【文档说明】河北省秦皇岛市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试卷 含答案.doc，共(13)页，1.872 MB，由小赞的店铺上传

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1秦皇岛市第一中学2020-2021学年第二学期第一次月考高二数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.将答案涂写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试时间120分钟，满分150分。一、选择题（本题有12小题

，每题5分。每小题只有一个正确答案）1．若复数z满足(1)1zii+=−，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为()A．1B．1−C．iD．i−2．命题p：“0x，2sin0xx−”的否定为()A．0x，2sin0xx−B．0x，2sin0xx−C．00x

，002sin0xx−D．00x，002sin0xx−3．已知等差数列{}na的前n项和为nS，公差为3，若1a，2a，6a成等比数列，则5(S=)A．25B．30C．35D．404．在ABC中，若sin:sin:sin3:5:7ABC=，且三角形面

积为603，则ABC最小边长为()A．3B．6C．9D．125．A、B两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局A队获胜的概率是12外，其余每局比赛B队获胜的概率都是13．假设各局比赛结果相互独立．则A队以3:2获得比赛胜利的概率为()A．427B．2

81C．1681D．8276．已知2()fxxlnx=，且xxxxf+=ln2)(，则曲线()yfx=在点处的切线方程为()A．10xy+−=B．10xy−−=C．10xy−+=D．10xy++=27．在31()2n

xx−的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是()A．552B．552−C．28−D．288．设1:13apxa−+，2:20qxx−−，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是()A．(−，1]B．

[2−，1]C．D．[5−，0]9．一个盒子内装有3个红球，4个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是()A．16B．15C．14D．1310．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名

女生相邻，则不同的站法共有()A．72种B．108种C．36种D．144种11．在棱长为1的正方体ABCDABCD−中，已知点P是正方形AADD内部（不含边界）的一个动点，若直线AP与平面AABB所成角的正弦值和异面直线AP与DC所成角的余弦值相等，则线段

DP长度的最小值是()A．62B．223C．63D．4312．已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的右顶点为A，抛物线2:16(0)Cyaxa=的焦点为F，若在双曲线E的渐近线上存在点P，使得APFP⊥，则双曲线E的离心率的取值范围是()A．5(1,]4B．(

1,2)C．5[,)4+D．(2,)+二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知45015(2)(1)(1)(1)xxaaxax+−=+++++，则135aaa++=．14．从1，3，5中任取2个数字，从2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数

字的四位数，其中能被5整除的四位数有个15．在三棱锥SABC−中，ABC是边长为3的等边三角形，1SA=，2SB=，二面角SABC−−的大小为120，则此三棱锥的外接球的半径为．16．分形几何学是一门以不规则几何形

态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的3长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得14ACD

BAB==，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为nS，给出有关数列{}nS的四个命题：①数列{}

nS是等比数列；②数列{}nS是递增数列；③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有2018nS；④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有2018nS．其中真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）．三、解答题（本题共6小题，共70分，解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四

冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图所示的频率分布直方图.男女合计冰雪迷20非冰雪迷20合计4（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全22列联表；并判断能否有90%的把握认为该

校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在（1）的条件下，从全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，求的分布列与方差．附表及公式：20()PKk…0.150.100.050.0250.0100.00

50.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++18.（12分）在①22cosabcB−=，②2223()4Sabc=+−，③23sin()12sin2C

AB+=+三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设ABC的面积为S，已知______．（1）求角C的值；（2）若12b=，点D在边AB上，CD为ACB的平分线，3=BCDACDSS，求CD的值．注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）已知数列{}na满足1220nnaa+−+=，且18a=．（1）证明：数列{2}na−为等比数列；（2）设nnbna=，求数列{}nb的前n项和为nT20．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市

“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：．组别[30，40)[40，50)[50，

60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)5频数212202524134（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(,198)ZN，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求(38.280

.2)PZ；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位

：元）2050概率3414现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：19814，若2~(,)XN，则()0.6826PX

