【文档说明】辽宁省五校联考2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(10)页，690.176 KB，由小赞的店铺上传

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辽宁省五校联考2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知12zii+=，则z=（）A．3B．5C．1D．22．点()3,1

−是角的终边上一点，则sin2+=（）A．32B．32−C．12D．12−3．已知m为一条直线，、为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若//m，//，则//mB．若m⊥，

⊥，则//mC．若m⊥，//，则m⊥D．若//m，⊥，则m⊥4．在ABC△中，已知D为BC上一点，且满足2BDDC=，则AD=（）A．1344ACAB+B．3144ACAB+C．1233ACAB+D．2133ACAB+5．如图是一个近似扇形的

鱼塘，其中OAOBr==，AB长为()llr．为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD，其中34OCOA=，34ODOB=．已知10,2x时，3sin6xxx−，则廊桥CD的长度大约为（）A．3

23432rrr−B．323432llr−C．32324llr−D．32324rrl−6．在ABC△中，已知45B=，D是BC边上一点，如图，75BAD=，1DC=，7AC=，则AB=（）A．5B．6

C．2D．37．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径的比值为（）A．2B．2C．22D．48．已知函数()fx是定义域为R的奇函数，(1)(

1)fxfx+=−+，且当01x时，()tanfxx=，则下列结论正确的是（）．A．13(3)22fff−B．13(3)22fff−C．31(3)22fff−D．13(3)22fff−

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知向量(2,1)a=，(3,1)

b=−，则（）A．()abb+⊥B．向量a在向量b上的投影数量为102−C．a与()ab−的夹角余弦值为255D．若525,55c=−，则//ac10．已知函数()sin(2)0,||2fxAxA=+的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A

．()3sin23fxx=+B．函数()fx在2,63上单调递减C．函数()fx的图象关于5,012中心对称D．函数()3cos2gxx=的图象可由函数()fx的图象向左

平移12个单位得到11．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若252coscos22ACB−+=且ABC△的面积为234b，则角B不可能是（）A．6B．56C．3D．2312．在菱形ABCD中，23AB=，60ABC=，将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为()0

180的二面角BACD−−，若折成的四面体ABCD内接于球O，则下列说法正确的是（）．A．四面体ABCD的体积的最大值是33B．BD的取值范围是()32,6C．四面体ABCD的表面积的最大值是1263+D．当60=时，球O的体积为523927三、填空题（本

题共4小题，每小题5分，共20分）13．设i是虚数单位，复数21aii+−为纯虚数，则实数a=______．14．正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），则BPAC的取值范围是______．15．已知ABC△的内角A，B，C所

对的边分别为a，b，c，且5ac=，cossinaCcAb+=，则bc=______．16．柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体．由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种．如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球

、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体．古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）．现在正四面体

上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体．设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为______，该截角四面体外接球的体积为______．四、解答题（本题共6小题，共7

0分．第17题10分，18~22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知复数13zai=+，22zai=−（aR，i是虚数单位）．（1）若12zz−在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2

）若虚数1z是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，求实数m的值．18．已知非零向量a，b满足||2||ab=，且()abb−⊥．（1）求a与b的夹角；（2）若14ab+=，求b．19．在①2sintanaCcA=；②2cos2aBc

b=−；③22coscos212BCA+=+；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在ABC△的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知______．（1）求A的值；（2）若ABC△面积为34，周长为5，

求a的值．20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD和CDEF均为直角梯形，//ABCD，//CFDE，且2CDECDA==，224CDADDEAEABCF======．（1）求证：//BF平面ACE，（2）求点F到平面ACE的

距离．21．在三棱柱111ABCABC−中，已知15ABACAA===，4BC=，点1A在底面ABC的射影是线段BC的中点O．（1）证明：在侧棱1AA上存在一点E，使得OE⊥平面11BBCC，并求出AE的长；（2）求二面角111A

BCC−−的平面角的正切值．22．已知O为坐标原点，对于函数()sincosfxaxbx=+，称向量(,)OMab=为函数()fx的相伴特征向量，同时称函数()fx为向量OM的相伴函数．（1）设函数5

3()sinsin62gxxx=+−−，试求()gx的相伴特征向量OM；（2）记向量()1,3ON=的相伴函数为()fx，求当8()5fx=且,36x−时，sinx的值；（3）已知(2,3)A−，(2,6)B，(

)3,1OT=−为()sin6hxmx=−的相伴特征向量，()23xxh=−，请问在()yx=的图象上是否存在一点P，使得APBP⊥．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．辽宁省五校联考2020-2021学年高一下学期期末考试数

学试卷答案一、单项选择题：1．B2．A3．C4．D5．B6．B7．A8．D二、多项选择题：9．BC10．AD11．ABD12．ACD；三、填空题：13．214．[0,4]15．2216．2834623四、解答题17．（1）由题意得，122(3)zzaai−=−+−

