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【文档说明】2024版《微专题·小练习》·数学（文）·统考版 详解答案.docx，共(146)页，2.714 MB，由小赞的店铺上传
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微专题小练习数学(文科)详解答案专练1集合及其运算1．A由题意知，∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选A.2．C因为集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{1，2，3}，所以A∩B＝{1，2}，所以(A∩B
)∪C＝{1，2，3，4}．3．D∵A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2－6x＋5＜0}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{2，3}．4．B由log2(x＋1)＜3，可得0＜x＋1＜8，解得－1＜x＜7，所以集合A＝{x|1≤x≤27
}，B＝{x|－1＜x＜7}，可得∁RB＝{x|x≤－1或x≥7}，所以A∩(∁RB)＝{x|7≤x≤27}＝[7，27].5．A由题意知，∁UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}，所以N∪∁UM＝{2，3，5}，故选A.6．C因为A，B均为R的
子集，且A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，所以A∩B＝∅.7．D∵A＝{x∈N*|x＜3}＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，∴集合B所有可能的结果为：{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∴满足条件的集合B共有4个．8．B因为A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x
＞1}，所以阴影部分表示的集合为A∩(∁RB)＝{x|－1＜x≤1}．9．CA＝{x|log2x＜1}＝(0，2)，B＝{y|y＝2－x}＝[0，＋∞)，∴A∩B＝(0，2).10．答案：3解析：由U＝{1，2，a2－2a－3}，∁UA＝{0}可得a
2－2a－3＝0.又A＝{|a－2|，2}，故|a－2|＝1，所以a2－2a－3＝0，|a－2|＝1得（a－3）（a＋1）＝0，a－2＝±1，解得a＝3.11．答案：－1或2解析：
∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，符合题意．当a2－a＋1＝a时，得a＝1，不符合集合的互异性，故舍去，∴a的值为－1或2.12．答案：±2或－1解析：若k＋2＝0，则A＝{x|－4x＋1＝0}
，符合题意；若k＋2≠0，由题意得k＋2≠0，Δ＝4k2－4（k＋2）＝0，得k＝2或k＝－1，综上得k＝±2或k＝－1.13．A因为A＝{x∈Z|－3≤x＜4}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，log2(x＋2)＜2，即log2(x＋2
)＜log24，故0＜x＋2＜4，解得－2＜x＜2，即B＝{x|－2＜x＜2}，则A∩B＝{－1，0，1}，其包含3个元素．14．A解不等式可得B＝{x|x＜0或x＞1}，由题意可知阴影部分表示的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，且A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝R，∴∁U(A
∩B)＝{x|x≤1或x＞2}，所以∁U(A∩B)∩(A∪B)＝{x|x≤1或x＞2}．15．C解不等式x＋4x－1＞0，则(x＋4)(x－1)＞0，解得：x＜－4或x＞1，即A＝{x|x＜－4或x＞1}，于是得∁RA＝{x|－4≤x≤1}，而B＝{－2，
－1，1，2}，所以(∁RA)∩B＝{－2，－1，1}．16．C因为y＝2cosπ3x的最小正周期T＝2ππ3＝6，且cosπ3＝12，cos2π3＝cos(π－π3)＝－cosπ3＝－12，cos3π3＝－1，cos4π3＝cos(π＋π3)＝－cosπ3＝－1
2，cos5π3＝cos(2π－π3)＝cosπ3＝12，cos6π3＝1，cos7π3＝cos(2π＋π3)＝cosπ3＝12，…，所以A＝x|x＝2cosnπ3，n∈N*＝{1，－1，－2，2}，又B＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，所以A
∩B＝{1，2}．专练2简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．B因为命题p：∃x0＜－1，2x0－x0－1＜0，则¬p：∀x＜－1，2x－x－1≥0.2．D令f(x)＝sinx－x(x>0)，则f′(x)＝cosx－1≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)<f
(0)，即f(x)<0，即sinx<x(x>0)，故∀x∈(0，＋∞)，sinx<x，所以D为假命题．3．A由x3<x2，得x2(x－1)<0，解得x<0或0<x<1，在这个范围内没有自然数，∴命题p为假命题．∵对任意的a∈(0，1)∪(1
，＋∞)，均有f(2)＝loga1＝0，∴命题q为真命题．4．C由¬(p∨q)为假命题知p∨q为真命题，∴p，q中至少有一个为真命题．5．B∵当x>0时，x＋1>1，∴ln(x＋1)>0，故命题p为真命题，当a＝－1，b＝－2时，a2<b2，故q为假命题，故p∧q为假命题．p∧(¬q)为真命题
，(¬p)∧q为假命题，(¬p)∧(¬q)为假命题．6．D由题意得，4x2＋(a－2)x＋14>0恒成立，∴Δ＝(a－2)2－4×4×14<0，得0<a<4.7．D∵命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是真命题等价于x20＋(a－1)x0＋1＝0
有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.8．B对于命题p，取x＝0，y＝5π3，则sinx＝0＞siny＝－32，但x＜y，p为假命题；对于命题q，∀a∈R，a2＋2≥2，则函数f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内为
增函数，q为真命题．所以p∧q、p∧(¬q)、¬(p∨q)均为假命题，(¬p)∧q为真命题．9．C若方程x2＋ax＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a2－4<0，即－2<a<2，即p：－2<a<2.∀x>0，2x－a>0则
a<2x，当x>0时，2x>1，则a≤1，即q：a≤1.∵¬p是假命题，∴p是真命题．∵p∧q是假命题，∴q是假命题，即－2<a<2，a>1，得1<a<2.10．答案：∀x∈(0，π2)，tanx≤sinx11．答案：[－3，3]解析：命题“∃x0∈R，使得
3x20＋2ax0＋1＜0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3.12．答案：(－∞，－1)解析：由“p或q”为真命题，得p为真命题或q为真命题．当p为真命题时，设方程x2＋mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，则有
Δ＝m2－4>0，x1＋x2＝－m>0，x1x2＝1>0，解得m<－2；当q为真命题时，有Δ′＝16(m＋2)2－16<0，解得－3<m<－1.综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1).13．B不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分(包含边界)所示．根
据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p为真命题，命题q也为真命题，所以根据复合命题真假判断结论可得ACD错误，B选项正确．14．C对于①，令y＝x－sinx，则y′＝1－cosx≥0，则函数y＝x－
sinx在R上递增，则当x>0时，x－sinx>0－0＝0，即当x>0时，x>sinx恒成立，故①正确；对于②，命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”，故②正确；对于③，命题p∨q为真，即p，q中
至少有一个为真，p∧q为真，即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x∈R，x－lnx>0”的否定是“∃x0∈R，x0－lnx0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3.15．A根据题意可得圆弧BE︵，EG︵，GI︵对应的半径分别为AB，BC
－AB，AB－DG，也即AB，BC－AB，2AB－BC，则弧长l，m，n分别为π2AB，π2(BC－AB)，π2(2AB－BC)，则m＋n＝π2(BC－AB)＋π2(2AB－BC)＝π2AB＝l，故命题p为真命题；ln＝π24(2AB2－AB×B
C)＝π24BC2(2×AB2BC2－ABBC)＝π28BC2(7－35)，而m2＝π24BC2(1－ABBC)2＝π28BC2(7－35)，故ln＝m2，命题q为真命题．则p∧q为真命题，p∧(¬q)，(¬p)∧q，(¬p)∧(¬q)均为假命题．16．答案：(
－∞，3]解析：若命题“∃x∈R，ex＋1＜a－e－x”为假命题，则命题“∀x∈R，ex＋1≥a－e－x”为真命题，即a≤ex＋e－x＋1在R上恒成立，则a≤(ex＋e－x＋1)min，因为ex＋e－x＋1≥2ex·e－x＋1＝3，当且仅当ex＝e－x，即
x＝0时，等号成立，所以(ex＋e－x＋1)min＝3，所以a≤3.专练3命题及其关系、充分条件与必要条件1．B由a＞b＞0，得ab＞1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足ab＞1，但是不满足a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＞1”的充分不必要条件．2．C原命题中，若
c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题；其逆命题为：设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b，由不等式的性质可知该命题为真命题，由于互为逆否的命题同真假可知其否命题为真命题，其逆否命题为假命题，故真
命题的个数为2.3．B甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，平方可得
sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B.4．C由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，qp，由互为逆否命题的两命题等价
可得¬q⇒¬p，¬p¬q，∴¬p是¬q的必要不充分条件．选C.5．B当平面α∥平面ABC时，△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零；当△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零时，平面α可能与平面
ABC相交，例如当BC∥平面α且AB，AC的中点在平面α内时，△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零，但平面α与平面ABC相交．即p是q的必要不充分条件．6．A由双曲线x24－y2λ＝1的焦点在x轴上可知，λ＞0.
