【文档说明】《苏教版（2019）高一数学下学期期末考试分类汇编》平面向量（教师版）.docx，共(26)页，1.536 MB，由envi的店铺上传

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专题01平面向量一、单选题1．（2021·江苏徐州·高一期末）在直角三角形ABC中，∠C=90º，则向量AB在向量AC上的投影向量为（）A．ACB．ABC．CAD．CB【答案】A【解析】【分析】根据给定条件借助投影向量的定义即可得解.【详

解】依题意，在ABC中，ACBC⊥，由投影向量的定义知，向量AB在向量AC上的投影向量为AC.故选：A2．（2021·江苏宿迁·高一期末）已知2a=，()3,3b=，a在b上的投影向量为12b，则a与b的夹角为（）A．56B．3C．6或56D．6【答案】D【解析】【分

析】设a与b的夹角为，由a在b上的投影向量为1cos2babb=即可求得cos的值，结合向量夹角的范围即可求解.【详解】设a与b的夹角为，()223323b=+=则a在b上的投影向量为1cos2babb=，即12cos223bb=，所以3cos2bb=，所以3cos2=

，因为0,，所以6=，故选：D.3．（2021·江苏·泰州中学高一期末）已知向量a，b满足1ab==rr，3ab+=rr，则2ab+=rr（）A．3B．3C．7D．7【答案】D【解析】【分析】利用公式()2abab+=+，求出12ab=，再利用()222abab+=+

求值.【详解】因为()22223+=+=++=ababaabbrrrrrrrr，把1ab==rr代入，解得12ab=.所以()22222444217ababaabb+=+=++=++=.故答案为：7.4．（2021·江苏常州·高一期末）在等边ABC

中，1AB=，D为AB边的中点，则ACDA的值为（）A．34B．14C．14−D．34−【答案】C【解析】先求出向量的夹角，再利用向量数量积的定义，即可得到答案；【详解】,120ACDA=，D为AB边的中点，1AB=，1||2DA=，111|||

|cos1201()224ACDAACDA==−=−，故选：C.5．（2021·江苏·高一期末）记知向量(1,1),(1,3),(2,1)abc==−=，且()//abc−，则=（）A．3B．－3C．17D．－1

7【答案】C【解析】【分析】由向量共线的坐标表示求解．【详解】由题意(1,13)ab−=+−，因为()//abc−，所以()12130+−−=，解得17=．故选：C．6．（2021·江苏·南京市中华中学高一期末

）如图，已知3ABBP=，用OA、OP表示OB，则OB等于（）A．3122OAOP−uuruuurB．3144OAOP+uuruuurC．3144OAOP−+uuruuurD．1344OAOP+uuruuur【答案】D【解析】【分析

】利用平面向量减法法则结合已知条件3ABBP=可得出OB关于OA、OP的表达式.【详解】因为3ABBP=，即()3OBOAOPOB−=−，解得1344OBOAOP=+.故选：D.7．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知ABC，，为圆O上的三点，线段CO的延长

线与线段OAB的延长线交于圆O外的一点D，若OCmOAnOB=+，则mn+的取值范围为（）A．()01，B．()0+，C．()1，−+D．()10−，【答案】D【解析】【分析】结合平面向量共线定理即可.【详解】因为COD、、三点共线，所以可设(0)OCkODk=，则1OCkOD

，所以10k−，因为OCmOAnOB=+，所以mnODOAOBkk=+，又BAD、、三点共线，所以1mnkk+=，所以mnk+=，所以(10)mn+−，.故选：D8．（2021·江苏淮安·高一期末）已知点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则()ABPAPC+的最小值为（）

A．14−B．12−C．1−D．2−【答案】C【解析】【分析】令PAPCkDB+=，由DBAB和()ABPAPCk+=的数量积运算结合k的范围可得答案.【详解】如图设PAPCkDB+=，当P与D重合时，PAPCDB+=，1k=，当P与B重合时，PAPCDB+=−，1k

=−，所以当P点在DB上运动时11k−，所以cos451DBABDBAB==，得()ABPAPCkABDBk+==，min1k=−，此时P与B重合.故选：C.二、多选题9．（2021·江苏徐州·高一期末）设向量a→，b→满足||||1ab→→==，