，因为12zz−在复平面内对应的点落在第一象限，所以2030aa−−，解得(2,3)a．（2）由21160zzm−+=得2(3)6(3)0aiaim+−++=，即269(618)0aamai−+−+−=，

所以26906180aama−+−=−=，解得318am==，（第二问利用韦达定理的方法也可以，相应给分）18．()abb−⊥，()0abb−=，20abb−=，2||||cos,||0ababb−=||2||ab=，222||cos,||0

babb−=，1cos,2ab=，,[0,)ab，a与b的夹角为3．（2）||14ab+=，2||14ab+=．||2||ab=，又由（1）知1cos,2ab=，27||14b=，||2b=．19．（1）选①时，2sintanaCcA=；利用正弦定理得：

sin2sinsinsincosAACCA=，整理得1cos2A=，由于0A，所以3A=．选②时，2cos2aBcb=−；利用余弦定理：222222acbacbac+−=−，整理得2222cosbcabcbcA+−==，化简得：1cos2A=，由于0A，所以

3A=．选③时，22coscos212BCA+=+，整理得2cos()12cos11BCA++=−+，所以22coscos10AA+−=，解得1cos2A=或-1（舍去），由于0A，所以3A=．（2）由于1

33sin244ABCSbcAbc===△，解得1bc=．由于5abc++=，所以5()abc=−+，利用余弦定理：22222222cos(5)(5)3abcbcAbcbcbca=+−=−−=+−=−−．解得115a=20．（1）取DE中

点G，连接FG交CE于点H，连接AH．//CFDG，且DGCF=，∴四边形CDGF是平行四边形，∴//GFDC，H为GF中点，又//ABCD，且2CDAB=，//ABHF，且ABHF=，∴四边形ABFH是平行四边形，//BFAH，又BF平面ACE，AH平面ACE，//

BF平面ACE（2）//BF平面ACE，∴点F到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离．取AD中点O，连接OE，DEAE=，OEAD⊥，2CDECDA==，CDAD⊥，CDDE⊥，又DEADD=．CD

⊥平面ADE，又OE平面ADECDOE⊥，又ADCDD=，OE⊥平面ABCD．4DEAEAD===，23OE=．24CDADAB===，4ABCS=△，42CEAC==，4AE=，47AC

ES=△．设点B到平面ACE的距离为h，EABCBACEVV−−=即1133ABCACESOESh=△△，2217h=．即点F到平面ACE的距离为2217．（其它方法请酌情给分）21．（1）证明：因为1AO⊥平面ABC，BC平面ABC，所以1AOBC⊥，又ABAC=，线

段BC的中点为O，所以AOBC⊥，又1AOAOO=所以BC⊥平面1AOA，从而BCOE⊥，因此当1OEAA⊥时，此时1OEBB⊥，即此时OE⊥平面11BBCC对于1AOA△，由已知条件并结合简单运算有如下信息：15AA=，1AO=，190AOA=，在1AOA△中利用等面积法易得255OE=，

从而计算得55AE=．（2）由（1）可知四边形11BBCC为矩形，取11BC中点1O，连接1OO．过1A作OE平行线交1OO为G，则1AG⊥平面11BCC，过G作1BC的垂线，交于K，连接1AK，从而1AKG为所求二面角的

平面角．在矩形11BBCC中，1455OGEA==．因此，在1AGK△中，190AGK=，1255AGOE==，65521GK=，从而1121tan3AGAKGGK==．（其它方法请酌情给分）22．（1）

5355()sinsinsincoscossincos6266gxxxxxx=+−−=++33()sincos22gxxx=−+()gx的相伴特征向量33,22OM=−．（2）向量(1,3)ON=的相伴函数

为()sin3cosfxxx=+．8()sin3cos2sin35fxxxx=+=+=，4sin35x+=，,36x−，0,32x+，3cos35x+=

．13433sinsinsincos33232310xxxx−=+−=+−+=．（3）由(3,1)OT=−为31()sinsincos622hxmxmxmx=−=−

的相伴特征向量知：2m=−．所以()2sin2sin2cos23236222xxxxxh=−=−−−=−−=．设1,2cos2Pxx

，(2,3)A−，(2,6)B，12,2cos32APxx=+−，12,2cos62BPxx=−−又APBP⊥，0APBP=11(2)(2)2cos32cos6022xxxx+−+−−=221144cos18

cos180.22xxx−+−+=2219252cos(*)224xx−=−122cos22x−，131952cos2222x−−−，225191692cos.4224x−又2252544x−，∴当且仅当0x=时，2192cos22x−和2

254x−同时等于254，这时（*）式成立．∴在()yhx=图像上存在点(0,2)P，使得APBP⊥．