于是“0＜λ＜4”是“双曲线x24－y2λ＝1的焦点在x轴上”的充分不必要条件．7．B由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，由函数y＝2x＋m－1有零点，则m<1，由函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，得0<m<1，∴
“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．8．A由（x＋y）22≤x2＋y2≤1，注意前一个等号成立条件为x＝y，所以－2≤x＋y≤2，则x＋y＋2＞x＋y＋2≥
0，充分性成立；当x＋y＋2＞0时，若x＝y＝1，则x2＋y2＝2＞1，必要性不成立．所以“x2＋y2≤1”是“x＋y＋2＞0”的充分不必要条件．9．A|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|两边平方得到AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→＝AB→2＋AC→2－2AB→·AC→，得AB→·A
C→＝0，即AB→⊥AC→，故△ABC为直角三角形，充分性成立；若△ABC为直角三角形，当∠B或∠C为直角时，|AB→＋AC→|≠|AB→－AC→|，必要性不成立．10．答案：充分不必要解析：由a∥b得，m2＝1，m＝
±1，∴m＝1是a∥b的充分不必要条件．11．答案：(－∞，－3]解析：由x2＋x－6<0得－3<x<2，即：A＝(－3，2)，由x－a>0，得x>a，即：B＝(a，＋∞)，由题意得(－3，2)⊆(a，＋∞)，∴a≤－3.12．答案：[
9，＋∞)解析：由1－x－13≤2，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，设p，q表示的范围为集合P，Q，则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．因为p是q的充分而不必要条件，所以PQ.所以m>0，
1－m≤－2，1＋m≥10，解得m≥9.13．B若p成立，例如当x＝4，y＝1时，q不成立，即p⇒q不成立，反之，若x＝2且y＝3，则x＋y＝5是真命题，所以若x＋y≠5，则x≠2或y≠3是真命题，即q⇒p成立，所以p是q的必要而不充分条件．14．C设等差
数列{an}的公差为d.因为{an}为递增数列，所以d>0.当n>1－a1d，且n∈N*时，an＝a1＋(n－1)d>a1＋(1－a1d－1)d＝0，故存在正整数N0≥1－a1d，当n>N0时，an>0，即充
分性成立．若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，则当n>N0≥1时，a1＋(n－1)d>0.当a1≤0时，n－1>0，所以d>－a1n－1≥0，即{an}为递增数列；当a1>0时，由题意得当n>N0时，an>0恒
成立，即a1＋(n－1)d>0恒成立，所以d>－a1n－1恒成立，所以d>(－a1n－1)max.因为－a1n－1随着n的增大而增大，且－a1n－1恒为负值，所以d≥0，所以d>0，即{an}为递增数列，即必要性成立．故选C.15．C若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1
＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋n（n－1）2d，所以Snn＝a1＋(n－1)·d2，所以Sn＋1n＋1－Snn＝a1＋(n＋1－1)·d2－[a1＋(n－1)·d2]＝d2，为常数，所以{Snn}为等差数列，即
甲⇒乙；若{Snn}为等差数列，设其公差为t，则Snn＝S11＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n
＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充要条件，故选C
.16．答案：0，12解析：由|4x－3|≤1，得12≤x≤1；由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1.∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，∴12，1[a，a＋1]，∴a≤12
，a＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤12.∴实数a的取值范围是0，12.专练4函数及其表示1．B由x＋2y＝3，2x－y＝1，得x＝1，y＝1，∴集合A中的元素为(1，1).2．A3．C设x＋
1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1).4．D由x≤121－x≤2，可得0≤x≤1；或x＞11－log2x≤2，可得x＞1；综上，f(
x)≤2的x取值范围是[0，＋∞).5．B由题意得1≤x＋1≤2019，x－1≠0，得0≤x≤2018且x≠1.6．A设f(x)＝ax＋b，由f(f(x))＝x＋2知，a(ax＋b)＋b＝x＋2，得a2＝1，ab＋b＝2，得
a＝1，b＝1，∴f(x)＝x＋1.7．B当x∈[0，1]时，f(x)＝32x；当1≤x≤2时，设f(x)＝kx＋b，由题意得：k＋b＝32，2k＋b＝0，得k＝－32，b＝3.∴当x∈[1，2]时，f(x)＝－32x＋3.结合选
项知选B.8．Af(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：当a>0时，2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；当a≤0时，a＋2＋2＝0，解得a＝－4，满足题意．9．C∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，得x＝5或x＝－1
，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.10．答案：1e＋1解析：f(3)＝f(1)＝f(－1)＝1e＋1.11．答案：－32解析：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；当a>1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，a
＝7，∴f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－32.12．答案：[0，3)解析：由题意得ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即y＝ax2＋2ax＋3与x轴无交点，当a＝0时y＝3符合题意；当a≠0时，Δ＝4a2－12a<0，得0<a<3，综上
得0≤a<3.13．A因为f(x＋2)＝2f(x)，由题意f(21)＝f(19＋2)＝2f(19)＝22f(17)＝…＝210f(1)＝210.14．B作出函数f(x)的图像，f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增．由f(a－3)＝f(a＋2)，若a
－3≤0a＋2＞0，即－2＜a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝a＋2，所以a＝a＋2，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝a＋2，舍去)此时a＝2满足题意，则f(a)＝2.若a－3＞0a＋2≤0，此时不存在满足条件的a.15．答案：4036解析：∵
f(a＋b)＝f(a)·f(b)，∴f(n＋1)＝f(1)·f(n)，∴f（n＋1）f（n）＝f(1)＝2，∴f（2）f（1）＋f（3）f（2）＋…＋f（2019）f（2018）＝2018f(1)＝2018×2＝4036.16．答案：22解析：由函数
f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝－1＋12＝12，所以f(f(15))＝f12＝cosπ4＝22.专练5函数的单调性与最值1．DA项，x1
＝0时，y1＝1，x2＝12时，y2＝2>y1，所以y＝11－x在区间(－1，1)上不是减函数，故A项不符合题意．B项，由余弦函数的图像与性质可得，y＝cosx在(－1，0)上递增，在(0，1)上递减，故B项不符合题意．C项，y＝lnx为增函数，故C项
不符合题意．D项，由指数函数可得y＝2x为增函数，且y＝－x为减函数，所以y＝2－x为减函数，故D项符合题意．2．D由x2－4>0得x>2或x<－2，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，
函数的单调增区间为(－∞，－2).3．By＝|x|(1－x)＝x（1－x），x≥0，－x（1－x），x<0＝－x2＋x，x≥0，x2－x，x<0＝－（x－12）2＋14，x≥0，（x－12）2－14，x<0.画出函
数的图像，如图．由图易知原函数在0，12上单调递增．4．D由于g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1，2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有0<a≤1.5．D解法一(排除法)取x1＝－1，x2＝0
，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝32，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意．解法二(图像法)如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图像，即可
快速直观判断D项符合题意．6．B由题意，f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，故函数f(x)＝2|x|为偶函数，且x＞0时，f(x)＝2x，故函数在(0，＋∞)单调递增，∵log23＞log45＝log25＞log22＝1，cosπ3＝12，∴a＝f(log0.53)＝f(
log23)＞b＞c.7．A函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知
，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f(62)＝f(2－62)，又22＜2－62＜32＜1，所以f(22)＜f(2－62)＜f(32)，所以b>c>a
，故选A.8．Cf(x)＝x2＋4x＝（x＋2）2－4，x≥0，4x－x2＝－（x－2）2＋4，x<0.由f(x)的图像可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－
2<0，解得－2<a<1.9．C因为函数f(x)是定义在R上的单调函数，且f(f(x)－x＋1)＝1，所以f(x)－x＋1为常数，记f(x)－x＋1＝m，则f(x)＝x＋m－1，所以f(1)＝m，f(m)＝1，不妨设函数f(
x)单调递增，且m＞1，则f(m)＞f(1)，即1＞m(矛盾)，故m＝1.所以f(x)＝x，故f(3)＝3.10．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)解析：由已知可得a2－a>0，a＋3>0，a2－a>a＋3，解
得－3<a<－1或a>3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).11．答案：[－1，1)解析：∵f(0)＝loga3<0，∴0<a<1，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为[－1，1).12．答案：3
解析：f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋2x－1＝1＋2x－1，显然f(x)在[2，5]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝1＋22－1＝3.13．By＝x－2在R上单调递增，y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(1，＋∞)上单调递增．要使函数f(x)＝x－2
，x≤mx2－2x，x＞m是定义在R上的增函数，只需m≥1m－2≤m2－2m，解得：m＝1或m≥2.所以实数m的取值范围是{1}∪[2，＋∞).14．A因为函数f(x)的定义域为R，所以f(－x)＝log2(2－x＋1)＋12x＝log2(2x＋1)－12x＝f(x)，
即函数f(x)为偶函数．又当x＞0时，f′(x)＝2x2x＋1－12＝2x－12（2x＋1）＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．而f(a－2)≥f(2a－1)等价于f(|a－2|)≥f(|2a－1|)，所以|a－2|≥|2a－1|，
化简得，a2≤1，所以－1≤a≤1.15．答案：3解析：∵y＝(13)x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝
3.16．答案：(0，34]解析：∵对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2<0成立，∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，∴0<a<1，a－3<0，a≥（a－3）×1＋4a，解得0<a≤34，∴a的取值范围是(0，34].专练6函数的奇偶性与周期性1．B通解
选项A：因为函数f(x)＝1－x1＋x，所以f(x－1)－1＝1－（x－1）1＋（x－1）－1＝2－xx－1＝2x－2，当x＝1，－1时，函数f(x－1)－1的值分别为0，－4.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．选项B：因为函数
f(x)＝1－x1＋x，所以f(x－1)＋1＝1－（x－1）1＋（x－1）＋1＝2－xx＋1＝2x.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数．选项C：因为函数f(x)＝1－x1＋x，所以f(x＋1)－
1＝1－（x＋1）1＋（x＋1）－1＝－xx＋2－1＝－2x＋2x＋2，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)－1的值分别为－43，0.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．选项D：因为函数f(x)
＝1－x1＋x，所以f(x＋1)＋1＝1－（x＋1）1＋（x＋1）＋1＝－xx＋2＋1＝2x＋2，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)＋1的值分别为23，2.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数．优解因为函数f
(x)＝1－x1＋x＝2－x－11＋x＝－1＋21＋x，所以函数f(x)的图像关于点(－1，－1)对称．选项A：因为将函数f(x)的图像先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x－1)－1的图像，所以可知函数
