【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第三章第三节　三角函数的图像与性质 含解析【高考】.doc，共(10)页，216.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-第三节三角函数的图像与性质授课提示：对应学生用书第56页[基础梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．余弦函数

y＝cosx，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：(0，1)，π2，0，()π，－1，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图像定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋

π2值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2kπ－π2，2kπ＋π2为增；2kπ＋π2，2kπ＋3π2为减[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增kπ－π2，kπ＋

π2为增对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴x＝kπ＋π2x＝kπ3.周期函数(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期

函数，非零常数T叫作这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．1．一个易混点正切函数y＝tanx的单调性只能说：在(kπ－π2，kπ＋π2)上k∈Z为增函数，不能说-2-为：在定义域

上为增函数．2．一个易错点求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．3．三角函数的对称与周期的关系(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间

的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．关于周期的两个结论函数y＝|sinx|，y＝|cosx|，y＝|tanx|的周期为π，函数y＝sin|x|，不是周期函数，y＝tan|x|不是周期函数．[四基自测]1．(基础点：正弦函

数的单调性)函数y＝12sinx，x∈[－π，π]的单调性是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上都是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．

在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数答案：B2．(基础点：正切函数的定义域)函数y＝tan2x的定义域是()A.xx≠kπ＋π4，k∈ZB.xx≠kπ2

＋π8，k∈ZC.xx≠kπ＋π8，k∈ZD.xx≠kπ2＋π4，k∈Z答案：D3．(易错点：三角函数的值域)f(x)＝cos2x－3cosx的最大值为________．答案：44．(基础点：三角函数大小比较)cos23°，sin68°，cos97°从小

到大的顺序是________．答案：cos97°＜cos23°＜sin68°授课提示：对应学生用书第57页考点一有关三角函数的定义域、值域、最值问题挖掘1有关三角函数的定义域/自主练透[例1](1)函数y＝lgsinx＋cosx－1

2的定义域为________．-3-[解析]要使函数有意义，则有sinx＞0，cosx－12≥0，即sinx＞0，cosx≥12，解得2kπ＜x＜π＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z

.所以函数的定义域为x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.[答案]x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z(2)函数f(x)＝1tan（x＋π6）的定义域为________．[解析]要使f(x)有意义，则有kπ－π2＜x＋π

6＜kπ或kπ＜x＋π6＜kπ＋π2(k∈Z)，∴kπ－23π＜x＜kπ－π6或kπ－π6＜kπ＋π3.[答案]{x|kπ－23π＜x＜kπ－π6或kπ－π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z}[破题技法]求三角函数的定义域实际上就是解简单的

三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图像来求解．挖掘2利用单调性求最值/互动探究[例2](1)函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为()A.－32，32B.－32，3C.－33

2，332D．－332，3[解析]当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即此时函数f(x)的值域是－32，3.[答案]B(2)已知

函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx.若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．[解析]f(x)＝sin2x＋3sinxcosx-4-＝12－12cos2x＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，由题意知－π3≤x≤m，所以－5π6≤2x－π6≤2

m－π6.要使得f(x)在区间－π3，m上的最大值为32.即sin2x－π6在区间－π3，m上的最大值为1.所以2m－π6≥π2，即m≥π3.即m的最小值为π3.挖掘3换元法求三角函数的最值(值域)/互动探究[例3](2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin

2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．[解析]f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cosx－322＋1，因为x∈0，π2，所以cosx∈[0，

1]，所以当cosx＝32时，函数取得最大值1.[答案]1[破题技法]1.形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)，(A＞0)(x∈R)其最值都是当sin(ωx＋φ)＝±1或cos(ωx＋φ)＝±1时取得的±A.

