【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第4章 第1讲　导数的概念及运算 含解析【高考】.doc，共(24)页，1.056 MB，由小赞的店铺上传

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1第1讲导数的概念及运算1．导数的概念(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，把比值ΔyΔx＝01f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率Δy

Δx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝

limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(3)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，即y′＝f′(x)＝02limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.2．导

数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点03P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0＝f′(x0)，切线方程为042y－f(x0)＝f′(x0)(x－

x0).3．基本初等函数的导数公式(1)c′＝050(c为常数)．(2)(xα)′＝06αxα－1(α∈Q，且α≠0)．(3)(sinx)′＝07cosx.(4)(cosx)′＝08－sinx.(5)(ax)′＝09axln_a(a

＞0，且a≠1)．(6)(ex)′＝10ex.(7)(logax)′＝111xlna(a＞0，且a≠1)．(8)(lnx)′＝121x.4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝13f′(x)±g′(x).(2)[f(x)g(x)]′＝

14f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).特别地：[cf(x)]′＝15cf′(x)(c为常数)．(3)f(x)g(x)′＝16f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0).5．

复合函数的导数一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝17yu′·ux′，即y对x的导数等于18y对u的导数与19u对x的导数的乘积．1．(1)1x′＝－

1x2.(2)1f(x)′＝－f′(x)[f(x)]2(f(x)≠0)．2．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数3的导数还是周期函数．3．函数y＝f(x)的导数f

′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其绝对值的大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．4．两类切线问题的区别(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y

0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．1．下列求导运算正确的是(

)A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(log2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3xlog3eD．(x＋1)′＝2x＋1答案B解析由a为常数知(sina)′＝0，A错误；(3x)′＝3xln3，C错误；(log2x)′＝1xln2，B正确；(x＋1)′＝[(x＋1

)12]′＝12(x＋1)-12＝12x＋1，D错误．故选B.2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为()A．9.1米/秒B．6.75米/秒C．3.1米/秒

D．2.75米/秒答案C解析因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒．43．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，

则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝________.答案－2解析由导数的概念和几何意义知，limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)＝kAB＝0－42－0＝－2.4．(2021·武汉检测)设f(

x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________.答案－23解析因为f′(x)＝－23－2x－2sin2x，所以f′(0)＝－23.5．(2021·全国甲卷)曲线y＝2x－1x＋2在点(－1，－3)处的切线

方程为________.答案5x－y＋2＝0解析因为y′＝2(x＋2)－(2x－1)(x＋2)2＝5(x＋2)2，所以曲线y＝2x－1x＋2在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.6．曲线y＝sinx＋ex在x＝0处的切线过点(m,0)，则

m＝________.答案－12解析因为y′＝(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，所以y′|x＝0＝cos0＋e0＝2，所以曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0，此直线过点－12，0.故m＝－12

.5考向一导数的概念及基本运算例1(1)(多选)(2021·济南检测)下列求导运算正确的是()A．1lnx′＝－1x(lnx)2B．(x2ex)′＝2x＋exC．(xcosx)′＝－sinxD.x－1x′＝1＋1x2答案AD解析

对于A，1lnx′＝－(lnx)′(lnx)2＝－1x(lnx)2，正确；对于B，(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于C，(xcosx)′＝cosx－xsinx，错误；对于D，

x－1x′＝1－1x′＝1＋1x2，正确．故选AD.(2)(2021·贵阳模拟)已知f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝x－3ex＋2f′(1)·x，则f′(1)＝________.答案－3e解析∵f(x)＝x－3ex＋2

f′(1)·x，∴f′(x)＝4－xex＋2f′(1)，∴f′(1)＝3e＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3e.(3)求下列函数的导数：①y＝tanx；②y＝xx2＋1x＋1x3；③y＝

1(2x－1)3；④y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.解①y′＝sinxcosx′＝(sinx)′cosx－sinx(cosx)′cos2x＝1cos2x.6②因为y＝x3＋1x2＋1，所以y′＝3x2－2x3.③y′

＝1(2x－1)3′＝[(2x－1)－3]′＝－3(2x－1)－4×2＝－6(2x－1)－4.④因为y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12x·sin(4x＋π)＝－12xsin4x，所

以y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再

求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．1.(2021·江西九江统考)f(x)＝x(2020＋lnx)，若f′(x0)＝202

1，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e答案B解析f′(x)＝2020＋lnx＋x×1x＝2021＋lnx，故由f′(x0)＝2021，得2021＋lnx0＝2021，则lnx0＝0，解得x0＝1.故选B.2．求下列函数的导数：(1)y＝

(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝x2x；7(4)y＝lnxx2＋1.解(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝

