【文档说明】河北省保定市博野县实验中学2020-2021学年高一下学期4月月考数学试卷 PDF版含答案.pdf，共(12)页，1.319 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前博野县实验中学2020-2021学年度4月考卷高一数学试卷一：单项选择1．复数(2＋i)2等于()A．3＋4iB．5＋4iC．3＋2iD．5＋2i2.如图，在△ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是（）A．ABACADB．ABACB

CC．ABDCADD．ABDCBC3．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若42OAij，34OBij，则2OAOB

的坐标是（）A．1,2B．7,6C．5,0D．11,84．已知向量a，b满足1a，ab，则向量2ab在向量a方向上的投影为（）A．1B．77C．1D．2775．设向量a与

b的夹角为θ，(2,1)a，3(5,4)ab，则sin等于（）A．1010B．13C．31010D．456．下列命题中，不正确的是（）A．若a、b、c是三角形三边，且2220abc，则C是锐角B．在ABC△中，若222abc，则ABCC．在ABC△中

，若4sincos0AA，则ABC△一定是直角三角形D．任何三角形的三边之比不可能是1：2：37．向量,12PAk，4,5PB，10,PCk，若A，B，C三点共线，则k的值为（）A．

2B．11C．2或11D．2或118．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2二：多项选择9．下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题，其中的真命题为()A．|z|＝2B．z2

＝2iC．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－110．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A．AN―→＝14AB―→＋34AD―→B．AN―→

＝14AB―→－34AD―→C．AO―→＝12AB―→＋12AD―→D．AE―→＝53AB―→＋AD―→11．有下列说法其中正确的说法为（）A．若∥ab，∥bc，则∥acB．若23OAOBOC0

，AOCS△，ABCS△分别表示AOC△，ABC△的面积，则:1:6AOCABCSS△△C．两个非零向量a，b，若abab，则a与b共线且反向D．若∥ab，则存在唯一实数使得λab12．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有()A．若sin2A＝sin2B，

则△ABC为等腰三角形B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为34或32三：填空13．(2019·江苏高考)

已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．14．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝33，则a与b的夹角为________．15．已知向量1e，2e不共线，实数x，y满足1212342363xyxy

eeee，则xy_____．16．一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________min．四：大题17.已知向量���与���夹角为​60∘,|���|​=​3,,��

�​=​3���​+​����(1)若�​⊥�,求实数�的值.(2)是否存在实数�,使得����//���,说明理由.18.已知向量����​=​​����2,12​与向量���​=​​12,����2​共线，其中�,�,�为ΔABC的内角．(1)求角�的大小；(2)若����​

=​35，求����的值．19．(12分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.20．已知z－为z的共轭复数，若z·z－－3iz－＝1＋3i，求z.21．如图，在四

边形ABCD中，已知∠ADC＝75°，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°.(1)求BD的长；(2)求CD的长．22如图所示，为了测量河对岸�,�两点间的距离，在岸边定一基线��,现已测出��​=​�和∠��​�​=​60∘​,∠��​�​=​3

0∘​,∠��​�​=​105∘​,∠��​�​=​60∘,试求��的长.一：单项选择1．复数(2＋i)2等于()A．3＋4iB．5＋4iC．3＋2iD．5＋2i解析：选A(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.2.如图，在△AB

C中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是（）A．ABACADB．ABACBCC．ABDCADD．ABDCBC

【答案】C【解析】由已知及图形得到2ABACAD，故A错误；ABACCB，故B错误；ABDCABBDAD，故C正确；ABDCAB

BDBC，故D错误，故选C．3．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若42OAij，34OBij，则2OAOB