且|3|13ba→→+=，则（）A．ab→→⊥B．||1ab→→−=C．||3ab→→+=D．a→与b→的夹角为60°【答案】BD【解析】【分析】先通过题目条件求出ab→→，可以判断A；将B,C的式子展开

，将ab→→的值代入即可判断；最后用平面向量的夹角公式可以判断D.【详解】由题意，229613abab→→→→++=，因为||||1ab→→==，所以1916132abab→→→→++==，A错误；222||21abababab→→→→→→→→−=−=+−=，B正确；222

||23abababab→→→→→→→→+=+=++=，C错误；设a→与b→的夹角为，1cos,23||||abab→→→→===，D正确.故选：BD.10．（2021·江苏盐城·高一期末）下列说法中正确的为（）A．若//abrr，//bc，则

//acB．向量()12,3e=，213,24e=−能作为平面内所有向量的一组基底C．已知()1,2a=r，()1,1b=r，且a与aλb+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+D．

非零向量a和b满足abab==−，则a与ab+的夹角为30°【答案】BD【解析】【分析】直接利用向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积的应用判断A、B、C、D的结论．【详解】解：对于A：若//a

b，//bc，(0)b，则//ac，故A错误；对于B：向量1(2,3)e=，213,24e=−，所以12ee与不共线，所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故B正确；对于C：已知(1,2)a=，(1,1)b

=，则(1,2)ab+=++rr，所以：()0aab+rrr，且a和()ab+不共线．即(1)2(2)0+++，且()212++解得53−且0，故C错误；对于D：非零向量a和b满足||||||abab==−，则以,,abab−为边长的三角形为等边三角形，所以a与a

b+的夹角为30°，故D正确．故选：BD．11．（2021·江苏·金陵中学高一期末）下列说法正确的是（）A．已知1)2(a−=，，,1()bxx−=，若()2//baa−，则1x=−B．在ABC中，若

1122ADABAC=+，则点D是边BC的中点C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足12DMMC=，则43AMAC=D．若ab，共线，则abab+=+【答案】BC【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A；根据向量的线性运算可判断选项B；根据向量数量

积的运算可判断选项C，举反例可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A：1)2(a−=，，,1()bxx−=，可得()22,5baxx−=+−，若()2//baa−则()()()215xxxx+−=−，即62x=，所以13x=，故选项A不正确；对于B

：取BC的中点E，则()111222ABACABACAEAD+=+==，即D点与E点重合，所以点D是边BC的中点，故选项B正确；对于C：()()()13AMACADDMADDCADDCADDC=++=++2214141333

3ADDCADDC=++=+=，故选项C正确；对于D：当ab，反向时不成立，故选项D不正确，故选：BC.三、填空题12．（2021·江苏常州·高一期末）设k为实数，若向量(,2)ak=，(1,1)b=−，且//abrr，则ab的值为___

________.【答案】4−【解析】【分析】利用向量共线，求解k，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：向量(,2)ak=，(1,1)b=−r，且//ab，可得2k−=，解得2k=−，所以()()()2,21,121214ab=−−=−+−=

−．故答案为：4−．13．（2021·江苏苏州·高一期末）已知向量(1,2),(,6)abx=−=−，且23,2ABabBCab=+=+，若A，B，C三点共线，则实数x的值为_________.【答案】

3【解析】【分析】根据三点共线的位置关系列出向量等式，结合向量的坐标表示求解答案.【详解】A，B，C三点共线，可设ABBC=由()()1,2,6abx=−=−，得：()()()2321,23,632

,14ABabxx=+=−+−=−−()()21,22,621,10BCabxx=+=−+−=−−（）A，B，C三点共线，可设ABBC=()()32,1421,10xx−−=−−3x=故答案为：3.14．（2021·江苏徐州·高二期末）如

图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，3AFAE=uuuruuur.设AFABADxy=+，则xy+的值为______.【答案】65【解析】【分析】过点F作FMAB⊥，垂足为M，根据平面向量基本定理，结合锐角三角函数的定义进行求解即可.【详解】过点F作FM

