【文档说明】北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，2.476 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-b65097eb5f72ab6ebec81a7bc6f42904.html

以下为本文档部分文字说明：

2024-2025学年度第一学期高二数学10月月考（2024.10）班级______姓名______学号______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知点()3,1,2P−−，则点P关于z轴的对称点的坐标为（）A.()

3,1,2−B.()3,1,2−C.()3,1,2−−−D.()3,1,2−−【答案】D【解析】【分析】关于z轴对称，则z坐标值不变，,xy坐标变为互为相反数即可.【详解】解：因为关于z轴对称，则z坐标值不变，,xy坐标变为互为相反数所以，点P关于z轴的对称点的坐标为()3,1

,2−−故选：D.2.已知向量()1,2,1a=−，()3,,bxy=−，且ab∥，那么b=（）A.36B.6C.9D.18【答案】A【解析】【分析】根据空间向量共线的充要条件求出,xy的值，然后代入模的计算公式即可求解.【详解】因为ab∥，且向量()1,2,1a=−，(

)3,,bxy=−，所以3121xy−==−，解得：6,3xy==，所以22236336b=++=，故选：A.3.如图，在三棱锥O－ABC中，D是BC的中点，若OAa=，OBb=，OCc=，则AD等于（）A.abc−++B.abc−+−C.

1122abc−++D.1122abc−−−【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】因为D为BC的中点，所以()12ADABAC=+，又,ABOBOAACOCOA=−=−，所以()()1111122222ADOB

OAOCOAOAOBOCabc=−+−=−++=−++．故选:C．4.已知正四棱锥SABCD−，底面边长是2，体积是433，那么这个四棱锥的侧棱长为（）A.3B.2C.5D.22【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由体积是433

，求出3h=.利用勾股定理求出侧棱长.【详解】因为正四棱锥SABCD−，底面边长是2，所以底面积为224=.设正四棱锥的高为h，由314343Vh==，所以3h=.所以侧棱长为()222325lh=+=+=.即侧棱长为5.故选：C5.如图，在三棱锥

DABC−中，ACBD=，且ACBD⊥，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于A30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【解析】【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则EFG为EF与AC所成的角．解EFG．【详解

】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．E，F分别是CD，AB中点，FGAC，EGBD∥，且12FGAC=，12EGBD=．EFG为EF与AC所成的角．又ACBD=，FGEG=．又ACBD⊥，FGEG⊥，90FGE=，EFG△为等腰直角三角

形，45EFG=，即EF与AC所成的角为45°．故选：B．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解.的三角形，属于基础题．6.已知,mn是两条不重合的直线，，

，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若,,mm⊥⊥则//；②若,,⊥⊥则//；③若,,//,mnmn则//；④若,mn是异面直线，,//,,//,mmnn则//．其中真命题是（）A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④【答案】

D【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题的真假即可确定真命题的编号.【详解】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若,,mm⊥⊥则𝛼//𝛽，该命题正确；②如图所示的正方体1111ABCDABCD

−中，取平面,,分别为平面1111,,ABBAADDAABCD，满足,,⊥⊥但是不满足𝛼//𝛽，该命题错误；③如图所示的正方体1111ABCDABCD−中，取平面,分别为平面1111,ABBAADDA，直线,mn分别为11BB,

DD，满足,,//,mnmn但是不满足𝛼//𝛽，该命题错误；④若,mn是异面直线，,//,,//,mmnn由面面平行的性质定理易知𝛼//𝛽，该命题正确；综上可得，真命题是①和④本题选择D选项.【点睛】本题考查

了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7.在正方体1111AB

CDABCD−中，直线l是底面ABCD所在平面内的一条动直线，记直线1AC与直线l所成的角为，则sin的最小值是（）A.33B.12C.22D.63【答案】A【解析】【分析】过C作l的平行线，过1A作该平行线的垂线，垂足为P，

则1ACP=，11||sin||APAC=，根据11||||APAA可求出结果.【详解】如图：过C作l的平行线，过1A作该平行线的垂线，垂足为P，则1ACP=，所以11||sin||APAC=，设正方体的棱长为1，则1||3AC=，11||||1APAA=，所以11||