18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)因为y＝x2x＝2x32，所以y′＝(2x32)′＝322x12.(4)y′＝(lnx)′(x2＋1)－lnx(x2

＋1)′(x2＋1)2＝1x(x2＋1)－2xlnx(x2＋1)2＝x2＋1－2x2lnxx(x2＋1)2.多角度探究突破考向二导数的几何意义角度导数与函数图象例2(1)已知函数f(x)的图象如图所示，f′

(x)是f(x)的导函数，下列数值排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－

f(2)<f′(2)<f′(3)答案C解析因为f′(3)，f(3)－f(2)，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．8(2)(2022·济南检测)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))

处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2,0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0－(－2)－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝

1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值f′(x0)．(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1＝f

(x1)，y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)求解．(3)函数图象在每一点处的切线的斜率反映函数图象在相应点处的变化情况．3．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()9答案D解析由导函数图象可知两函数的图象在x0处

的切线斜率相等，故选D.4.(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f(x)x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A．2B．1C．

－1D．－3答案D解析由图象知，直线l经过点(1,2)．则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f(x)x，得h′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，所以h′(1)＝f′(1

)－f(1)＝－1－2＝－3.角度求切点的坐标例3(1)已知曲线y＝x22－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A．3B．210C．1D．12答案A解析设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，由y′＝x－3x，得切线斜率k＝x0－3x0＝2，∴x0＝3.故选A．(

2)(2021·贵阳模拟)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________.答案(0,0)解析∵f(x)＝x3＋(

a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，f′(x)＝3x2＋1,3x2

0＋1＝1，x0＝0，f(x0)＝0，∴切点P(x0，f(x0))的坐标为(0,0)．求切点坐标的方法已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐

标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．5.若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________.答案(e，e)解析设点P(x0，y0)，∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx．∴曲线y＝

xlnx在点P处的切线斜率k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e，y0＝elne＝e.∴点P的坐标为(e，e)．角度求切线的方程例4(1)(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－

2x－1B．y＝－2x＋111C．y＝2x－3D．y＝2x＋1答案B解析∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，∴所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.(2)已知g(x)＝x，曲线g(x)在

点(4,2)处的切线方程为________.答案x－4y＋4＝0解析因为g(x)＝x，所以g′(x)＝12x，所以g′(4)＝14，所以曲线g(x)在点(4,2)处的切线方程为y－2＝14(x－4)，即x－4y＋4＝0.(3)已知函数f(x)＝x3－3x，过点

A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．解曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上，设切点为M(x0，y0)，则y0＝x30－3x0，因为f′(x0)＝3(x20－1)，故切线方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)，将A(0,16)代入切线方

程化简得x30＝－8，解得x0＝－2.所以切点为M(－2，－2)，f′(－2)＝9，所以切线方程为9x－y＋16＝0.求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，

过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．(2)求过点P(x0，y0)的曲线的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；

第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．6.(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π

－1＝0B．2x－y－2π－1＝012C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0答案C解析设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(

x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C．7．(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.答案y＝2x解析设切线的切点坐标为(x0，y0)，因为y＝lnx＋x＋1，所以y′＝1x＋1，由y′|x＝x0＝1x0＋1＝2，得x0＝1

，y0＝2，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.角度求参数的值或取值范围例5(1)(2021·山东部分重点中学联考)设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为

()A．0，π2∪5π6，πB．2π3，πC．0，π2∪2π3，πD．π2，5π6答案C解析因为y′＝3x2－3≥－3，故切线的斜率k≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为

0，π2∪2π3，π.故选C．(2)(2021·宝鸡模拟)若直线y＝kx－2与曲线y＝1＋3lnx相切，则k＝()A．3B．13C．2D．12答案A解析令y＝f(x)＝1＋3lnx，∴f′(x)＝3x

，设切点为(m,1＋3lnm)，则切线的13斜率为k＝f′(m)＝3m，即曲线在点(m,1＋3lnm)处的切线方程为y－(1＋3lnm)＝3m(x－m)，即y＝3mx＋3lnm－2，∵直线y＝kx－2与曲线y＝1＋3lnx相切，∴3

lnm－2＝－2，∴m＝1，又3m＝k，∴k＝3.故选A．(3)(2021·山西运城一模)函数f(x)＝ax·|logax|－1(a>0，且a≠1)有两个零点，则a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．{e-1e}∪(1，＋∞)C

．{e－e}∪(1，＋∞)D．1e∪(1，＋∞)答案B解析由f(x)＝ax|logax|－1＝0，得|logax|＝1ax，即|log1ax|＝1ax，由题意，函数y＝|log1ax|与y＝1a

x的图象有两个交点．当a>1时，两函数的图象有两个交点；当0<a<1时，函数y＝|log1ax|与y＝1ax的图象有两个交点时，注意到y＝log1ax与y＝1ax互为反函数，图象关于y＝x对称，可知函数y＝1ax的图象与y＝x相切，设

