【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：2.2.2圆的一般方程【高考】.docx，共(10)页，193.836 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-b554dd1c425ebab5cd624ed87454598a.html

以下为本文档部分文字说明：

2．2圆的一般方程填一填二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形(1)变形：把方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4.(2)结论：①当D2＋E2－4F>0时

，表示以－D2，－E2为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆．②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一组解x＝－D2，y＝－E2，表示一个点－D2，－E2.③当D2＋E2－4F<0时，方程无实数解，所

以不表示任何图形．当D2＋E2－4F>0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程.判一判1.平面内任一圆的方程都是关于x，y的二元二次方程．(√)2．圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．(√)3．若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√)4．二元二次方

程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(×)5．圆x2＋y2＋ax－2ay＝0过原点．(√)6．圆x2＋y2－Dx－Ey＋F＝0的圆心是－D2，－E2.(×)7．若D2＋E2－4F

<0，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．(√)8．若直线l将圆x2＋y2－8x＋2y＋8＝0平分，则l必过圆心(4，－1)．(√)想一想1.若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？提示：x2＋y2＋F＝0

2．若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？提示：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝

0.(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．(3)解此方程组，求出D，E，F的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)

直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．思考感悟：练一练1．若方程x2＋y2＋x－y＋m＝0表示的曲线是一个圆，则m的取值范围是()A．m≤12B．m＝12C．m>12D．

m<12答案：D2．圆x2＋y2＋2x－3y＝0的圆心坐标为()A.－1，32B.1，32C．(2,3)D.1，－32答案：A3．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接

圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43答案：B4．圆x2＋y2－2x＋2y＝0的周长为________．答案：22π5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为______

__．答案：x2＋y2－4y＋3＝0知识点一二元二次方程与圆的关系1.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)．解析：(1)D＝1，E＝0，F＝1，D2＋E2－4F＝1－4＝

－3<0，所以方程(1)不表示任何图形．(2)D＝2a，E＝0，F＝a2，D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以方程(2)表示点(－a,0)．2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－x

y＋y2＋6x＋yt＝0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x2，y2的系数不相同．(2)不能表示圆，因为方程中含有xy项.知识点二求圆的一般方程3.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是()A．x2＋y2－4x

＋6y－8＝0B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.答案：B4．已知圆过A(2,

2)，C(3，－1)，且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．解析：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得22＋22＋2D＋2E＋F＝0，9＋1＋3D－E＋F＝0，－D2＝－E2，得D＝1，E＝1，F＝－12.所以所求的圆的方程

为x2＋y2＋x＋y－12＝0.知识点三求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点B．直线C．线段D．圆解析：∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋

(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆．答案：D6.如图，经过圆x2＋y2＝4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q.求线段PQ的中点M的轨迹方程．解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝x，y0＝2y.又点P

(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4.所以x2＋4y2＝4即为所求轨迹方程.综合知识圆的一般方程7.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．解析：方法一设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得

2D＋2E＋F＋8＝0，5D＋3E＋F＋34＝0，3D－E＋F＋10＝0，解得D＝－8，E＝－2，F＝12.所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.方法二设所求的圆的方程为(x－a

)2＋(y－b)2＝r2，由题意得(2－a)2＋(2－b)2＝r2，(5－a)2＋(3－b)2＝r2，(3－a)2＋(－1－b)2＝r2，解得a＝4，b＝1，r2＝5.故所求的圆的方程为(x－4)2＋(y－1

)2＝5.8．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2

，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42，从而x0＝x＋3，y0＝y－4.又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.当点P在直线OM上时，有x＝－9

5，y＝125或x＝－215，y＝285.因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点－95，125和点－215，285.基础达标一、选择题1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为()A.－32，1和4B．(3,2)和4C.

