【文档说明】西藏拉萨那曲第二高级中学2021届高三第一次月考数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(19)页，1.060 MB，由小赞的店铺上传

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数学（理科）试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号写在答题卷上.3.所有题目答案请用黑色签字笔或钢笔写在答题卷相应位置.4.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.5.考

试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第I卷选择题(共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A＝{x|－1x2}，集合B＝{x|1x3}，则A∪B＝（）A.{x|－1x3}B.{x|－1

x1}C.{x|1x2}D.{x|2x3}【答案】A【解析】【分析】根据并集的定义计算．【详解】由题意{|13}ABxx=−．故选：A．2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A.–4B.–2C.2D.4【答案】B

【解析】【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式240x−可得：2|2Axx−=，求解一次不等式20xa+可得：|2aBxx=−.由于

|21ABxx=−，故：12a−=，解得：2a=−.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.设复数z满足(1)2iz+=，其中i为虚数单位，则z=（）A.1i+B.1i−C.22i+D.22i−【答案】B【解析】【详解】因

为复数z满足()12iz+=，所以22(1)11(1)(1)iziiii−===−++−.故选：B.4.若z=1+i，则|z2–2z|=（）A.0B.1C.2D.2【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得22zz−的值，然后

计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212zii=+=，则()222212zzii−=−+=−.故2222zz−=−=故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.5.已知复数z满足()12izi−=−

，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由已知条件可求得复数z，进而可求得z，由此可得出结论.【详解】()12izi−=−，()()()()212331111222iiiiziiii−+−+

====+−−+，3122zi=−，因此，z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.6.已知命题:,21000npnN，则p为（）A.,21000nnNB.,21000nnNC.,21000nnND.,21000nnN

【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】命题:,21000npnN的否定是：,21000nnN．故选：A．7.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A.

充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立.即可判断出结论．【详解】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必

要不充分条件．故选B．【点睛】本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）.A.3?xB.4?xC.4?x

„D.5?x„【答案】B【解析】方法一：当x=4,输出y=2,则由y=log2x输出，需要x>4，本题选择B选项.方法二：若空白判断框中的条件x>3，输入x=4，满足4>3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，

若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2，故B正确；若空白判断框中的条件x⩽4，输入x=4，满足4=4，满足x⩽4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，若空白判断框中的条件x⩽5，输入x=4，满足4⩽

5，满足x⩽5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，本题选择B选项.9.在5(2)x−的展开式中，2x的系数为（）．A.5−B.5C.10−D.10【答案】C【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x的系数即可.【详解】()52x−展开式的通项公式为：()()()5521

5522rrrrrrrTCxCx−−+=−=−，令522r−=可得：1r=，则2x的系数为：()()11522510C−=−=−.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)

和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．10.设{}na是等比数列，且1231aaa++=，234+2aaa+=，则

678aaa++=（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q的值，再由()5678123aaaqaaa++=++可求得结果.【详解】设等比数列na的公比为q，则

()2123111aaaaqq++=++=，()232234111112aaaaqaqaqaqqqq++=++=++==，因此，()5675256781111132aaaaqaqaqaqqqq++=++=++==.故选：D

.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．11.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为A.5，5B.3，5C.3，7D.5，7【答案】B【解析】【分析】利用茎叶图、中位数、

平均数的性质直接求解．【详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴5662657074596167657855x

+++++++++=，解得x＝3．故选B．【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系ek

xby+=（2.718...e=为自然对数的底数，,kb为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A.16小时B.20小时C.24小时D.21小时【答案】

C【解析】试题分析：，两式相除得，解得，那么，当时，故选C．考点：函数的应用第Ⅱ卷非选择题(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二

、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知x、y满足约束条件250302xyxy−++，则2zxy=+的最大值是_________.【答案】3【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2zxy=+，找出使得该直线在x轴上的截距最大时对应的最优

解，代入目标函数即可求得2zxy=+的最大值.【详解】作出不等式组250302xyxy−++所表示的可行域如下图所示：联立2250yxy=−+=，解得12xy=−=，即点()1,2A−，平

移直线2zxy=+，当该直线经过可行域的顶点A时，直线2zxy=+在x轴上的截距最大，此时2zxy=+取最大值，即max1223z=−+=.故答案为：3.【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函

数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代

入目标函数求出最值.14.设,ab为单位向量，且||1ab+=，则2ab−=___________.【答案】7【解析】【分析】由||1ab+=平方后求得ab，再求22ab−可得结论．【详解】∵,ab为单位向量，