切点的横坐标为x0，则1ax0＝x0，1ax0ln1a＝1，解得x0＝e，a＝e-1e，∴a的取值范围为{e-1e}∪(1，＋∞)．故选B.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切

线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．148.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1答案D解析∵y′＝aex＋ln

x＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.故选D.9．(2021·盘州市一模)已知函数f(x)＝2(

x－1)，x≤1，|x－2|－1，x>1，若函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>1)的图象有3个交点，则a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，e2)C．(e，＋∞)D．(1，e)答案C解析如图，当x>1

时，f(x)的图象与g(x)的图象必有1个交点，因为g′(x)＝1xlna，所以g′(1)＝1lna，即曲线y＝g(x)在(1,0)处的切线的斜率为1lna，当x≤1时，f(x)的图象与g(x)的图象必须要有2个交点，则要求2>1lna，解得

a>e.综上，a的取值范围为(e，＋∞)．故选C．角度两曲线的公切线问题例6(2021·郑州名校联考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′

(－1)＝0.15(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝

－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6

x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，f′(x)＝－6x2＋6x＋12.①由

f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝9是y＝f(x)与y＝g(x)的公切线．②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x

＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝12x＋9不是y＝f(x)与y＝g(x)的公切线．综上所述，存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线，此时k＝0.解决两曲线的

公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解．16(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝f

(x1)－g(x2)x1－x2.10.若直线l与曲线y＝ex及y＝－14x2都相切，则直线l的方程为________.答案y＝x＋1解析设直线l与曲线y＝ex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线y＝－14x2的切点为x1，－x214，因为y＝ex在点(x0，ex0)处的切线的斜率

为＝ex0，y＝－x24在点x1，－x214处的切线的斜率为y′|x＝x1＝－x2|x＝x1＝－x12，则直线l的方程可表示为y＝ex0x－x0ex0＋ex0或y＝－x12x＋x214，所以所以ex0＝

1－x0，解得x0＝0，所以直线l的方程为y＝x＋1.一、单项选择题1．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为()答案B解析由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)<0.2．(2021

·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)17的导函数，则f(2021)＋f(－2021)＋f′(2021)－f′(－2021)＝()A．0B．2020C．8D．2021答

案C解析∵f(x)＝asinx＋bx3＋4，∴f′(x)＝acosx＋3bx2，∴f(x)＋f(－x)＝8，f′(x)－f′(－x)＝0，∴f(2021)＋f(－2021)＋f′(2021)－f′(－2021)＝8.故选C．3．(2021·晋南

高中联考)函数f(x)＝ln2x－1x的图象在点12，f12处的切线方程为()A．y＝6x－5B．y＝8x－6C．y＝4x－4D．y＝10x－7答案A解析f12＝ln1－2＝－2，因为f′(x)＝1x＋1

x2，所以f′12＝6，所以切线方程为y－(－2)＝6x－12，即y＝6x－5.故选A．4．(2021·青岛模拟)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝

fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx答案C解析∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)

＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2022＝4×505＋2，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.故选

C．5．(2021·滨州二模)设曲线y＝e2ax(e＝2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x－y－1＝0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则a＝()A．－1B．－1418C．14D．1答案B解析y＝e2ax的导数为y′

＝2ae2ax，可得在点(0,1)处的切线的斜率为k＝2a，由于切线及直线2x－y－1＝0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，可得切线与直线2x－y－1＝0垂直，所以2k＝－1，即4a＝－1，解得a＝－14.6．(2021·仁寿县校级二模)下列

图中只有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝()A．－13B．13C．73D．－13或73答案A解析因为f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)，所以f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，Δ＝4a2－4(a2－1)

＝4>0，开口向上，故导函数图象开口向上，与x轴有2个交点，对称轴是直线x＝－a≠0，图③符合，由f′(0)＝a2－1＝0且－a>0得a＝－1，故f(－1)＝－13－1＋1＝－13.故选A．7．(2021·石家庄市一检)原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除

天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生的碎片形成，这些不稳定的元素在放出α，β，γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射

性同位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)＝N02-t24，其中N0为t＝0时钍234的含量．已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln192，则N(120)＝()A．12贝克B．12ln2贝克C．6贝克D．6ln2贝

克答案A解析因为N(t)＝N0·2-t24，所以N′(t)＝N0·2-t24·ln2·－124＝－N024·ln2·2-t24，因为当t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln2，即N′(24)＝－8ln2，所以－N024ln2×2－1＝－8ln