f(x－1)－1的图像关于点(0，－2)对称，从而该函数不是奇函数．选项B：因为将函数f(x)的图像先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(x－1)＋1的图像，所以可知函数f(x－1)＋1的图像关于点(0，0)对称，从而该函
数是奇函数．选项C：因为将函数f(x)的图像先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x＋1)－1的图像，所以可知函数f(x＋1)－1的图像关于点(－2，－2)对称，从而该函数不是奇函数．选项D：因为将函数f(x)的图像先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(
x＋1)＋1的图像，所以可知函数f(x＋1)＋1的图像关于点(－2，0)对称，从而该函数不是奇函数．综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数．2．D方法一f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即xexeax－1＝－xe－xe－ax－1，即e(1－a
)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D.方法二f(x)＝xexeax－1＝xe（a－1）x－e－x，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a
－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.3．D∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.4．C因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又因为f(1＋x)＝f(1－x)，所
以f(2－x)＝f(x)，则f(2－x)＝f(－x)，即f(2＋x)＝f(x)，所以周期为T＝2，因为f(12)＝1，f(－32)＝f(2－32)＝f(12)＝1.5．C∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)＝f(0)＝
1，∴f(4)＝f(0)＝1，f(－32)＝f(12)＝3，f(53)＝f(－13)＝f(13)＝33，∴f(－32)>f(53).6．C因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f
(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f(53)＝f(53－2)＝f(－13)＝13.7．Cf(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，得函数在(0，＋∞)上是减函数，图像越靠近y轴，图像越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于0<0.20
.6<1<log47<log49＝log23，可得b<a<c.8．A因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以由f(x)＝f(－x＋2)⇒f(－x)＝f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，所以该函数的周期为4
，所以f(2022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0.9．A∵f(x)是周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝2a－3a＋1，又f(1)<1，∴2a－3a＋1<1，得－1<a<4.10．答案：－12解析：因为log32∈(0，1)，所以－l
og32∈(－1，0)，由f(x)为奇函数得：f(log32)＝－f(－log32)＝－f(log312)＝－3log312＝－12.11．答案：2解析：方法一因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2
－ax＋sin－x＋π2＝(x－1)2＋ax＋sinx＋π2，得a＝2.方法二因为f(x)为偶函数，所以f－π2＝fπ2，即－π2－12－π2a＝π2－12＋π2a，得a＝2.12．答案：4034解析：F(a)＋F(c)＝(a－b
)f(a－b)＋2017＋(c－b)f(c－b)＋2017.∵b是a，c的等差中项，∴a－b＝－(c－b)，令g(x)＝xf(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，∴g(x)＝xf(x)是奇函数．∴(a－
b)f(a－b)＋(c－b)f(c－b)＝0，∴F(a)＋F(c)＝2017＋2017＝4034.13．A因为函数y＝f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，即f(x)＝log2(x＋1)，f(1)
＝log22＝1；因为y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即y＝f(x)的图像关于x＝1对称，又y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝
f(x)，即函数y＝f(x)是周期函数，周期为4，则f(2022)＋f(2023)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1.14．A因为y＝f(x)图像关于点(0，0)与点(1，0)对称，所以f(－x)＋f(
x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，所以f(32)＝f(－12＋2)＝f(－12)＝－(－12)2＝－14.15．B由题意，函数f(x)
是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sinπx，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－f(－x)＝－sin(－πx)＝sinπx，即f(x)＝sinπx，x∈[－1，1]，又由当x＞1时，f(x)＝2f(x－2)，可画出函数图像，如图所示．由图知，当3≤
x≤5时，f(x)＝4f(x－4)＝4sin(πx－4π)＝4sinπx；则当－5≤x≤－3时，f(x)＝－f(－x)＝4sinπx；当－5≤x≤－3时，令4sinπx＝23，解得x1＝－103，x2＝－113(舍去)，若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤23成立，所以m的最大值为103.16．答
案：－12ln2解析：本题先采用特殊值法求出f(x)，再检验正确性．因为f(x)为奇函数，所以f（0）＝0，f（2）＋f（－2）＝0，即ln|a＋1|＋b＝0①，ln|a－1|＋lna＋13＋2b＝0②.由①可得－b＝ln|a＋1|③.将③代入②可得，（a－
1）（a＋13）＝|a＋1|2.当(a－1)(a＋13)＝(a＋1)2时，解得a＝－12.把a＝－12代入①，可得b＝ln2，此时f(x)＝ln－12＋11－x＋ln2＝ln1＋x1－x，所以f(－x)＋f(x)＝ln
1－x1＋x＋ln1＋x1－x＝ln1＝0，所以f(x)为奇函数，且f(0)，f(2)，f(－2)均有意义．当(a－1)(a＋13)＝－(a＋1)2时，整理可得a2＋23a＋13＝0，此时Δ＝
49－4×13<0，所以a无解．综上可得，a＝－12，b＝ln2.专练7二次函数与幂函数1．C∵幂函数y＝f(x)的图像过点(5，15)，∴可设f(x)＝xα，∴5α＝15，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1.∴f(21－log23)＝f(
2log223)＝f(23)＝(23)－1＝32.2．D设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴f(x)＝x12.∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．3．A因为函数
y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以m2－m－1＝1，－5m－3<0，解得m＝2.4．A函数图像的对称轴为x＝a2，由题意得a2≥4，解得a≥8.5．A由f(1＋x)＝f(－x
)知函数f(x)图像的对称轴为x＝12，而抛物线的开口向上，且0－12＝12，2－12＝32，－2－12＝52，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(－2)>f(2)>f(0).6．B因为f(x)>0的解集为(－1，3)，故－2x2＋bx＋
c＝0的两个根为－1，3，所以－c2＝－1×3，b2＝－1＋3即b＝4，c＝6，令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1，0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，故m≥4.7．B由题意得
a>0，Δ＝4－4ac＝0，∴ac＝1，又a>0，∴c>0.∴9a＋1c≥29ac＝6(当且仅当9a＝1c，即a＝3，c＝13时等号成立).8．A∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e
－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．9．A当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x
)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒m<0，Δ＝16－8m2<0⇒m∈(－∞，－2).10．答案：－111．答案：f(x)＝x2解析：幂函数
f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)<f(3)，故－k2＋k＋2>0，∴－1<k<2，又k∈N*，∴k＝1，f(x)＝x2.12．答案：365解析：设g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由题意知g(x
)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，即g(5)＝0，可以解得k＝365(经检验满足题意).13．B原题可转化为关于a的一次函数y＝a(x－2)＋x2－4x＋4>0
在a∈[－1，1]上恒成立，只需（－1）（x－2）＋x2－4x＋4>0，1×（x－2）＋x2－4x＋4>0⇒x>3或x<2，x>2或x<1⇒x<1或x>3.14．B因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－
b＝0，②错误．结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．15．答案：0(答案不唯一)1解析：当a<0时，f(x)＝－ax＋1(x<a)是(－∞
，a)上的增函数，没有最小值，不符合题意．当0≤a<2时，f(x)＝－ax＋1(x<a)是(－∞，a)上的减函数，f(x)＝(x－2)2(x≥a)在[a，2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，其最小值是当x＝2时
的函数值，即f(x)min＝f(2)＝0，要使f(x)存在最小值，则f(a)＝－a·a＋1＝－a2＋1≥0，解得－1≤a≤1.又0≤a<2，所以0≤a≤1，则a的一个取值可以为0.当a≥2时，f(x)＝－ax＋1(x<a)的值域为(－a2＋1，＋∞)，f(x)＝(x－2)2(x
≥a)的值域为[(a－2)2，＋∞).因为－a2＋1此时恒小于(a－2)2，所以f(x)不存在最小值，所以a的取值范围是[0，1]，所以a的最大值为1.16．答案：(12，＋∞)解析：由f(x)>0，即ax2－2x＋
2>0，x∈(1，4)，得a>－2x2＋2x在(1，4)上恒成立．令g(x)＝－2x2＋2x＝－2(1x－12)2＋12，因为1x∈(14，1)，所以g(x)max＝g(2)＝12，所以要使f(x)>0在(1，4)上恒成立
，只要a>12即可，故实数a的取值范围是(12，＋∞).专练8指数与指数函数1．C由题意得a2－3a＋3＝1，a>0，a≠1，得a＝2.2．A若函数g(x)＝3x＋t的图像不经过第二象限，则当x＝0时，g(x)≤0，即30＋t≤0，解得t≤
－1.3．Aa3x＋a－3xax＋a－x＝a2x＋a－2x－1＝2－1＋12－1－1＝2－1＋2＋1－1＝22－1.4．B∵y＝ax在[0，1]上单调，∴a0＋a1＝3，得a＝2.5．D由f(x)＝ax－b的图像知0<a<1，又f(0)＝a－b∈(0，1)，∴－b>0，∴b<0.6．Aa＝log5
2＝12log54，而0＜log54＜1，即0＜a＜12；由eb＝12，得b＝ln12＜ln1，即b＜0；c＝ln32，而ln3＞lne＝1，即c＞12；所以c＞a＞b.7．D因为a＝log0.62＜
log0.61＝0，0＜b＝sin1＜1，c＝20.6＞20＝1，所以a＜b＜c.8．C由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0).9．B∵f(x)＝ex－1ex的定义域为R，f(－x)＝e－x－1e－x＝e－x－ex＝－f
(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>f(x＋1).又f(x)在R上单调递增，∴2x－1>x＋1，∴x>2.10．答案：－1679解析：原式＝(－278)－23＋(1500)－12－105－2＋
1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.11．答案：－32解析：①当0<a<1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递减，由题意可得f（－1）＝0，f（0）＝－1，即a－1＋b＝0，a0＋b＝－1
，解得a＝12，b＝－2，此时a＋b＝－32.②当a>1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递增，由题意可得f（－1）＝－1，f（0）＝0，即a－1＋b＝－1，a0＋b＝0，显然无解，所以a＋b＝－
32.12．答案：1解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x－1|的图像如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.13．A由题意，得144＝eb48＝e2
0k＋b，即144＝eb13＝e20k，于是当x＝40(℃)时，y＝e40k＋b＝(e20k)2·eb＝132×144＝16(小时).故选A.14．D当0<a<1时，函数f(x)＝ax在[－2，2]上为减函数，则f(x)max＋f(x)min＝f(－2)＋f(2)
＝1a2＋a2＝103，解得a＝33，当a>1时，函数f(x)＝ax在[－2，2]上为增函数，则f(x)max＋f(x)min＝f(2)＋f(－2)＝a2＋1a2＝103，解得a＝3.综上，a＝33或3.故选D.15．答案：6解析：由题意得f(p)＝65，f(q)＝－15，所以2