∴2222||()21211ababaabbab+=+=++=++=，∴12ab=−．∴22212(2)4444172ababaabb−=−=−+=−−+=．故答案为：7．15.已知5458，45138

，设5log3a=，8log5b=，13log8c=，找出这三个数大小关系_________【答案】abc【解析】【分析】把,,abc用换底公式变形，已知不等关系及3453，3485也取对数后，可把

,,abc与中间值比较大小，从而得出结论．【详解】由已知lg3lg5a=，lg5lg8b=，lg8lg13c=，又5458，则5lg54lg8，∴lg54lg85b=，45138，则4lg135lg8，lg84lg135c=，又3

45125813==，∴3lg54lg3，lg33lg54a=，而3485126255==，∴3lg84lg5，lg53lg84b=，综上有abc．故答案为：abc．【点睛】方法点睛：本题考查比较对数的大小，解题方法是，用换底公式变形已知

,,abc，同时对已知两个不等关系求对数后得出,bc与45的大小关系，受此启发再取两个不等关系：3453和3485，由此可得,ab与34的大小关系，从而得出结论．在两个对数不能直接比较大小时，借助中间值，只是本题中中间值不是常见的整数．本题属于中档题．16.为满足人民对美好生活的向往，环保部

门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为()Wft=，用()()fbfaba−−−的大小评价在[,]ab这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系

如下图所示.给出下列四个结论：①在12,tt这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在112230,,,,,ttttt这三段时间中

，在10,t的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()fbfaba−−−表示区间端点连线斜率的负数，在12,tt这段时间内，甲的斜率比乙的小，所

以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在112230,,,,,ttttt这三段时间中，甲企业在12,tt这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即

在12,tt的污水治理能力最强．④错误；在2t时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图

象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin30bAa−=．（I）求角

B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】（I）3B=；（II）313,22+【解析】【分析】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；（II）结合(1)的结论将含

有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得coscoscosABC++的取值范围.【详解】（I）由2sin3bAa=结合正弦定理可得：32sinsin3sin,sin2BAAB==△ABC为锐角三角形，故3B=

.（II）结合(1)的结论有：12coscoscoscoscos23ABCAA++=++−131coscossin222AAA=−++311sincos222AA=++1sin62A=++.由203202AA

−可得：62A，2363A+，则3sin,132A+，1313sin,2232A+++.即coscoscosABC++的取

值范围是313,22+.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化

为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.设数列{an}（n＝1，2，3…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a3，且a1，a2＋1，a3成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列1na的前n项和为Tn，求Tn.【答案】（Ⅰ）an＝2n.（Ⅱ）1

12n−【解析】（Ⅰ）由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2）即an＝2an－1（n≥2）从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列即a1＋a3＝2（

a2＋1）所以a1＋4a1＝2（2a1＋1），解得a1＝2所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列故an＝2n.（Ⅱ）由（Ⅰ）得112nna=所以Tn＝211[1()]111122......11222212nnn−+++

==−−考点：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力.19.2020年“新型冠状病毒”在全世界大爆发.世界卫生组织在美国某企业做调研，该企业中有甲、乙、

丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行核酸检测的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4呈阳性，3人呈阴性，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）

用X表示抽取的3人中呈阳性的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有呈阳性的员工，也有呈阴性的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（1）甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（2）（i）见解析；（ii）67【解析】

【分析】（1）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=34337CCCkk−（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为()127EX=．

（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为67．【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人

．（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337CCCkk−（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望()11218

4120123353535357EX=+++=．（ii）设事件B为“抽取的3人中，呈阳性的员工人数有1人，呈阴性的员工人数有2人”；事件C为“抽取的3人中，呈阳性的员工有2人，呈阴性的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(

X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．【点睛】方法点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，

随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n

N=样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．20.在直三棱柱111ABCABC−中，∠ABC=90°，AB=BC=1.（1）求异面直线11BC与AC所成角的大小；（2）若直线1AC与平面ABC所成角为4

5°，求三棱锥1A—ABC的体积.【答案】（1）45；（2）26．【解析】【分析】（1）由11//BCBC可得异面直线所成角；（2）由直三棱柱定义可得1AC与平面ABC所成角为1ACA，这样可求得棱锥的高，得体积．【详解】（1）在直三棱柱111ABCABC−中11//BCBC