−+=；(22)0.9544PX−+=，(33)0.9974PX−+=．21.（12分）如图1，平面四边形ABCE，点D在边CE上，CDDE=，且ABCD是边长为2的正方形．沿着直线AD将ADE折起

，使平面ADE⊥平面ABCD（如图2)，已知F，H分别是棱EA，EC的中点，G是棱BC上一点．（1）求证：平面DFG⊥平面ABE；（2）若直线GH与平面ABCD所成的角的正切值为22时，求锐二面角FDG

H−−的余弦值．622.（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为)0,3(2F，左、右顶点分别为12(,0),(,0)AaAa−，椭圆C上异于顶点的动点P满足直线1PA与2PA的斜率之积为14−．（1）求椭圆C的方程．（2）

过点(4,0)M的直线l与椭圆C交于1(Ax，1)y，2(Bx，2)y两点，其中120yy，点(QQ与M不重合）在x轴上，直线QA，QB分别与y轴交于S，T，是否存在定点Q，使得||||QSQT=恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7数学答案一、选择题1——5ACCDA6

——10BBBBD11——12CA二、填空题13.114.3615.7216.②④11．【解答】以D为坐标原点，DA，DC，DD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可设(Px，0，)z，由(1A，0，

0)，(0C，1，1)，(0D，0，0)，(1APx=−，0，)z，(0DC=，1，1)，(1DA=−，0，0)，设直线AP与平面AABB所成角为和异面直线AP与DC所成角为，可得coscosAP=，222(1)zDCzx=+−，sin|cosAP=，221|(1)

xDAzx−=+−，01x，由sincos=，可得2(1)zx=−，则2222222||2(1)3()33DPxzxxx=+=+−=−+，当23x=时，线段DP长度的最小值为63．故选：C．12．【解答】双曲线2222:1(

0,0)xyEabab−=的右顶点为(,0)Aa，抛物线2:16Cyax=的焦点为(4,0)Fa，双曲线的渐近线方程为byxa=，可设(,)bPmma，即有(,)bAPmama=−，(4,)bFPmama=−，8由

PAFP⊥，得APFP⊥，可得0APFP=，即为222()(4)0bmamama−−+=，化为2222(1)540bmamaa+−+=，由题意可得△2222254(1)40baaa=−+…，即有222291616()abca=−…，即221625ca„，则54cea=„．由1e，可得514e„

．故选：A．16.【解答】解：由题意，得图1中的线段为a，1Sa=，图2中的正六边形边长为2a，211422aSSSa=+=+；图3中的最小正六边形的边长为4a，32244aSSSa=+=+图4中的

最小正六边形的边长为8a，433482aaSSS=+=+由此类推，132nnnaSS−−−=，{}nS为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确，因为121321()()()nnnSSSSSSSS−=+−+−++−3222

naaaaa−=+++++112(1)2112naa−−=+−114(1)52naaa−=+−，即存在最大的正数20185a=使得对任意的正整数n，都有2018nS即④正确，③错误，故填②④17.【解答】（1）将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定9义为“

非冰雪迷”，根据频率分布直方图补全22列联表：男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100222()100(40202020)2.7782.706()()()()60406040nadbcK

abcdacbd−−==++++，有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：406460=人，抽中女教工：2062

60=人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，则的可能取值为0，1，2，24266(0)15CPC===，1142268(1)15CCPC===，22261(2)15CPC===，的分布列为：012P615815115数学期望6

812()0121515153E=++=．方差4516151)322(158)321(156)320()(222=−+−+−=D18.【解答】（1）选①22cosabcB−=，则由余弦定

理可得：222222acbabcac+−−=，整理可得222abcab+−=，可得2221cos22abcCab+−==，因为(0,)C，所以3C=．选②2223()4Sabc=+−，10可得22213()sin24abcabC+−=，即2223(

