【文档说明】江苏省扬州中学2020-2021学年高二下学期5月月考数学试卷含答案.docx,共(10)页,575.652 KB,由小赞的店铺上传
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扬州市重点中学高二数学月考试卷2021.05一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知复数431izi+=−,其中i为虚数单位,则zz+=()A.iB.7iC.7D.12.已知随机变量()~5,1XN,且()0.6827PX−
+,()220.9545PX−+,则()67PX为()A.0.1358B.0.1359C.0.2716D.0.27183.()622xxyy++的展开式中25xy的系数为()A.12B.60C.24D.644.函数2()2lnfxxx=−的单调递减区间是()A.1
1,22−B.1,2+C.10,2D.11,,22−−+5.为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响,某校高二数学研究性学习小组进行了调查
,随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩,并制成下面的22列联表:及格不极格合计很少使用手机20525经常使用手机101525合计302050则有()的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响.参考公式:22()()()()()nadbcKabcdacbd−=+++
+,其中nabcd=+++()2PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.063.8415.0246.6357.87910.828A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%6.现有语文、数
学、英语、物理、化学、生物各1本书,把这6本书分别放入3个不同的抽屉里,要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个抽屉里,则不同的放法总数为()A.78B.126C.148D.1507.已知函数()x
fxxe=,若函数2()()(3)()3gxfxmfxm=−++恰有四个不同的零点,则m的取值范围为()A.()2,+B.1,e+C.1,1eD.10,e8.已知函数3()2,()xfxgxxax==+.若不等式2()()()()2fxgxfxgxx++−
在)0,+上恒成立,则a的取值范围为()A.)6,−+B.)2,−+C.)0,+D.1,4+二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知复数z对应复平面内
点A,则下列关于复数z、1z、2z结论正确的是()A.2zi+表示点A到点()0,2−的距离B.若123zzi−++=,则点A的轨迹是圆C.121212zzzzzz−++D.1212zzzz=10.下列命题中,正确的命题是()
A.已知随机变量服从(),Bnp,若()()30,20EXDX==,则23p=B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;C.设随机变量服从正态分布()0,1N,若()1Pp=,则1
(10)2Pp−=−D.某人10次射击中,击中目标的次数为X,()~10,0.8XB,则当8X=时概率最大11.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示,由杨辉三角的左腰上的各数出发,引一组平行线,从上
往下每条线上各数之和依次为:1,1,2,3,5,8,13,…,则()A.在第9条斜线上,各数之和为55B.在第()5nn条斜线上,各数自左往右先增大后减小C.在第n条斜线上,共有21(1)4nn+−−个数D.在第11条斜线上,最大的数是37C12.已知函数sin1()xxfxe+=,则下列结
论正确的是()A.函数()fx在()0,上单调递减B.函数()fx在(),0−上有极小值C.方程1()2fx=在(),0−上只有一个实根D.方程c(s)o1xfexxx=+在,00,22−有两个实根三、填空题:(本题共4小题,每小题5分
,共20分)13.曲线ln1yxx=++在点()1,2处切线的方程为________.14.复数121cos,sinzizi=+=−,则12zz−的最大值为_________.15.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据,x24568y304060507
0则其线性回归直线方程是y=_____________.参考公式:()()()1122211ˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−,aybx=−16.已知函数22,
1l(),1nxaxxfxaxxx−+=.①当1x时,若函数()fx有且只有一个极值点,则实数a的取值范围是________;②若函数()fx的最大值为1,则a=__________.四、解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤)17.设(),zabiabR=+=,问:(1)a,b满足什么条件时,1zz+是实数;(2)若2zz=,求z.18.已知二项式3(2)1nxnx+N的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096.(1)求31()2nxnx+N的展开式中
的常数项的值;(2)在232(1)(1)(1)(1)nxxxx+++++++++的展开式中,求3x项的系数的值.19.已知函数()()()ln121,fxaxxaxaaR=−++−−+.(1)讨论()fx的单调性:(2)若()fx存在极值,且()0fx在(
)1,+上恒成立,求a的取值范围.20.如图,已知菱形ABCD的边长为2,60BAD=,S为平面ABCD外一点,SAD为正三角形,6SB=,M、N分别为SB、SC的中点.(1)求证,平面SAD⊥平面ABCD;(2)求二面角ASBC−−的余弦值;(3)求四棱锥MABN−的体积.