p2p＋ap＝65，①2q2q＋aq＝－15，②①＋②，得2p（2q＋aq）＋2q（2p＋ap）（2p＋ap）（2q＋aq）＝1，整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，∴36pq＝a2pq，又p
q≠0，∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6.16．答案：[－12，＋∞)解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.因为x∈[－2，2]，所以t∈14，4.又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，即y＝t2＋mt－2在区间14，
4上单调递增，故有－m2≤14，解得m≥－12.所以m的取值范围为[－12，＋∞).专练9对数与对数函数1．B原式＝lg52＋lg4－2＝lg(52×4)－2＝1－2＝－1.2．D由题意得log12(3x－2)≥0，即0<3x－2≤1.∴
23<x≤1.3．A函数f(x)＝log12(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝log12(x2－2x)的单调增区间为(－∞，0).4．A∵f(x)＝(m－2)xa为幂函数，∴m
－2＝1，m＝3，∴g(x)＝loga(x＋3)，又g(－2)＝0，∴g(x)的图像过(－2，0).5．C由x＋1>0，x－1>0，得x>1，∴函数f(x)的定义域为(1，＋∞)不关于坐标原点对称，
故函数f(x)为非奇非偶函数．6．A因为a＝log0.222022＜log0.2210.22＝－1，－1＜b＝sin(sin2022)＜1，c＝20220.22＞20220＝1，所以a＜b＜c.7．Cf(x)的定义域为(0，2)，f(x)＝l
nx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x).设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y＝lnu在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递
减．∴选项A、B错误；∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图像不关于点(1
，0)对称，∴选项D错误．8．B由y＝logax的图像可知loga3＝1，所以a＝3.对于选项A：y＝3－x＝(13)x为减函数，A错误；对于选项B：y＝x3，显然满足条件；对于选项C：y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，C错误；对于选项D：y＝log3(－x)，当x＝－3时，y＝1
，D错误．9．B由75－15＝(12)1h(105－15)，有(12)1h＝23，又30－15＝(12)mh(75－15)，有(12)mh＝14，即(23)m＝14，则mlg23＝lg14，解得m＝－lg4lg2－lg3＝2lg2lg3－lg2≈3.4
.10．答案：－7解析：∵f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，a＝－7.11．答案：8解析：因为函数y＝(13)x，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝(13)x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的
最大值为f(－2)＝(13)－2－log2(－2＋4)＝9－1＝8.12．答案：(－∞，32]解析：∵0<－x2＋22≤22，∴log2(－x2＋22)≤log222＝32.13．Ax＝ln12＜0，0＜y＝log52＜log5
5＝12，z＝e－12＝1e＞14＝12，所以x＜y＜z.14．C由题意知4.9＝5＋lgV，得lgV＝－0.1，得V＝10－110≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.15．Bx＝log4(20211226×1314
520)＝12log2(20211226×1314520)，设20211226＝2m，1314520＝2n，由表格得知：220＝1048576，221＝2097152，224＝16777216，225＝3355
4432，所以24＜m＜25，20＜n＜21，所以m＋n∈(44，46)，log2(20211226×1314520)∈(44，46)，则x＝12log2(20211226×1314520)∈(22，23).16．
答案：[－1，＋∞)解析：∵函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f(0)＝0，∴f(－2)＝loga3＝－1，∴a＝13，∴g(x)＝(13)x＋m－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥
－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).专练10函数的图像1．A设函数f(x)＝(3x－3－x)cosx，则对任意x∈[－π2，π2]，都有f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝
－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项．又f(1)＝(3－3－1)cos1＝83cos1＞0，所以排除C选项．故选A.2．A把函数y＝log2x的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，得到函数y＝12log2x的图像，再向右平移1个单位，得到函数y＝1
2log2(x－1)的图像，即函数y＝log2(x－1)12＝log2x－1的图像．3．A对于B选项，f(π2)＝0，与题图不符；对于C选项，当π＜x＜3π2时，|sinx|＞0，则f(x)＝x2|sinx|ex＞0，与题图不符；对于D选项，f(π2)＝0，与题图不符．排
除BCD选项．4．Cf(－x)＝3－x－3x（－x）2＋|－x|－2＝3－x－3xx2＋|x|－2＝－3x－3－xx2＋|x|－2＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A选项；令x2＋|x|－2＝0，得x＝1或x＝－1，所以f(x)在x＝1和x＝－1处没有意义，函数图像存
在虚线，当取1.000001时，f(x)分母为正，分子为正，所以函数值为正数，排除B选项；当x＝－12时，f(x)分母为负，分子为负，所以f(x)为正数，排除D选项；对比图像和函数值知只有C选项符合题意．5
．D函数f(x)在x＝0处无定义，排除选项A；函数f(x)的图像关于原点对称，故f(x)为奇函数，排除选项B；当0＜x＜1时，cosx＞0，ex＞e－x，故cosxex－e－x＞0，排除选项C.6．A函数f(x)＝x＋2x＋
1＝1＋1x＋1，∵1x＋1≠0，∴f(x)≠1.故A正确；显然f(x)的图像关于(－1，1)成中心对称，故B不正确；∵当x＝－2时，f(x)＝0，故图像与x轴有交点，C不正确；由函数的概念知D不正确．7．B图②是由图①y轴左侧图像保留，左右关于y轴对称得
，故图②对应的解析式为y＝f(－|x|).8．A对于B选项，当x＝1时，y＝0，与图像不符，故B不符合题意．对于C选项，当x＝3时，y＝6cos310＝35cos3.因为cos3>－1，所以35cos3>－35，与图像不符，故C不符合题意．对
于D选项，当x＝3时，y＝2sin310>0，与图像不符，故D不符合题意．综上，用排除法选A.9．D由题意知y＝11－x＝－1x－1的图像是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y＝2sinπx的周期为T＝2ππ＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，因此两图像的交点也一
定关于点(1，0)成中心对称，再结合图像(如图所示)可知两图像在[－2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x1＋x2＋…＋x8＝4×2＝8.10．答案：(－2，4)解析：由题意得f(2)＝3，又y＝f(x)
与y＝f(－x)的图像关于y轴对称，∴y＝f(－x)过点(－2，3)，∴y＝f(－x)＋1的图像过点(－2，4).11．答案：(－π2，－1)∪(1，π2)解析：当x∈(0，π2)时，y＝cosx>0.当
x∈(π2，4)时，y＝cosx<0.结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图像知，当1<x<π2时，f（x）cosx<0.又函数y＝f（x）cosx为偶函数，∴在[－4，0]上，f（x）cosx<0的解集为(－π2，－1)，所以f（x）cosx<0的解集为
(－π2，－1)∪(1，π2).12．答案：(0，1)∪(1，4)解析：根据绝对值的意义，y＝|x2－1|x－1＝x＋1（x>1或x<－1），－x－1（－1≤x<1）.在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示，根据图像可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．13．Ay
＝f(x)＝12x，0≤x<1，34－x4，1≤x<2，54－12x，2≤x≤52，画出分段函数的大致图像，如图所示．14．D当a＝0时，f(x)＝|x＋1|＝x＋1，x≥－1－x－1，x＜－1，
图像为A；当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋x＝2x＋1，x≥－1－1，x＜－1，图像为C；当a＝－1时，f(x)＝|x＋1|－x＝1，x≥－1－2x－1，x＜－1，图像为B.对于D：当x≥－1时f(x)＝
x＋1＋ax＝(1＋a)x＋1为常数函数，则1＋a＝0，解得a＝－1，显然与B的图像矛盾，故D错误．15．B由题f′(x)＝x2＋2ax＋b(a＜0，b＜0)，Δ＝4a2－4b＞0，导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点x1，x2，且x1＋x2＝－2a＞0，x1·x2＝b＜0，只有B图符
合．16．答案：(3，＋∞)解析：f(x)的大致图像如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m2<m，又m>0，所以m>3.专练11函数与方程1．B由题意得x2－ax＋b＝0有两根2，3.∴2＋3＝a，2×3＝b，得a＝5，
b＝6.由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，得x＝－16或x＝1.2．C令f(x)＝log4x＋x－7，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)
<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在的区间为(5，6)，即方程log4x＋x＝7的根所在区间是(5，6).故选C.3．A由x2＋2x－3＝0，x≤0，得x1＝－3，由lgx－1＝0，x>0，得x2＝10，∴函数f(x)的所有零
点之和为10－3＝7.4．D∵f(1e)＝13e＋1>0，f(1)＝13>0，f(e)＝e3－1<0，∴f(x)在(1e，1)内无零点，在(1，e)内有零点．5．B∵f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝ln2＋4－6
<0，f(3)＝ln3>0，∴f(x)的零点位于(2，3).6．C令f(x)＝log3x＋x－3，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，∴函数f(
x)的零点所在的区间为(2，3)即方程的解所在的区间为(2，3).7．B由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx·(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z
，又∵x∈[0，2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个．8．D当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，∴g(x)＝x2－4x＋3，x≥0，－x2－4x＋3，x<0，由x2－4x＋3＝0，x≥0，得x＝1或x
＝3；由－x2－4x＋3＝0，x<0，得x＝－2－7.9．D由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图像只有一个公共点，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0，2)，要使y＝
|f(x)|与y＝－k的图像有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．10．答案：(13，1)解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1，1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(
3a－1)<0，解得13<a<1，所以实数a的取值范围是(13，1).11．答案：±1解析：由题意得3－x0－2＝1，x0≤0或x0＝1，x0>0，得x0＝±1.12．答案：(3，5)解析：∵偶函数f(x)满足f(x
)＝f(x＋2)且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，∴函数f(x)的周期为2.在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于f(x)的图像与y＝loga(x＋2)的图像
在区间[－1，3]内有3个交点．当0<a<1时，不成立，所以a>1且loga(1＋2)<1，loga(3＋2)>1，解得a∈(3，5).13．A作出函数f(x)的图像如图所示：由图可知，当0＜a＜1时
，直线y＝a与函数f(x)的图像有四个交点，且交点的横坐标分别为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由图可知，点(x3，a)、(x4，a)关于直线x＝5对称，则x3＋x4＝10，由图可知，2＜x1＜3，3＜x2＜4，由f(x1)＝f(x2)可得－log2(
x1－2)＝log2(x2－2)，所以x1－2＝1x2－2，所以可得x1＝1x2－2＋2，所以（x3＋x4）x15＋1x2－1＝2x1＋1x2－1＝2x2－2＋1x2－1＋4，易知函数g(x)＝2x－2＋1x－1＋4在(3，4)上为减函数，且g(3)＝132，g
(4)＝163，故（x3＋x4）x15＋1x2－1＝2x2－2＋1x2－1＋4∈(163，132).14．D通解函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)＝(x－a)2(ax－ab)，求导得f′(x)＝2(x－a)(ax－ab)＋a(x－a)2
＝a(x－a)(3x－a－2b).令f′(x)＝0，结合a≠0可求得x＝a或x＝a＋2b3.(1)当a>0时，①若a＋2b3>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，a＋2
