【文档说明】高考数学培优专题55讲：第15讲 排列组合与二项式定理【高考】.doc，共(10)页，857.000 KB，由小赞的店铺上传

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1第十五讲排列组合与二项式定理A组一、选择题1．(2017全国2卷理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】22234236CCA=,故选D。2．将标

号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种答案B【解析】先放1、2的卡片有C13种，再将3、4、

5、6的卡片平均分成两组再放置，有224222CAA种，故共有123418CC=种．3．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重名次）.已知甲、乙均未得到第1名，且乙

不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A．27种B．48种C．54种D．72种【答案】C[【解析】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A种排法．故共有543333=A种不同的

情况,故选C.4．(2017年全国3卷理)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为（）A．-80B．-40C．40D．80【答案】C【解析】由()52xy−展开式的通项公式：()()5152rrrrTCxy−+=−可得：当3r=时，()52xxy−展开式中33xy的系数为()332521

40C−=−当2r=时，()52yxy−展开式中33xy的系数为()22352180C−=，则33xy的系数为804040−=.本题选择C选项.4．已知5axx−的展开式中含32x的项的系数为30，则a=（）2A.3B.3−C.6D-6【答案】D.【解析】rrrrrxaC

T−+−=2551)1(，令1=r，可得6305−==−aa，故选D.5．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．30B．600C．720D．840【答案】C【解析】4475720AA−=．二、填空题

6．（2017天津卷理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080ACCA+=6．371

()xx+的展开式中5x的系数是.（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()xx+展开的通项372141771()()rrrrrrTCxCxx−−+==，令2145r−=，得4r=，则5x的系数是4735C=.7．若21()nxx−展开式的二项式系数之和为128，则展开式中2

x的系数为______.【答案】35【解析】由题意2128n=，7n=，展开式通项为271431771()()(1)rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，令1432r−=，4r=，故2x的系数为447(1)35C−=．三、解答题8．给图中A、B、C、D、E、F六个

区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择,则共有多少不同的染色方案.ABCDEF（第7题图）3【解析】先染ABC有34A种,若A,F不相同,则F,E,D唯一;若AF相同,讨论EC,若EC相同,D有2种,则3412A,若

EC不相同,D有1种,则3411A.所以一共有34A+3412A+3411A=96种.9．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲,分别按下列要求,各有多少种不同选法?(用数字作答)(1)男、女同学各2名.(2)男、女同学

分别至少有1名.(3)在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出.【解析】(1)224544()1440CCA=所以男、女同学各2名共有1440种选法.(2)13223145454544()2880CCCCCCA++

=所以男、女同学分别至少有1名共有2880种选法,(3)2112434344[120()]2376CCCCA−++=所以在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2376种选法.10．在二项式412nxx+的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开

式中所有的项重新排成一列，求有理数都互不相邻的概率【解析】展开式通项为141()()2rnrrrnTCxx−+=2342nrrrnCx−−=（0rn），由题意1100222222nnnCCC−−=+，8n=．所以当0,4,8r=时1634r−为整数

，相应的项为有理数，因此题二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理数，6项是无理数，所求概率为636799512AAPA==．11．设20sin12cos2xaxdx=−+，求()6212axxx−+的

展开式中常数项。【解析】()200sin12cossincos(cossin)202xaxdxxxdxxx=−+=+=−+=，61()axx−=61(2)xx−的展开式的通项为6631661(2)()(

1)2rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2TCC−−=−+−332=−．4B组二、选择题1、二项式(1)()nxnN++的展开式中2x的系数为15，则n=（）A．4B．5

C．6D．7【答案】C【解析】二项式()1nx+的展开式的通项是1Crrrnx+=，令2r=得2x的系数是2Cn，因为2x的系数为15，所以2C15n=，即2300nn−−=，解得：6n=或5n=−，因为n+，所以6n=，故选C

．2、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A个；若

万位上排5，则有343A个.所以共有342A343524120A+==个.选B.3、已知(1)nx+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122B．112C．102D．92【答案】D【解析】因为(

1)nx+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nnCC=，解得10=n，所以二项式10(1)x+中奇数项的二项式系数和为9102221=.4、若nxyyx−的展开式中的二项式