AB⊥，垂足为M，根据正方形的性质，可知DAAB⊥，因此//FMAD，由题意可知：ADEABF≌，所以AEBF=，由题意可知：EFGH是小正方形，因此可知：ABF是直角三角形，设大正方形ABCD的边长为1，AEBFa==，因

为3AFAE=uuuruuur，所以33AFAEa==，由勾股定理可知：22222101910ABAFBFaaa=+=+=，由10310sin11031010BFFMFMFABFMABAF====，由310910cos11

031010AFAMAMFABAMABAF====，因为931010AFAMMFABAD==++，所以391261010105xy+=+==，故答案为：65四、解答题15．（2021·江苏泰州·高一期末）已知平面向量a→，b→满足()3,6ab→→+=−，(),2

abm→→−=−，其中mR.（1）若a→∥b→，求||ab→→−；（2）若5m=，求a→与b→夹角的余弦值.【答案】（1）5；（2）1010.【解析】【分析】（1）先求出a→，b→，再根据向量平行的坐标运算解出m，进而根据平面向量模的运算求出答案；（2）先求出ab→→，||,||ab→

→，进而根据平面向量夹角公式即可解得.【详解】（1）由()3,6ab→→+=−，(),2abm→→−=−，解得3,22ma→−=，3,42mb→+=−.因为a→∥b→，所以334222mm−+=−，解得1m=.

所以()1,2ab→→−=−，()22||125ab→→−=+−=.（2）当5m=时，()1,2a→=，()4,4b→=−，则()14244ab→→=−+=，()22||125a→=+−=，()22||4442b→=−+=.设a→与b→的夹角为，则410cos105

42||||abab→→→→===.所以a→与b→夹角的余弦值为1010.16．（2021·江苏·南京市第一中学高一期末）已知向量1e，2e的夹角为120°，且12e=，2eur.若122aee=+，122bee=−rurur.（1）求2ab+

；（用1e，2e表示）（2）求ar的值.【答案】（1）1243ee−；（2）13.【解析】【分析】（1）根据两个向量的加法法则，把两个基底的系数分别相加，得到结果；（2）求向量的模长，先把向量平方，根据向量的运算法则，表示

出向量的平方，再开方就可以得到向量的模长．【详解】（1）∵122eea=+urrur，12e2eb=−urrur，∴()12121222ee2e2e4e3eab+=++−=−urururururrrur；（2）∵向量1e，2e的夹

角为120°，且1e2=ur，2e3=ur，∴()2222122ee42423cos120313a=+=++=rurur，∴13a=.17．（2021·江苏·高邮市临泽中学高一期末）已知向量(1,1)a=−，||2b=，且(2)4abb+=．（1）求向

量a与b的夹角；（2）求||ab+的值．【答案】（1）3；（2）6．【解析】（1）求出ab，然后由数量积的定义求得夹角；（2）计算出2()ab+后可得所求模．【详解】（1）由题意2a=，2(2)2224abbabbab+=

+=+=，∴1ab=，∴22cos,1abab==，1cos,2ab=rr，∴,3ab=；（2）2222||()22226ababaabb+=+=++=++=，∴||6ab+=．18．（2021·江苏·

海门市第一中学高三期末）在平面直角坐标系xoy中，已知点A(1，3)，B(2，-2)，C(4，1).（1）若3,ABCD=求点D的坐标;（2）设实数k满足(2)4kABOCOC+=，求实数k的值.【答案】（1）132,33−；（2）30【解析】

（1）设(),Dxy，根据3ABCD=，即可得到方程组，解得即可；（2）首先求出OC、2kABOC+的坐标，再根据向量的数量积的坐标运算计算可得；【详解】解：（1）因为()1,3A、()2,2B−、()4,1C所以()1,5AB=−uuur，设(),Dxy，所以()4,y1C

Dx=−−uuur因为3ABCD=所以()()()1,534,1312,33xyxy−=−−=−−所以3121335xy−=−=−解得13323xy==−所以D点的坐标为132,33−（2）()4,1OC=，()(

