【文档说明】天津市第一百中学2020届高三高考模拟数学试题含解析【精准解析】.doc，共(20)页，1.676 MB，由小赞的店铺上传

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2020年4月数学模拟试卷一、单选题1.设集合2{|2,},{|10},xAyyxRBxx===−则AB=A.(1,1)−B.(0,1)C.(1,)−+D.(0,)+【答案】C【解析】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．B＝

{x|x2－1<0}＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1<x<1}＝{x|x>－1}，故选C．2.设i是虚数单位，条件:p复数()1,abiabR−+是纯虚数，条件:1qa=，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分

必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】复数1abi−+是纯虚数，必有1,0ab，=利用充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】若复数1abi−+是纯虚数，必有1,0ab，=所以由p能推出q；但若1

a=,不能推出复数1abi−+是纯虚数.所以由q不能推出p.，因此p是q充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论

q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,pqqp.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.已知函数

()fx是定义在R上的偶函数，且在)0,+上单调递增，则三个数()3log13af=−，121log8bf=，()0.62cf=的大小关系为A.abcB.acbC.bacD.cab【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性得：()3log13af=，通过临界值的方

式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到,,abc的大小关系.【详解】3332log9log13log273==；1221loglog838==，0.610222=即：0.6312102log13log8()fx为偶函数()()33log13

log13aff=−=又()fx在)0,+上单调递增()()0.61321loglog1328fff，即bac本题正确选项：C【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自

变量的大小关系.4.已知0a，0b，并且1a，12，1b成等差数列，则9ab+的最小值为()A.16B.9C.5D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意，由等差中项的定义分析可得11ab+=1，进而分析可得a

+9b＝（a+9b）（11ab+）＝109baab++，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，a＞0，b＞0，且1a，12，1b成等差数列，则11ab+=212=1；则a+9b＝（a+9b）（11a

b+）＝109baab++10+29baab=16；当且仅当9baab=，即a4,b==43时取到等号，∴a+9b的最小值为16；故选A．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到11ab+=1．5.设函数，则()sin2cos244fxxx

=+++，则（）A.()yfx=在0,2单调递增，其图象关于直线4x=对称B.()yfx=在0,2单调递增，其图象关于直线2x=对称C.()yfx=

在0,2单调递减，其图象关于直线4x=对称D.()yfx=在0,2单调递减，其图象关于直线2x=对称【答案】D【解析】()sin(2)cos(2)2sin(2)2cos2442fxxxxx=+++=+=,由02,x得02x，再由2,

xkkZ=+,所以,22kxkZ=+.所以y=f(x)在()yfx=在(0,)2单调递减,其图象关于直线2x=对称,故选D.6.已知随机变量X服从正态分布()23,N,且()40.8

4PX=,则()24PX=()A.0.84B.0.68C.0.32D.0.16【答案】B【解析】【分析】先计算出()()414PXPX=−，由正态密度曲线的对称性得出()2PX=()4PX，于是得出()

()()24124PXPXPX=−−可得出答案．【详解】由题可知，()()41410.840.16PXPX=−=−=，由于()2~3,XN，所以，()()240.16PXPX==，因此，()()()2412410.160.160.68PXP

XPX=−−=−−=，故选B.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．7.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若////mn，，则//

mnB.若//mn，，，则//mnC.若mnnm=⊥，，，则n⊥D.若//mmnn⊥，，，则⊥【答案】D【解析】【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直

线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由m⊥，//mn便得n⊥，又n，⊥，即⊥.故选：D

.【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，属于基础题.8.设椭圆2222:1xyEab+=(0ab)的一个焦点(2,0)F点(2,1)A−为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P，使得8PAPF+=，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.44[,

]97B.44()97，C.22[,)97D.22[,]97【答案】A【解析】【详解】记椭圆的左焦点为()12,0F=−，则1111,AFPFPAAF=+112189aPFPFPAAFPF=++++=，即92a，11PFPAAF−，112

817aPFPFPAAFPF=+−+−=，即722,2,97222cacea==，即4497e，椭圆E的离心率的取值范围是44,97，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使

不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的不等式，从而求出e的范围.本题是利用

椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于e的不等式，最后解出e的范围.9.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()()1xfxex=+，给出下列命题：①当0x时，()()1xfxex−=−−；②函数()fx有2个零点；③()0fx的解集为()(),10,1−−

；④1x，2xR，都有()()122fxfx−.其中真命题的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】【分析】对于①，利用函数()fx是定义在R上的奇函数求解即可；对于②，由函数解析式及函数为奇函数求解即可；对于③，分别解当0x时，当0x时，()0fx即可得解；对

