【文档说明】2023年高考数学必刷压轴题（新高考版）专题19 立体几何与空间向量（解答题压轴题） Word版无答案.docx，共(26)页，2.197 MB，由小赞的店铺上传

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专题19立体几何与空间向量（解答题压轴题）立体几何与空间向量（解答题压轴题）①直线与平面所成角问题②二面角问题③体积（距离）问题④折叠问题①直线与平面所成角问题1．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二阶段练习）如图，在四棱锥PABMN−中，PNM△是边长为2的正三角形，ANNP⊥，ANBM

∥，3AN=，1BM=，22AB=，C，D分别是线段AB，NP的中点.(1)求证：平面ANMB⊥平面NMP；(2)求直线CD与平面ABP所成角的正弦值.2．（2022·江苏苏州·高一期末）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，12

0ADC=，14CC=，M，N分别是线段1DD，BD上的动点，且()01DNDB=.(1)若二面角1MBCC−−为60，求DM的长；(2)当三棱锥MADC−的体积为233时，求CN与平面BCM所成

角的正弦值的取值范围.3．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，90ADC=，22ABADBC===，PADBAD≌.(1)M为PC上一点，且PMMC=

，当//PA平面DMB时，求实数的值；(2)当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为30时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值.4．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的底面是边长为2的菱形，且π3BAD=.(1)证明：平面1ACD⊥平

面1BDD；(2)若平面1ABD⊥平面1CBD，求1DB与平面1ABD所成角的正弦值.5．（2022·福建省永泰县第一中学高二开学考试）四棱锥SABCD−，底面ABCD是平行四边形，90,DBCSCSDDC===，且平面

SCD⊥平面ABCD，点E在棱SC上，直线//SA平面BDE.(1)求证：E为棱SC的中点；(2)设二面角SBDC−−的大小为，且tan6=.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.6．（2022·山东烟台·高一期末）如图，在三棱柱ADPBCQ−中，侧面

ABCD为矩形．(1)设M为AD中点，点N在线段PC上且2NCPN=，求证：PM∥平面BDN；(2)若二面角QBCD−−的大小为，5,46，且cosADAB=，求直线BD和平面QCB所成角的正弦值的取值范围．7．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一期

末）如图，在四棱锥PABCD−中，PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，90ADC=，3ADCD==，4BC=，点N在线段PC上，且2CNNP=．(1)探究在线段AD上是否存在点M，使得//PM平面NDB，若存在，试证明你

的结论；若不存在，请说明理由．(2)设二面角PBCA−−的大小为，若3cos3=，求直线BD与平面PAD所成角的正弦值．8．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）在三棱台111ABCABC−中，326

02ACABBAC===，，，111112ACCCACCC==⊥，，，侧面11ACCA⊥平面1ABC．(1)求证：1AC⊥平面1ABC；(2)求证：1ABC是直角三角形；(3)求直线1AA与平面ABC所成角的正弦值．9．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）如

图，已知四棱锥VABCD−，底面ABCD是矩形，,VDCDVDBC=⊥，点E是棱VC上一劫点（不含端点）.(1)求证：平面ADE⊥平面VCD；(2)当22CDAD==且6VCD=时，若直线VC与平面A

DE所成的线面角,32，求点E的运动轨迹的长度.10．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，几何体ABCDPQ中，,ADPBCQ均为正三角形，四边形ABCD为正方形，PQ∥平面ABCD，,2

⊥=APCQAB，M，N分别为线段PQ与线段BC的中点.(1)求证：MN∥平面ADP；(2)求直线AP与平面BCQ所成角的正弦值.11．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥SABCD−中，四边形ABCD是菱形，1AB=，233SC=，三棱锥SBCD

−是正三棱锥，E，F分别为SA，SC的中点.(1)求证：直线BD⊥平面SAC；(2)求二面角EBFD−−的余弦值；(3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABC

D−中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，ADDC⊥，PAPDPB==，122BCDCAD===，E为AD的中点，且4PE=．(1)求证：PE⊥平面ABCD；(2)记PE的中点为N，若M在线段BC上，且直线M

N与平面PAB所成角的正弦值为39，求线段BM的长．②二面角问题1．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面,2,4,23ABCDPAADBDAB====，BD是ADC的平分线，且BDBC⊥.(1)若点E为棱PC

的中点，证明：BE平面PAD；(2)已知二面角PABD−−的大小为60，求平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值.2．（2022·山西大附中高三阶段练习）如图，在四棱锥SABCD−中，四边形ABCD是矩形，SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，1AB=，P为棱AD的中点，四棱锥SAB

CD−的体积为233．(1)若E为棱SB的中点，求证：//PE平面SCD；(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为235？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.3．（2022·安徽

·高三开学考试）如图，在三棱柱111ABCABC−中，111,,BCBBBCBCOAO==⊥平面11BBCC.(1)求证:1ABBC⊥;(2)若160BBC=，直线AB与平面11BBCC所成的角为30，求二面角111ABCA−−的正弦值.4．（2022·广