1sin||3APAC=33=,当且仅当P与A重合时，取得等号，所以sin的最小值是33.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1ABAD==，1112,45,60AABAADAABAD====，则1AC=u

uur（）A.1B.3C.9D.3【答案】D【解析】【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到11ACABADAA=++，再利用()211ACABADAA=++求1ACuuur的模长.【详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中，有ACABAD=+，111ACACAAABADAA=+=++，由

题知，1ABAD==，12AA=，1145BAADAA==，60BAD=，所以1ABAD==，12AA=，AB与AD的夹角为60BAD=，AB与1AA的夹角为145BAA=，AD与1AA的夹角为145AAD=，所以21AC()21ABADAA=++22

2111222ABADAAABADABAAADAA=+++++112211cos60212cos45212cos45=+++++9=.所以13AC=.故选：D.9.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，13,4,ABBCCCE===为棱11BC的中点，P为四边形

11BCCB内（含边界）的一个动点.且DPBE⊥，则动点P的轨迹长度为（）A.5B.25C.42D.13【答案】B【解析】【分析】利用正方体性质以及线面垂直判定定理可证明BE⊥平面DCF，由线面垂直的性质可得当D

PBE⊥时，动点P的轨迹为25CF=.【详解】如下图所示：作CFBE⊥交1BB于点F，易知四边形11BCCB是边长为4的正方形，利用三角形相似可知1BCFBBE，即可得11BEBFBCBB=，所以2BF=，由勾股定理可知25CF=，利用正方体性质可知DC⊥平面11BCCB，

BE平面11BCCB，所以DCBE⊥；又CFBE⊥，CFDCC=，,CFDC平面DCF，可知BE⊥平面DCF；由DPBE⊥可知DP平面DCF，又P为四边形11BCCB内（含边界）的一个动点，所以动点P的轨迹为平面DCF与四边形1

1BCCB的交线，即为CF，因此可得动点P的轨迹长度为25CF=.故选：B10.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，1,2,1,2ACBCACBCAA⊥===，点D在棱AC上，点E在棱1BB上，下列结论中不正确．．．的是（）A.三棱锥EABD−的体积的最大值为23B.点E到平面11ACCA的

距离为1C.点D到直线1CE的距离的最小值为255D.1ADDB+的最小值为25+【答案】D【解析】【分析】根据锥体的体积公式判断A；根据直三棱柱的性质，结合ACBC⊥，可得⊥BC11ACCA，进而判断B；建立空间直角坐标系，利用空间

向量法求出点到距离，再根据函数的性质即可判断C；将ABCV翻折到与矩形11ACCA共面时连接1AB交AC于点D，此时1ADDB+取得最小值，进而利用勾股定理求出距离最小值，即可判断D.【详解】在直三棱柱111ABCABC

−中，1BB⊥平面ABC，对于A：因为点E在棱1BB上，112ABAB==，所以0,2BE，又ACBC⊥，2,1ACBC==，点D在棱AC上，所以0,2AD，110,122ABDSADBCAD==，所以1233EABDABDVBES−=，当且仅当D在C点、E

在1B点时取等号，故①正确；对于B：在直三棱柱111ABCABC−中，ACBC⊥，则⊥BC11ACCA，又点E在棱1BB上，所以点E到平面11ACCA的距离，即为1BC=,故B正确；对于C：如图建立空间直角坐标系，设(),0,0Da，()0,1,Ec，,0,2ac，()10,0,2C，所

以()1,0,2CDa=−，()10,1,2CEc=−，所以点D到直线1CE的距离为()()()()2222221112212242442121ccCDCEdCDaaCEcc−−−=−=+−=+−−+

−+，当2c=时，242da=+，当02c时，()2024c−，即()21142c−，则()215142c+−，即()241601512c+−，所以当()()224221cc−−+