于④，利用导数研究函数的单调性，再求值域即可得解.【详解】解：对于①，函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()()1xfxex=+，则当0x时，()()()[1]xfxfxex−=−−=−−+()1xex−=−，即①错误；对于②，由题意可得()10,(1)0,(0)0fff−===

，即函数()fx有3个零点，即②错误；对于③，当0x时，()()1xfxex=+，令()0fx，解得1x−，当0x时，()fx()1xex−=−，令()0fx，解得01x，综上可得()0fx的解集为()()

,10,1−−，即③正确；对于④，当0x时，()()1xfxex=+，()()'2xfxex=+，令()'0fx，得20x−，令()'0fx，得2x−，即函数()fx在(),2−−为减函数，在()2,0−为增函数，即函数在(),0−的最小值为()22

fe−−=−，且2x−时，()0fx，又()1fx，则()21efx−−，由函数为奇函数可得当0x时，()21fxe−−，又(0)0f=，即函数()fx的值域为()1,1−，即1x，2xR，都有()()122fxfx

−，即④正确，即真命题的个数为2，故选：C.【点睛】本题考查了函数性质的应用，重点考查了导数的综合应用，属中档题.二、填空题10.设复数z满足32=−+zii，则z＝__________.【答案】23i−【解析】

【详解】分析：由32=−+zii可得32iiz−+=，再利用两个复数代数形式的除法法则化简，结合共轭复数的定义可得结果.详解：z满足i32iz=−+，()()232ii32i23iiiz−+−−+===+−，所以23zi=−，故答案为23i−.点睛：复数是高考中的必考知

识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11.如果13nxx−的展开式中各项系数之和

为128，则展开式中41x的系数是______.【答案】-189【解析】令1x=，得展开式中各项系数之和为2n.由2128n=，得7n=，所以展开式的通项为737217(1)3rrrrrTCx−−+=−

.由7342r−=−，得=5r，展开式中41x的系数是57557(1)3189C−−=−.12.在三棱锥DABC−中，CD⊥底面ABC，ACBC⊥，5ABBD==，4BC=，则此三棱锥的外接球的表面积为___．【答案】34【解析】【分析】由题

意，在三棱锥DABC−中，可得22343ADCD==−=，进而求得三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，在三棱锥DABC−中，CD⊥底面ABC，ACBC⊥，5ABBD==，4BC=，可得2

2343ADCD==−=，故三棱锥DABC−的外接球的半径2223433422R++==，则其表面积为2344342=.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用

，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．13.若经过抛物线24yx=焦点的直线l与圆22

(4)4xy−+=相切，则直线l的斜率为__________．【答案】255【解析】抛物线的焦点为()1,0F，设直线l的方程为，()1ykx=−，即kxyk0−−=，直线l与圆()2244xy−+=相

切，2421kkk−=+，解得255k=，故答案为255.14.某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门,,ABC实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作，安排方法有______种(用数字作答)．【答案】24【解析】【分析】根据题意，设4名毕业生为甲、A、B、C，

分2种情况讨论：1（）甲单独一人分配到B或C部门，2（）甲和其他人一起分配到B或C部门，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，设4名毕业生为甲、A、B、C，分2种情况讨论：（1）甲单独一人分配到B或C部门，则甲有2种情况，将A、B、C分成2组，有13C3=种

分组方法，再将2组全排列，分配到其他2个部门，有22A2=种情况，则此时有23212=种安排方法；2（）甲和其他人一起分配到B或C部门，在A、B、C中任选1人，与甲一起分配到B或C部门，有13C26=种情况，将剩余的2人全排列，分配到其他2个部门，有22A2=种情况，则此时有

6212=种安排方法；则一共有121224+=种不同的安排方法；故答案为24【点睛】本题主要考查分类计数原理与排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，认真审

题、分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．15.已知菱形ABCD的边长为

2，120BAD=，点E、F分别在边BC，CD上，BEBC=，DFDC=，若522+=，则AEAF的最小值__________．【答案】3【解析】【详解】cos1202ABADABAD==−()()2132AEAFABBCADDC=++=−+,

2211473243−+=−+.由于1022,12,在区间1,12上为增函数,故当12=时取得最小值为3.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算,考查向量加法的运算,考查利用二次函数求最值的方法,考查化归与转化的数学思想方法.首先

是利用题目所给的条件BEBC=，DFDC=,计算化简出AEAF表达式,然后利用二次函数配方法来求得函数的最小值,要注意变量的取值范围.三、解答题16.已知函数()23sin22cos1fxxx=−−，xR（1）求函数()fx

