【文档说明】高中数学苏教版必修4教学教案：3.1.1 两角和与差的余弦 （1） 含答案【高考】.doc，共(9)页，580.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-《两角和与差的余弦》教学设计学段高中学科数学学校执教课题两角和与差的余弦教学目标经历在单位圆中使用距离法推导两角差的余弦公式的过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用公式解决相关数学问题.理解化归思想在三角变换中的作

用，培养逆向思维和发散思维能力；通过观察、对比、体会数学的对称美和谐美，学会培养从已有知识出发主动探索未知世界的意识以及对待新知识的良好情感态度.教材分析（含重难点）重点：两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用.难点：两角

差的余弦公式的推导，公式的灵活运用.教学方法、手段问题诱思法，探究法，讲练结合法教学过程教学流程学生活动教师活动设计意图新课教学回答、倾听、思考．分3个小组计算各式的值，一位同学给出出猜想结果，简单分析．同学们：前面我们学习了诱导公式，我们来复习一下：()()cos2π-_______cosπ__

_____πcos______2=−=−=如果变为更一般的形式()cos−又等于什么呢？猜不到不要紧我们来看看我们曾经做过的几个问题？问题：请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．()()()1cos45

cos45sin45sin45___2cos60cos30sin60sin30___3cos120cos30sin120sin30__+=+=+=猜想：复习引入，让学生进行大胆猜想，激发学生的参与热情．由一般到特殊，激发学生兴趣，

带动学生思维,形成良好的探究氛围．-2-学生回答单位圆学生通过小组活动得到成果并展示学生利用三角函数的定义得到()1cos,sinP，()2cos,sin,P()()()3cos,sinP

−−，()01,0P．学生发现点12,PP与角−与12POP紧密相连，于是想到连接12PP，由两点间的距离公式得()()2212coscossinsinPP=−+−22coscos2sinsin=−−学生发现连接03PP，可以得到()()()()

2203cos1sin0PP=−−+−−()22cos=−−学生通过全等发现1203PPPP=进而得到()cos−=coscossinsin+的证明．同学们已经有了处理任意角三角函数问题的方法，诱导公

式的证明，我们都利用了什么图形解决的？利用周期性可以将任意角转化到0°到180°上解决．PPT展示如下问题，布置学生进行小组活动问题1如何在单位圆中做出角,,−的终边呢？问题2角,,−的终边与单位圆交点123,,PPP的

坐标是什么？问题3如何将角,,−的终边与单位圆的交点12,PP的坐标与()cos−联系起来，怎样建立这种等量关系呢？以学生为主体，重在问题的发现，重在过程的探究，突出数形结合思想在问题解决中的作用，体现建构主义学习理论指导下的新授课教学．

-3-学生聆听，体会证明过程，感受数形结合思想，方程思想在公式证明中的作用．学生黑板上板演过程学生尝试用“−”替换公式中的“”或者是将和角进行转化()+=−−，体会转化思想的运用．学生从等式两侧进行名称、角、符号等方面给出结论．教师总结：将

要解决的问题进行转化，先将具有相等关系的两个量1203,PPPP用,的三角函数以及()cos−表示，然后再沟通()cos−与,的三角函数，使问题的到解决，是方程思想的一个体现，上面的等式就验证了大家猜想的成立，就是两角差的余弦公式．能否用两角差的余弦公式证明()cos2π−？

教师指明两者之间的关系，引入部分的三个诱导公式是两角差余弦公式的特例，而差角公式是推广。问题4如何利用两角差的余弦公式来推导()cos+呢？问题5两角和与差的余弦公式有什么结构特点呢？教师总结：角是αβαβ，名是CCSS一句顺口溜：“

哭哭笑笑符号跳”．让学生在欢乐中加深对公式结构特征的理解．例1体现的是公式的直接使用也就是“正用”．-4-学生展示cos15的cos75,sin15的求解．学生倾听，记录，完成化简求值⑵，⑶学生完成课堂反馈学生根据本节课的学习情况，给出自己的想法例1利用两角和与差的余弦公式，求co

s15,cos75,sin15的值；例2利用两角和与差的公式化简；()()()1cos58cos37sin58sin372cos80cos20sin100sin203cos80cos55cos10cos35+

+−教师引导从角、形式、符号三方面发现是两角差的余弦，写出结果．布置学生完成⑵，⑶．课堂反馈()()()1cos105_______ππ2coscos_____________333sin33cos63sin57sin117__________=++−=

−=课堂小结本节课我们学习哪些知识和方法？教师提炼总结：本章的课题是三角恒等变换，怎么理解“变”的含义，“变”指的是公式的形式，“不变”例2体现的是公式的“逆用”也是本节的另一个难点．根据课堂时间，灵

活处理．归纳直观自然，上升到哲学高度，让学生体会数学变换思想．-5-课后作业1.完成教材P106习题3.1（1）1,2.2.如图,在ABC中，90B=，ABDE⊥于E，ACDC⊥，设1BC=⑴若30,45BACDAC==，试求ADE的各边长，由此推出cos75的值；⑵设,(,

,BACDAC==+均为锐角)，试根据此图推出()cos+的公式；⑶你能推出()sin+的公式么？的是处理问题的思想．作业分两个层次一个是课后练习题，另一个是教材后面【探究·拓展】部分的题目（稍有改

动）．作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考．-6-板书设计《两角和与差的余弦》设计说明1.教材分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继

