【文档说明】2021学年人教A版高中数学必修4阶段训练：第2章 阶段综合提升 第3课　平面向量.docx，共(8)页，158.678 KB，由小赞的店铺上传

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阶段强化训练(三)一、选择题1．如图所示，若向量AB→＝a，AC→＝b，CD→＝c，则向量BD→可以表示为()A．a＋b－cB．a－b＋cC．b－a＋cD．b＋a－cC[BD→＝AD→－AB→＝AC→＋CD→－AB→＝b＋c－a＝b－a＋c.]2．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋

b)⊥(a－mb)，则m＝()A．－73B.73C．2D．－2B[因为a＝(1,2)，b＝(－3,0)，所以2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋3m,2)，由2a＋b与a－mb垂直，得－1－3m＋8＝0

，解得m＝73.]3．已知平面向量a，b夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则|a－2b|＝()A．1B.3C．2D.32A[根据条件：a·b＝1×12×12＝14，∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×14＋4×14＝1，∴|a－2b|＝1.]

4．已知向量a与b不共线，AB→＝a＋mb，AC→＝na＋b(m，n∈R)，则AB→与AC→共线的条件是()A．m＋n＝0B．m－n＝0C．mn＋1＝0D．mn－1＝0D[由AB→＝a＋mb，AC→＝na＋b，(m，n∈R)共线得a＋mb＝λ

(na＋b)，即mn－1＝0.故选D.]5．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝()A．－12a＋32bB.12a－32bC.32a－12bD．－32a＋12bB[设c＝xa＋yb

，则(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)，∴x＋y＝－1，x－y＝2，解得x＝12，y＝－32，∴c＝12a－32b.]二、填空题6．如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，AC与BD交于F，AE

＝13AD，则EF→·BD→＝________.－3[建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)，E(0,1)，F32，32，则EF→·BD→＝32，12·(－3,3)＝32×(－3)＋12×3＝

－3.]7．已知a＝(1，－2)，b＝(4,2)，设2a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝________.55[2a＝2(1，－2)＝(2，－4)，a－b＝(1，－2)－(4,2)＝(－3，－4)，cosθ＝2a·(a－b)|2a||a－b|＝－6＋1620×5＝55.]8．设向量m＝2a

－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，且a与b不共线，若用m，n表示p，则p＝________.－74m＋138n[设p＝xm＋yn，则p＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2

y)b＝3a＋2b，又∵a与b不共线，∴2x＋4y＝3，－3x－2y＝2，解得x＝－74，y＝138，故p＝－74m＋138n.]三、解答题9．如图，▱ABCD的两条对角线交于M.且AC→＝a

，BD→＝b.(1)用a，b表示AB→与AD→；(2)对于平面上任一点O，若OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝kOM→，求k的值．[解](1)在▱ABCD中，AB→＋AD→＝AC→＝a.①AD→－AB→＝BD→＝b.②①＋②得2AD→

＝a＋b，①－②得2AB→＝a－b，所以AD→＝12(a＋b)＝12a＋12b，AB→＝12(a－b)＝12a－12b.(2)因为OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝kOM→，所以kOM→＝OM→＋MA→＋OM→＋

MB→＋OM→＋MC→＋OM→＋MD→＝4OM→＋(MA→＋MC→)＋(MB→＋MD→)．由于平行四边形的对角线互相平分，所以MA→＋MC→＝0，MB→＋MD→＝0，所以kOM→＝4OM→，所以k＝4.10．平面内有向量OA→＝(1,7)，OB→＝(5,1)，OP→＝(2,1)，点X为直线

OP上的一个动点．(1)当XA→·XB→取最小值时，求OX→的坐标；(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值．[解](1)设OX→＝(x，y)，因为点X在直线OP上，所以向量OX→与OP→共线．又OP→＝

(2,1)，所以x×1－y×2＝0，即x＝2y，所以OX→＝(2y，y)．又XA→＝OA→－OX→＝(1－2y,7－y)，XB→＝OB→－OX→＝(5－2y,1－y)，于是XA→·XB→＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20

y＋12＝5(y－2)2－8.可知当y＝2时，XA→·XB→取最小值－8，此时OX→＝(4,2)．(2)当OX→＝(4,2)即y＝2时，有XA→＝(－3,5)，XB→＝(1，－1)，XA→·XB→＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8，所以cos∠AXB＝XA→·XB→|XA→||XB→|＝－834·

2＝－41717.1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若DE→⊥AC→，则|DE→|等于()A.52B．23C．3D．22B[建立平面直角坐标系如图所示，设|AD|＝t，则A(0,0)，C(4，t)，D(0，

t)，E(2,0)，则DE→＝(2，－t)，AC→＝(4，t)，由DE→⊥AC→得DE→·AC→＝8－t2＝0，解得t＝22，所以DE→＝(2，－22)，|DE→|＝22＋(－22)2＝23.]2．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈

－π2，π2，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，2]B．(1，2]C．[1,2]D．[2，2]D[∵a＋b＝(1,0)＋(cosθ，sinθ)＝(1＋cosθ，sinθ)，∴|a＋b|2＝(1＋cosθ)2＋sin2θ＝2＋2cosθ.又θ∈－π2，π

2，∴cosθ∈[0,1]，∴|a＋b|2∈[2,4]．∴|a＋b|的取值范围是[2，2]．]3．已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量q＝(sinA－cosA,1＋sinA)是共线向量，则角A＝________.π3[∵p∥q，∴(2

－2sinA)(1＋sinA)－(sinA－cosA)(cosA＋sinA)＝0，∴2－2sin2A＝sin2A－cos2A，∴sin2A＝34.又A为锐角，∴sinA＝32，∴A＝π3.]4．已知平面内的三个单位向量a，b，c，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围为________．[

2－1，2＋1][三个向量a，b，c在同一平面内，且均为单位向量，a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则a＋b－c＝(1－x,1－y)，|c|＝x2＋y2＝1，∴|a＋b－c|＝(x－1)2＋(y－1)2，它表

示单位圆上的点到定点P(1,1)的距离，其最大值是|OP|＋r＝1＋2，最小值是|OP|－r＝2－1，∴|a＋b－c|的取值范围是[2－1，2＋1]．]5．已知OA→＝(4,0)，OB→＝(2,23)，O

C→＝(1－λ)OA→＋λOB→(λ2≠λ)．(1)求OA→·OB→，OA→在OB→上的投影；(2)证明：A，B，C三点共线，并在AB→＝BC→时，求λ的值；(3)求|OC→|的最小值．[解](1)OA→·OB→＝8，设OA→与OB→的夹角为θ，则cosθ＝OA→·

OB→|OA→||OB→|＝84×4＝12，∴OA→在OB→上投影为|OA→|cosθ＝4×12＝2.(2)AB→＝OB→－OA→＝(－2,23)，BC→＝OC→－OB→＝(1－λ)OA→－(1－λ)OB→＝(λ－1)AB→，∴A，B，C三点共线

．当AB→＝BC→时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC→|2＝(1－λ)2OA2→＋2λ(1－λ)OA→·OB→＋λ2OB2→＝16λ2－16λ＋16＝16λ－122＋12，∴当λ＝12时，|OC→|min＝

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