【文档说明】2021高考数学一轮习题：专题7第58练向量法求解空间角和距离问题【高考】.docx，共(9)页，577.857 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角为()A．30°B．150°C．60°D．120°2．(2020·山西省长治市第二中学期末)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，

则异面直线AE与CD1所成角的余弦值为()A.26B.36C.56D.133．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.224．如图，圆锥的

高SO＝3，底面直径AB＝2，C是圆O上一点，且AC＝1，则SA与BC所成角的余弦值为()A.34B.33C.14D.135．(2019·安徽定远二中期末)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CC1的中点，则

直线A1E与平面B1D1F所成角的正弦值是()A.155B.1510C.55D.30106．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，点P为CC1的中点，则异面直线AP与C1D1所成角的正切值为()A.54B.34C.24D.147．如图，在棱长为2的正方体ABC

D－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为()A.3λB.22C.23λD.558．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，中，底面边长为2，直线

CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为()A．2B．3C．4D．59．在空间直角坐标系中，点P(0,0,1)为平面ABC外一点，其中A(1,1,0)，B(0,2,3)，若平面ABC的一个法向量为n＝(

1，m,1)，则点P到平面ABC的距离为________．10．(2019·安徽定远二中期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，PA＝2，则异面直线AC与PB所成角的余弦值为________

．11．(2019·江西南昌二中月考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，在空间中到三条棱AB，CC1，A1D1所在直线距离相等的点的个数为()A．0B．2C．3D．无数个12．(2019·厦门实验中学期末)如图，在正四棱柱ABC

D－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为()A.43B.53C．2D.25913．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB，AC

，AA1两两互相垂直，AB＝AC＝AA1，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为π6，当B1M最小时，∠AMB等于()A.5π12B.π3C.π4D.π614．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为4的菱形，且∠BAD＝60°，点

A1在底面的投影O是AC的中点，且A1O＝4，点C关于平面C1BD的对称点为P，则三棱锥P－ABD的体积是()A．4B．33C．43D．815．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，O是平面ABCD的中心，点P在棱

C1D1上移动，则OP取最小值时，点P的坐标为________，直线OP与对角面A1ACC1所成的线面角的正切值为________．16．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上

底面正中间一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为______．答案精析1．C2.A3.B4.A5.D6.A7．D8.C9.631

0.371411．D12.B13．B[以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设|AB|＝|AC|＝|AA1|＝1，设CN＝b，BM＝a，则N(0,1，b)，M(1,0，a)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，AM→＝(

1,0，a)，AN→＝(0,1，b)，设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则AM→·n＝x＋az＝0，AN→·n＝y＋bz＝0，取z＝1，得n＝(－a，－b,1)，又平面ABC的法向量为m＝(0,0,1)，∵平面AMN与平面ABC所成锐二面角为π6，∴cosπ6＝|m·n||

m|·|n|＝1a2＋b2＋1，解得3a2＋3b2＝1，∴当|B1M|最小时，b＝0，|BM|＝a＝33，∴tan∠AMB＝|AB||BM|＝133＝3，∴∠AMB＝π3.故选B.]14．C[因为平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为4的菱形

，所以OA⊥OB，因为点A1在底面的投影O是AC的中点，所以OA1⊥OB，OA1⊥OA，故以O点为原点，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则O(0,0,0)，

A(23，0,0)，B(0,2,0)，C(－23，0,0)，A1(0,0，4)，C1(－43，0,4)，D(0，－2,0)，则DC1→＝(－43，2,4)，DB→＝(0,4,0)，设平面C1BD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，故n1·DB→

＝0，n1·DC1→＝0，即4y1＝0，－43x1＋2y1＋4z1＝0，令x＝1，解得n1＝(1,0，3)，设点P(x2，y2，z2)，则CP→＝(x2＋23，y2，z2)，因为点C关于平面C1BD的对称点为P，所以CP→∥n1，所以CP→＝λn1，

即(x2＋23，y2，z2)＝λ(1,0，3)，解得x2＝λ－23，y2＝0，z2＝3λ，即P(λ－23，0，3λ)，又因为点C到平面C1BD的距离等于点P到平面C1BD的距离，所以|C1P→·n1||n1|＝|C1C→·n1||

n1|，即|2λ－3|＝3，解得λ＝3或λ＝0，当λ＝0时，点P与点C重合，不符合题意，当λ＝3时，点P(－3，0,3)，显然，平面ABD的法向量为n＝(0,0,1)，故点P到平面ABD的距离为|AP→·n||n|＝|0＋0＋

3|1＝3，所以三棱锥P－ABD的体积为VP－ABD＝13×3×12×4×23＝43，故选C.]15．(1,2,2)13解析由题意，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空

间直角坐标系，则O(1,1,0)，设P(x,2,2)(0≤x≤2)．则|OP|＝(1－x)2＋(1－2)2＋(0－2)2＝(x－1)2＋5，所以当x＝1，即P为C1D1中点时，OP取最小值5，此时点P(1,2,2)，所以OP→＝(0,1,2)，又由BD⊥平面A1ACC1，且BD→＝(－2,2,0

)，即平面A1ACC1的一个法向量为BD→＝(－2,2,0)，设OP与平面A1ACC1所成的角为θ，由线面角的公式可得sinθ＝|cos〈OP→，BD→〉|＝|OP→·BD→||OP→|·|BD→|＝2210＝1

10，因为θ∈0，π2，由三角函数的基本关系式，可得tanθ＝13.16.33434解析以B1为坐标原点，B1C1，B1A1所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则B1(0,0,0)，A(1,2,

3)，C(2,1,3)，D(2,2,3)，设B1Q→＝λB1D→，AP→＝μAC→，λ，μ∈[0,1]．则B1Q→＝(2λ，2λ，3λ)，B1P→＝B1A→＋AP→＝B1A→＋μAC→＝(1＋μ，2－μ，3)．所以QP→＝B1P→－B1Q→＝(1＋μ－2λ，2－μ－2λ，3－3λ)，|QP→|

2＝(1＋μ－2λ)2＋(2－μ－2λ)2＋(3－3λ)2＝17λ2－30λ＋2μ2－2μ＋14＝17λ－15172＋2μ－122＋934，当λ＝1517且μ＝12时，|QP→|2取到最小值934，所以线段PQ长度的

最小值为33434.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com