【文档说明】第4.1讲 图形初步与相交线及平行线-【聚焦中考】备战2022年中考数学专题复习满分攻略讲义(全国通用)（解析版）.docx，共(24)页，353.521 KB，由管理员店铺上传

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2022年中考数学专题复习第4.1讲图形初步与相交线及平行线★★★知识梳理★★★知识点一、直线、射线、线段1．直线、射线与线段的区别：（1）线段有两个端点，射线有一个端点，直线无端点.（2）线段可以度量、比较大小，把线段向两个方向无限延伸，就得到直

线，将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，线段、直线、射线都有两种表示方法：可以用其上的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示.2．两个基本事实：（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即：两点确定一

条直线.（2）两点的所有连线中，线段最短，简单地说，两点之间，线段最短.3．两点间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.4．线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点，这时AM＝BM＝AB（或AB＝2AM＝2BM）.知识点二、角1．

角的定义：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点；（2）角也可以看做是一条射线绕它的顶点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.21温馨提醒：一条直线上有n个不同的点，则这条直线上存在条线段.2)1(−nn2．角的分类：（1）角按照大小可分为：锐

角、钝角、直角、平角、周角.（2）1周角＝360度＝2平角＝4直角，1度＝60分，1分＝60秒.3．角的平分线一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.4．互为余角互为补角（1）互为余角：若两个角的和是90°，则称这两个角互为余角，即若∠1＋∠2＝90°，则称∠

1与∠2互为余角；同角或等角的余角相等；（2）互为补角：若两个角的和是180°，则称这两个角互为补角，即若∠1＋∠2＝180，则称∠1与∠2互为补角.同角或等角的补角相等.知识点三、相交线1．对顶角及其性质：温馨提醒：角的表示方法：可以用三个大写字母表示，

如：∠AOB；也可用一个大写字母，如∠A表示，或用一个数字或希腊字母表示，如∠1，∠α等，注意善于选择合适、简洁的方法表示角.温馨提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：时针每分转动0.5度，分针每分转动6度.温馨提醒：有公共顶点的n

条射线，一共可形成个小于平角的角.2)1(−nn温馨提醒：（1）互补和互余是指两个角的数量关系，倒角的重要依据；（2）一个锐角的补角比它的余角大90度.（1）对顶角和邻补角的定义：两条直线相交所成的四个角中，有

公共顶点，且一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角是邻补角.如图：对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4，邻补角有∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3

，∠4和∠3.（2）对顶角性质：对顶角相等.（3）邻补角性质：邻补角互补.2．垂线及其性质：（1）互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是90°，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线.（2）性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与

直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，（简称：垂线段最短）.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.3．三线八角：如图，两条直线AB与CD被第三条直线EF所截，构成八个角中：（1）同位角有4对，分别是∠1与∠5，

∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7；（2）内错角有2对，分别是∠2与∠8，∠3与∠5；（3）同旁内角有2对，分别是∠3与∠8，∠2与∠5.知识点四、平行线1．平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫平行线；2．平行公理及推论：温馨提醒：注意三个距离的区别：（1）两点间的

距离是指：平面上两点连线段的长度；（2）点到直线的距离是指：直线外一点到这条直线的垂线段的长度；（3）两平行线间的距离是：从一条平行线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长度.（1）经过已知直线外一点有且只有一条直线已知直线平行；（2）如果两条

直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.3．平行线的性质和判定：两直线平行性质（判定）⇔{同位角相等内错角相等同旁内角互补知识点五、命题、公理、定理和证明1．命题：判断一件事情的语句叫命题，一个命题由题设和结论两部分构成，可分为真命题和假命题两

类.2．公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真伪的原始依据的真命题；3．定理：经过证明的真命题叫做定理.4．互逆命题与互逆定理：（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.（2）如果一个定理的逆命题经过证

明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理.5．证明：（1）根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题正确，这一推理过程称为证明；（2）一个命题完整证明的一般步骤为：①审题：找出命题的条件和结论；②根据题意画出图形；③写出已