)sin3cos2abcCCab+−==，所以tan3C=，因为(0,)C，可得3C=．选③23sin()12sin2CAB+=+，可得：3sin2cosCC=+，可得2sin()26C+=，可得：sin()16C+=，因为(0,)C，(66C+，7)6

，所以62C+=，可得3C=．（2）因为3ACDBCDSS=，所以4ABCBCDSS=即11sin604sin3022CACBCDCB=所以33CD=19.【解答】（1）证明：因为数列{}na满足1220nnaa+−+=，所以12

2nnaa+=−，整理得122(2)nnaa+−=−，即1222nnaa+−=−（常数）．所以数列{2}na−是以6为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知1262nna−−=，即322nna=+．所以322nnbnn=+123(1)22nnTnn+=−++20.【解答】（1）350.0

2450.12550.20650.25750.24850.13950.0466.2=++++++=．故~(66.2,198)ZN，易知19814=．1(66.21466.214)10.6826(80.2)110.841

322PZPZ−−+−=−=−=„„．11又1(66.221466.2214)10.9544(38.2)0.022822PZPZ−−+−===„„．故(38.280.2)(80.2)(38.2)0.8185PZPZPZ=−=剟?．（2）由题意一位市民得分高于或低于的概率各为12．该市民

参与活动获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100．133(20)248PX===；1339(40)24432PX===；111(50)248PX===；1313(70)224416PX===；1

111(100)24432PX===．故X的分布列为：X20405070100P3893218316132所以391312040507010041.2583281632EX=++++=．故该市民参与活动获赠话费的数学期望为41.25元．21.【解答】（1）证明：因为平面

ADE⊥平面ABCD，ABAD⊥，平面ADE平面ABCDAD=，所以AB⊥平面ADE，又因为DF平面ADE，所以ABDF⊥，因为ADDE=，所以DFAE⊥，因为AEABA=，所以DF⊥平面ABE，又因为DF平面DFG，所以

平面DFG⊥平面ABE．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，设(Gt，2，0)，[0t，2]，(0D，0，0)，(1F，0，1)，(0H，1，1)，(DGt=，2，0)，(0DH=，1，1)，(1DF=，

0，1)，(HGt=，1，1)−平面ABCD的法向量为(0k=，0，1)，设直线GH与平面ABCD所成的角，2tan2=，所以2tan3sin31tan==+，22||113sin3||||212HGkHGktt====++，解得1t=，设平面DGH和平面DFG的法向量分

别为(mx=，y，)z，(nu=，v，)w，12200DGmtxyDHmyz=+==+=，令yt=−，(2m=，t−，)(2t=，1−，1)，200DGntuvDFnuw=+==+=，令vt=，(2

n=−，t，2)(2=−，1，2)，所以锐二面角FDGH−−的余弦值为||36||||663mnmn==．22.【解答】（1）设0(Px，0)y，则2222220000222()1,xybaxyaba−+==①由1214PAP

Akk=−，得000014yyxaxa=−+−，即222001()4yxa=−−②结合①②得2214ba=．又由右焦点2(3,0)F，得223ab−=，所以2a=，1b=，所以椭圆C的方程为2214xy+

=．（2）设存在定点(,0)Qt，使得||||QSQT=恒成立．显然直线l的斜率不为0，故设直线:4lxmy=+，消去x得22(4)8120mymy+++=，△226448(4)0mm=−+，即212122281212,,44mmyyyymm+=−=++由题意可知QAk，QBk

存在且不为0，则1212211212121212()()2(4)()()()()()QAQByyyxtyxtmyytyykkxtxtxtxtxtxt−+−+−++=+==−−−−−−．13要使||||QSQT=恒成立，只需0QAQBk

k+=，即1212222248(4)8(1)2(4)()0444mmtmtmyytyymmm−−+−+=−==+++，故1t=．所以在x轴上存在定点(1,0)Q，使得||||QSQT=恒成立．