的最小正周期；（2）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且6c=，()0fC=，()sinsin2sin2CBAA+−=，求ABC的面积．【答案】（1）；（2）3．【解析】【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可将

函数整理为()2sin226fxx=−−，利用2T=求得结果；（2）由()0fC=，结合C的范围可求得3C=；利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简已知等式，可求得cossin2sincosABAA=；分别在cos0A=和cos0A两种情况下求解出各边长，从而求得

三角形面积.【详解】（1）()23sin22cos13sin2cos222sin226fxxxxxx=−−=−−=−−()fx的最小正周期：22T==（2）由()0fC=得：2sin2

206C−−=，即：sin216C−=2262Ck−=+，kZ，解得：3Ck=+，kZ()0,C3C=由()sinsin2sin2CBAA+−=得：()()sins

insincoscossinsincoscossin2cossinABBAABABBABAAB++−=++−=4sincosAA=即：cossin2sincosABAA=若cos0A=，即2A=时，622sin32caC===则：222bac=−

=1126322ABCSbc===若cos0A，则sin2sinBA=由正弦定理可得：2ba=由余弦定理得：2222222cos54cos363cababCaaa=+−=−==解得：2a=22b=11si

n222sin3223ABCSabC===综上所述，ABC的面积为：3【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期、三角形面积的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、两角和差正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，考查学生对于三

角函数、三角恒等变换和解三角形知识的掌握.17.中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟)0,10)10,20)20,

30)30,40)40,50)50,60总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在)40,60的学生评价为“锻炼达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率

不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求

X的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22nadbckabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.临界值表20()PKk0.100.050.0250.0100k2.7063.8415.0246.635

【答案】（1）见解析；（2）（i）男生有6人，女生有4人.（ii）见解析【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）（i）由男女生所占的比例直接求解；（ii）分别求得X不同取值下的概率，列出分布列，根据期望公式计算结果即可.【详解】（1）锻炼不达标锻炼达

标合计男603090女9020110合计15050200由22列联表中数据，计算得到2K的观测值为()2200602030901505090110k−=2006.0615.02433=.

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.（2）（i）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3:2，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人.（ii）X的可能取值为0，1，2；()26210103CPXC===，()11642108115CCPX

C===，()242102215CPXC===，∴X的分布列为X012P13815215∴X的数学期望()1824012315155EX=++=.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样及离散型随机变量的应用问题，是基

础题．18.如图，由直三棱柱111ABCABC−和四棱锥11DBBCC−构成的几何体中，1190,1,2,5BACABBCBBCDCD======，平面1CCD⊥平面11ACCA（I）求证：1ACDC⊥；（II）若M为1DC中点，求证：//AM平面1DBB

；（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面1DBB所成的角为3？若存在，求BPBC得值，若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不存在这样的点P.【解析】【详解】（I）由1ACCC⊥，根据面面垂直的性质得到AC⊥平面1C

CD，从而可证明1ACDC⊥；（II）由于90ABC=，建立空间直角坐标系Axyz−，利用AM的方向向量与平面1DBB的法向量数量积为零可得//AM平面1DBB；（III）由（II）可知平面1DBB的法向量()0,1,3n=，设,0,1BPBC

=，利用空间向量夹角余弦公式列方程可求得50,14=，从而可得结论.详解：证明：（I）在直三棱柱111ABCABC−中，∵1CC⊥平面ABC∴1CCAC⊥∵平面1CCD⊥平面11ACCA，且平面1CCD平面111ACCACC=∴AC⊥平面1CCD∴AC

⊥1DC（II）在直三棱柱111ABCABC−中，∵1AA⊥平面111ABC，∴111111,AAABAAAC⊥⊥又11190BACBAC==，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得()2,0,0A，()

2,3,0C，()10,3,0C，()2,0,1B，()10,0,1B，()1,3,2D()()12,0,0,1,3,1BBBD=−=−−设平面1DBB的法向量(),,nxyz=∵100nBBnBD==∴2030xxyz−=−−=令1y=则()0,1,3n=−∵M为1DC的中

点，∴13,3,1,,3,122MAM=−∵0AMn=∴AMn⊥又AM平面1DBB，∴//AM平面1DBB（III）由（II）可知平面1DBB的法向量()0,1,3n=−设,

0,1BPBC=则()()2,3,1,1,33,1PDP−=−−−若直线DP与平面1DBB所成的角为3，则2233|cos,|22445nDPnDPnDP===−+解得50,

14=故不存在这样的点P，使得直线DP与平面1DBB所成的角为3点睛：本题主要考查利用空间向量的证明与求值，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标

