【文档说明】高中数学人教A版《选择性必修第三册》 全书讲义6.2.3-4.docx，共(20)页，99.081 KB，由管理员店铺上传

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6.2.3组合6.2.4组合数[教材要点]要点一组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．状元随笔(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，

取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)组合的特性：元素的无序性．取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求．(3)根据组合的定义，只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合；如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个

组合就是不同的组合．要点二组合数与组合数公式1.组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用符号________表示．状元随笔1.同“排列”与“排列数”是两个不同的

概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．例如，从3个不同的元素a，b，c中取出2个元素的所有组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，即组合不是数，而是完成一件事的一种方法，而该问题的组合数为3，是一个数字．2.我们可以从集合的角度理解组合数的概念．例如，

从3个不同的元素a，b，c中任取2个的所有组合构成的集合为A＝{ab，ac，bc}，则组合数即为集合A的元素个数．3.符号Cmn是一个整体，n，m均为正整数，且m≤n.2.组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝________________＝________(n，m∈N*，且m≤n).[教材

答疑][教材P22思考](1)是组合问题；(2)是排列问题．[基础自测]1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.()(2)从a、b、c、

d中选取2个合成一组，其中a、b与b、a是同一个组合．()(3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个的组合数”．()(4)组合和排列一样，都与“顺序”有关．()2.(多选题)下列问题中是组合问题的是()A．从甲、乙、丙3名同学中选出2

名同学去参加两个社区的社会调查，有多少种不同的选法？B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？D．3本相同的书分给5名同学，每人一本，有多少种分配方法？3.A24－C23＝()A．9B．8C．7D．

64.现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为________．题型一组合数的相关计算——师生共研例1解方程：(1)Cx＋113＝C2x－313；(2)Cx－2x＋2＋Cx－3x＋2＝110A3x＋3.

方法归纳进行组合数的相关计算时，注意以下几点：(1)像排列数公式一样，公式Cmn＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！一般用于计算，而公式Cmn＝n！m！（n－m）！及Cmn＝AmnAmm一般用于证明、解方程(不等

式)等．(2)要注意公式Amn＝CmnAmm的逆向运用．(3)对于含有组合数的方程或不等式的问题，只需根据组合数公式的连乘形式或阶乘形式，把问题转化为不含组合数的方程或不等式问题．但在求出结果后应注意验证能不能使组合数有意义，既要保证组合数Cmn中下标n大于或等于该组合数的上标m，

又要保证n，m均为正整数．跟踪训练1(1)7C36－4C47的值为________．(2)若C10n＝C8n，则Cn20＝()A．380B．190C．18D．9题型二组合的应用——微点探究微点1“至多”与“至少”问题例2(1)现有16张不同的卡片，

其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484(2)现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查，至少有1件是次品的抽法有________种．

方法归纳“至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)直接分类法，注意分类要细、要全；(2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．微点2“含”与“不含”问题例3在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，各有多少种不同

的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．方法归纳“含……”或“不含……”是组合应用的常见题型．其解法一般为直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉再取出，分

步计数．必要时，还需对元素进行分类，对题目中的元素分类后，要弄清被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊元素，这是解题的关键．当用直接法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．跟踪训练2从六位

同学中选出四位参加一个座谈会，要求小张、小王两名同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A．9B．14C．12D．15题型三排列与组合的综合问题——微点探究微点1先选后排问题例4(1)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成

4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为()A.420B.660C.840D.880(2)用数字1，2，3，4，5、6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个．(

用数字作答)方法归纳解决先选后排问题时，应遵循三大原则：(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步．微点2分配问题例5把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分

配方法．(1)甲2本、乙2本、丙2本；(2)甲1本、乙2本、丙3本；(3)甲4本、乙1本、丙1本．方法归纳对于不等分组，只需将元素按要求依次分配给每个对象即可．跟踪训练36名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场

馆安排3名，则不同的安排方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种易错辨析忽略元素无序，造成计数重复例65本不同的书全部分给4名同学，每名同学至少一本，不同的分法种数为________．解析：先把5本书分成4堆，然后分给4名同学．第1步，从5本书中任意取出2本捆绑成一个整

体，有C25种方法．第2步，把4堆书分给4名同学，有A44种方法．由分步乘法计数原理知，不同的分法种数为C25·A44＝240.答案：240【易错警示】易错原因解答此题时易得到如下错解：先从5本书中取4本分给4名同学，有A45种方法

，剩下的1本书可以给任意一名同学，有4种分法，不同的分法种数为4×A45＝480.该解题过程中出现了重复选取的情况．设5本书分别为a，b，c，d，e，4名同学分别为甲、乙、丙、丁．按照上述分法可能有如下的表1和表2：表1是甲首先分得a、乙分得b、丙

分得c、丁分得d，最后一本书e给甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲．从结果上看以上两种情况是完全相同的，而在计数时把它们当成了不同的情况，造成重复计数．纠错心得对于元素无序的分配问题，一般不能采用分步计数，而是采取先选后排的方法，即可避免重复计数．温馨提