b3)上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意；②若a＋2b3＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；③若a＋2b3<a，即b<a，此时易知函数f(x)在(a＋2b3，a)上单调
递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意．(2)当a<0时，①若a＋2b3>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，a＋2b3)上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意；②
若a＋2b3＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意；③若a＋2b3<a，即b<a，此时易知函数f(x)在(a＋2b3，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，所
以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意．综上可知：当a>0且b>a时满足题意，当a<0且b<a时也满足题意．据此可知，必有ab>a2成立．优解当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2(x－2)，作出该函数的图像(图略)，观察可知x＝1为函数的极大值点，满足题意
．所以根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误．当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，作出该函数的图像(图略)，观察可知x＝－1为函数的极大值点，满足题意．所以根据a＝－1，b＝－2可知选项A错误．光速解当a>0时，根据题意作出函数f(x)的大致图像如图1所示，观察可知b>
a.当a<0时，根据题意作出函数f(x)的大致图像如图2所示，观察可知a>b.综上可知，必有ab>a2成立．15．Df(x)＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1(x＞1)，因为x＞1，所以x－1＞0，
所以f(x)＞1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，α，β分别是方程f(x)＝ex，f(x)＝lnx的根，因为y＝ex与y＝lnx互为反函数，所以y＝ex与y＝lnx的图像关于直线y＝x对称，由y＝xx－1（x＞1）y＝x，得x＝2y＝2，画出函数y＝
ex，y＝lnx和f(x)＝xx－1(x＞1)的图像，由图可得1＜α＜2，因为当x＝3时，ln3＝ln9＜lne3＝32＝33－1，当x＝4时，ln4＝ln343＞ln3e4＝43＝44－1，所以3＜β＜4，所
以4＜α＋β＜6，所以①正确，对于②，由图可得1＜lnβ＜2，所以e＜β＜e2，因为1＜α＜2，所以e＜αβ＜2e2，所以②正确，对于③，因为f(x)＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1(x＞1)的图像关于直线y＝x对称，因
为y＝ex和y＝lnx互为反函数，所以(α，αα－1)与(β，ββ－1)关于直线y＝x对称，所以α＝ββ－1或β＝αα－1，化简得α＋β＝αβ，所以③正确．16．答案：(1，4)(1，3]∪(4，＋∞)解析：当λ＝2时，不等
式f(x)<0等价于x≥2，x－4<0或x<2，x2－4x＋3<0，即2≤x<4或1<x<2，故不等式f(x)<0的解集为(1，4).易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x1＝4，函数y＝x2－4x＋3(x∈R)有
两个零点x2＝1，x3＝3.在同一坐标系中作出这两个函数的图像(图略)，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞).专练12
变化率与导数、导数的计算1．D∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2，∴f(x)＝－4x＋x2，∴f′(x)＝－4＋2x，∴f′(0)＝－4.2．Ch′(t)＝－200t＋800，∴h′(
2)＝－200×2＋800＝400(m/h).3．B设曲线f(x)＝33x3－1在x＝1处的切线倾斜角为α，因为f′(x)＝3x2，则f′(1)＝3，因为0≤α≤π，因此，α＝π3.4．C由题意可知y′＝ex（x＋1）－ex·1（x＋1）2＝xex（x＋1）2，则曲线y＝exx＋1在
点1，e2处的切线斜率k＝y′|x＝1＝e4，所以曲线y＝exx＋1在点1，e2处的切线方程为y－e2＝e4(x－1)，即y＝e4x＋e4，故选C.5．D∵y′＝aex＋lnx＋1，当x＝1时，y′＝ae
＋1，∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.故切点坐标为(1，1)，将切点坐标(1，1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b,∴b＝－1.6．B令y′＝2x4－3x＝－12，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切点的横坐标为2.7．B∵f′(x)＝cosx－asinx，∴f
′(π4)＝22－22a＝24，得a＝12.8．D由y＝x＋lnx，得y′＝1＋1x，∴当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，由y＝2x－1，y＝ax2＋（a
＋2）x＋1，得ax2＋ax＋2＝0，由题意得a≠0，Δ＝a2－8a＝0，得a＝8.9．Bf′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切线的倾斜角的范围是[0，π2)∪[34π，π).10．答案：y＝2x解析：设该切线的切点坐标为(x0，y0)，由y＝lnx＋x＋1得y′
＝1x＋1，则在该切点处的切线斜率k＝1x0＋1，即1x0＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，∴该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.11．答案：(1，0)解析：设P(x0，y0)，因为y＝12x2的导数为
y′＝x，所以曲线y＝12x2在点A(1，12)处的切线的斜率为1，因为y＝xlnx的导数为y′＝1＋lnx，曲线y＝xlnx在点P处的切线斜率为1＋lnx0，所以1＋lnx0＝1，解得x0＝1，代入y＝xlnx可得y0＝0，故P(1，0).12．答案：x＋y＝0解析：
设切线的切点为(x0，－x0lnx0－1)，对函数y＝－xlnx－1求导得y′＝－lnx－1，则切线的斜率为k＝－1－lnx0，所以切线方程为y＋x0lnx0＋1＝(－lnx0－1)(x－x0)，将原点的坐标代入切线方程可得x0＝1，
则k＝－1，因此，所求切线方程为y＝－x，即x＋y＝0.13．A∵f′(x)＝4ax＋1ax2，∴k＝f′(1)＝4a＋1a≥24a·1a＝4，当且仅当4a＝1a，即a＝12时等号成立．14．D设切点(x0，x0lnx0)，∵y′＝lnx＋1，由题意得：
lnx0＋1＝k，x0lnx0＝kx0－2，得lnx0＋2x0＝lnx0＋1，∴x0＝2.k＝1＋ln2.15．答案：1解析：∵f′(x)＝a－1x，∴f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，∴切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，y
＝1，∴l在y轴上的截距为1.16．答案：1－ln2解析：直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2，y＝ln(x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝lnx＋2得y′＝1x，由y＝ln
(x＋1)得y′＝1x＋1，∴k＝1x1＝1x2＋1，∴x1＝1k，x2＝1k－1，∴y1＝－lnk＋2，y2＝－lnk.即A(1k，－lnk＋2)，B(1k－1，－lnk)，∵A、B在直线y＝kx＋b上，∴2－lnk＝k
·1k＋b，－lnk＝k·（1k－1）＋b⇒b＝1－ln2，k＝2.专练13导数与函数的单调性1．B函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x)<0，得0<x<1e，∴f(x)的单调减区间为(0，1e).2．C由函数y＝f(x)与y＝f′(x)的关系可知，
当x∈(－2，1)时，f(x)先减后增，故A不正确；当x∈(1，3)时，f(x)先增后减，故B不正确；当x∈(4，5)时，f′(x)>0，∴f(x)在(4，5)上单调递增，故C正确；由函数的图像可知函数在x＝4处取得极小值，故D不
正确．3．C因为f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，所以f(x)在区间[1，3]上单调递减，f(x)的图像向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图像，所以f(x－1)在区间[2，4]上单调递减．用集合的观点
考虑“充分不必要条件”，在选项中，包含在区间[2，4]内的选项为C.4．C令f(x)＝x－sinx，x∈(0，π2)，则f′(x)＝1－cosx＞0，所以函数f(x)＝x－sinx在(0，π2)上单调递增，所以x－sinx＞0，即x＞sinx在x∈(0，π2)上恒成立，又
π－3∈(0，π2)，所以π－3＞sin(π－3)＝sin3＞0，又6∈(π，2π)，所以sin6＜0，所以π－3＞sin3＞sin6，即a＞c＞b.5．A函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1的导数为f′(x)＝－3x2＋2ax－1.∵函数f(x)在(
－∞，＋∞)上是单调函数，∴在(－∞，＋∞)上f′(x)≤0恒成立，即－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3，∴实数a的取值范围是[－3，3].6．D由f(x)＝x2－alnx，得f′(x)＝2x－ax，∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴2x－ax≥0，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤2.7．B由题意知f′(x)＝3x2＋a，要使函数f(x)存在3个零点，则f′(x)＝0要有2个不同的根，则a<0.令3x2＋a＝0，解得x＝±－a3.令f′(x)>0，则x<－－a
3或x>－a3，令f′(x)<0，则－－a3<x<－a3.所以f(x)在(－∞，－－a3)和(－a3，＋∞)上单调递增，在(－－a3，－a3)上单调递减，所以要使f(x)存在3个零点，则f（－－a3）>0，f
（－a3）<0，即－2a3·－a3＋2>02a3·－a3＋2<0，解得－a3>1，即a<－3.故选B.8．A由f′(x)＝x2－3x－4<0，得－1<x<4，∴f(x)的单调减区间为(－1，4
)，∴y＝f(x＋3)的单调减区间为(－4，1).9．C∵f′(x)＝1＋ax，由题意得1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，∴a＝－x<0，∴a的取值范围是(－∞，0).10．答案：－12解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意得3x
2＋2bx＋c<0的解集为(－1，3).∴－1＋3＝－2b3，－1×3＝c3，得b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.11．答案：(－π，－π2)，(0，π2)解析：∵f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，由f′(x)>0
得－π<x<－π2或0<x<π2，∴f(x)的单调增区间为(－π，－π2)，(0，π2).12．答案：2022解析：因为x1·2x1＝x2·log2x2＝2022，所以2x1log22x1＝x2·log2x2＝2022，则2x1＞1，x1＞0
，x2＞1，设f(x)＝xlog2x，(x＞1)，则f′(x)＝log2x＋1xln2＞0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以2x1＝x2，所以x1x2＝x1·2x1＝2022.13．D函数y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，可知函数y＝f(x)的图像关于直线x
＝0对称，即y＝f(x)为偶函数，构造g(x)＝xf(x)，当x∈(－∞，0)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，故y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减，且易知g(x)为奇函数，故y＝g(x)在
(0，＋∞)上单调递减，由21.5＞2＝log1214＞ln3＞0，所以g(21.5)＜g(log1214)＜g(ln3).14．D由题意得：alna－a＝2ln2－2blnb－b＝2ln2－2clnc－c＝12ln12－12，令
f(x)＝xlnx－x，则f′(x)＝lnx，∴当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0；∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；∴f(x)min＝f(1)＝－1；又f(e)＝0，当x∈(0，1)时，f(x)＜0；∴方程f(x)＝t(－1＜t
＜0)有两个不等解x1，x2，∴0＜x1＜1，1＜x2＜e；∵f（a）＝f（2）f（b）＝f（2）f（c）＝f（12），又0＜12＜1＜2＜2＜e，∴0＜a＜1，0＜b＜1，1＜c＜e；又f(2)＞f(2
)，∴f(a)＞f(b)，∴a＜b；综上所述：a＜b＜c.15．B因为f(1)＝ln11＝0，所以x＝1不是不等式1－af（x）＞0的一个解，当x＞1时，f(x)＝lnxx2＞0，则1－af（x）＞0⇔f(x)－a＞0⇔a＜lnxx2.不等式1－af（x）＞0有且只有一个整
数解等价于a＜lnxx2只有一个整数解，即f(x)的图像在直线y＝a的上方只有一个整数解，f′(x)＝1－2lnxx3，令f′(x)＝0，则x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．作出f(x)的图像，由图像可知a的
取值范围为f(3)≤a＜f(2)，即ln39≤a＜ln24.16．A∵当x∈(0，＋∞)时不等式f(x)－xf′(x)＞0成立，∴(f（x）x)′＝f′（x）x－f（x）x2＜0，∴g(x)＝f（x）x在(0
，＋∞)上是减函数，则a＝415f(4－15)＝f（4－15）4－15＝g(4－15)，b＝2f(22)＝f（22）22＝g(22)，c＝log139f(log133)＝－2f(－12)＝f（－12）