，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.设数列na满足：1a1=，213aa1−=，且()n

1n1nn1n1aa2n2aaa−+−++=(1)求数列na的通项公式；(2)设数列11b2=，nn1n4baa−=，设nb的前n项和nT.证明：nT1．【答案】（1）n2an1=+；（2）

证明见解析.【解析】【分析】(1)由已知得nn1n1211aaa−+=+，从而推导出n1a是首项为1，公差为12的等差数列，由此能求出数列na的通项公式;(2)由()n111bnn1nn1==−++，利用裂项相消法能证明nT1．【详解】(1)数列n

a满足：1a1=，213aa1−=，且()n1n1nn1n1aa2n2aaa−+−++=，nn1n1211aaa−+=+，又1a1=，213aa1−=，121131,aa2==，21111aa2−=，n1a

是首项为1，公差为12的等差数列，()()n1111n1n1a22=+−=+，n2a.n1=+(2)证明：数列11b2=，nn1n4baa−=，()n111bnn1nn1==−++，n12n111111Tbbb111223nn1n1

=+++=−+−++−=−++．故nT1.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法

；数列通项的求法中有常见的已知nS和na的关系，求na表达式，一般是写出1nS−做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．20.设椭圆C：22221(0)xyabab+=的左，右焦点分别为1F

，2F，其离心率为22，过2F的直线l与C交于,AB两点，且1AFB△的周长为42．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为P，证明：当l的斜率为13时，点P在以AB为直径的圆上．【答案】（1）2212xy+=；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据三角形周长为4a

可得a的值，结合离心率22e=可得c的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）先得直线方程为31xy=+，将其于椭圆方程联立，根据韦达定理得到12yy+，12yy，证得0PAPB=即可.【详解】（1）1AFB△的周长等于11AFABBF++12214AFAF

BFBFa=+++=，所以442a=，从而2a=．因为22cea==，所以1c=，即2221bac=−=，椭圆C的方程为2212xy+=.（2）由（1）得()0,1P，()21,0F．设()11,Axy，()22,Bxy，依题意，l的方程为31x

y=+，将l的方程代入C并整理，可得211610yy+−=，所以12611yy+=−，12111yy=−．()()121211PAPBxxyy=+−−()()()()1212313111yyyy=+++−−

()121210220yyyy=+++=所以PAPB⊥，综上，点P在以AB为直径的圆上.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，将题意转化为0PAPB=是解题的关键，属于中档题.21.设函数()()2lnfxaxxaR=−−.（1）若()fx在点

()(),efe处的切线为0xeyb−+=，求,ab的值；（2）求()fx的单调区间；（3）若()xgxaxe=−，求证：在0x时，()()fxgx.【答案】(1)2ae=，2be=−,(2)当0a时，()fx的单调减区间为()0,+

；当0a时，()fx的单调减区间为10,a，单调增区间为1,+a；（3）见解析．．【解析】【详解】（1）∵()()2lnfxaxxaR=−−，∴()11axfxaxx−=−=，又()fx在点()(),efe的切线的斜率为1e，∴()11ae

feee−==，∴2ae=，∴切点为(),1e−把切点代入切线方程得：2be=−；（2）由（1）知：()()110axfxaxxx−=−=①当0a时，()0fx在()0,+上恒成立，∴()fx在()0,+上是单

调减函数，②当0a时，令()0fx=，解得：1xa=，当x变化时，()(),fxfx随x变化情况如下表：当10,xa时，()()0,fxfx单调减，当1,xa+时

，()0fx，单()fx单调增，综上所述：当0a时，()fx的单调减区间为()0,+；当0a时，()fx的单调减区间为10,a，单调增区间为1,+a.(3)当0x时，要证()0xfxaxe−+

，即证ln20xex−−，令()()ln20xhxexx=−−，只需证()0hx，∵()1xhxex=−由指数函数及幂函数的性质知：()1xhxex=−在()0,+上是增函数又()110he=−

，131303he=−，∴()1103hh，()hx在1,13内存在唯一的零点，也即()hx在()0,+上有唯一零点设()hx的零点为t，则()10htet−==，即1113ett=，由(

)hx的单调性知：当()0,xt时，()()0hxht=，()hx为减函数当(),xt+时，()()0hxht=，()hx为增函数，所以当0x时，()()11ln2ln2hxhtette=−−−=−，又113t，等

号不成立，∴()102220hxtt=+−−=.点睛:本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，(1)利用导数的几何意义；（2）研究单调性，即研究导函数的正负；（2）：证明恒成立，转化为函数最值问题．