取最大值165，且20a=时，min1625455d=−=，即当D在C点，E在B点时，点D到直线1CE的距离的最小值为255，故C正确；对于D：如图将ABCV翻折到与矩形11ACCA共面时连接1AB交AC于点D，此时1ADDB+取得最小值，因为1112ACCC

==，1BC=，所以13BC=，所以22111113ABACBC=+=，即1ADDB+的最小值为13，故D错误.故选：D.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11.已知向量()2,5,4a=−，()6,0,b

x=，若ab⊥，则x=______.【答案】3【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】因为()2,5,4a=−，()6,0,bx=，ab⊥，所以265040abx=−++=，解得3x=.故答案为：3.12.已知正方体1111ABCD

ABCD−的棱长为1，则点1C到直线1BD的距离为______.【答案】63【解析】【分析】连接1BC，利用等面积法可求点1C到直线1BD的距离.【详解】连接1BC，由正方体1111ABCDABCD−，可得11CD⊥平面11CBBC，因为1BC平面11

CBBC，所以111CDBC^，因为正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，所以可得222211112,1(2)3BCBD=+==+=，设点1C到直线1BD的距离为d，由1111111122BCDSBDdBCCD==，可得1132122d=，解得63d=，所以点1C到直线

1BD的距离为63.故答案为：63.13.如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知4AB=，6AC=，8BD=，则CD的长为__________【

答案】217【解析】【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解.【详解】解：由条件，知00CAABABBD==，，CDCAABBD=++,所以2222222222648268cos12068CDCAABBD

CAABABBDCABD=+++++=+++=，所以217CD=,故答案为：21714.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑PABC−中，PA⊥平面ABC

，2PAABBC===．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．【答案】2【解析】【分析】利用等体积法求得P到平面MAB的距离.【详解】因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA⊥，依题意可知,,,,BCABBCPAABPAAABPA⊥⊥=平面PAB，所以⊥

BC平面PAB，由于M是PC的中点，所以M到平面PAB的距离是C到平面PAB的距离的一半，即M到平面PAB的距离是1.22ACPB==,()2222223PC=+=，所以3AMBM==，由于2AB=，所以()22123122MABS=−=，12222PABS==，设P到平

面MAB的距离为h，则MPABPMABVV−−=，即11212233hh==.故答案为：215.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则下列结论正确的是________．

①直线1BD⊥平面11ACD②三棱锥11DACP−的体积为定值③异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,62④直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63【答案】①②④【解析】【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即

可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出1BC∥平面11ACD，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面

所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.【详解】对于①，连接11BD，1111ACBD⊥，111ACBB⊥，1111BDBBB=，11BD平面11BBD，1BB平面11BBD，11AC⊥平面11BBD，1BD平面11BBD，111ACBD⊥，同理，11DCB

D⊥，1111ACDCC=，11AC平面11ACD，1DC平面11ACD，直线1BD⊥平面11ACD，故①正确；对于②，1AD∥1BC，1AD平面11ACD，1BC平面11ACD，1BC∥平面11ACD，点P在线段1BC上运动，点P到平面11ACD的距离为

定值，又11ACD的面积为定值，利用等体积法知三棱锥11DACP−的体积为定值，故②正确；对于③，1AD∥1BC，异面直线AP与1AD所成的角即为AP与1BC所成的角，当点P位于C点时，AP与1BC所成的角为π3，当点P位于1BC的中点时，1ABAC

=，1APBC⊥，此时，AP与1BC所成的角为90，异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,32，故③错误；对于④，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，(),1,Paa，则()0,0

,0D，()11,0,1A，()10,1,1C，()11,0,1DA=，()10,1,1DC=，()1,0,1CPaa=−，设平面11ACD的法向量(),,nxyz=r，则1100nDAnDC==，即00xyyz+=+=，令1x=，得()1,1,1n=−，所

以，直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值为：()122211111133222CPnCPnaaa==+−−+，当12a=时，直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值取得最大值，最大值为163132=，故④正确.故答案为：①②④三、解答题（本大题共4小题，每小

题10分，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）16.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别为PC，BD的中点.（1）求证：//EF平面PAD；（2）若PAAD⊥，AB⊥平面PAD，求证：⊥EF平面A

