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4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解A级必备知识基础练1.函数f(x)=ln2x-1的零点位于区间()A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)2.(2022江西赣州高一期末)若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k,k+1)(k∈

Z),则k=()A.1B.2C.3D.43.已知函数f(x)={𝑥2-2𝑥,𝑥≤0,1+1𝑥,𝑥>0,则函数y=f(x)+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.34.函数f(x)=x3-(12)𝑥的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个5.(多选题)若函数f(x)的图象在

R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(1,2

)上一定有零点6.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则实数k的取值范围是.7.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.B级关键能力提升练8.已知函数f(x)=log2(x+

1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为()A.(-4,0)B.(-∞,-4)∪(0,+∞)C.(-∞,-4]∪[0,+∞)D.[-4,0)9.(2021北京丰台高一期末)已知函数f(x)={𝑥2-2𝑥,𝑥≤0,1𝑥-1,𝑥>0,则f(x)的

零点个数为()A.0B.1C.2D.310.已知实数x0是函数f(x)=√𝑥−6𝑥的一个零点,若0<x1<x0<x2,则()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>01

1.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:x123456y123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88则下列说法正确的是()A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点B.函数y=f(x)在区间

[1,6]上至少有3个零点C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点12.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是()A.a

<α<b<βB.a<α<β<bC.α<a<b<βD.α<a<β<b13.已知函数f(x)={2𝑥-1,𝑥<1,(𝑥-𝑎)(𝑥-2𝑎),𝑥≥1,若f(x)恰有两个零点,则正数a的取值范围是()A.0,12B.12,2C

.12,1D.(1,2)14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是.15.已知函数f(x)={1𝑥,𝑥≥1,𝑥3,𝑥<1,若f(x0)=-1,则x0=,若关于x的方程f(x)=k有两个不

同的实根,则实数k的取值范围为.16.(2021河南洛阳高一期末)已知函数f(x)={𝑥2-3𝑥+2,𝑥>0,e𝑥+1,𝑥≤0.(1)若f(a)=1,求实数a的值;(2)若关于x的方程f(x)-m=0恰有三个解,求实数m的取值范围.C级学科素养创新练17

.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.4.5.1函数的零点与方程的解1.Df(x)=ln2x-1在定义域上是增函数,并且是连续函数,且f(1)=ln2-1<0,

f(2)=ln4-1>0,根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.2.A因为函数f(x)=2x+x-4在R上单调递增,且f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,所以函数的零点在区间(1,2)内.又因为函数的零点在区间(k

,k+1)(k∈Z)内,所以k=1,故选A.3.C根据题意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;令1+1𝑥+3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.4.B作出y=x3与y=(12)𝑥的图象,如图所示,两个函数的图

象只有一个公共点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.5.AC因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)f(1)<0,因为函数f(x)的图象在R上连续不断,由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点.又f(1)

f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.6.{𝑘|0<𝑘<15}因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,所以设f(x)=x2-(k+2)x+1-3k,画出函数f(x)的大致图象,

如图所示.结合图象知f(0)=1-3k>0,且f(1)=-4k<0,且f(2)=1-5k>0,所以0<k<15.故实数k的取值范围为{𝑘|0<𝑘<15}.7.解令x2-mx+a-m=0,因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,故不论m取何值,方程x2

-mx+a-m=0恒有解,即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,即a≤𝑚24+m对任意的实数m恒成立.∵𝑚24+m=14(m+2)2-1≥-1,∴a≤-1.∴实数a的取值范围是(-∞,-1].8.D由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,又由函数f(x)在区间(

0,1]上存在零点,则满足{𝑓(0)<0,𝑓(1)≥0,即{log2(0+1)+3×0+𝑚<0,log2(1+1)+3×1+𝑚≥0,解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.9.C∵f(x)={𝑥2-2𝑥,𝑥≤0,

1𝑥-1,𝑥>0,令f(x)=0,当x≤0时,x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去);当x>0时,1𝑥-1=0,解得x=1.所以f(x)=0有2个实数解,即函数f(x)的零点个数为2.故选C.10.B因为y=√𝑥与y=-6𝑥在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=√𝑥−6𝑥在(

0,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,所以当0<x1<x0<x2时,有f(x1)<f(x0)<f(x2),即f(x1)<0,f(x2)>0.故选B.11.B由题中表格可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在

区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.虽然f(1)f(2)>0,但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点.同理,在[5,6

]上也如此.12.C∵α,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.13.C函数f(x)={2𝑥-1,𝑥<1,

(𝑥-𝑎)(𝑥-2𝑎),𝑥≥1,若f(x)恰有两个零点,可得2x-1=0,解得x=0<1;(x-a)(x-2a)=0,可得x=a或x=2a,由a≥1,2a<1,可得a∈⌀;由2a≥1,a<1,可得12≤a<1,综

上可得a的取值范围是12,1.故选C.14.a<b<c画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示.观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c.15.-1(0

,1)由方程f(x0)=-1得{𝑥0≥1,1𝑥0=-1,或{𝑥0<1,𝑥03=-1,解得x0=-1.关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根等价于y=f(x)的图象与y=k的图象有两个不同的交点,观察图象可知,当0<k<1时,符合题意.16.解(1)当a>0,f(a)=1,即a2-3a

+2=1,解得a=3±√52,均满足条件.当a≤0时,∵ea>0,ea+1>1,∴f(a)=1无解.故a=3±√52.(2)在同一坐标系内分别作出y1=f(x)和y2=m的图象如图所示.当x≤0时,f(x)单调递增,1<f(x)≤2;当x>0时,f(x)在0,32上

单调递减,在32,+∞上单调递增,f32=-14.故当1<m<2时,方程f(x)-m=0恰有三个解,即实数m的取值范围是(1,2).17.解(1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,∴-1和-3是方程x2-

(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.则{-1-3=𝑘-2,-1×(-3)=𝑘2+3𝑘+5,解得k=-2.(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,∴{𝛼+𝛽=𝑘-2,𝛼𝛽=𝑘2+3𝑘+5,𝛥=(𝑘-2)2-4(𝑘2+3

𝑘+5)>0,则{𝛼2+𝛽2=(𝛼+𝛽)2-2𝛼𝛽=-𝑘2-10𝑘-6=-(𝑘+5)2+19,-4<𝑘<-43,