)()21,524,18,52kABOCkkk+=−+=+−+因为(2)4kABOCOC+=，所以()()48524kk++−+=解得30k=【点睛】本题考查平面向量相等及平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.一、单选题1．（2021·江

苏·扬中市第二高级中学高一期末）已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：甲：0PAPBPC++=；乙：()()PAPAPBPCPAPB−=−；丙：PAPBPC==；丁：PAPBPBPCPCPA==．如果只有一个等式不成立，则该等式

为（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】【分析】先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不

成立，得到答案.【详解】甲：0PAPBPC++=，则PAPBPC+=−，故P为△ABC的重心；乙：()()PAPAPBPCPAPB−=−，则()0PAPBCABACA−==，故ABAC⊥，即△ABC为直

角三角形；丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；丁：PAPBPBPC=，则()0PAPCPBCAPB−==，同理可得：0BAPCCBPA==，即P为△ABC的垂心，当△ABC为等边三角形时，三心重

合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.故选：B．2．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）如图，在任意四边形ABCD中，其中2AD=，3BC=，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别

是AC，BD的中点，求PQFE=（）A．54−B．54C．52−D．52【答案】B【解析】【分析】连接EP，FP，EQ，FQ，可得四边形EPFQ为平行四边形．根据向量的线性运算可得22225()()224CBDAPQFEFQFP=

−=−=即可．【详解】如图，连接EP，FP，EQ，FQ，因为E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，所以EQAD∥,且1=2EQAD，PFAD,且1=2PFAD,所以EQPF∥，且=EQPF，可得四边形EPFQ为平行四边形，且1=2FQPEBC=FEFPFQ=+，PQFQFP

=−，则22225()()224CBDAPQFEFQFP=−=−=．故选：B．3．（2021·江苏·金陵中学高一期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点MN，，满足ABmAM=，A

NnAD=，(00mn＞，＞)，若12mn=，则mn的值为（）A．23B．45C．67D．89【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得12mn+=，再结合12mn=求出,mn，即可求得结果【详解】因为1122AOABAD=+，又,(0,0)ABmA

MANnADmn==，故可得122mAOAMANn=+，又,,OMN三点共线，故可得1122mn+=，即12mn+=.由1212mnmn=+=解得2334mn==248339mn==，故选：D.4．（2021·江苏·南京师大附中高一期

末）如图，在ABC中，3BAC=，2ADDB=，P为CD上一点，且满足()12APmACABmR=+，若3AC=，4AB=，则APCD的值为（）A．3−B．1312−C．1312D．112【答案】C【解析】【分析】由CP∥CD可得()APACkADAC−=−，而()12APmACAB

mR=+，所以可得()12123mACABkABAC−+=−，从而有11223mkk−=−=，求出,km的值，从而可得()112423APCDAPADACACABABAC=−=+−

，化简可得答案【详解】∵2ADDB=，∴23ADAB=，∵CP∥CD，∴CPkCD=，即()APACkADAC−=−，又∵12APmACAB=+，则()12123mACABkABAC−+=−，∴11223mkk−=−=，∴34k=，14m=，()112423AP

CDAPADACACABABAC=−=+−2211116911343cos343343312ABACABAC=−−=−−=.故选：C5．（2021·江苏·徐州市第一中学高三期

末）已知a，b是非零向量且满足()2aba−⊥，()2bab−⊥，则a与b的夹角是（）A．6B．3C．23D．56【答案】B【解析】【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到222abab==，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角.【详解】()2aba−⊥r

rrQ，()2bab−⊥()2220abaaab−=−=rrrrrr()2220babbab−=−=rrrrrr222abab==设a与b的夹角为，1cos2abab==0,Q3=

故选：B.【点睛】方法点睛：求解向量夹角长选择夹角公式cosabab=，还要注意向量的夹角范围0,.6．（2021·江苏·泰州中学高一期末）在矩形ABCD中，3AB=，2BC=，设矩形所在平面内一点P满足1CP=，记1IABAP=，2IACAP=，3IADAP=，