的坐标是（）A．1,2B．7,6C．5,0D．11,8【答案】D【解析】因为4,2OA，3,4OB，所以211,8OAOB，故选D．4．已知向量a，b

满足1a，ab，则向量2ab在向量a方向上的投影为（）A．1B．77C．1D．277【答案】A【解析】如图，作OAa，OBb，OAOB，延长OB至点C，使OBBC，以OA，OC为邻边作矩形OCDA，则2OCb，2CA

ab，ACD即为2ab与a的夹角，||cos|2||2|1ACDaabab，则向量2ab在a的方向上的投影为2cos1ACDab，故选A．5．设向量a与b的夹角为θ，(2,1)a，3(5,4)ab，则sin等于（）A．1010B．13C．3101

0D．45【答案】A【解析】设(,)xyb，则3(23,1))35,4(xyab，235134xy，解得11xy，即(1,1)b，21113cos=0521abab，所以210sin1cos10

，故选A．6．下列命题中，不正确的是（）A．若a、b、c是三角形三边，且2220abc，则C是锐角B．在ABC△中，若222abc，则ABCC．在ABC△中，若4sincos0AA，则ABC△一定是直角

三角形D．任何三角形的三边之比不可能是1：2：3【答案】B【解析】对于A：由余弦定理可得222cos02abcCab，又(0,π)C，所以π(0,)2C，所以角C是锐角，故A正确；对于B：由余弦定理可得222cos0

2bcaAbc，又(0,π)A，所以π(0,)2A，所以角A是锐角，所以π2BCA，故B错误；对于C：因为4sincos0AA，(0,π)A，所以sin0A，所以cos0A，则π2A，所以ABC△一定是直角三角形，故C

正确；对于D：若三角形三边之比是1：2：3，不妨设三边为a，2a，3a，则两短边之和为3a，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是1：2：3，故D正确，故选B．7．向量,12PAk，4,5PB，10,PCk，若A，B，C三点共线

，则k的值为（）A．2B．11C．2或11D．2或11【答案】C【解析】由题得4,7ABPBPAk，6,5BCPCPBk，由题

知ABBC∥，故45760kk，解得11k或2k，故选C．8．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选B因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(

a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.二：多项选择9．下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题，其中的真命题为()A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1解析：选BD∵z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－1－i，∴|z|＝2

，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选B、D.10．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A．AN―→＝14AB―→＋34AD―→B．

AN―→＝14AB―→－34AD―→C．AO―→＝12AB―→＋12AD―→D．AE―→＝53AB―→＋AD―→解析：选BD易证△DEN∽△BAN，又OB＝OD，N是线段OD的中点，∴DE＝13AB，∴AE―→＝AD―→＋D

E―→＝AD―→＋13AB―→，∴D说法错误；∵AO―→＝12AC―→＝12AB―→＋12AD―→，∴C说法正确；∵AN―→＝AO―→＋ON―→＝12(AB―→＋AD―→)＋14(AD―→－AB―→)＝34AD―→＋14AB―→，∴A说法正确，B说法错误．故选B

、D.11．有下列说法其中正确的说法为（）A．若∥ab，∥bc，则∥acB．若23OAOBOC0，AOCS△，ABCS△分别表示AOC△，ABC△的面积，则:1:6AOCABCSS△△C．两个非零向

量a，b，若abab，则a与b共线且反向D．若∥ab，则存在唯一实数使得λab【答案】BC【解析】A选项错误，例如0b，推不出∥ac；B选项，设AC的中点为M，BC的中点为D，因为23OAOBOC0

，所以222OMOD0，即2OMOD，所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的13，而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的16，根据三角形面积公式可知正确；C选项，两

边平方可得22||||abab，所以cos,1ab，即夹角为π，结论正确；D选项错误，例如0b，故选BC．12．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有()A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若sinA＝cosB，则△AB

C为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为34或32解析：选ACD对于A：sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，A正确；对于B：由sinA＝cosB，∴A－B＝

π2或A＋B＝π2.∴△ABC不一定是直角三角形，B错误；对于C：sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形，C正确；对于D：由正弦定理，得sinC＝AB·sinBAC＝3

