【文档说明】【精准解析】河北省保定市曲阳县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷.doc，共(17)页，1.438 MB，由小赞的店铺上传

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数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3320−−=xy的斜率为（）A.1B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】把直线方程化为斜截式即得斜率．【详解】已知直线方程化为斜截式

为2333yx=−，斜率为3．故选：C．【点睛】本题考查由直线方程求斜率，属于简单题．2.等差数列na中，34a=，公差2d=−，则5a=（）A.1−B.12−C.1D.0【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的

定义计算．【详解】5434220aadadd=+=++=−−=．故选：D．【点睛】本题考查等差数列的定义，根据定义求等差数列的项．属于简单题．3.不等式01xx−的解集是（）A.(),0−B.()0,1C.()(),01,−+D.()1

,+【答案】B【解析】【分析】把分式不等式化为整式不等式求解．【详解】原不等式01xx−可化为(1)0xx−，∴01x．故选：B．【点睛】本题考查解分式不等式，解题关键是把分式不等式化为整式不等式．4.设()1,2A、()3,

1B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A.425xy−=B.421xy+=C.421xy−=D.25xy+=【答案】A【解析】【分析】先求出线段AB中点坐标，再求出直线AB斜率，利用垂直得中垂线斜率

，从而得直线方程．【详解】由已知AB中点坐标为1321,22++，即32,2，211132ABk−==−−，∴AB中垂线斜率为2k=，直线方程为32(2)2yx−=−，即4250xy−−=．故选：A．【点睛】本题考查求直线方程，考查中点坐标公式，解题关键是掌握两直线垂直的条

件，属于基础题．5.已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题中错误．．的是（）A.若//，//，则//B.若//，a=，b=，则//abC.若//，⊥，则⊥D.若⊥，⊥，则⊥【答案】

D【解析】【分析】根面面平行和面面垂直的关系对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】根据平行于同一平面的两个平面平行，可知①正确；由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，

可判断若//，a=，b=则//ab为真命题，即②正确；若//，⊥，根据平面与平面垂直的定义，可得⊥，即③正确；当⊥，⊥时，与可能平行，也可能相交，不一定垂直，即④不正确．故选：D．【点睛】本题主要

考查了对面面平行的性质和面面垂直的性质，属于基础题．6.设递增等比数列na的公比为q，且13a=，13a，22a，3a成等差数列，则q=（）A.3B.1或3C.2D.2或3【答案】A【解析】【分析】由13a，22a，3a成等差数列列方程，

解之可得．【详解】∵13a，22a，3a成等差数列，∴21343aaa=+，即211143qaaaq=+，(1)(3)0qq−−=，解得1q=或3q=，但1q=时，数列为常数列，不是递增的，不合题意，∴3q=．故选：A．【点睛】本题考查等比数列

的基本量计算，考查等差数列的性质．属于基础题．7.对于任意实数a，b，c，则下列四个命题：①若ab，0c，则acbc；②若ab，则22acbc；③若22acbc，则ab；④若ab，则11ab.其中正确命题的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】【分析】根据不等式

的性质判断各个命题，错误的可举反例说明．【详解】ab时，若0c，则acbc，①错误；若0c=，则22acbc=，②错误；若22acbc，则20c，∴ab，③正确；ab，若0ab，仍然有11ab，④错误

．正确的只有1个．故选：C．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．8.若直线a，b的斜率分别为方程2410xx−−=的两个根，则a与b的位置关系为（）A.互相平行B.互相重合C.互

相垂直D.无法确定【答案】C【解析】【分析】求出方程两根的积，根据直线垂直的条件判断．【详解】由题意1abkk=−，∴两直线垂直．故选：C．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，属于基础题．9.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初

行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A.6里B.24里C.4

8里D.96里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S=求得首项，再由等比数列的通项公式求得2a的值，即可得该人第2天走的路程里数，可得答案．【详解】解：根据题意，记每天走的

路程里数为{}na，可知{}na是公比12q=的等比数列，由6378S=，得6161[1()]2378112−==−aS，解可得1192a=，则211192962aaq===；即此人第二天走的路程里

数为96；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的前n项公式的应用，关键是正确分析题意，确定等比数列的数学模型，属于基础题．10.若正四面体DABC−的每条棱长均为2，则二面角DACB−−的余弦值为（）A.12B.