－12＝g(－12)，又∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴g(x)＝f（x）x是定义在R上的偶函数，则g(－12)＝g(12)，∵4－15＝154＝11016＞11025＝22＞12，∵g(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴g(
4－15)＜g(22)＜g(12)，则a＜b＜c.专练14导数与函数的极值、最值1．Af′(x)＝x－1x＝x2－1x，且x>0，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0得0<x<1，∴f(x)在x＝1处取得极小值，又f(x)为
单峰函数，∴f(x)min＝f(1)＝12.2．Af′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，∴f(x)极大值＝f(－2)＝283.3．A由题意知f′(x)＝12ex＋(12x－1)ex＋12＝12[ex(x－1
)＋1].令g(x)＝ex(x－1)＋1，则g′(x)＝ex(x－1)＋ex＝xex，令g′(x)＝0，得x＝0，则函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0，由此可知f′(x)≥0，所以函数f(x)不存在极值点．4．Cf′(x)＝3x2＋2
ax＋b，∴3＋2a＋b＝0，1＋a＋b＋a2＝10，b＝－3－2a，a2－a－12＝0，⇒a＝4，b＝－11，或a＝－3，b＝3.当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，∴在x＝1处
不存在极值．当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，∴x∈(－113，1)，f′(x)<0；x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，符合题意．∴a＝4，b＝－11.∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18.5．
B∵函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，且f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，由题意得方程3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不同的实数解，∴Δ＝4m2－12(m＋6)>0，解得m<－3或m>6，∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，
＋∞).6．A∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，所以f(x)在x＝－1两侧先增后减，f(x)在x＝1两侧先减后增，分别计算得f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以M＝1，N＝－19，则M－N＝1－(－19)＝20.7．A由ex≥k＋x恒
成立，∴k≤(ex－x)min，设f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得x>0，由f′(x)<0，得x<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1，∴k≤1.8．
D由题意得f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，∴a＋b＝6，∴t＝ab＝a(6－a)＝－(a－3)2＋9，∴tmax＝9.9．B函数f(x)＝13x3＋12ax2＋bx
＋c有两个极值点x1，x2，假设x1＜x2，则f′(x)＝x2＋ax＋b＝0有两个不等的实数根，Δ＝a2－4b＞0，方程f2(x)＋af(x)＋b＝0的判别式Δ′＝Δ＝a2－4b＞0，所以方程f2(x)＋a
f(x)＋b＝0有两解，且f(x)＝x1或f(x)＝x2，函数y＝f(x)的图像和直线y＝x1的交点个数即为方程f(x)＝x1解的个数，函数y＝f(x)的图像和直线y＝x2的交点个数即为方程f(x)＝x2解的个数．f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调
递减，又f(x1)＝x1，画出图像如图所示，y＝f(x)的图像和直线y＝x1的交点个数为2个，y＝f(x)的图像和直线y＝x2的交点个数为1个，f(x)＝x1或f(x)＝x2的根共有3个，即方程f2(x)＋af(x)＋b
＝0的不同实根个数为3.10．答案：e－2解析：f′(x)＝ex－2，∵x∈[1，e]，∴f′(x)>0，∴f(x)在[1，e]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝e－2.11．答案：－4解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，由题
意得f′(2)＝0，得a＝3.∴f′(x)＝－3x2＋6x，∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时f(m)min＝f(0)＝－4.12．答案：(－∞，0]解析：设f(x)＝1－xx＋lnx，
x∈12，2，f′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2，令f′(x)>0，得1<x≤2，令f′(x)<0，得12≤x<1，∴f(x)在[12，1)内单调递减，在(1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴欲使a≤1－xx＋lnx在x∈12，2上
恒成立，则a≤0.13．D因为f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，所以f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)·cosx．因为x∈[0，2π]，所以x＋1>0.当f′(x)>0时，解得x∈[0，π2)∪(3π2，2π]；当f′(x)<0时，
解得x∈(π2，3π2).所以f(x)在[0，π2)上单调递增，在[π2，3π2]上单调递减，在(3π2，2π]上单调递增．又f(0)＝2，f(π2)＝π2＋2，f(3π2)＝－3π2，f(2π)＝2，所以f(x)的最
大值为π2＋2，最小值为－3π2.故选D.14．Cf′(x)＝1x－a，若a≤0，则f′(x)＝1x－a＞0不满足f(x1)＝f(x2)＝m(x1＜x2)，所以a＞0，令f′(x)＝0，得x＝1a，当0＜x＜1a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞1a时，f′(x)
＜0，f(x)单调递减，因为x2－x1＝1，所以x2＝x1＋1，又f(x1)＝f(x2)＝f(x1＋1)，所以lnx1－ax1＝ln(x1＋1)－a(x1＋1)，即a＝ln(x1＋1)－lnx1＝lnx1＋1x1＝ln(1＋1x1)，因为x1≥1，所以1＜1＋1x1≤2，所以a∈(
0，ln2]，故实数a的最大值为ln2.15．答案：(－∞，2－2ln2]解析：当x∈(0，1]时，lnx≤0，此时|x－a|≥2lnx恒成立，故x∈(1，＋∞)时，|x－a|≥2lnx恒成立，即x－a≥2lnx或x－a≤－2lnx，即a≤x－2lnx或a≥
x＋2lnx.设f(x)＝x－2lnx，则f′(x)＝1－2x＝x－2x.当x∈(1，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故f(x)min＝f(2)＝2－2
ln2，故a≤2－2ln2.设g(x)＝x＋2lnx，则f′(x)＝1＋2x＞0，所以f(x)在x∈(1，＋∞)单调递增，不存在最大值，综上可知，a的取值范围是(－∞，2－2ln2].16．答案：(1，e5e)解析：指数函数y＝ax(a＞
0且a≠1)与五次函数y＝x5的图像恰好有两个不同的交点，等价于方程ax＝x5有两个不同的解．对方程ax＝x5两边同时取对数，得lnax＝lnx5，即xlna＝5lnx．因为x≠0，所以lna5＝lnxx，从而可转化为f(x)＝lna5与g
(x)＝lnxx在图像上有两个不同的交点，g′(x)＝x·1x－lnxx2＝1－lnxx2.当x∈(0，e)时，g′(x)＞0，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，所以函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以函数g(x)在x＝e处取到极大值，也
是最大值，且最大值为1e.又因为当x∈(0，1)时，g(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，所以0＜f(x)＝lna5＜1e.解得1＜a＜e5e，即a∈(1，e5e).专练15高考大题专练(一)导数的应用1．解析：(1)当a＝－1时，
f(x)＝1x－1ln(1＋x)，f′(x)＝－1x2ln(1＋x)＋1x－1·11＋x，所以f′(1)＝－ln2，又f(1)＝0，所以点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)ln2，即xln2＋y－
ln2＝0.(2)由题意得f′(x)＝－1x2ln(1＋x)＋1x＋a·11＋x≥0(x＞0)，即ax2＋x－（1＋x）ln（1＋x）x2（1＋x）≥0(x＞0)，因为x2(1＋x)>0，所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)≥0(x＞0
).设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)，则g′(x)＝2ax＋1－ln(1＋x)－1＝2ax－ln(1＋x).若a≤0，则g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递
减，于是在(0，＋∞)上g(x)<g(0)＝0，不满足题意．若a>0，设h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2a－11＋x，h′(0)＝2a－1.①若0＜a＜12，则h′(0)＝2a－1＜0，令h′(x)＝0，得x＝12
a－1，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当0＜x＜12a－1时，h′(x)＜0，当x＞12a－1时，h′(x)＞0，所以h(x)即g′(x)在0，12a－1上单调递减，在12a－1，＋∞上单调递增，于是当0＜
x＜12a－1时，g′(x)<g′(0)＝0，即g(x)在0，12a－1上单调递减，g(x)<g(0)＝0，不符合题意；②若a≥12，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)＞h′(0)＝2a－1≥0，所以h(x)即g′(x)在(0，＋∞)上单调递
增，所以在(0，＋∞)上g′(x)>g′(0)＝0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝0，满足题意．综上所述，a的取值范围为12，＋∞.2．解析：(1)(cos2x)′＝(cosxcosx)′＝－sinxc
osx＋cosx·(－sinx)＝－2sinxcosx，f′(x)＝a－cosx·cos2x－sinx·（－2sinxcosx）cos4x＝a－cos2x＋2sin2xcos3x＝a－2－cos2xcos3x.当a
＝1时，f′(x)＝1－2－cos2xcos3x＝cos3x＋cos2x－2cos3x.因为x∈0，π2，所以cosx∈(0，1)，cos3x＋cos2x＜2，故f′(x)<0，故当a＝1时，f(x)在0，π2上单调递减．(2)方法一令F(x)＝ax－sinxcos
2x＋sinx，则F(0)＝0.F′(x)＝a－2－cos2xcos3x＋cosx＝a＋cos4x＋cos2x－2cos3x.令F′(0)＝0，得a＝0.当a>0时，F′(0)＝a>0，当x→π2＋时，F′(x)→－∞，所以存在一个x0∈0，π2，满足F′(x
0)＝0，且当x∈(0，x0)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，则当x∈(0，x0)时，F(x)>F(0)＝0，不符合题意．当a≤0时，因为f(x)＋sinx＝ax－sinx（1－cos2x）cos2x＝ax－sin3xcos
2x≤－sin3xcos2x，x∈0，π2，所以要证f(x)＋sinx<0在0，π2上恒成立，只需证－sin3xcos2x<0在0，π2上恒成立．因为cos2x在0，π2上恒大于0，sin3x在0，π2上恒大于0，所以－sin3xcos
2x<0在0，π2上恒成立，命题得证．综上，a的取值范围为(－∞，0].方法二依题意，f(x)＋sinx＝ax－sinxcos2x＋sinx＝ax＋sinx1－1cos2x，x∈0，π2.①当a≤0时，易知f(x)＋sinx<0；
②当a>0时，因为x∈0，π2时满足sinx<x，所以f(x)＋sinx＝ax＋sinx1－1cos2x>asinx＋sinx1－1cos2x＝sinxa＋1－1cos2x，因为函数y＝1cos2xx∈0，π2的值域为(1，＋∞)，a＋1>1，
所以对于任意大于0的参数a，一定存在x0∈0，π2，使得1cos2x0<a＋1，即存在x0∈0，π2，使得f(x0)＋sinx0>0，故a>0不能确保f(x)＋sinx<0，与题意矛盾，故a>0不成立．综上，a的取值范围为(－∞，0].3．解析：(1)当x
1＝－1时，f(x1)＝0.由题意，得f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2，则曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y＝2(x＋1).由题意，知直线y＝2(x＋1)与曲线g(x)＝x2＋a相切，所以2x＋2＝x2＋a，
即方程x2－2x＋a－2＝0有两个相等的实数解，则Δ＝4－4(a－2)＝0，解得a＝3.(2)方法一因为f(x1)＝x31－x1，f′(x1)＝3x21－1，所以曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x31－x1
)＝(3x21－1)(x－x1)，即y＝(3x21－1)x－2x31.因为该切线也是曲线g(x)＝x2＋a的切线，所以x2＋a＝(3x21－1)x－2x31，所以方程x2－(3x21－1)x＋a＋2x31＝0有两个相等的实数解，所以Δ＝(3x21－1)2
－4(2x31＋a)＝0，则a＝94x41－2x31－32x21＋14.令h(x)＝94x4－2x3－32x2＋14，则h′(x)＝9x3－6x2－3x＝9x(x＋13)(x－1).当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，0)0(0，
1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋0－0＋h(x)极小值极大值极小值因为h(－13)＝527，h(1)＝－1<527，所以h(x)min＝－1.又因为当x→＋∞(或x→－∞)时，h(x)→＋∞，所以a的取值范围为[－1，＋∞).方法二因为f′(x)＝3x2－1，所以
曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x31－x1)＝(3x21－1)(x－x1)，即y＝(3x21－1)x－2x31.由g(x)＝x2＋a，得g′(x)＝2x.曲线y＝g(x)在点(x2，g(
