【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修2-2教案：2.3数学归纳法 2 含解析【高考】.doc，共(5)页，293.500 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-数学归纳法教学设计【教学目标】（1）知识与技能：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证

明结论。（2）过程与方法：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。（3）情感态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激

发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n

有关的数学命题；【教学难点】数学归纳法中递推关系的应用。【辅助教学】多媒体技术辅助课堂教学。【教学过程】一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）（情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2:如果na是一个等差数列，怎样得到(

)11naand=+−?（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般

性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？-2-二、搜索生活实例，激发学生兴趣展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全

部倒下？（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。）①第一块骨牌必须要倒下②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下相当于能推倒第一块骨牌相当于第k块骨牌能推倒第1k+块骨牌三、师生合作，形成

概念。一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值()*00nnN时命题成立；（2）（归纳递推）假设()*0,nkknkN=时命题成立，证明当1nk=+命题也成立.完成这两个步

骤后,就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立。上述这种证明方法叫做数学归纳法。四、讲练结合，巩固概念类型一用数学归纳法证明等式例1：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236nnnn++++++=证明：（1）当1n=时，左边：211=，右边

：1(11)(21)16++=，左边=右边，等式成立。（2）假设当*()nkkN=时等式成立，即2222*(1)(21)123...()6kkkkkN++++++=则当()*1nkkN=+时，左边()()()()

222222121123116kkkkkk++=++++++=++(1)(2)(23)=6kkk+++=右边即当1nk=+时，等式也成立。由(1)，(2)得：对*nN，等式2222(1)(21)1236nn

nn++++++=成立【方法技巧】证明中的几个注意问题：-3-（1）在第一步中的初始值不一定从1取起,证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳）（2）在第二步中,证明1nk=+命题成立时,必须用到nk=命题成立这一归纳假设，否则就打破数学归纳

法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.（用上假设，递推才真）（3）明确变形目标（写明结论，才算完整）变式训练：用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3nnnnn+++++=++证明：（1）当1n=时，左边122==

，右边112323==，左边=右边，等式成立；（2）假设当nk=时，等式成立，即()()()11223341123kkkkk+++++=++，则当1nk=+时()()()122334112kkkk++++++++()()()()112123kkkkk=+++++()()11

123kkk=+++()()()1111123kkk=+++++所以1nk=+，公式成立，由（1）（2）可知，当*nN时，公式1122334(1)(1)(2)3nnnnn+++++=++成立.类型二归纳——猜想——证明例2：已知数列()()1

111,,,,,14477103231nn−+nS为该数列的前n项和，计算1234,,,SSSS，根据计算结果，猜想nS的表达式，并用数学归纳法进行证明.解：111144S==，2118247287SS=+==3212137107010SS=+==，43131404

101310101313013SS=+=+==根据上述结果，猜想31nnSn=+.-4-证明：（1）当1n=时，左边114S==，右边113114==+，猜想成立，（2）假设当()*nkkN=时猜想成立，即()()11111447710323131kkSkkk=

++++=−++，那么，当1nk=+时，()()()()11111114477103231312311kSkkkk+=+++++−++−++()()1313134kkkk=++++()()()()()23413413134

3134kkkkkkkk++++==++++()()()()()()13111313434311kkkkkkkk++++===+++++，所以，1nk=+时，猜想成立，由（1）（2）可知，对于nN，猜想成立，即，*,31nnnNS

n=+【方法技巧】“归纳—猜想—证明”的一般环节学生总结课件展示框图呈现变式训练：设0,()axafxax=+，令111,(),nnaafanN+==，(1)写出123,,aaa，并猜想出数列na的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的结论.五、课堂小结1.归纳法：完全归纳法和不完全归纳法；2.用数学归纳法证明等式：①找准基础，奠基要稳。②用上假设，递推才真。③写明结论，才算完整3.归纳——猜想——证明六、当堂检测1.用

数学归纳法证明212*122221()nnnN++++++=−的过程中，在验证1n=时，左端计算所得的项为(C)A.1B.12+C.2122++D.231222+++2.用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()nnnnnnnN+++=−，“从

k到1k+”左端增乘的代数式为221k+（）-5-3.已知数列na的前n项和2(2)nnSnan=，而11a=，通过计算234,,aaa，猜想na=(B)A.22(1)n+B.2(1)nn+C.221n−D.221n−设计意图：检测学生对本节课内容的掌握程度，锻炼实际应用能

力.拓展训练（延伸提高，课下思考）1.用数学归纳法证明22(5,)nnnnN.2.求证：*1115(2,)1236nnNnnn+++++.