13C.14D.12−【答案】B【解析】【分析】作出图形，取AC的中点E，可得出BED为二面角DACB−−的平面角，计算出BDE的三边长，利用余弦定理可求得二面角DACB−−的余弦值.【详解】如下图所示，取AC的中点E，连接BE、DE，ACD是边

长为2的等边三角形，且E为AC的中点，DEAC⊥，同理BEAC⊥，所以，二面角DACB−−的平面角为BED，在BDE中，223BEDEACCE==−=，2BD=，由余弦定理得2221cos23BEDEBDBE

DBEDE+−==，因此，二面角DACB−−的余弦值为13.故选：B.【点睛】本题考查二面角余弦值的求解，考查了二面角定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11.在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

3c=，a，b，c成等比数列，则B的最大值为（）A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】B【解析】【分析】由已知得2bac=；代入余弦定理结合余弦函数的性质即可得证．【详解】解：因为a，b，c成等比数列，所以2bac=；而2222211cos(1)2222acbacac

acBacacca+−+−===+−…（当且仅当ac=时取等号）又因为B为三角形的内角，所以060B„；故B的最大值为60故选：B【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.12.已知数列1a，21aa，

…1nnaa−，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2logna=（）A.()1nn+B.()14nn−C.()12nn+D.()12nn−【答案】D【解析】【分析】先求出1nnaa−的通项，再利用累乘法求出na的通项，从而可得2logna的表达式.【详解】由题设有()11

11222nnnnana−−−==，而()()322111212111222nnnnnnaaaaanaaa−+−++−===，当1n=时，11a=也满足该式，故()()1221nnnan−=，所以()21log2nnna−=，故

选：D.【点睛】本题考查数列通项的求法，一般地，如果数列na满足()1nnafna−=，那么我们用累乘法求数列na的通项，注意验证1a是否满足求出的通项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知x，y满足22x

yxxy+，则2zxy=−+的最大值为____________.【答案】1−【解析】【分析】作可行域，作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作可行域，如图ABC内部（含边界），作直线:20lxy−+=，由2yxxy=

+=得11xy==，即(1,1)C，平移直线l，向上平移时2zxy=−+增大，∴当直线l过点(1,1)C时，2zxy=−+取得最大值1−．故答案为：1−．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出

可行域是解题关键．14.已知一几何体的三视图如图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的表面积为____________.【答案】623+【解析】【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底

面的正三棱柱，求出棱柱的底面边长和高，即可求得棱柱的表面积．【详解】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的正三棱柱，棱锥的底面三角形的边长为2，高为1，故棱柱的表面积()123222216232S=+++=+，故答案为：6

23+．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键，属于基础题．15.设函数()3,111,1xxfxxxx=−+，，则不等式()()26fxfx−−的解集为____________.【答案】()2,3−【解析】【分析】先判断函数()fx是增函

数，于是可把函数不等式转化为自变量的关系，进而可得原不等式的解集.【详解】当1x时，()fxx=单调递增，且()1fx；当1x时，31()1fxxx=−+单调递增，且()1fx.所以函数()fx在R上单

调递增.于是()()26fxfx−−等价于26xx−−，则260xx−−，()()320xx−+，解得23x−.故答案为：()2,3−.【点睛】本题考查函数单调性的判断与应用.遇到函数不等式问题，要利用单

调性转化为自变量的关系再求解.判断分段函数的单调性，一定要关注对分段间隔点处的情况.16.已知ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且sinsin3sin0ABC+−=，4abc++=，29ABCabS=△，则22sinsinabaAbB+=+___________