续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．本章内容也包含了三角函数部分唯一的C级考点——两角和与差的三角函数．本节课是在学生已学习了同角三角函数式的基础上，进一步学习包含两个角的三角函数式的变换方法

，体验变换思想的第一课时．本节课所推导的两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头．从知识产生的角度来看，在学习了三角函数定义、三角函数线、同角三角函数关系式这些知识后，再学习由这些知识推导出的新知也更符合知识产生的规律，符合人

们认知的规律．从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点．基于上述分析，确定本节课的教学重点是引导学生通过交流，探索两角差的余弦公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础．2.学情分析学生是丹阳六中高一平行班学生，丹阳六中是丹阳地区的一所新四星高中，学生属于二

流生源．有一定的逻辑思维能力，对用一般到特殊、数形结合、化归与转化、方程思想已经有了一定基础，但远远未达到综合运用这些方法自主探究和证明两角差余弦公式的水平．为了能够突出本节课的主题，在证明中出现的平面上两点间的距离公式，已经提前与该班数学教

师打好招呼，已经讲授完毕，特课题()cos...=二、两角和与差的余弦公式四、例题1一、公式的证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、公式特点例题2学生板演-7-此说明．根据本节知识的抽象性以及学生的年龄特征，本节课采用把特殊问题作为教

学的出发点，采用活动指导单的形式，引导学生进行分析、探索、化归、类比，通过学生的尝试活动及教学交流得出结论的教学方式．3.重点难点重点：两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用.难点：两角差的余弦公式的推导，

公式的灵活运用.本节课的难点主要有两个一是公式的推导，另一个是公式的逆用.先通过特殊到一般猜出公式的形式，然后再推广到一般情况．对于推导，先说明任意角都可以使用诱导公式化到0~180°之间，然后通过展示问题解决中的3个核心问题，问题1如

何在做出角,,−的终边呢？问题2角,,−的终边与单位圆交点123,,PPP的坐标是什么？问题3如何将角,,−的终边与单位圆的交点12,PP的坐标与()cos−联系起来，怎样建

立这种等量关系呢？布置学生进行小组合作探究，逐步展开，降低公式推导理解难度，进而解决问题，请同学展示自己的研究成果.公式教学中公式的逆用、变形使用一般来说都是难点，本节课学我是通过实时总结公式特点，抓住变换的本质，处理特定的

角如例1中15，75和例2中化简求值来强化对公式使用的理解．重点不仅是公式本身，更重要的是公式的形式特点和结构特征，有了深刻认识后再看公式，无论是正看、逆看都能体会数学的线形美和对称美．4.教学过程复习引入：问题1回忆诱导公式完成如下问题：(

)()()()()1cos2π_______2cosπ_______π3cos_______2−=−=−=问题2请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．-8-()()()1cos45cos

45sin45sin45_________2cos60cos30sin60sin30___________3cos30cos120sin30sin120_________+=+=+=猜想：【设计意图】问题1是通过复习诱导公式，让学生产生认知冲

突，我们可以用的正弦或余弦来表示特殊角与的差的余弦，那么当特殊角一般化为时，是否也会有类似的关系呢？问题2明确猜想是我们解决很多数学问题的起始手段，强化学生的情感教育，调动学生的参与和探索热情．引导学生从特殊到一般，从联系的角

度与变换的角度自然地设置接近研究水平的问题，增强问题意识．其余过程略．．．．．．课堂小结通过本节课的学习你收获了哪些知识和方法？利用结构图来展示整节课的研究历程，在每一步明显的问题转换处都蕴含着丰富的思

想方法，具体的说有一个公式，公式的两种用法，在推导过程当中有包含着特殊到一般的思想，数形结合的思想，方程的思想，化归与转化共四种思想，再次强化公式特点“扣扣赛赛”。本章的课题是三角恒等变换，通过本节的学习，我

们也了解到这里的“变”的是公式的形式，“不变”的是公式的本质，注意公式中角的“任”性，在后面的学习中，我们还会深刻的体会到这一点．【设计意图】用一个结构图的形式来进行总结，更能体现出探究公式的脉络，让课堂小结更有附着点，而不是单纯的提知识和方法等等，这样就能

让学生更加深刻体会在整个公式证明过程中知识和思想方法的有机统一．教后反思本节课是很多比赛课，展示课的首选，可以进行设计的地方很多，比如课的引入，公式的证明，学生的活动等等．我采用是复习引入方式，然后再通过特殊问题的处理

来猜一般性结论，这种先猜后证的思想在数学当中还比较常见，有效降低了学生获取公式的难度。-9-自认为优点：引入部分从特殊到一般，符合学生的认知特点，数学教学的目的不仅是向学生传授数学知识，更重要的是丰富和发

展学生思维．自然地投入对问题的探究．每个问题都环环相扣，回忆前面的知识与方法，学生不断地收获问题解决的成功与喜悦，同时又会产生一些新的思考．不忘在课堂中插入一些诙谐的因素，比如：公式特点的总结采用流行词汇“任性”、顺口溜等形式，让学生在快乐中加深记忆；课堂小结部分使用结构图，让课堂总结更有附着点；

为了突出本节课的德育教育功能，阐释了三角恒等变换中“变”字的哲学内涵．不恰当之处：对学生的学情了解的还不够，提出的问题不是很恰当；学生对证明方法的探索过程仍有太强、太直接的暗示；没有让更多的学生参与到讨论与探究当中，公式灵活运用主要体现在例题和课堂反馈部分，在突出变换思想上做的还不够．