2．求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)

；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．对于(2)(3)类型，主要采用换元法．令t＝sinx或t＝cosx，进而将三角函数转化为关于t的函数．形如y＝asin2x＋bsinx＋c，可设t

＝sinx，将其转化为二次函数y＝at2＋bt＋c(t∈[－1，1])；形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c，可设t＝sinx±cosx，则t2＝1±2sinxcosx，即sinxcosx＝±12(t2－1)，将其转化为二次函数y＝±12a(t2－1)＋bt

＋c(t∈[－2，2])．换元时一定要注意新元的取值范围．考点二三角函数的单调性挖掘1求三角函数的单调区间/互动探究[例1]已知函数f(x)＝3cos2x－2sin2(x－α)，其中0＜α＜π2，且f(π2)＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．-5-[

解析](1)由已知得f(π2)＝－3－2sin2(π2－α)＝－3－2cos2α＝－3－1，整理得cos2α＝12.因为0＜α＜π2，所以cosα＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f(x)＝3cos2x－

2sin2(x－π4)＝3cos2x－1＋cos(2x－π2)＝3cos2x＋sin2x－1＝2sin(2x＋π3)－1.易知函数f(x)的最小正周期T＝π.令t＝2x＋π3，则函数f(x)可转化为y＝2sint－1.

显然函数y＝2sint－1与y＝sint的单调性相同，当函数y＝sint单调递减时，2kπ＋π2≤t≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)．所以

函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋π12，kπ＋7π12](k∈Z)．[破题技法]求三角函数单调区间的方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解图像法画出

三角函数的图像，结合图像求它的单调区间本例题中若求函数f(x)在[－π2，π2]上的单调递减区间呢？解析：由本题可得，函数f(x)＝2sin(2x＋π3)－1的单调递减区间为[kπ＋π12，kπ＋7π12](k∈Z)．当k＝－1时，函数f(x)的单调递减区间为[－11π12，－5π1

2]，与给定区间的交集为[－π2，－5π12]；当k＝0时，函数f(x)的单调递减区间为[π12，7π12]，与给定区间的交集为[π12，π2]．所以函数f(x)在[－π2，π2]上的单调递减区间为[

－π2，－5π12]和[π12，π2]．挖掘2利用单调性比较大小/自主练透[例2]已知函数f(x)＝2sin(x＋π3)，设a＝f(π7)，b＝f(π6)，c＝f(π3)，则a，b，c的大小关系是()A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a-

6-[解析]a＝f(π7)＝2sin1021π，b＝f(π6)＝2sinπ2，c＝f(π3)＝2sin2π3＝2sinπ3，因为y＝sinx在[0，π2]上单调递增，π3＜1021π＜π2，所以c＜a＜b.[答案]B[破题技法]利用三角函数的单调性比

较两个三角函数值的大小，关键是将这两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值．对于正弦函数来说，一般将两个角转化到－π2，π2或π2，3π2内；对于余弦函数来说，一般将两个角转

化到[－π，0]或[0，π]内．将本例题中函数改为f(x)＝2cos(x＋π6)，则a，b，c的大小如何？解析：a＝f(π7)＝2cos1342π，b＝f(π6)＝2cosπ3，c＝f(π3)＝2cosπ2＝0，∴a＞b＞c.挖掘3利用单调性求参数/互动探究[例3](1)(2018·高考

全国卷Ⅱ)若ƒ(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π[解析]ƒ(x)＝cosx－sinx＝－2sinx·22－cosx·22＝－2sinx－π4，当x∈－π4，34π，即x－π4∈－

π2，π2时，y＝sinx－π4单调递增，y＝－2sinx－π4单调递减．∵函数ƒ(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a]⊆－π4，34π，∴0＜a≤π4，∴a的最大值为π4.故选A.[答案]A-7-(2)已知ω＞0，函数f(x)＝

cosωx＋π4在π2，π上单调递增，则ω的取值范围是()A.12，54B．12，74C.34，94D．32，74[解析]函数y＝cosx的单调递增

区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则ωπ2＋π4≥－π＋2kπ，k∈Z，ωπ＋π4≤2kπ，k∈Z，解得4k－52≤ω≤2k－14，k∈Z，又由4k－52－2k－14≤0，k∈Z且2k－14＞0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈32，74.[答案]D(3

)若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝________．[解析]法一：由于函数f(x)＝sinωx(ω＞0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，π