x2))处的切线方程为y－(x22＋a)＝2x2(x－x2)，即y＝2x2x－x22＋a.令3x21－1＝2x2，－2x31＝a－x22，则a＝x22－2x31＝14(9x41－8x31－6x21＋1).令m(x)＝9x4－8x3－6x2＋1，则m′(x)＝36x
3－24x2－12x＝12x(x－1)(3x＋1).当x<－13或0<x<1时，m′(x)<0，此时函数y＝m(x)单调递减；当－13<x<0或x>1时，m′(x)>0，此时函数y＝m(x)单调递增．又m(－13)＝2027，m(0)＝1，m(1)＝－4
，所以m(x)min＝m(1)＝－4，所以a≥－44＝－1，即a的取值范围为[－1，＋∞).4．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝－1x－lnx(x>0)，则f′(x)＝1x2－1x＝1－xx2.当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1
，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故f(x)的最大值即为f(x)的极大值f(1)＝－1.(2)因为函数f(x)恰有一个零点，所以方程a(x－lnx)－1x－lnx＝0在(0，＋∞)上恰有一个解，即方程a(x－lnx)＝1x＋l
nx在(0，＋∞)上恰有一个解．又易知当x>0时，x－lnx>0，所以方程a＝1x＋lnxx－lnx在(0，＋∞)上恰有一个解．令g(x)＝1x＋lnxx－lnx(x>0)，则g′(x)＝（x－1）[x－1－（x
＋1）lnx]x2（x－lnx）2.令h(x)＝x－1－(x＋1)lnx(x>0)，则h′(x)＝1－lnx－x＋1x＝－lnx－1x.由(1)知，h′(x)≤－1，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．又h(1)＝0，所以当x∈(0，1]时，h(x)≥
0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.则当x∈(0，1]时，g′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又当x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→0，所以a∈(0，＋
∞).5．解析：(1)函数定义域为R，f′(x)＝1aexa(x－a)(x＋a)，当a＞0时，f(x)在(－∞，－a)和(a，＋∞)上递增，在(－a，a)上递减；当a＜0时，f(x)在(－∞，a)和(
－a，＋∞)上递减，在(a，－a)上递增．综上：当a＞0时，f(x)的递增区间是(－∞，－a)和(a，＋∞)，递减区间是(－a，a)；当a＜0时，f(x)的递减区间是(－∞，a)和(－a，＋∞)，递增区间是(
a，－a).(2)由(1)知当a＞0时，f(x)在(－∞，－a)和(a，＋∞)上递增，在(－a，a)上递减，∴函数极大值f(－a)＝4a2e，函数极小值f(a)＝0，若使f(x)－4e＝0有三个零点，只需4a2e＞4e，解得：a＞e，当a＜0时，f(x)在(－∞，a)和(－a，
＋∞)上递减，在(a，－a)递增．函数极小值f(a)＝0，函数极大值f(－a)＝4a2e，同理只需4a2e＞4e，解得a＜－e，所以a的取值范围是(－∞，－e)∪(e，＋∞).专练16任意角和弧度制及任意角的三角函数1．D设扇形的圆心角为θ
，因为扇形的面积S＝12θr2，所以θ＝2Sr2＝4π（23）2＝π3.2．B因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin1≈sin57°，sin2≈sin115°＝sin65°，sin3≈sin172°＝sin8°，因为y＝
sinx在0°<x<90°时是增函数，所以sin8°<sin57°<sin65°，即sin2>sin1>sin3.3．C由sinθ>0，tanθ<0，知θ为第二象限角，∴2kπ＋π2<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4<θ2<kπ＋π2(k∈Z)，∴θ2为第一或第三象限角．4．B
终边为第一象限的平分线的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，①终边为第三象限的平分线的角的集合是{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}，②由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．5．C设扇形的圆心角为θ，半径为
R，由题意得θR＝6，12θR2＝6，得θ＝3.6．A由三角函数的定义知cosα＝35，tanα＝－4535＝－43，∴cosαtanα＝35×(－43)＝－45.7．C∵－1000°＝－3×3
60°＋80°，为第一象限角，∴sin(－1000°)>0；又－2200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角，∴cos(－2200°)>0；∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角，∴tan(－10)<0；∵sin710π>0，cosπ＝－1，179π＝2π－π9，
为第四象限角，∴tan179π<0，∴sin710πcosπtan179π>0.8．A∵r＝x2＋9，cosθ＝xx2＋9＝1010x，又x<0，∴x＝－1.9．B由题意得m2＋（154）2＝1，m<0，得m＝－14，∴cosα＝m＝－14.10．答案：1080解析：依题意r＝3
0cm，lr＝2.4，所以l＝2.4r＝72cm，所以S＝12lr＝12×72×30＝1080cm2.11．答案：－45解析：∵θ∈(π2，π)，∴－1<cosθ<0，∴r＝9cos2θ＋16cos2θ＝－5cosθ，故sinα＝－45.12．答案：12解析：由题可知
P(－8m，－3)，∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，得m＝±12，又cosα＝－45<0，∴－8m<0，∴m＝12.13．B由题意得，“弓”所在的弧长为l＝π4＋π4＋π8＝5π8，R＝1.25＝54，∴其所对的圆心角α＝lR＝5π854＝π2，∴两手之
间的距离d＝R2＋R2＝2×1.25≈1.768.14．D设半径为r，则8π3＝2π3r，r＝4，所以弦长为2rsinπ3＝2×4×32＝43，矢为r－rcosπ3＝4－4×12＝2，所以弧田面积为S＝12×(2×43＋22)＝43＋2.1
5．答案：一解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°<
180°－α<90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．16．答案：3解析：∵cosθ＝－12<0，tanθ<0，∴θ为第二象限角，则y>0.∴由－11＋y2＝－12，得y＝3.专练17同角三角函数的基本关系及诱导公式1．Dtan255°＝tan(180°＋75°)＝
tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30°＋tan45°1－tan30°tan45°＝33＋11－33＝2＋3.2．Bcosπ5＋cos25π＋cos35π＋cos45π＝cosπ5＋cos25π＋cos
(π－25π)＋cos(π－π5)＝cosπ5＋cos25π－cos25π－cosπ5＝03．Dtan(α－7π)＝tanα＝34>0，又α∈(π2，32π)，∴α∈(π，32π)，∴sinα＝－35，cosα＝－
45，∴sinα＋cosα＝－75.4．A2sinα－cosα＝0，∴tanα＝12，∴sin2α－2sinαcosα＝sin2α－2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－2tanα1＋tan2α＝14－11
＋14＝－35.5．C方法一因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以sinθ＝25，cosθ＝－15或sinθ＝－25，cosθ＝15，所以sinθ（1＋sin2θ）sinθ＋cosθ＝sinθ（s
inθ＋cosθ）2sinθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθ＝45－25＝25.方法二(弦化切法)因为tanθ＝－2，所以sinθ（1＋sin2θ）sinθ＋cosθ＝sinθ（sinθ＋cosθ
）2sinθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ1＋tan2θ＝4－21＋4＝25.6．A由sinα－cosα＝43，得1－2sinαcos
α＝169，∴2sinαcosα＝1－169＝－79，即：sin2α＝－79.7．B由题可知α为第一象限角，∴cosα＝35，sin(α－2017π2)＝sin(α－π2)＝－cosα＝－35.8．C因为π≈4cos38°，所以π16－π21－2sin27°＝4
cos38°16－16cos238°1－2sin27°＝16cos38°sin38°cos14°＝8sin76°cos14°＝8cos14°cos14°＝8.9．A∵cos(2x－π2)＝sin2x＝2sinxcosx＝sin
2x，∴tanx＝2，∴tan(x－π4)＝tanx－tanπ41＋tanxtanπ4＝2－11＋2＝13.10．答案：－34解析：sin(θ－π)＝－sinθ＝35，sinθ＝－35＜0，由于角θ的终边过点A(4，a)，所以θ在第四象限，所以cosθ＝
1－sin2θ＝45，所以tanθ＝sinθcosθ＝－34.11．答案：17250解析：α为锐角，π6＜α＋π6＜2π3，sin(α＋π6)＝1－cos2（α＋π6）＝35.sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22sin(2α＋π3)－22cos(2α＋π3)＝22×2s
in(α＋π6)cos(α＋π6)－222cos2（α＋π6）－1＝2×35×45－222×（45）2－1＝12225－7250＝17250.12．答案：－55解析：由tanθ＝sinθcosθ＝
12sin2θ＋cos2θ＝1，且θ∈0，π2，解得sinθ＝55cosθ＝255，故sinθ－cosθ＝－55.13．B由题意得tanα＝b－a2－1＝b－a，又cos2α＝cos2α－sin2
α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－（b－a）21＋（b－a）2＝23，得|b－a|＝55.14．B由题，因为2θ＋π3＝2(θ－π12)＋π2，所以sin(2θ＋π3)＝sin2（θ－π12）＋π2＝cos2(θ－π12)＝2
cos2(θ－π12)－1＝2×(33)2－1＝－13.15．答案：13解析：2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化为－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化为tanα－6sinβ＝1，因而sinβ＝13.16．答案：②③解析：由题意得A＋
B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，故①不正确；由于B＋C2＝π2－A2，∴cosB＋C2＝cos(π2－A2)＝sinA2，故②正确；由于A＋B＋C＝π，∴2A＋B＋C＝π＋A，∴sin(2A＋B＋C)＝sin(π＋A)＝－s
inA，故③正确．专练18三角函数的图像与性质1．C由图像可知，函数的半周期是2π，所以πω＝2π，得ω＝12.2．C因为函数f(x)＝sinx3＋cosx3＝2(22sinx3＋22cosx3)＝2(sinx3
cosπ4＋cosx3sinπ4)＝2sin(x3＋π4)，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π13＝6π，最大值为2.3．C∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π.∴－12≤cos(2x－π3)≤1，又f(x)的最小值为－2，当a＞0时，f(x)min＝－a＝－2，
∴a＝2.当a＜0时，f(x)min＝2a，∴a＝－1.4．B最小正周期为π的只有A、B，又当2sin(2×π3－π6)＝2取得最大值，故y＝2sin(2x－π6)的图像关于直线x＝π3对称．5．D由题意得12×2πω＝2
π3－π6，解得ω＝2，易知x＝π6是f(x)的最小值点，所以π6×2＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝7π6＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin2x＋7π6＋2kπ＝sin2x＋7π6，f－5π12＝
sin－5π12×2＋7π6＝sinπ3＝32，故选D.6．C(通解)将函数f(x)＝sin(ωx＋π3)的图像向左平移π2个单位长度得到y＝sin(ωx＋π2ω＋π3)的图像．由所得图像关于y轴对称，得π2ω＋π3＝kπ＋π2(
k∈Z)，所以ω＝2k＋13(k∈Z).因为ω>0，所以令k＝0，得ω的最小值为13.故选C.(快解)由曲线C关于y轴对称，可得函数f(x)＝sin(ωx＋π3)的图像关于直线x＝π2对称，所以f(π2)＝sin(πω2＋π3)＝±1，然后依次代入各选项验证，确定选C.7
．Ay＝sinxcosx＋32cos2x＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)，周期T＝2π2＝π，振幅为1.8．D由图像可知：8～13时这段时间温度先下降再升高，A错误；8～16时最大温度22℃，最小温度－2
2℃，最大温差为42℃，B错误；8～16时0℃以下的时长超过3小时，C错误；T＝4×(13－11)＝8＝2πω，ω＝π4，又过点(13，22)，故22cos(π4·13＋φ)＝22，解得φ＝3π4，故f(x)＝22cos(π4x＋3π4)，f(16)＝22cos(
π4·16＋3π4)＝－2，故16时温度为－2℃，D正确．9．C把函数y＝cos2x＋π6的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f(x)＝cos2x＋π6＋π6＝cos2x＋π2＝－sin2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝12x－12如图所
示．观察图象知，共有3个交点．故选C.10．答案：5解析：∵f(x)＝22＋12sin(x＋φ)＝5sin(x＋φ)，∴f(x)max＝5.11．答案：23解析：∵f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，∴f(π4)
＝1，∴π4ω－π6＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋23(k∈Z)，又ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值23.12．答案：－3解析：解法一(五点作图法)由题图可知34T＝13π12－π3＝3π4(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ).