，所以异面直线11BC与AC所成角为BCA（或其补角），又∠ABC=90°，AB=BC=1，所以BCA45=，所以异面直线11BC与AC所成角为45；（2）在直三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，所以直线1A

C与平面ABC所成角为145ACA=，所以12AAAC==．111122ABCS==，所以11111223326AABCABCVAAS−===△．21.已知函数()3211,32fxxaxa=−R.(I)当a=2时,求曲线()yfx=在点()()3,3f处的切线方程；(II)

设函数()()()cossingxfxxaxx=+−−,讨论()gx的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）390xy−−=；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线

方程；（Ⅱ）由()()(sin)gxxaxx=−−,通过讨论确定()gx的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意2()fxxax=−，所以，当2a=时，(3)0f=，2()2fxxx=−，所以

(3)3f=，因此，曲线()yfx=在点(3,(3))f处的切线方程是3(3)yx=−，即390xy−−=.（Ⅱ）因为()()()cossingxfxxaxx=+−−，所以()()cos()sincosgxfxxxaxx=+−−−，()()sinxxaxax=−−−()(

sin)xaxx=−−，令()sinhxxx=−，则()1cos0hxx=−，所以()hx在R上单调递增，因为(0)0h=，所以，当0x时，()0hx；当0x时，()0hx.（1）当0a时，()()(sin)gxxaxx=−−，当(

,)xa−时，0xa−，()0gx，()gx单调递增；当(,0)xa时，0xa−，()0gx，()gx单调递减；当(0,)x+时，0xa−，()0gx，()gx单调递增.所以当xa=时()gx取到极

大值，极大值是31()sin6gaaa=−−，当0x=时()gx取到极小值，极小值是(0)ga=−.（2）当0a=时，()(sin)gxxxx=−，当(,)x−+时，()0gx，()gx单调递

增；所以()gx在(,)−+上单调递增，()gx无极大值也无极小值.（3）当0a时，()()(sin)gxxaxx=−−，当(,0)x−时，0xa−，()0gx，()gx单调递增；当(0,)xa时，0xa−，()0gx，()gx单调递减；当(,)xa+时

，0xa−，()0gx，()gx单调递增.所以当0x=时()gx取到极大值，极大值是(0)ga=−；当xa=时()gx取到极小值，极小值是31()sin6gaaa=−−.综上所述：当0a时，函数()gx在(,)a−和(0,)+上单调递增，在(,0)a上单调递减，函数既有极大值，又有极

小值，极大值是31()sin6gaaa=−−，极小值是(0)ga=−；当0a=时，函数()gx在(,)−+上单调递增，无极值；当0a时，函数()gx在(,0)−和(,)a+上单调递增，在(0,)a上单调递减，函数既有极大

值，又有极小值，极大值是(0)ga=−，极小值是31()sin6gaaa=−−.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值

的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一

题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt−=+=+，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2co

s3sin110++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）22:1,(1,1]4yCxx+=−；:23110lxy++=；（2）7【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直

角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211txt−=+得：210,(1,1]1xtxx−=−+，又()2222161tyt=+()()222116

141144111xxyxxxxx−+==+−=−−++整理可得C的直角坐标方程为：221,(1,1]4yxx+=−又cosx=，siny=l的直角坐标方程为：23110xy++=（2）设C上点的坐

标为：()cos,2sin则C上的点到直线l的距离4sin112cos23sin11677d++++==当sin16+=−时，d取最小值则min7d=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化

、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.[选修4—5：不等式选讲]23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）2221

11abcabc++++；（2）333()()()24abbcca+++++．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用1abc=将所证不等式可变为证明：222abcbcacab++++，利用基本不等式可证得()2222222a

bcabbcac++++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()()()()3333abbccaabbcca++++++++，再次利用基本不等式可将式转化为()()()()333224abbccaabc+++++，在取等条件一致的情况下，可得结论.【详

解】（1）1abc=111111abcbcacababcabc++=++=++()()()()2222222222222abcabbccaabbcac++=+++++++当且仅当abc==时取等号()22211122abcabc++++，即：22

2111abcabc++++≥（2）()()()()()()3333abbccaabbcca++++++++，当且仅当abc==时取等号又2abab+，2bcbc+，2acac+（当且仅当abc==时等号同

时成立）()()()()3332322224abbccaabbcacabc+++++=又1abc=()()()33324abbcca+++++【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用

基本不等式时需注意取等条件能否成立.