－32，1和192D.－32，1和19解析：由一般方程的圆心为－D2，－E2，半径r＝12D2＋E2－4F，易知圆心的坐标为－32，1，半径为192.答案：C2．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(

0<a<1)，则原点O在()A．圆内B．圆外C．圆上D．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0－a)2＋(0－1)2＝a2＋1>2a，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是()A．x－y＝0

B．x＋y＝0C．x2＋y2＝0D．x2－y2＝0解析：圆心M的坐标(x，y)应满足y＝x或y＝－x，等价于x2－y2＝0.答案：D4．已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为()A．(0,

1)B．(1,0)C．(2,1)D．(1,2)解析：由题意圆心C－a2，1在直线x＋y－1＝0上，从而有－a2＋1－1＝0，所以a＝0，所以圆C的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x2＋y2－

2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x

2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0和直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＋E的值为()A．－4B．－2C．2D．4解析：由题知直线l1，l2过已知圆的圆心，所以－D2－－E2＋4＝0，－D2＋3－E2＝0，所以D＝6，E＝－2，所

以D＋E＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0D．x2＋y2

＋2x－3＝0解析：设圆心为C(m,0)(m>0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以|3m＋4×0＋4|32＋42＝2，整理，得|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－

4x＝0，故选A.答案：A二、填空题8．圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)化为(x＋a)2＋y2＝a2其圆心为

(－a,0)，半径为|a|.答案：(－a,0)|a|9．已知圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0的圆心到直线ax－y＋1＝0的距离为1，则a＝________.解析：圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0的圆心C(1,4)，因为圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0的圆心到直线ax－y＋1＝0的距离为1，所以

d＝|a－4＋1|a2＋1＝1，解得a＝43.答案：4310．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＋2y＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．解析：圆x2＋y2－2x＋2y＝0化为(x2－2x＋1)＋(y2＋2y＋1)＝2，即(x－

1)2＋(y＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB的距离最小即可，kAB＝2－00－(－2)＝1，直线AB：y－2＝x，所以线段AB：y＝x＋2(－2≤x≤0)，圆心(1，－1)到其距离d＝|

1＋2－(－1)|12＋12＝22，所以圆上某点到线段AB的距离最小值为22－2＝2，因为|AB|＝(－2－0)2＋(0－2)2＝22，所以S△ABCmin＝12|AB|×2＝12×22×2＝2.答案：211．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周

长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(

a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.答案：512．动圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心为(x，y)，由题意得x＝

4m＋22＝2m＋1，y＝2m2＝m，整理得x－2y－1＝0.答案：x－2y－1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x2＋y2－x＋14＝0；(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；(3)x2＋y2＋2ay－1＝0.解析：方程x2＋y2＋Dx＋

Ey＋F＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4后，D2＋E2－4F是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一(1)将原方程转化为x－122＋y2＝0，表

示一个点，坐标为12，0.(2)将原方程转化为(x＋a)2＋y2＝a2(a≠0)，表示圆，圆心为(－a,0)，半径r＝|a|.(3)将原方程转化为x2＋(y＋a)2＝1＋a2，表示圆，圆心为(0，－a)，半径r＝1＋a2.方法二(1)因为D2＋E

2－4F＝(－1)2＋02－4×14＝0，所以表示一个点，其坐标为12，0.(2)因为D2＋E2－4F＝4a2＋0－0＝4a2>0(a≠0)，所以表示圆．又因为－D2＝－a，－E2＝0，12D2＋E2－4F＝12·4a2＝|a|，所以

圆心为(－a,0)，半径r＝|a|.(3)因为D2＋E2－4F＝02＋(2a)2＋4＝4(1＋a)2>0，所以表示圆．又因为－D2＝0，－E2＝－a，12D2＋E2－4F＝1＋a2，所以圆心为(0，－a)，半径r＝1＋a2.14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两

端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则25＋5E

＋F＝0，16－4D＋F＝0，16＋4D＋F＝0，解得D＝0，E＝－95，F＝－16.所以圆的方程为x2＋y2－95y－16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x2＋y2＋95y－16＝0.综上，它的外接圆的方程为x2＋y2－95y－16＝0或x2＋y2＋95y－16

＝0.能力提升15.已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0.(1)当a取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．解析：(1)当

a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一条直线；当a≠－1时，x－21＋a2＋y＋4a1＋a2＝4＋16a2(1＋a)2表示圆．(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.令x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋8y＝0，解得

x＝0，y＝0，或x＝165，y＝－85.故C过定点A(0,0)，B165，－85.(3)因为圆恒过点A，B，所以以AB为直径的圆面积最小，则圆心为85，－45.所以21＋a＝85，解得

a＝14.16．已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．解析：(1)方法一设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x

≠－1.又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，且kAC·kBC＝－1，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．方法二同方法一得x≠3且x≠－1.由勾

股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．方法三设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD

|＝12|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)

，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32(x≠3且x≠1)，y＝y0＋02，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动

点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com