【文档说明】2021学年数学高中必修4人教A版：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义.docx，共(4)页，97.605 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.7B．10C.13D．4解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos60°＋9＝

13，所以|a＋3b|＝13.答案：C2．已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．33解析：a·b＝|a||b|cos135°＝－122，又|a|＝4，解得|b|＝6.答案：C3．在△ABC中，|AB→|＝1，|BC→|＝3，|

CA→|＝2，则AB→·AC→＝()A.12B．1C.3D．－1解析：在△ABC中，已知|AB→|＝1，|BC→|＝3，|CA→|＝2，可知△ABC为直角三角形，且∠A＝π3，则AB→·AC→＝|AB→|·|AC

→|cosA＝1×2×12＝1.答案：B4．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()A．－32B．32C．±32D．1解析：∵3a＋2b与ka－b互相垂直，∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b

2＝0，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴12k－18＝0，k＝32.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b

2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.答案：－76．已知|a|＝5，|b|＝8，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的射影的数量等于________．解析：|b|cos〈a，b〉＝8cos60°＝4，所以b在a方向上的射影的

数量等于4.答案：47．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB→·AC→＝8，则△ABC的形状是__________．解析：AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝12，

所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．答案：等边三角形三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知|a|＝3，|b|＝6，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角是60°时，分别求a·b.解析：(1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b

|cos0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18；(2)当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0；(3)当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×12＝9.9．设

向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝5.(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解析：(1)由|3a－b|＝5，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝

1，所以a·b＝56.因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，所以|a＋3b|＝15.(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝203，所以co

sθ＝(3a－b)·(a＋3b)|3a－b||a＋3b|＝20353＝439，因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝1－cos2θ＝1－4392＝339.所以3a－b与a＋3b的夹角的正弦值为339.尖

子生题库☆☆☆10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？解析：(1)由题意知|a|＝

2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·

b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com