2.而AB>AC，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，∴S△ABC＝32或34，D正确．故选A、C、D.三：填空13．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚

数单位，则实数a的值是________．解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为实部为0，所以a－2＝0，即a＝2.答案：214．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝33，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ

＝a·b|a||b|＝332×3＝32，所以θ＝π6.答案：π615．已知向量1e，2e不共线，实数x，y满足1212342363xyxyeeee，则xy_____．【答案】3【解析】∵

1e，2e不共线，且1212342363xyxyeeee，∴346233xyxy，解得63xy，∴3xy，故答案为3．16．一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所

需时间为________min．【答案】3【解析】∵12vvvvv船水实际，120km/hv，212km/hv，∴221222||||||201216km/hvvv实际．∴所需时间

0.80.05h3min16t，∴该船到达B处所需的时间为3min，故答案为3．四：大题17.已知向量���与���夹角为​60∘,|���|​=​3,,���​=​3���​+​����(1)若�​⊥�,求实数�的值.(2)是否存在实数�,使

得����//���,说明理由.【答案】(1)92(2)​−​92【解析】(1)����​∙���​=​0​⇔(2���​−​3���)(3���​+​����)​=​0​⇒�​=​92;(2)​⇒​2​=​3�−​3​=​��​​

⇒�​=​−​92.18.已知向量����​=​​����2,12​与向量���​=​​12,����2​共线，其中�,�,�为ΔABC的内角．(1)求角�的大小；(2)若����​=​35，求����的值．【答案】（1）�​=​2�3；（2）3​+​4

3​10．【解析】（1）∵����​=​​����2,12​与���​=​​12,����2​共线，∴����2����2​=​14．∴����2​=​±12．又0​<�​<�，∴0​<�2​<�2，����2​=​12．∴�2​=​�3，即�​=​2�3．（2）∵����​=​35，∴����

​=​1​−​​���2​�​​=​45，����​=​−​���​�​+​�​​=​−​��������​+​��������​=​12​×35​+​3​2​×45​=​3​+​43​10.19．(12分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c

，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.故sinB＝2sinA，所以ba＝2.

(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.由(1)知，b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2，可得cos2B＝12，又cosB>0，故cosB＝22，所以B＝45°.20．已知z－为z的共轭复数，若z·z－－3i

z－＝1＋3i，求z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有a2＋b2－3b＝1，－3

a＝3，解得a＝－1，b＝0或a＝－1，b＝3.所以z＝－1或z＝－1＋3i.21．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝75°，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°.(1)求BD的长；(2)求CD的长．解：(1)在△ABD中，AD＝5，A

B＝7，∠BDA＝60°，所以由余弦定理AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠BDA，可得49＝25＋BD2－2×5·BD·cos60°，则BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8(BD＝－3舍去

)．(2)在△BCD中，∠BDC＝∠ADC－∠BDA＝75°－60°＝15°.又∠BCD＝135°，则∠CBD＝180°－135°－15°＝30°.由(1)得BD＝8，由正弦定理CDsin∠CBD＝BDsin∠BCD，得CDsin30°

＝8sin135°，解得CD＝42.22如图所示，为了测量河对岸�,�两点间的距离，在岸边定一基线��,现已测出��​=​�和∠��​�​=​60∘​,∠��​�​=​30∘​,∠��​�​=​105∘​,∠��​�​=​60∘,试求��的长.【答案】2​2�【解析】在ΔACD

中，已知��​=​�,∠��​�​=​60∘​,∠��​�​=​60∘,∴��​=​�.∵∠��​�​=​30∘​,∠��​�​=​105∘,∴∠��​�​=​45∘.在ΔBCD中，由正弦定理，得��

​=​����10​5∘​���4​5∘​​=​3​​+​12�.在ΔABC中，已经求得��和��，又∵∠��​�​=​30∘,∴��​=​​��2​​​+​��2​​−​2��​∙�����3​0∘​​​=​2​2�.