系数之和为64，则该展开式中3y的系数是（）A．15B．15−C．20D．20−【答案】A【解析】由题意得264,6nn==，因此3363622166()()rrrrrrrxyTCCxyyx−−−+==，从而333,42rr−==，因此展开式中3y的系数是426615.CC

==选A.二、填空题55、5312xx+的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为71535215511()()()22kkkkkkkTCxCxx−−+==，令71582k−=，解得2k=，因此8x的

系数为22515()22C=.6、已知55104)1()1()1)(2(+++++=−+xaxaaxx，则=++531aaa____.[来源:Zxxk.Com]【答案】1【解析】在已知式中，令0x=

得40123452(1)2aaaaaa+++++=−=①，令2x=−得0123450aaaaaa−+−+−=②，①－②得1352()2aaa++=，所以1351aaa++=．三、解答题7、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使

用,则不同的染色方法总数有多少种。【解析】四棱锥为PABCD−.下面分两种情况，即①C与B同色.各个点的不同的染色方法：点p有15C种；点A有14C；点B有13C种.点D有13C种.共有11115433180CCCC=种不同的方法.②C与B不同色讨论.点p有15C种；点A有14C

；点B有13C种.C与B不同色有12C种；点D有12C种.共有1111154322240CCCCC=种不同的方法.综上，共有180240420+=种不同的染色方法.8、在二项式331()2nxx−的展开式中，前三项系数的绝对值

成等差数列.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项的系数和.【解析】（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是1,2,3时，把1,2,3代入整理出这些项的系数的值即：00122111()()()222nnnCCC−,,.（2）根据上一问得出的结论令1x=即可.解题的关键是写

出展开式的特征项，利用特征项的特点解决问题，注意代数式的整理，特别是当分母上带有变量时注意整理.解：展开式的通项为2311()(0,1,22nrrrrnTCxr−+=−=,…,)n由已知：00122111()()()222nnnCCC−,,成等差数列，∴121121824nnCCn=+=,6

（1）5358T=（2）令1x=，各项系数和为12569、在二项式nxx−213的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中的有理项．【解析】在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴8=n．∴二项式8321

−xx中，令1=x，展开式中各项的系数和为25612118=−．（2）通项公式为34888381)21()21()(rrrrrrrxCxxCT−−+−=−=，r=0，1，2，…，8．当348r−为整数，即8,5,2=r时，展开式是有

理项，有理项为第3、6、9项，即72102823=−=xCT；4458564721−−−=−=xxCT；888889264121−−−=−=xxCT．10、已知()(23)nfxx=−展

开式的二项式系数和为512，且2012(23)(1)(1)nxaaxax−=+−+−(1)nnax++−.（1）求2a的值；（2）求123naaaa++++的值.【解析】（1）根据二项式的系数和即为2n，可得25129nn==，因此可将()fx变形为99(

)(23)[2(1)1]fxxx=−=−−，其二项展开式的第1r+为9919(1)2(1)(09)rrrrrTCxr−−+=−−，故令7r=，可得727292(1)144aC=−=−；（2）首先令令901,(213)1xa==−=−，再令令2x=

，得901239(223)1aaaaa+++++=−=，从而1239012390()2aaaaaaaaaa++++=+++++−=.（1）由二项式系数和为512知，9251229nn===2分，99(23)[2(1)1]xx−=−−，∴

727292(1)144aC=−=−6分；（2）令901,(213)1xa==−=−，7令2x=，得901239(223)1aaaaa+++++=−=，∴1239012390()2aaaaaaaaaa++++=+++++−=12分．C组三、选择

题1、25()xxy++的展开式中，52xy的系数为()（A）10（B）20（C）30（D）60【答案】C【解析】在25()xxy++的5个因式中，2个取因式中2x剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y,故52xy的系数为212532

CCC=30，故选C.2、某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.3解：先排歌舞，有33A种不同排法，再插入小品和相声，若小品插入两边，则不合题意；若两个小品插入中间的两个空，×^×^×