东湛江·高二期末）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，23AB=，24ACBC==，且D为线段AB的中点，连接1AD，CD，1BC.(1)证明：1BCAD⊥；(2)若1B到直线AC的距离为19，求平面11BAC与平面1ACD夹角的余弦值

.5．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，//ADBC，ADAB⊥，平面PAB⊥平面PBC，162ADBC==，3ABAP==．(1)求证：ADPB⊥；(2)若PD与平面PBC所成

的角为30，求二面角BPDC−−的余弦值．6．（2022·广东广州·高二期末）如图，四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是矩形，DA⊥平面PAB，E是DA的中点．(1)若PB的中点是M，求证：//EM平面PCD；(2)若,2,22⊥===PAPBPAADAB，求平面PC

E与平面PAB所成二面角的正弦值．7．（2022·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习（理））如图，在四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD△是直角三角形，ABDCBD=，AB=BD．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)若DEmDB=，二面角DAEC−−的

余弦值为17，求m．8．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABCD为圆柱OO的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.(1)证明：BE⊥平面DEF；(2)若2ABBC==，当三棱锥BDEF−的体积最大时，求二面角BDFE−−的余弦值.

9．（2022·河南·信阳高中高二阶段练习（理））如图所示，四棱锥SABCD−中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且OE∥平面SAB，二面角SABC−−，SADC−−均为直二面角．(1)求证：SEDE=；(2)若2SAAD==，且钝二面角ABEC−−的余弦

值为32020−，求AB的值．10．（2022·广东·执信中学高二期中）已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且13AMAB=，13CNCA=，沿MN将△AMN折起到AMN△的位置，使90AMB=．

(1)求证：AM⊥平面MBCN；(2)在线段BC上是否存在点D，使平面AND与平面AMB所成锐二面角的余弦值为3913？若存在，设()0BDBC=，求的值；若不存在，说明理由．11．（2022·全国·高三专题练习（理））如图

，在三棱锥D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F分别在BC，CD上，且12BEEC=，12DFFC=．(1)证明：平面GEF∥平面ABD；(2)若CD⊥平面ABC，ABBC⊥，2ACCD==，1BC=，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，求二面角PADC−−

的余弦值．12．（2022·江苏泰州·高三期末）如图，在三棱锥PABC−中，2,4,23ABPBBCPAPCAC======.(1)平面PAC⊥平面ABC；(2)点D是棱BC上一点，BDBC=，且二面角BPAD−−与二面角CPAD

−−的大小相等，求实数的值.13．（2022·四川·石室中学三模（理））在①2AE=，②ACBD⊥，③EABEBA=，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答如图，在五面体ABCDE中，已知___________，ACBC⊥，//EDAC，且22ACBCED===，3DC

DB==.(1)求证：平面ABE⊥与平面ABC；(2)线段BC上是否存在一点F，使得平面AEF与平面ABE夹角的余弦值等于54343，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由.③体积（距离）问题1．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）如图，四棱锥PABCD−的底面为菱形，,

23ABCABAP===，PA⊥底面ABCD，,EF分别是线段,PBPD的中点，G是线段PC上的一点.(1)若G是直线PC与平面AEF的交点，试确定PGCG的值；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为35，求三棱锥PEFG−体积.2．（2022·青海·模拟预测（理））如图，

在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．(1)证明：//GF平面ABC(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，C

D=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱111ABCABC−中，ABC为等边三角形，四边形11BCCB是边长为2的

正方形，D为AB中点，且15AD=.(1)求证：CD⊥平面11ABBA；(2)若点P在线段1BC上，且直线AP与平面1ACD所成角的正弦值为255，求点P到平面1ACD的距离.4．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二开学考试）如图，在三棱柱ABC-A1

B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点.(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ;(2)若二

面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为1313，求点P到平面BQB1的距离.5．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）如图，已知四棱台1111ABCDABCD−的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，14AA=，且1AA⊥底面ABCD，点,PQ分别在棱1DD、BC上·(1)若P是1DD的中

点，证明：1ABPQ⊥；(2)若//PQ平面11ABBA，二面角PQDA−−的余弦值为49，求四面体ADPQ的体积．6．（2022·湖南·雅礼中学一模）如图，在四边形PDCB中，//PDBC，BAPD⊥，1

PAABBC===，12AD=.沿BA将PAB△翻折到SBA的位置，使得52SD=.（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；（2）点Q是棱SC于异于S，C的一点，连接QD，当二面角QBDC−−的余弦值为66，求此时三棱锥QBCD−的体积.7．

（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，在多面体ABCDE中，平面ABD⊥平面ABC，ABAC⊥，AEBD⊥，DEP12AC，AD=BD=1.(Ⅰ)求AB的长；(Ⅱ)已知24AC

，求点E到平面BCD的距离的最大值.8．（2022·湖北·随州市曾都区第一中学高二开学考试）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，90ADC=，//,,2,ADBCABACABACE⊥==点

在AD上，且2AEED=.(1)已知点F在BC上，且2=CFFB，求证：平面PEF⊥平面PAC.(2)求点D到平面PAB的距离.9．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））如图，四棱锥PABCD−的底面为直