BCD.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，进而根据线面平行的判定定理证明即可；（2）由AB⊥平面PAD，可得ABPA⊥，进而结合PAAD⊥可得PA⊥面ABCD，再结合//EFPA即可求证.【

小问1详解】证明：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，且F是BD的中点，∴F是AC的中点，∵E为PC中点，∴//EFPA，∵PA平面PAD，EF平面PAD，∴//EF平面PAD.【小问2详解】证

明：∵AB⊥平面PAD，PA平面PAD，∴ABPA⊥，∵PAAD⊥，ABADA=，,ABAD平面ABCD，∴PA⊥面ABCD，∵//EFPA，∴⊥EF平面ABCD.17.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，12ABBCAA===，E、F分别为AC、1

CC的中点，的11BFAB⊥.（1）求证：1BEAC⊥；（2）求直线1AC与平面11ABBA所成角的正弦值；（3）求点1A到平面BEF的距离.【答案】（1）证明见解析（2）33（3）6【解析】【分析】（1）首先通过线面垂直的判定定理得证BE⊥平面

11AACC，从而得证1BEAC⊥；（2）法一：首先通过线面垂直的判定定理得证⊥BC平面11AABB，从而得到1CAB即为所求角，求出该角的正弦值即可得到答案.法二：由已知可证ABBC⊥，建立空间直角坐标系，

利用向量的夹角公式可求1AC与平面11ABBA所成角的正弦值.（3）利用空间向量法的点到面的距离公式可求解.【小问1详解】因为三棱柱111ABCABC−是直三棱柱，所以1AA⊥平面ABC，因为BE平面A

BC，所以1AABE⊥，又因为ABBC=，E为AC中点，所以BEAC⊥，因为11,AAACAAAAC=、I平面11AACC，所以BE⊥平面11AACC，因为1AC平面11AACC，所以1BEAC⊥.

【小问2详解】方法一：因为直三棱柱111ABCABC−，所以1BB⊥平面ABC，因为AB平面ABC，所以1BBAB⊥，因为11BFAB⊥，11//ABAB，所以ABBF⊥，因为11BBBFBBBBF=、，平面11CBBC，所以AB⊥平面11BBCC.因为BC平面11CB

BC，所以ABBC⊥，因为1BBBC⊥，11,BBABBBBAB=、平面11ABBA，所以⊥BC平面11AABB，连结1AB，1CAB即为直线1AC与平面11ABBA所成角,因为12ABBCAA===，所以22AC=，123AC=，1123sin323BCCABAC===.所以1AC与

平面11ABBA所成角的正弦值为33.方法二：因为直三棱柱111ABCABC−，所以1BB⊥平面ABC，因为AB平面ABC，所以1BBAB⊥，因为11BFAB⊥，11//ABAB，所以ABBF⊥，因为11BBBFBBBBF=、，平面11CBBC，所以AB⊥平面11BBCC.因为11BCBB

CC平面,所以ABBC⊥，如图所示，以B为原点，以1,,BABCBB所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为()()()12,0,2,0,2,0,0,0,0ACB，所以1(2,2,2)CA=−，(0,2,0)BC=，易知⊥BC平面11ABBA，所以BC为平

面11ABBA的一个法向量，设1AC与平面11ABBA所成角为θ，所以111·43sincos,==34442CABCCABCCABC−==++，所以1AC与平面11ABBA所成角的正弦值为33.【小问3详解】设1A到平面BEF的距离为d

，因为()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2EFA，所以()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2BEBFBA===，设(,,)nxyz=为平面BEF一个法向量，所以·0·0BEnBFn==，即020xyyz+=+=，令1x

=，则1,2yz=−=，所以平面BEF的一个法向量(1,1,2)n=−，所以1·2466BAndn+===，因此点1A到平面BEF的距离为6.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD

=，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E.的（1）求证：//EFAD；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小.条件①：2AE=；条件②：平面PAD⊥