示：请完成课时作业（四）6．2.3组合6．2.4组合数新知初探·课前预习要点一作为一组要点二1．个数组合数Cmn2.n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！n！m！（n－m）！[基础自测]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：AC与顺序有关，是排列问题；BD与顺序无关，是组合问题．故选

BD.答案：BD3．解析：A24－C23＝4×3－3＝9.故选A.答案：A4．解析：由题意得，不同选法的种数为C26＝15.答案：15题型探究·课堂解透题型一例1解析：(1)由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，由0≤x＋1≤13，0≤2x－3≤13，x∈N

*，得2≤x≤8且x∈N*.故原方程的解为x＝4或x＝5.(2)原方程可化为Cx－2x＋3＝110A3x＋3，即C5x＋3＝110A3x＋3，∴（x＋3）！5！（x－2）！＝（x＋3）！10·x！，∴1120（x－2）！＝110·x（x－1）

·（x－2）！，∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3.经检验，x＝4是原方程的解．跟踪训练1解析：(1)7C36－4C47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0.(2)∵C10n＝C8n，∴n＝18，∴Cn20＝C1820＝C220＝20×192×1＝190.故选

B.答案：(1)0(2)B题型二例2解析：(1)方法一：本题的解题关键是抓住有无红色卡片来讨论．若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14C14C14＝64种取法；若2张同色，则有C13

C12C24C14＝144种取法．若红卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14C23C14C14＝192种取法；剩余2张同色，则有C14C13C24＝72种取法，故共有64＋144＋192＋72＝472种取法．故

选C.方法二：从16张不同的卡片中任取3张，共有C316种取法，其中有两张红色的有C24×C112种取法，三张卡片颜色相同的有C34×4种取法．所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法有C3

16－C24×C112－C34×4＝472种．故选C.(2)方法一(直接法)分两类：第1类，抽出1件次品，抽法种数为C12×C28；第2类，抽2件次品，抽法种数为C22×C18.由分类加法计数原理知，不同的抽法种数为C12×C28＋C22×C18＝56＋8＝64.方法二(间接法)从

10件产品中任取3件的抽法有C310种，不含次品的抽法有C38种，所以至少有1件是次品的抽法种数为C310－C38＝64.答案：(1)C(2)64例3解析：(1)从中任取5人是组合问题，不同的选法种数为

C512＝792.(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，不同的选法种数为C29＝36.(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需要从另外的9人中选5人，不同的选法种数为C59＝126.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：第1步，从甲、乙、丙

中选1人，有C13种选法；第2步，从另外9人中选4人，有C49种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的选法种数为C13C49＝378.跟踪训练2解析：方法一(直接法)分两类：第1类，小张、小王两名同学都不参加，有C44种选法；第2类，小张、小王两名同学中只有一人参加，

有C12C34种选法．根据分类加法计数原理，可得不同的选法种数为C44＋C12C34＝9.方法二(间接法)不同的选法种数为C46－C24＝9.答案：A题型三例4解析：(1)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服

务队，共有A28·C26＝840种选法，其中不含女生的有A26C24＝180种选法，所以服务队中至少有1名女生的选法种数为840－180＝660.故选B.(2)个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数可分为以下两类：第1类，个位、十位和百位上的数字为3个偶数，即个位、十位和百位上

的数字由2，4，6构成，共有A33种排法．千位数字只能从1，3，5中选，所以有C13种选法．故本类包含A33C13个数．第2类，个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数，先选出这个偶数有C13种选法，然后选2个奇数，有C23种选法，将3个数排序得到四位数的个位、十位和百位

，有A33种排法．最后选千位数字，从余下的3个数中选，有C13种选法．故本类包含C13C23A33C13个数．综上，根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有A33C13＋C13C23A33C13＝180(个).答案：(1)B(

2)180例5解析：(1)第一步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有C26种方法；第二步，从剩下的4本不同的书中选2本分配给乙，有C24种方法；第三步，剩下的2本不同的书全给丙，有C22种方法．根据分步乘法计数原理知，共有C26×

C24×C22＝90种不同的分配方法．(2)第一步，从6本不同的书中选1本书分配给甲，有C16种方法；第二步，从剩下的5本不同的书中选2本书分配给乙，有C25种方法；第三步，剩下的3本不同的书全给丙，有C33种方法．根据分步乘法计数原理知，共有C16×C25×C33＝

60种不同的分配方法．(3)第一步，从6本不同的书中选4本书分配给甲，有C46种方法；第二步，从剩下的2本不同的书中选1本书分配给乙，有C12种方法；第三步，剩下的1本书给丙，有C11种方法．根据分步乘法计数原理知，共有C46×C12×C11＝30种不同的分配方法．跟踪训练3解析：首先

从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C16；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C25；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有C16·C25＝6×10＝60种．故选C.答案：C