过E作一平面分别交AC，BC，BD于F，G，H，若四边形EFGH为平行四边形，求多面体ABEFGH

的表面积.【答案】（1）证明见解析.（2）75352++-24-【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证得AB⊥平面ACD，再利用性质定理，即可证得ABCD⊥，（2）由线面垂直的判定定理和性质定理，得到CDAC⊥，在RtACD△中，求得36AD=，进而得到6AE

=，即13AEAD=，再利用线面平行的性质定理得到//EFCD，进而得到四边形EFGH为矩形，同理求得22FG=，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）由90BAC=，所以ABAC⊥，由CE⊥平面ABD，

ABÌ平面ABD，可得CEAB⊥，又由ACCEC=，且AC平面ACD，CE平面ACD，所以AB⊥平面ACD，又因为CD平面ACD,所以ABCD⊥.（2）在等腰直角BCD中，6BCCD==，所以BCCD⊥，又因为ABCD⊥，可得CD⊥平面ABC，所以CDAC⊥.等腰RtABC中，由

6BC=，可得32AC=，又RtACD△中，6CD=，CEAD⊥，所以2236ADACCD=+=，而2ACAEAD=，可得6AE=，故13AEAD=，因为四边形EFGH为平行四边形，所以//EFGH，可得//EF平面BCD，又EF平面ACD，且平面ACD平面BC

DCD=，所以//EFCD，由13AEAD=，可得123EFCD==，且有13AFAC=，由CD⊥平面ABC，可得CDFG⊥，进而得到EFFG⊥，所以四边形EFGH为矩形，同理可得//FGAB，且2223FGAB==，可得1122222AEFESFAF===△，1122222BGHGFBS

G===△，22242EFGHEFFSG===，5ABGFS=53AEHBS=△.所以所求表面积为75352S=++.-25-【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，严密的逻辑推理是解答的关键

，着重考查了推理与运算能力.