平面ABCD；条件③：PBFD⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）根据条件可以证明//AD平面PBC，再利用线面平行的性质定理即可证明出结论；（2）选条件①

②可以证明出,,ABADAP两两垂直，建立空间直角坐标系Axyz−，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果;选条件①③或②③同样可以证明求解.【小问1详解】证明：因为底面ABCD是正方形，所以//ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC,所以//AD平面PBC，又因为平面AD

F与PB交于点E.AD平面ADFE，平面PBC平面,ADFEEF=所以//EFAD.【小问2详解】选条件①②侧面PAD等腰直角三角形，且π,2PAD=即2PAAD==，PAAD⊥平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PA平面PAD,则PA

⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，所以,,PAABPAADABAD⊥⊥⊥.以点A为坐标原点，,,ABADAP分别为x轴,y轴,z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系Axyz−，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)

APCBD因为2AE=，所以点E为PB的中点，则(1,0,1)E从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PCADAE=−==，设平面ADFE的法向量为：(,,)nxyz=，则020nAExznADy=+===，令1x=，可得(1,0,1)n

=−设平面PCD的法向量为：(,,)nabc=，则2202220nPDbcnPCabc=−==+−=，令1b=，可得(0,1,1)n=为所以1cos,2PBnPBnPBn==则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面P

AD为等腰直角三角形，且,2PAD=即2,PAADPAAD==⊥,ADABPAABA⊥=，且两直线在平面内，可得AD⊥平面PAB，PB平面PAB，则ADPB⊥.又因为,,PBFDADFDD⊥=且两直线在平面内，则PB⊥平面ADFE,AE平面,

ADFE则PBAE⊥因为PAAB=，所以PAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点又因为2AE=，所以PAB为等腰直角三角形，下面同①②选条件②③侧面PAD为等腰直角三角形，且2PAD=，即2,PAADPAAD==⊥平面P

AD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PA平面PAD,则PA⊥平面,ABCDABCD为正方形，所以,,PAABPAADABAD⊥⊥⊥.又因为,,PBFDADFDD⊥=且两直线在平面内，则PB⊥平面ADFE，AE平面,ADF

E则PBAE⊥因为PAAB=，所以PAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点.下面同①②19.在梯形ABCD中，//ABCD，π3BAD=，224ABADCD===，P为AB的中点，线段AC与DP交于O

点（如图1）.将△ACD沿AC折起到△ACD位置，使得DOOP⊥（如图2）.（1）求证：平面DAC⊥平面ABC；（2）线段PD上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为68?若存在

，求出PQPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，13【解析】【分析】（1）先证明DPBC四边形是菱形，从而证明DO⊥平面ABC，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】证明：∵在梯形

ABCD中，//ABCD，224ABADCD===，π3BAD=，P为AB的中点，∴//CDPB，CDPB=，BCDP=，∴ADP△是正三角形，四边形DPBC为菱形，∴ACBC⊥，ACDP⊥，∵,ACDODOOP⊥⊥，又∵,,ACOPOACOP=平面ABC，∴DO⊥平

面ABC，∵DO平面DAC，∴平面DAC⊥平面ABC.【小问2详解】存在，13PQPD=，理由如下：∵'DO⊥平面BAC，OP⊥AC，∴OA，OP，'OD两两互相垂直，如图，以点O为坐标原点，OA，OP，'OD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标

系.则()3,0,0C−，()3,2,0B−，()0,0,1D，()0,1,0P，∴()3,2,1BD−=，()3,0,1CD=，设平面'CBD的一个法向量为(),,nxyz=，则00nBDnCD=

=，即32030xyzxz−+=+=，令1x=，则0y=，3z=−，()1,0,3n=−，设()01PQPD=，∵()3,1,0CP=，()0,1,1PD−=，∴()3,1,CQCPPQCPPD=+=+=−，设CQ与平面'BCD所成角为，则()

2316sincos,82224CQnCQnCQn−====−+，即23720−+=，01，解得13=，∴线段'PD上存在点Q，且'13PQPD=，使得CQ与平面'BCD所成角的正弦值为68.