则A．存在点P，使得12II=B．存在点P，使得13II=C．对任意点P，都有12IID．对任意点P，都有13II【答案】C【解析】以C为原点建立平面直角坐标系，可知P点轨迹方程为221xy+=；利用坐标表示出12II−和13II−，利用y的取值范围和三角函数的知识可求得结论.【详解】

以C为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则P点轨迹是以C为圆心，1为半径的圆；()0,2B，()3,0D，()3,2A设(),Pxy，则221xy+=()12IIABAPACAPABACAPCBAP−=−=−=又()0,2CB=，()3,2APxy=−−1224IICBAPy−=

=−1,1y−246,2y−−−120II−，即12II()13IIABAPADAPABADAPDBAP−=−=−=又()3,2DB=−，()3,2APxy=−−133924325IIDBAPxyxy−==−++−=−++设()cos,sinPθ

θ则()133cos2sin513sin5II−=−++=−+，其中2tan3=−()sin1,1−−()13sin5513,513−+−+即130II−，即13II综上所述，对于任意点P，都有12II，13II本题正确选项：C【点睛

】本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、多选题7．（2021·江苏常州·高一期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercede

sbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC△，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC++=.若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是A

BC的三个内角，且点O满足OAOBOBOCOAOC==.则（）A．O为ABC的外心B．BOCA+=C．::cos:cos:cosOAOBOCABC=D．tantantan0++=AOABOBCOC【答案】B

CD【解析】【分析】由根据数量积的运算律可得0OBCAOBCA=⊥,可得O为ABC的垂心；结合OBCCOCBB+++=与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明cos:cos:ABOAOB=即可证明C

选项，利用奔驰定理证明:tan:tanABSSAB=可证明D选项．【详解】解：因为()00OAOBOBOCOBOAOCOBCAOBCA=−==⊥，同理OACB⊥，OCAB⊥，故O为ABC的垂心，故A错误；,22OBCCOCBB+=

+=，所以OBCCOCBB+++=，又OBCOCBBOC++=，所以BOCCB=+，又ABC++=，所以BOCA+=，故B正确；故ABOC=−，同理BAOC=−，延长C

O交AB与点P，则cos:coscos():cos()cos:cos::OPOPABBOCAOCBOPAOPOAOBOBOA=−−===，同理可得cos:cos:ACOAOC=，所以cos:cos:cos::ABCOAOBOC=，故C正

确；11:():():tan:tan22ABSSOCBPOCAPBPAPOPPOBOPAOP===tan:tantan():tan()tan:tanBOCAOCABAB==−−=，同理可得:tan:tanACSSAC=，所以::tan:tan

:tanABCSSSABC=，又0ABCSOASOBSOC++=，所以tantantan0++=AOABOBCOC，故D正确．故选：BCD．8．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知在ABC中，0P是边AB上一定点，满足014PBAB=，且对于边AB

上任一点P，恒有PBPC00PBPC，则下列选项中不正确的是（）A．90ABC=B．90BAC=C．ABAC=D．ACBC=【答案】ABC【解析】【分析】在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.由PBPC00PBPC，得220DPDP，从而D0P⊥A

B.利于几何关系证明CE∥DP0，所以CE⊥AB.根据等腰三角形三线合一即可证明AC=BC.【详解】如图，在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.故()()22()PBPCDBDPDCDPDBDCDPDBD

CDPDBDCDP=−−=−++=+.同理2000PBPCDBDCDP=+，由PBPC00PBPC，得220DPDP，故DP0⊥AB.由D为BC的中点，E为AB的中点，且014PBAB=，得CE∥DP0，所以CE⊥AB.又E为AB的中点，所以AC=BC.故选：AB

C9．（2021·江苏省天一中学高一期末）对于给定的ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是（）A．212AOABAB=B．OAOBOAOCOBOC==uuruuuruuruuuruu

uruuurC．过点G的直线l交ABAC、于EF、，若AEAB=，AFAC=，则113+=D．AH与coscosABACABBACC+共线【答案】ACD【解析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确

；利用向量的数量积的运算法则可以OAOBOAOC=即OABC⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数

量积运算和向量垂直的条件可以判定coscosABACABBACC+与BC垂直，从而说明D正确.【详解】如图，设AB中点为M,则OMAB⊥,AOcosOAMAM=()21·coscos?22ABAOABAOABOABABAOOABABAB====,故A正确；··