角梯形，PA⊥底面ABCD，ADBC∥，60ADC=，22APADBC===，E为棱CP上一点.(1)证明：平面ABE⊥平面ADP；(2)若AEBE=，求点D到平面ABE的距离.10．（2022·福建·福州四中高一期末）如图在四面体ABCD中，ABC是边长为2的等边三

角形，DBC△为直角三角形，其中D为直角顶点，60DCB=.E､F､G､H分别是线段AB､AC､CD､DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形.(1)求证：BC//平面EFGH；(2)设二面角ABCD−−的平面角为，求在区间0

,2变化的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；(3)设()()0,1AEAB=，且平面ABC⊥平面BCD，则当为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为14？④折

叠问题1．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图甲，在矩形ABCD中，222,ABADE==为线段DC的中点，ADE沿直线AE折起，使得6DC=，如图乙.(1)求证：BE⊥平面ADE；(2)线段AB上是否存在

一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为π4？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M，N别是边BC，CD的中点，1ACBDO=，ACMNG

=．沿MN将CMN△翻折到PMN的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为1010？若存

在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．3．（2022·全国·高二专题练习）如图1所示，在边长为12的正方形'11AAAA中，点BC，在线段'AA上，且34ABBC==，，作11//BBAA，分别交'111'AAAA、于点1BP、，作11//CCAA，分别交'111'AAAA、于点

1CQ、，将该正方形沿11,BBCC折叠，使得'1'AA与1AA重合，构成如图2所示的三棱柱111ABCABC－．(1)在三棱柱111ABCABC－中，求证：AB⊥平面11BCCB；(2)试判断直线AQ是否与平面11ACP平行，并说明理由．4．（2022·山西大附中高二开学考

试）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC∥，90ABC=，22ABDCBC==，E为AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P的位置，且PEEB⊥，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．(1)证明：平面EM

N⊥平面PBC；(2)是否存在点N，使得二面角BENM−−的正切值为5？若存在，确定N点位置；若不存在，请说明理由．5．（2022·福建泉州·高一期末）在矩形ABCD中，4,2ABAD==．点E，F分别在AB，CD上，且2,1AECF==，沿EF将四边形AEFD翻折至四边形

AEFD，点A平面BCFE．(1)若平面AEFD⊥平面BCFE，求三棱锥BFCD−的体积；(2)在翻折的过程中，设二面角ABCE−−的平面角为，求tan的最大值．6．（2022·广西玉林·高一期末）如图①，在梯形ABCD中，ADBC

∥，ABBC⊥，24ABBCAD===，E，F分别是AB，CD上的点，EFBC∥，2AE=.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图②）.(1)判断平面AEFD与平面ABE的位置关系，并说明

理由；(2)作出二面角DBFE−−的平面角，说明理由并求出它的余弦值.7．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）在矩形ABCD中，4AB=，2AD=.点E，F分别在AB，CD上，且2AE=，1CF=.沿EF将四边形AEFD翻折至四边形AEFD，点A平面B

CFE.(1)求证：CD∥平面ABE；(2)求证：AD与BC是异面直线；(3)在翻折的过程中，设二面角ABCE−−的平面角为，求tan的最大值.8．（2022·湖北十堰·高一期末）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF，将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的

位置，连接BH，CG，形成的多面体ABCDGH如图2所示．(1)证明：ADBH⊥．(2)若二面角HADB−−的大小为3，M是线段CG上的一个动点（M与C，G不重合），试问四棱锥MABCD−与四棱锥MAD

GH−的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．9．（2022·全国·高三专题练习）如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，

分别连接DE，DF，EF，使得平面DEF⊥平面ABC．已知2AC=，30B=，(1)证明：EF∥平面ABD；(2)若2DF=，求二面角ABCD−−的余弦值．10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图（1），在正方形ABCD中，M、N、

E分别为AB、AD、BC的中点，点P在对角线AC上，且35CPPA=，将AMN、BMC△、DNG分别沿MN、MC、NC折起，使A、B、D三点重合（记为F），得四面体MNCF（如图（2）），在图（2）中.(1)求证：EP∥平面FMN；(2)在NC上，求

一点H，使二面角NMFH−−的大小为45.11．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）如图1，已知等边ABC的边长为3，点,MN分别是边,ABAC上的点，且满足122,33BMMABNBABC==+，如图2，将AMN沿MN折起到AMN△的位置．

(1)求证：平面ABM⊥平面BCNM；(2)给出三个条件：①AMCN⊥；②平面AMN⊥平面BCNM；③四棱锥ABCNM−的体积为7312，从中任选一个，求平面ABC和平面ACN的夹角的余弦值．12．（2022·全国·高三专题练习）如图甲，等腰梯形ABCD中，

ABCD∥，DEAB⊥于点E，且12DCDEEB==，将梯形沿着DE翻折，如图乙，使得A到Р点，且EPPB⊥.(1)求直线PD与平面EBCD所成角的正弦值；(2)若233CPDBV−=，求三棱锥CPDB−的表面积.