知和求证；④分析证明的思路；⑤写出由已知推出求证的途径，每一步应有根据，要推理严密.温馨提醒：平行线的常用判定方法还有两条：（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；（2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.温馨提醒：（1）判断一个命题是真命题要能给出证明，判断一

个命题是假命题可以举出反例；（2）任何一个命题一定有它的逆命题：对于任意一个定理不一定有它的逆定理.★★★中考典例剖析★★★考点一：直线与线段例1（2021·大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两

相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有个交点【思路分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数规律．【解析】2条直线相交有1个交点3条直线相交最多有1＋2＝3＝×3×2个交点4条直

线相交最多有1＋2＋3＝6＝×4×3个交点5条直线相交最多有1＋2＋3＋4＝10＝×5×4个交点……20条直线相交最多有×20×19＝190故答案为：190．【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有．【跟踪训练】1

.（2021·泰州）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a＋1，BC＝a＋4，AB＝3a，这三点的位置关系是（）A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间C．点C在A、B两点之间D．无法确定【解析】①当点A在B、C两点之间，则满足BC＝AC＋AB，即a

＋4＝2a＋1＋3a，解得：a＝，符合题意，故A正确；②点B在A、C两点之间，则满足BC＝BC＋AB，即2a＋1＝a＋4＋3a，212121212)1(−nn43解得：a＝，不符合题意，故B错误；③点C在A、B两点之间，则满足AB＝AC＋BC，即3a＝2a＋1＋a＋4，解得：a

无解，不符合题意，故C错误；综上所述，故D错误；故选：A．考点二：余角和补角例2（2020·自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°【思路分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解．【解析】设这个角

为x°依题意得：x＝2（180﹣x）＋30，解得：x＝130即这个角的度数为130°故选：C．【点评】本题考查补角的概念，解决问题的关键是依据题意列出一元一次方程求解.【跟踪训练】2.（2021·百色）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（）A.25°30′B.64°

30′C.74°30′D.154°30′【解析】∵∠α＝25°30′∴它的余角为90°－25°30′＝64°30′故选：B．考点三：相交线与角的平分线例3（2021·贺州）如图，下列两个角是同旁内角的是（）A.∠1与∠2B.∠1与∠3C

.∠1与∠4D.∠2与∠4【思路分析】根据同旁内角的概念求解即可．【解析】由图可知，∠1与∠3是同旁内角，∠1与∠2是内错角，∠4与∠2是同位角.23−故选：B．【点评】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是

解决本题的关键．例4（2021·益阳）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝度．【思路分析】根据角平分线的定义得出∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，求出∠AOE＝∠COE＝∠BOC，根据∠AOE＋∠COE＋∠BOC＝18

0°求出∠BOC，再根据对顶角相等求出答案即可．【解析】∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC∵∠AOE＋∠COE＋∠BOC＝180°∴∠BOC＝60°∴∠AOD＝∠BOC＝60°故答案为：60．【点评】本题考查邻补

角、对顶角、角平分线等知识点，熟练掌握邻补角、对顶角、角平分线是解题的关键.考点四：平行线性质求角度或证明例5（2021·河南）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°【思路分析】先根据图得

出∠2的补角，再由a∥b得出结论即可．【解析】由图得∠2的补角和∠1是同位角∵∠1＝60°且a∥b∴∠1的同位角也是60°∠2＝180°﹣60°＝120°故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，平行线的性质与判定是中考必考内容，平行线的三条性质应牢记．【跟踪训练】3.（2021·金华）某同

学的作业如下框，其中※处填的依据是（）如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两

直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，同旁内角互补【解析】∵l1∥l2，∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等）故选：C．4.（2021·娄底）如图，AB∥CD，点E、F在AC边上，已知∠CED＝