，则1个相声可以插入中间和两边6个位置的任意一个，有2126AA种；若两个小品插入2个中间位置中的1个和两边中任意一个位置，则1个相声只能插入2个中间位置中的另一个，有224A，由加法原理和乘法原理得，共有321232

62(4)120AAAA+=。点评：本题考查加法原理、乘法原理、排列、组合，涉及分类讨论，属中档题。易错提醒：排列组合问题最易多或少。如：先排2个小品，再插入1个相声，再插入3个歌舞，得213214AAA或213234AAA，都是

错误的。正确分类是解决这类问题最常用的方法。3、262(2)(1)xx−+的展开式中1x−的系数为（）A．60B．50C．40D．20【答案】A【解析】2620122555222(2)(1)(2)[()xxCCCxxx−+=−++334455555222()()(

)]CCCxxx+++故展开式中1x−的系数为3315522260CC−=，故选A．84、已知实数ma,满足−=22cosxdxa，7()xam++270127(1)(1)(1)aaxaxax=+++++++，且727

531264203)()(=+++−+++aaaaaaaa，则=m（）A．1−或3B．1或3−C．1D．3【答案】B【解析】2222cossin2axdxax−−===，令0x=，得70127(2)maaaa+=++++；令2x=−，得170234567m

aaaaaaaa=−+−+−+−；又220246135701()()(aaaaaaaaaa+++−+++=+24567012345)(aaaaaaaaaaa+++++−+−+−+7767)[()]3aaamm−=+=，得(2)3mm+=，解得m的值为1或3−．

二、填空题5、4()(1)axx++的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=__________．【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464xxxxx+=++++，故4()(1)axx++

的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，34ax，x，36x，5x，其系数之和为441+6+1=32aa++，解得3a=．6、在10201511xx++的展开式中，2x项的系数为（结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10

101019102015201520151111(1)(1)(1)xxxCxxxx++=++=++++，所以2x项只能在10(1)x+展开式中，即为8210Cx，系数为81045.C=三、解答题7、求610341(1)(1)xx++展开式中的常数项【解

析】第一个展开式中x的指数依次是12450,,,1,,,23333，第二个展开式中x的指数依次是113537950,,,,1,,,,2,,,42442442−−−−−−−−−−根据多项式乘法规则，常数项只能是第一个展开式中x的指数是0,1,2的项与第二个展开式中x的指数是0,1

,2−−对应项的乘积，根据二项式定理中的通项公式，得所求常数项为346861061014246CCCC++=[来源:9学科网]8、编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个

小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？【解析】根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此

时有33A＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有33A＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任

何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，有33A＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有13A33A＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．9、有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条

件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定要担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．【解析】(1)先选后排．符合条件的课代表人员的选法有32415353()CCCC+

种，排列方法有55A种，所以满足题意的选法有3241553535()5400CCCCA+=(种).(2)除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有47A＝840(种)选法.(3)先选后排

．从剩余的7名学生中选出4名有47C种选法，排列方法有1444CA种，所以选法共有4147443360CCA=(种).(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有36C种选法，该男生的安排方法有13C种，其余3人全排列，有33A种，因此满足题意的选法共有313633CCCA

＝360(种).10、【2016高考江苏卷】（1）求3467–47CC的值；（2）设m，nN*，n≥m，求证：（m+1）Cmm+（m+2）+1Cmm+（m+3）+2Cmm+…+n–1Cmn+（n+1）Cmn=（m+1）+2+2Cmn.【解析】1）3467654765474740.32143

21CC−=−=（2）当nm=时，结论显然成立，当nm时1011(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(k1)(m1)]!mmkkkkkkCmmCkmmnmkmm+++++==+=+=++−++−+又因为122112,mmmkkkCCC++

+++++=所以2221(1)(1)(),km1,m+2,n.mmmkkkkCmCC+++++=+−=+，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(n1)(1)[(2)(3)(n1)](1)(1)[()()()](1)mmmmmmmnmmmmmmmnmmmmmmmmmmmm

nnmnmCmCmCCmCmCmCCmCmCCCCCCmC+++++++++++++++++++++++++++=+++++++=+++−+−+−=+