OAOBOAOC=等价于()·0OAOBOC−=等价于·0OACB=,即OABC⊥，对于一般三角形而言，O是外心，OA不一定与BC垂直，比如直角三角形ABC中，若B为直角顶点，则O为斜边AC的中点，OA与B

C不垂直.故B错误；设BC的中点为D,则()211111133333AGADABACAEAFAEAF==+=+=+，∵E,F,G三点共线，11133+=，即113+=,故C正

确；coscoscoscosABACABBCACBCBCABBACCABBACC+=+()coscoscoscosABBCBACBCCABBACC−=+0BCBC=−+=,coscosABACABBACC+与BC垂直,又AH

BC⊥,∴coscosABACABBACC+与AH共线，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和

数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.三、填空题10．（2021·江苏·姜堰中学高二期末）已知向量2abab===rrrr，(),cab=+R，且2abcab+−=−，则2+的最大值为______．【答案】72【解析】【分析】利用2abcab+−

=−平方可得224446610++−−−=，令2t=+，将方程化为关于的二次方程，满足该方程有解即可求出t的范围，求出最值.【详解】2abab===rrrr，cab=+，则由2abcab+−=−可得1122abab

−−−=−，则221122abab−−−=−，2222221111222222aabbaabb−−−−+−=−+，即22111144442222

−−−−+−=，整理可得224446610++−−−=，令2t=+，将2t=−代入上式得()22121264610ttt−−+−−=，则需满足关于

的方程有解，即()()221264124610ttt=−−−−，则可解得1722t−，则2+的最大值为72.故答案为：72.【点睛】关键点睛：本题考查向量的有关运算，解题的关键是利用平方关系得出2244466

10++−−−=，再由2t=+得出关于的方程有解.11．（2021·江苏盐城·高一期末）在△ABC中，点O是BC的三等分点，2OCOB=，过点O的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且ABmAE=，ACnAF=

(0m，0n)，若()210ttmn+的最小值为3，则正数t的值为___________.【答案】32−【解析】【分析】由平面向量基本定理可得2133AOmAEnAF=+，进而又由点E，O，F三点共线，则21133mn+=，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得t

的值．【详解】解：在ABC中，点O是BC的三等分点，||2||OCOB=，1121()3333AOABBOABBCABACABABAC=+=+=+−=+，ABmAE=，ACnAF=，2133AOmAEnA

F=+，O，E，F三点共线，21133mn+=，22222221121222222()()22333333933333ttnmtttttmntmnmnmn+=++=+++++=++…，当且仅当2233nmtmn=，即2222mtn=时取等号，21tmn+的最小值为222233

3tt++，即22223333tt++=，0t，32t=−．故答案为：32−．四、解答题12．（2021·江苏·高一期末）如图，在菱形ABCD中，12BEBC=，2CFFD=．（1）若EFxAByAD=+，求32xy+的值；（2）若6AB=，60BAD=，求

ACEF．（3）若菱形ABCD的边长为6，求AEEF的取值范围．【答案】（1）321xy+=−；（2）9ACEF=−；（3）()21,9−−．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得,xy值；（2）先化ACABAD=+，再结合（1）中关系即可求解ACEF；（3）

由于12AEABAD=+uuuruuuruuur，1223EFADAB=−，即可得6cos,15AEEFABAD=−，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为12BEBC=，2CFFD=，所以121

22323EFECCFBCDCADAB=+=−=−，所以23x=−，12y=，故213232132xy+=−+=−．（2）∵ACABAD=+，∴()221212123236ACEFABADADABADABABAD=+−=−−∵ABCD为菱形∴6ADAB==∴

2211111cos3636966662ACEFABABBAD=−−=−−=−，即9ACEF=−．（3）因为12AEABAD=+uuuruuuruuur，1223EFADAB=−所以221211

21362342ADAAEEFABADABADABADB−==+−+2221cos,6cos,153416ABADABADABADABAD=−+=−1cos,1ABAD−∴AEEF的取值范围：()2

1,9−−．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．