_.【答案】94【解析】【分析】由正弦定理化角为边后，结合已知可求得1c=，利用三角形面积公式可得sinC，这样由正弦定理可把sinA用a表示，sinB用b表示，代入求值式可得结论．【详解】∵sinsin3sin0ABC+−=，∴由正弦定理得30abc+−=，又4abc++=，则34cc+=，则

1c=，又21sin92ABCabSabC==△，∴4sin9C=，由正弦定理9sinsinsin4abcABC===得4sin9Aa=，4sin9Bb=，∴222222944sinsin499ababaAbBab++==++．故答案为：94．【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式

，掌握正弦定理的边角互化是解题基础．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC的顶点()3,1A−，()3,3B−，()1,7C.（1）求BC边上的高AD所在直线的方程；（2）证明：ABC为等腰直角三角形.【答案】（1

）580xy−+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求出直线BC的斜率，即可得到直线AD，再用点斜式求出直线AD的方程即可；（2）利用平面直角坐标系上任意两点间的距离公式及勾股定理逆定理即可证明；【详解】（1）解：

∵直线BC的斜率为73513BCk+==−−所以，BC边上的高AD所在直线的斜率为15ADk=由点斜式方程得，BC边上的高AD所在直线的方程为11(3)5yx−=+即580xy−+=（2）证明：因为()

()223331213AB=−−+−−=()()221373226BC=−+−−=()()221371213AC=−−+−=所以222||||||ABACBC+=，且||||ABAC=所以ABC为等腰直角三角形【点睛】本题考查点斜式求直

线方程以及平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，属于基础题.18.设数列na为等差数列，其在平面直角坐标系中的图象由点(),nna（*nN）组成，若点()2,6，()4,4为该图象上的两点.（1）求100a；（2）求数列na的前n项和nS及nS

的最大值.【答案】（1）10092a=−；（2）211522nSnn=−+，nS的最大值为7828SS==.【解析】【分析】（1）题意即已知246,4aa==，用基本量法求得1,ad可得通项公式，从而得100a；（2）由等差数列前n项和公式得nS，结合二次函数性质可得

最大值．【详解】解：（1）设等差数列na的公差为d因为点()2,6，()4,4在该图象上，所以116,34,adad+=+=解得17,1,ad==−故数列na的通项公式为1(1)8naandn=+−=−+故100100892

a=−+=−（2）由（1）知17,1,ad==−，所以数列na的前n项和为21(1)(1)1157(1)2222nnnnnSnadnnn−−=+=+−=−+又因为函数2115()22yxxxR=−+的图象开口向下，

对称轴为直线152x=，所以nS的最大值为7828SS==．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，掌握等差数列的基本量运算是解题关键．19.如图，长方体1111ABCDABCD−中，1ABAD==，12AA=，点P为1DD的中点.（1）求证：直线1//BD平面PAC；（2）

求异面直线1BD与AP所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】【分析】（1）设AC和BD交于点O，连结PO，由三角形性中位线定理，我们可得1//POBD，结合线面平行的判定定理，即可证明结果；（2）由（

1）知，1//POBD，所以异面直线1BD与AP所成的角就等于PO与AP所成的角，故APO即为所求，解三角形即可得求出结果．【详解】（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连结PO，又因为P是1DD的中点，故1//POBD又因为PO平面PA

C，1BD平面PAC所以直线1//BD平面PAC（2）由（1）知，1//POBD，所以异面直线1BD与AP所成的角就等于PO与AP所成的角，故APO即为所求；因为2PAPC==，2122AOAC==且POAO⊥所以21

2sin22AOAPOAP===.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理，以及异面直线成角的求法，属于基础题.20.某人在池塘南岸A处看到北岸两个警示牌C、D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东

走了一段距离到达B处后再次观察警示牌C、D，此时二者分别在北偏西15°和北偏西60°方向，已知50CD=米.（1）设ABx=米，求BC；（用x表示）（2）求此人向东实际走了多少米?【答案】（1）6=3BCx；（2）此人向东实际走了2015米.【解析】【分析