70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解析】∵∠BFC＝130°∴∠BFA＝50°又∵AB∥CD∴∠A＋∠C＝180°∵∠B＋∠A＋∠BFA＋∠D＋∠C＋∠CED＝360°∴∠B＋∠D＝60°故选：C．例6（202

1·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（）A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°【思路分析】根据BC∥EF，可得∠FDB＝∠F＝45°，再根据三角形内角和即可

得出答案．【解析】由图可得∠B＝60°，∠F＝45°∵BC∥EF∴∠FDB＝∠F＝45°∴∠BMD＝180°－∠FDB－∠B＝180°－45°－60°＝75°故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线

的性质和三角形的内角和是解题的关键．【跟踪训练】5.（2021·长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为度．【解析】如图，∠C＝30°，∠E＝45°∵BC∥EF∴

∠1＝∠E＝45°∴∠ADE＝∠1+∠C＝45°+30°＝75°故答案为：75．6.（2021·台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（）A．40°B．43°C．45°D．47°【解析】如图，∵∠1＝47°，∠4＝45°∴∠3

＝∠1＋∠4＝92°∵矩形对边平行∴∠5＝∠3＝92°∵∠6＝45°∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°故选：B．考点五：命题例7（2021·绥化）下列命题是假命题的是（）A.任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一

半C.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【思路分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解．【解析】选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；选

项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，符合题意；选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题

考查三角形中位线定理、三角形三边之间的关系、平行四边形的判定等内容，熟练掌握各个基本定理和性质是解决本类题的关键．【跟踪训练】7.（2021·嘉兴）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）

A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解析】A：是无理数，不符合题意；B：是无理数，不符合题意；C：是有理数，符合题意；D：是无理数，不符合题意；故选：C．8.（2021·达州）以下命题是假命题的是（）A．的算术平方根是2B．

有两边相等的三角形是等腰三角形C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【解析】A：＝2的算术平方根是，原命题是假命题，符合题意；B：有两边相等的三角形是等腰三角形，是

真命题，不符合题意；C：一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5，原命题是真命题，不符合题意；D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，不符合题意；故选：A．12−12+2323−223)12(2−=−223)12(2+=+18)23(2=625)23(2−=

−442★★★真题达标演练★★★1.（2021·河北）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（）A．aB．bC．cD．d【解析】利用直尺画出图形如下，可以看出线段a与m在一条直线上故选：A．2.（2021·台州）小光准备从A地去往B地

，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线【解析】两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航

的实际可选路线都比两地距离要长故选：A．3.（2021·包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（）A．1B．3C．1或3D．2或3【解析】根据题意分两种情况：①如图1，∵A

B＝4，BC＝2∴AC＝AB﹣BC＝2∵D是线段AC的中点∴AD＝1；②如图2，∵AB＝4，BC＝2∴AC＝AB＋BC＝6∵D是线段AC的中点∴AD＝3∴线段AD的长为1或3故答案为：1或3．4.（2020·通辽）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（）A．图①B．图②

C．图③D．图④【解析】图①，∠α＋∠β＝180°－90°，互余；图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β；图④，∠α＋∠β＝180°，互补．故选：A．5.（2021·呼伦贝尔）74°19′30″＝°【解析】30×（）′＝0.5′19′＋

0.5′＝19.5′19.5×（）°＝0.325°74°＋0.325°＝74.325°故答案为：74.325．6.（2021·营口）若∠A＝34°，则∠A的补角是°【解析】∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°

﹣34°＝146°故答案为：146．7.（2021·百色）如图，与∠1是内错角的是（）A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5【解析】根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是∠4故选：C.8.（2021·桂林）如图，直线a，b相交

于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是（）A．70°B．90°C．110°D．130°【解析】∵直线a，b相交于点O，∠1＝110°∴∠2＝∠1＝110°故选：C．9.（2021·北京）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的601

601大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解析】∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝120°∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°又∵OC⊥OD∴∠COD＝90°∴∠BOD＝∠COD﹣∠