3为函数f(x)的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f(x)max＝f(π3)＝sinπ3ω＝1.由已知并结合正弦函数图像可知，π3ω＝π2＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝32＋6k(k∈Z)，所以当k＝0时，ω＝32.[答案]32[破题技法]已知

三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列

不等式(组)求解周期法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离列不等式(组)求解考点三三角函数的奇偶性、对称性、周期性挖掘1三角函数的周期性、奇偶性/互动探究[例1](1)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π

2C．πD．2π-8-[解析]由已知得ƒ(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋（sinxcosx）2＝sinxcosxcos2x＋sin2xcos2x＝sinx·cosx＝12sin2x，所以ƒ(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.故选C.[答案]C(2)(

2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B．32C．1D．12[解析]由题意及函数y＝sinωx的图像与性质可知，12T＝3π4－π4，∴T＝π，∴

2πω＝π，∴ω＝2.故选A.[答案]A(3)(2020·银川模拟)函数f(x)＝3sin2x－π3＋φ，φ∈(0，π)，满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为()A.π6B．π3C.5π6D．2π3[解析]因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)

＝3sin2x－π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，所以φ＝kπ＋5π6，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.[答案]C[破题技法]1.(1)利用周期函数的图像和定义求周期，发现周期大小与x的系数有关．利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，

y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．(2)对称性求周期：①两条对称轴距离的最小值等于T2；②两个对称中心距离的最小值等于T2；③对称中心到对称轴距离的最小值等于T4.(3)特征点法求周期：①两个最大值点

横坐标之差的绝对值的最小值等于T；-9-②两个最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T；③最大值点与最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T2.由于最值点与函数图像的对称轴相对应，则特征点法求周期实质上就是由对称性求解周期．2．奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asi

nωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．故形如y＝Asin(ωx＋φ)成为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；成为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)．y＝Acos(ωx＋φ)成为奇函数，则φ＝kπ＋

π2(k∈Z)；成为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．挖掘2三角函数的对称性/互动探究[例2](1)已知函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像()A．关于点π3，0对称B．关于点5π3，0对称C．关于直线x＝π3对

称D．关于直线x＝5π3对称[解析]函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f(x)＝2sin12x＋π6.函数f(x)的对称轴为x2＋π6＝π2＋kπ，解得x＝23π＋2kπ(k∈Z)；函

数f(x)的对称中心的横坐标为x2＋π6＝kπ，解得x＝2kπ－π3.对称中心为2kπ－π3，0，当k＝1时为5π3，0.[答案]B(2)若函数y＝cos(ωx＋π6)(ω∈N＋)的图像的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为()A．1B．2C．4D．8[解析]依

题意得cos(πω6＋π6)＝0，则πω6＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，又ω∈N＋，所以ω的最小值为2，故选B.[答案]B(3)已知f(x)＝cosxsin2x，下列结论中正确的是()A．f(x)既是偶函数又是周期函数B．f(x)的

最大值小于1-10-C．f(x)的图像关于点(π2，0)对称D．f(x)的图像关于直线x＝π对称[解析]对于选项A，由f(x)＝cosxsin2x，得f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝－cosxsin2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数

，又f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin2(x＋2π)＝cosxsin2x＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数．所以f(x)既是奇函数又是周期函数，故A不正确．对于选项B，因为|cosx|≤1，|sin2x|≤1，且等号不能同时成立，所以无论x取什么值，

f(x)＝cosxsin2x的函数值均小于1，故B正确．对于选项C，因为f(x)＋f(π－x)＝cosxsin2x＋cos(π－x)sin2(π－x)＝cosxsin2x＋cosxsin2x＝2cosxsin2x，不能推出函数f(x)的图像关于点(π2，0)对称．故C不正确．

对于选项D，因为f(2π－x)＝cos(2π－x)sin2(2π－x)＝－cosxsin2x＝－f(x)，所以f(x)的图像不关于直线x＝π对称，故D不正确．综上可得正确的结论是B.[答案]B[破题技法]对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标

一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．