21.受新冠肺炎疫情的影响,2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式,将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行,资料初审通过后才能进行笔试,笔试合格后才能参加面试,面试
合格后便正式录取,且这几个环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘,并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试、面试的概率分别为12,13;乙通过笔试、面试的概率分别为23,12;丙通过笔试、面试的概率
与乙相同.(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率;(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率;(3)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作,企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴,补贴标准如下表:参与环节笔试面试补贴(元)100200记甲、乙
、丙三人获得的所有补贴之和为X元,求X的分布列和数学期望.22.已知函数2sin7()()24fxxxa=−+−.(1)证明:()fx有唯一极值点;(2)讨论()fx的零点个数.参考答案1-8DBACCD
DB9.ACD10.BCD11.BCD12.ABD13.2yx=14.21+15.1335ˆ22yx=+16.(),1−1−17.(1)0b=且1a−;(2)1a=或0时,0b=;当0.5a=−时,32b=(1)11zabizabi+=+++()(1)(1)(1)abiabia
biabi++−=+++−22222(1)(1)aaabiabibibiabi+−++−=+−2222(1)aabbiab+++=++222222(1)(1)aabbiabab++=+++++若1zz+是实数,则220(1)bab=++且22(1)0ab++,解得0
b=且1a−.所以0b=且1a−时,1zz+是实数.18.(1)55128;(2)1365.(1)因为二项31()2nxnx+N的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096,所以0112240962nnnnnCCC+++===,可得12n=,312nxx
+即12312xx+的展开式的通项是:121212433112121122kkkkkkkxTCCxx−−−+==()0,1,2,3,,12kL=,令12403k−=得:3k=,∴
常数项是934121552128TC==;(2)由(1)知12n=,232(1)(1)(1)(1)nxxxx+++++++++即314(1)(1)(1)(1)xxxx++++++++,3414(1),(1),,(1)xxx+
++展开式中3x项的系数分别为:3333414,,,CCLC所以2314(1)(1)(1)(1)xxxx++++++++的展开式中3x项的系数为:333334514CCCC++++433344514CCCC=++++4335514CCC=++
+4336614CCC=+++…4341414151365CCC=+==.19.(1)见解析;(2)10a−.(1)由题意,函数2()ln(1)(2)1,fxaxxaxaaR=−++−+−,可得()fx的定义域为()1,+,且22(4)2()1xax
fxx+−+=−,令2()2(4)2gxxax=+−+,对称轴为41224aax−=−=−,当114a−,即0a时,()gx在(1,)+上单调递增,且()()10gxga=,所以()fx在(1,)+上单调递增:当114a−即0a时,令
()0gx=,得22(4)1680aaa=−=−−恒成立,可得221248481,144aaaaaaxx−−−−+−==,所以在2481,4aaa−+−上()0gx,即()fx在2481,4aaa−+−
上单调递减;在248,4aaa−+−+上()0gx,即()fx在248,4aaa−+−+上单调递增,综上所述,当0a时,()fx在(1,)+上单调递增;当0a时,()fx在2481,4aaa−+−上递减,在248,4aaa
−+−+上递增.(2)由(1)可知,若()fx存在极值,则0a,1,()x+,不等式()0fx恒成立,等价于2(1)1121nxxxxa−+−−−+恒成立,令21,(),(n0,)ltttxhttt+=−=+,则32(n)
l1tttht−−=,令()12lnttt=−−,则2()10tt=−−,所以()12lnttt=−−在(0,)+上递减,因为()10=,所以当()0,1t时,()()0,tht在()0,1上单调递增;当,()1