BOC＝90°﹣60°＝30°故选：A．10.（2021·杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ【解析】∵PQ⊥l，点T是直线l上

的一个动点，∴PT≥PQ故选：C．11.（2021·泰州）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位

置，则至少要旋转°.【解析】如图，过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN＝80°∴MN//CD∵∠EGB＝100°∴∠BGN＝∠EGB－∠EGN＝100°－80°＝20°∴至少要旋转20°12.（2020·金华）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由

是（）A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【解析】由题意a⊥AB，b⊥AB∴a∥b（在同

一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）故选：B．13.（2021·云南）如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（）A．60°B．55°C．50°D．45°【解析】如图，∵∠1＝55°，∠1和∠3是对顶

角∴∠3＝∠1＝55°∵a∥b∴∠2＝∠3＝55°故选：B．14.（2021·赤峰）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．30°【解析】∵AB∥CD∴∠C＝∠ABC＝30°又∵CD＝CE∴∠D＝∠CED∵∠C＋∠D

＋∠CED＝180°，即30°＋2∠D＝180°，解得：∠D＝75°故选：B．15.（2021·资阳）如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【解析】∵直线m∥n，∠1＝40°∴∠4＝∠1＝40°∵∠

3＝∠2＋∠4，∠2＝30°∴∠3＝30°＋40°＝70°故选：B．16.（2021·新疆）如图，直线DE过点A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【解析】∵DE∥BC∴∠DAB＝∠B＝60°∴∠2＝180°﹣∠DAB﹣∠1＝18

0°﹣60°﹣50°＝70°故选：C．17.（2021·大连）如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．90°【解析】∵AB∥CD，∠A＝40°∴∠D＝∠A＝40°∵CE⊥

AD∴∠CED＝90°又∵∠CED＋∠C＋∠D＝180°∴∠C＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣90°﹣40°＝50°故选：B．18.（2021·益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（）A．40°B．30°C．20°D．15

°【解析】∵AB∥CD∴∠DCA＋∠CAB＝180°，即∠DCE＋∠ECA＋∠EAC＋∠EAB＝180°∵△ACE为等边三角形∴∠ECA＝∠EAC＝60°∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°故选：C．19.（20

21·荆州）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（）如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．证明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定义）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等

量代换）④∴a⊥c（垂直的定义）A．①B．②C．③D．④【解析】证明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定义）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）∴a⊥c（垂直的定义）①～④步中数学依据错误的是②故选：B.20.（2021·武汉）如图

，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延长线分别交于点E，F.求证：∠DEF＝∠F．【解析】∵AB∥CD∴∠DCF＝∠B∵∠B＝∠D∴∠DCF＝∠D∴AD∥BC∴∠DEF＝∠F21.（2021·本溪）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80°B．95°C．100°D．110°【

解析】如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°∴∠4＝∠3＝35°∴∠2＝∠4＋∠5＝95°故选：B．22.（2021·宜昌）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，A

B∥DE，则∠AFD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】如图，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180

°﹣90°﹣45°＝45°∵AB∥DE∴∠1＝∠D＝45°∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°故选：A．23.（2021·盘锦）下列命题正确的是（）A.同位角相等B.相等的圆心角所对的弧相等C.对角线相等的四边形是矩形D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【解析

】A：在“两直线平行”的前提下有“同位角相等”结论，故A为假命题；B：同弧或等弧所对的圆心角相等，反过来并不成立，故B为假命题；C：在平行四边形中，如果对角线相等，那么这个平行四边形是矩形，但是在一般四边形中，这个结论并不成立，故C为假命题；D：直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D为假命题；故选：D．24.（2021·百色）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的

平行四边形是正方形．其中真命题有（）A.①③B.①④C.③④D.②③④【解析】①直径所在的直线是圆的对称轴，故①为假命题；②若两个相似四边形的相似比是1：3，面积比是1：9，故②为假命题；③在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相

平行，故③为真命题；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故④为真命题；故选：C．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com