2，所以N0＝384，即N(t)＝384×2-t24，所以N(120)＝384×2-12024＝38432＝12.故选A．8．(2021·成都模拟)已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为()

A．105B．255C．2105D．2155答案B解析(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值可转化为函数y＝lnx－x＋2图象上的点与直线x＋2y－4－2ln2＝0上的点的距离的最小值，由y＝lnx－x＋2，可得y′＝1x

－1，与直线x＋2y－4－2ln2＝0平行的直线的斜率为－12，令1x－1＝－12，得x＝2，所以切点的坐标为(2，ln2)，切点到直线x＋2y－4－2ln2＝0的距离d＝|2＋2ln2－4－2ln2|1＋4＝255.故选B.二、多项选择题9．

若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋1xD．f(x)＝ex＋x20答案BC解析对于A，f(x)＝3cosx，其导数f′(x)＝－3si

nx，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋1x，其导数f′(x)＝1－1x2，其导函

数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．10．(2021·辽宁本溪满族自治县高级中学期末)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性

质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝cosxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x2答案AD解析由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.对于A，因为f′(x)＝－sinx，存在x1＝π2，x2＝－π2，使得f′(x1)f

′(x2)＝－1；对于B，因为f′(x)＝1x＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于C，因为f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于D，因为f′(x)＝2x，存

在x1＝1，x2＝－14，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1.故选AD.11．已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中有“巧值点”的是()A．f(x)

＝x2B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝tanx答案AC解析若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，21

故B不符合要求；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x，令lnx＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，则

f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化简得sinxcosx＝1，变形可得sin2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC．12．(2021·厦门质检)已知函数f(

x)＝x－lnx，若f(x)在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)处的切线平行，则()A．1x1＋1x2＝12B．x1x2<128C．x1＋x2<32D．x21＋x22>512答案AD解析由题意知f′(x)＝12x－

1x(x>0)，因为f(x)在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)处的切线平行，所以f′(x1)＝f′(x2)，即12x1－1x1＝12x2－1x2，化简得1x1＋1x2＝12，故A正确；由基本不等式及x1≠x2可得，12

＝1x1＋1x2>21x1x2，即x1x2>256，故B错误；x1＋x2>2x1x2>32，故C错误；x21＋x22>2x1x2>512，故D正确．故选AD.三、填空题13．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝exx＋a.若f′(1

)＝e4，则a＝________.答案1解析f′(x)＝ex(x＋a)－ex(x＋a)2＝ex(x＋a－1)(x＋a)2，则f′(1)＝ae(a＋1)2＝e4，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.14．(2021·湖南益阳模拟)

已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x＋1x，则x>0时，f(x)＝________，f(1)＋f′(1)＝________.22答案－ex＋1x－2e解析∵函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x＋1x，∴令x>0，则－x<0，∴f(－x)＝ex－1x＝－f(x

)，∴f(x)＝－ex＋1x，x>0.∴f′(x)＝－ex－1x2，x>0，∴f′(1)＝－e－1，f(1)＝－e＋1，∴f(1)＋f′(1)＝－e－1－e＋1＝－2e.15．(2021·聊城二模)请你举出

与函数f(x)＝e2x－1在(0,0)处具有相同切线的一个函数：________.答案y＝x2＋2x(或y＝sin2x或y＝2ex－2)解析函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x，可得在(0,0)处的切线的斜率为2，切线的方程为y＝2x，可取y＝x2＋2x，其导数为y′＝

2x＋2，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；y＝sin2x，其导数为y′＝2cos2x，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；y＝2ex－2，其导数为y′＝2ex，满足在(0,0)处的切线的斜率为2.16．已知曲线f(x)＝x

3＋ax＋14在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为________.答案－e-34解析f′(x)＝3x2＋a，∴f′(0)＝a，又f(0)＝14，∴f(x)在x＝0处的切线方程为y－14＝a(x－0)，即y＝ax＋14，故y＝ax＋14与g(x)＝－lnx相切，设切点坐标为(x

0，y0)，又g′(x)＝－1x，∴a＝－1x0，y0＝－lnx0，y0＝ax0＋14，解得x0＝e34，y0＝－34，a＝－e-34.23四、解答题17．(2020·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝e

x－lnx＋1.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．解因为f′(x)＝ex－1x，所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处

的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2，直线y＝(e－1)x＋2在x轴、y轴上的截距分别为－2e－1，2，因此所求三角形的面积为2e－1.18．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求切点P0的坐

标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1，l1的

斜率为4，∴直线l的斜率为－14.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.19．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋

b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)

．24(1)由题意得f(0)＝b＝0，f′(0)＝－a(a＋2)＝－3，解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)

>0，即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－12.所以a的取值范围为－∞，－12∪－12，＋∞.