t+时,()()0,tht在(1,)+上单调递减,所以()()11hth=,即11a−,解得10a−.20.(1)见解析:(2)105−;(3)14.(1)证明:取AD的中点O,连接,SOBO,因为SAD为正三角形,所以SOAD⊥,且3SO=,又菱形ABCD的边长
为2,60BAD=,所以3BO=,而6SB=,所以222SBSOBO=+,即SOBO⊥,因为BOADO=,所以SO⊥平面ABCD,又SO平面SAD,所以平面SAD⊥平面ABCD;(2)解:因为2SAAB==,点M为
SB的中点,所以AMSB⊥,由(1)知BCSO⊥,又菱形ABCD的边长为2,60BAD=,所以BCBO⊥,因为SOBOO=,所以BC⊥面SOB,因为SB面SOB,所以BCSB⊥,因为点N为SC的中点,所以MNBC∥
,故MNSB⊥,所以AMN为二面角ASBC−−的平面角,又平面SOB⊥平面SBC,连接OM,则OMSB⊥,所以OM⊥平面SBC,所以90OMN=,在直角三角形AOM中,61,2AOMO==,所以102AM=,所以10sin5AOAMAMO==,∴10coscos
(90)sin5AMNAMOAMO=+=−=−.∴二面角ASBC−−的余弦值105−;(3)解:由(2)知,MNSB⊥,因为112MNBC==,62MB=,所以64BMNS=,又OM⊥平面SBC,所以O点到平面BNM的距离为62MO=,因为
,AOBCAO∥平面SBC,所以AO∥平面SBC﹐所以A点到平面BNM的距离等于O点到平面BNM的距离62MO=,所以三棱锥MABN−的体积为1166133424BMNSOM==.21.(1)49;(2)1727;(3)分布列答案见解析,数学期望:20003.(1)设事件A表示“甲被企
业M正式录取”,事件B表示“乙被企业M正式录取”,事件C表示“丙被企业M正式录取”,则111211(),()()236323PAPBPC=====,所以甲、乙,丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率1()()()()()()()()()()PPABCABCABCPAPBPC
PAPBPCPAPBPC=++=++1111114112116336339=−−+−−=.(2)设事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被企业M正式录取”,则11110()()()()()11163327PDPABCPAP
BPC===−−−=,所以甲、乙,丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率210171()12727PPD=−=−=.(3)X的所有可能取值为300,500,700,900,1111(300)23318PX
===,1111215(500)223323318PX==+=,1211224(700)22332339PX==+=.1222(900)2339PX===.所以X的分布列为X3
00500700900P118518492915422000()3005007009001818993EX=+++=.22.解:(1)co()2()2sfxxxa=−+.设()()gxfx=,则()22sin0gxx=−,故()fx单调递增.又
()()()()242cos20,242cos20faafaa−=−+−+=++.故存在唯一()02,2xaa−+,使得()00fx=.当0xx时,()0fx,()fx单调递减;当0xx
时,()0fx,()fx单调递增.故0x是()fx的唯一极值点.(5分)(2)由(1)0x是()fx的极小值点,且满足00cos0xax−+=.又2000077(3)(3)2sin(3)42sin(3)044cosfxxxx−
=−−+−−+−−;同理2000077(3)(3)2sin(3)42sin(3)0cs44ofxxxx+=−++−++−.故()00fx时,()fx有两个零点;()00fx=时,()fx有一个零点:()00fx时,()fx无零点.又2200
00000cossinsinsi7331()()2sin244sn22nixxfxxxxx=−+−=−+−=−−−令()00fx,解得0sin12x,即0722()66Zkxkk−+.令()()cos,1si
n0hxxxhxx=+=−此时00cosaxx=+关于0x单调递增,故73322(6262)kakkZ−−++.令()00fx=,解得0sin12x=即0726xk=−或02()6xkkZ
=+.此时00cosaxx=+,故73262ak=−−或32()62kZak=++令()00fx,解得0sin12x,即0522()66kxkkZ++.此时00cosaxx=+关于0x单调递增,故35322()6262kakZk+
++−.综上所述:当73322()6262kakkZ−−++时,()fx有两个零点;当73262ak=−−或32()62kZak=++时,()fx有一个零点;当35322()
6262kakZk+++−时,()fx无零点.(12分)