】（1）在ABC中，用正弦定理求BC；（2）ABD△是直角三角形，用x表示BD，在CD△中，用余弦定理列出方程，可解得x．【详解】（1）在ABC中，45CAB=，75ABC=，∴60ACB=，∵sinsinABBCACBCAB=，226=23332xBCxx==；（2）在A

BD△中，60DAB=，30DBA=，∴90ADB=，由（1）知，∵ABx=，∴3sin602BDxx==，在BCD中，23BCx=，32BDx=，50CD=，45CBD=，∴2222cosCDBCBDBCBDCBD=+−，∴222

33222500234223xxxx=+−，即25250012x=，解得2015x=米，答：此人向东实际走了2015米．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，正确认识方位角是解题关键．21.如图，四棱锥SABCD−中，四边形ABCD

为矩形，22AB=，2BCSCSD===，BCSD⊥.（1）求证：SC⊥平面SAD；（2）求四棱锥SABCD−外接球的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）43V=.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质证明SCAD⊥，利用勾股定理证明SCSD⊥，最后由线面垂直的判

定定理证明SC⊥平面SAD；（2）先证明平面ABCD⊥平面SDC，由面面垂直的性质以及线面垂直的性质得出OGSO⊥，再由3SG=确定G为四棱锥SABCD−外接球的球心，最后由球的体积公式计算即可.【详解】（1）证明：BCSD⊥，BCCD⊥，SDCDD=,,SDCD平面SDCBC⊥平面SDC又/

/ADBC，AD⊥平面SDCSC平面SDCSCAD⊥又在SDC△中，2SCSD==，22DCAB==，故222SCSDDC+=∴SCSD⊥SDADD=，,SDAD面SAD∴SC⊥平面SAD（2）设G为矩形ABCD的对角线的交点，则3AGBGCGDG====作SOCD⊥于O因为BC⊥平

面SDC，BC平面ABCD所以平面ABCD⊥平面SDC平面ABCD平面SDCCD=，SO平面SDC故SO⊥平面ABCDOG平面ABCD，OGSO⊥连结OG，SG，则22213SOGOSG+==+=所以G为四棱锥SABCD−外接球的球心，且

球的半径为3故所求的球的体积为34(3)433V==【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及求四棱锥外接球的体积，属于中档题.22.已知数列na、nb满足：1nnnaab+=+，2nb+为等比数列，且12b=，24a=，

310a=.（1）试判断数列nb是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列na的前n项和nS.【答案】（1）数列{}nb不是等差数列，理由见解析；（2）nS=2224.nnn+−−−【解析】【分析】（1）由已知首先

求出2b，由2nb+为等比数列，求得3b，可判断数列nb是否为等差数列；（2）由（1）可得可求得数列{}nb的通项公式，用累加法求得na，然后再用分组求和法求得和nS．【详解】解：（1）数列{}nb不是等差数列理由如下：由1n

nnaab+−=，且24a=，310a=，12b=得：所以2326baa=−=又因为数列{2}nb+为等比数列，所以可知数列{2}nb+的首项为4，公比为2.所以2324216b+==，∴314b=

显然213212+16bbb==故数列{}nb不是等差数列（2）结合（1）知，等比数列{2}nb+的首项为4，公比为2.故112422nnnb−++==，所以122nnb+=−因为1nnnaab+−=，12b=，24a=，∴12a=

∴122nnnaa−−=−（n2）令2n=，…，()1n−累加得232(222)2(1)nnan−=+++−−∴23(2222)22nnan=++++−+12(21)2222.21nnnn+−=−+=−−又1

2a=满足上式，∴122.nnan+=−所以231(221)(222)(22)nnSn+=−+−++−231(222)2(12)nn+=+++−+++224(21)(1)224.212nnnnnn+−+=−=−−−−．【点

睛】本题考查等差数列的判断，考查累加法求通项公式，分组求和法，掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式是解题基础．