点(π3，0)可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，即f(x)＝2cos(2x－π6)，所以f(π2)＝2cos(2×π2－π6)＝－3.解法二(代点法)由题意知，34T＝13π12－π3＝3π4(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，2πω＝π，即ω＝2
.又点(π3，0)在函数f(x)的图像上，所以2cos(2×π3＋φ)＝0，所以2×π3＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－π6，所以f(x)＝2cos(2x－π6)，所以f(π2)＝2cos(2×π2－π
6)＝－2cosπ6＝－3.解法三(平移法)由题意知，34T＝13π12－π3＝3π4(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，2πω＝π，即ω＝2.函数y＝2cos2x的图像与x轴的一个交点是(π4，0)，对应函数f(x
)＝2cos(2x＋φ)的图像与x轴的一个交点是(π3，0)，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)的图像是由y＝2cos2x的图像向右平移π3－π4＝π12个单位长度得到的，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)＝2cos2(x－π12)＝2cos
(2x－π6)，所以f(π2)＝2cos(2×π2－π6)＝－2cosπ6＝－3.13．D函数f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω＞0)在[0，π]上恰有3个零点，则3π≤ωπ＋π3＜4π，解得：83≤ω＜113.14．C对于③，
∵x∈(0，π)，ωx－π4∈(－π4，ωπ－π4)，令f(x)＝sin(ωx－π4)＝0，得ωx－π4＝kπ，k∈Z，由函数f(x)在区间(0，π)上有且仅有2个不同的零点，即ωx－π4取得0，π，所以ωx－π4＞πωx－π4≤2π，解得54＜ω≤94，故③正确；对于①，当x∈[
0，π]，ωx－π4∈－π4，ωπ－π4，由54＜ω≤94，知ωπ－π4∈(π，2π]，令ωx－π4＝π2＋kπ，由于ω值不确定，所以ωπ－π4＝3π2不一定取到，故①错误；对于②，当x∈(0，π3)时，ωx－π4∈(－π4，ωπ3－π4)，由54＜ω≤94，知ωπ3
－π4∈(π6，π2]，即(－π4，ωπ3－π4)⊆－π2，π2，即f(x)在区间(0，π3)上单调递增，故②正确；所以正确的个数为2个．15．答案：1解析：函数y＝sinπx3的周期为6，函数y＝
sinπx3在32，92上单调递减，当32≤t≤72时，[t，t＋1]⊆32，92.M(t)－N(t)＝sinπt3－sinπ（t＋1）3＝2cos(πt3＋π6)sin(－π6)＝－cos(πt3＋π6).因为32≤t≤72，所以2π
3≤π3t＋π6≤4π3，所以－1≤cos(π3t＋π6)≤－12，所以12≤M(t)－N(t)≤1，当t＝52时取最大值1.16．答案：12，54解析：由π2<x<π得ωπ2＋π4<ωx＋π4<ωπ＋π4，又y＝sinα在(π2，3π2)上递减，所以
ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.专练19函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型1．D因为y＝2sin(3x＋π5)＝2sin[3(x＋π15)]，所以把函数y＝2
sin(3x＋π5)图像上所有的点向右平移π15个单位长度，得到函数y＝2sin[3(x＋π15－π15)]＝2sin3x的图像．故选D.2．Ay＝cos2x＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y＝cosx＋1――→
向左平移1个单位长度y＝cos(x＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y＝cos(x＋1).函数图像过(π2－1，0)，结合选项可知，选A.3．A将y＝sin(2x＋π5)的图像向右平移π10个单位长度，得到y＝sin
2（x－π10）＋π5＝sin2x，令2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π4≤x≤kπ＋π4(k∈Z)，∴y＝sin2x在kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，得到y＝sin2x的一个单调增
区间为－π4，π4，故A正确，B不正确，由2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋32π(k∈Z)，得y＝sin2x的单调减区间为kπ＋π4，kπ＋34π(k∈Z)，结合选项可知C、D不正确．4．A由图知A＝2，T2＝π3－(－π6)＝π2，∴T＝π，∴ω＝2.将(π3，2)坐标代入，得2×
π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－π6，k∈Z.取k＝0，得φ＝－π6.5．A∵函数y＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)，将函数y＝sin2x＋3cos2x的图像沿x轴向左平移φ个单位后，得到函数y
＝2sin(2x＋2φ＋π3)，因为函数是偶函数，∴2φ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝kπ2＋π12(k∈Z).当k＝0时，φ＝π12，则φ的最小值为π12.6．A由题意得512π＋π3＝34T，∴T＝π，又T＝2πω，∴ω＝2，又当x＝512π时，2sin(2×51
2π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2kπ(k∈Z)，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.7．B由题图可知，函数图像上两个相邻的最值点分别为最高点(－π2，2)，最低点(3π2，－2)，所以函数的最大值为2，即A＝2.由图像可
得x＝－π2，x＝3π2为相邻的两条对称轴，所以函数的周期T＝2×3π2－（－π2）＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12.所以f(x)＝2sin(12x＋φ).把点(－π2，2)代入可得2sin12×（
－π2）＋φ＝2，即sin(φ－π4)＝1，所以φ－π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋3π4(k∈Z).又0<φ<π，所以φ＝3π4.所以f(x)＝2sin(12x＋3π4).8．Dy＝sin(2x＋2π3)＝cos(2x＋2π3－π2)＝cos(2x＋π6)＝cos2
（x＋π12），由y＝cosx的图像得到y＝cos2x的图像，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；由y＝cos2x的图像得到y＝cos2（x＋π12）的图像，需将y＝cos2x的图像上的各点向左平移π12个单位长度．9．D函数f(x)
＝2sin(2x－π3)的图像向右平移π6个单位得到g(x)＝2sin[2(x－π6)－π3]＝2sin(2x－2π3)，g(x)＝2sin(2x－2π3)＝2sin(2x＋π3－π)＝－2sin(2x＋π3)，B选项错误．2x＋π3＝kπ，x＝kπ2－π6，所以g(x)的对称中心为(kπ2－
π6，0)(k∈Z)，A选项错误．π12<x<7π12，π6<2x<7π6，π2<2x＋π3<3π2，所以g(x)＝－2sin(2x＋π3)在(π12，7π12)上递增，C选项错误．g(π12)＝－2sin(π6＋
π3)＝－2sinπ2＝－2，所以g(x)的图像关于x＝π12对称，D选项正确．10．答案：2sin(2x＋3π4)解析：由题图可知，f(x)max＝2，f(x)min＝－2，故A＝2，最小正周期T＝2×3π8－（－π8）＝π，故ω＝2ππ＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)
.又曲线y＝f(x)过点(－π8，2)，所以2sin2×（－π8）＋φ＝2，即φ－π4＝π2＋2kπ，k∈Z.又|φ|<π，所以φ＝3π4.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋3π4).11．答案：－2解析：由与x轴在原点右侧的第一个交点为(1，0)，在y
轴右侧的第一个最高点为(3，2)知T4＝3－1，T＝8，或3T4＝3－1，T＝83，当T＝8时，ω＝2πT＝π4，A＝2，∴f(x)＝2sin(π4x＋φ)，代入点(1，0)，2sin(π4＋φ)＝0
，又|φ|<π2，∴φ＝－π4，f(x)＝2sin(π4x－π4)，f(－1)＝－2；当T＝83时，ω＝2πT＝3π4，A＝2，∴f(x)＝2sin(3π4x＋φ)，代入点(1，0)，2sin(3π4＋φ)＝0，又|φ|<π2，∴φ＝π4，f(x)＝2sin(3π4x＋π4)，f(－
1)＝－2.综上，f(－1)＝－2.12．答案：22解析：由题意得将y＝sinx的图像向左平移π6个单位，得到y＝sin(x＋π6)，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(12x＋π6
)，即f(x)＝sin(12x＋π6)，∴f(π6)＝sinπ4＝22.13．C依题意，A＋b＝1，－A＋b＝－3，解得A＝2，b＝－1，故f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，而f(π12)＝1，f(π3)＝－1，∴T4＝π3－π12
＝π4，故T＝π＝2πω，则ω＝2；∴2cos(π6＋φ)－1＝1，故π6＋φ＝2kπ(k∈Z)，又|φ|<π2，故φ＝－π6，∴f(x)＝2cos(2x－π6)－1；将函数f(x)的图像上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y＝2c
os(23x－π6)－1，再向左平移π2个单位长度，得到g(x)＝2cos(23x＋π3－π6)－1＝2cos(23x＋π6)－1，令－π＋2kπ≤23x＋π6≤2kπ(k∈Z)，故－7π4＋3kπ≤x≤－π4＋3kπ(k∈Z
)，故函数g(x)的单调递增区间为[－7π4＋3kπ，－π4＋3kπ](k∈Z).14．B根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像，可得12·2πω＝11π12－7π12，∴ω＝3.所以f(x)＝Asin(3x＋φ),结合五点法作
图，3×7π12＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝π4＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，∴φ＝π4，故f(x)＝Asin(3x＋π4).再把点(π2，－1)代入，可得－1＝Asin(3π2＋π4)，即－1＝
－Acosπ4，∴A＝2，所以f(x)＝2sin(3x＋π4).现将f(x)的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y＝g(x)＝2sin[3(x＋π12)＋π4]＝2cos3x，因为2g(x)＝2，即cos3x＝12，
所以3x＝π3＋2k1π，k1∈Z或3x＝－π3＋2k2π，k2∈Z，解得x＝π9＋2k1π3，k1∈Z或x＝－π9＋2k2π3，k2∈Z，因为x∈[0，2π]，所以x＝π9或7π9或13π9或5π9或11π9或17π9，故方程2g(x)＝2在[0，2π]上实数解
的个数为6个．15．D对于A，由A(3，－33)，知R＝32＋（－33）2＝6，又T＝120，所以ω＝2πT＝π60.当t＝0时，点P在点A位置，有－33＝6sinφ，解得sinφ＝－32，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，故A错误；对于B，可知f
(t)＝6sin(π60t－π3)，当t∈(0，60]时，π60t－π3∈(－π3，2π3]，所以函数f(t)先增后减，故B错误；对于C，当t∈(0，60]时，π60t－π3∈(－π3，2π3]，sin(π60t－π3)∈(－32，1
]，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当t＝100时，π60t－π3＝4π3，P的纵坐标为y＝－33，横坐标为x＝－3，所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正确．16．答案：π6解析：由题意得g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)，∵|f(x
)|≤1，|g(x)|≤1，∴|f(x1)－g(x2)|≤2.当且仅当f(x1)＝1，g(x2)＝－1或f(x1)＝－1，g(x2)＝1时满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设A1(x1，－1)是f(x)的最低点，B(x2，1)是函数g(x)的一个最
高点，∴x1＝k1π＋34π(k1∈Z)，x2＝k2π＋π4＋φ(k2∈Z)，|x1－x2|≥3π4－（π4＋φ）＝π2－φ，∵φ∈(0，π2)，∴|x1－x2|≥π2－φ，又|x1－x2|min＝π3，∴π2－φ＝π3，φ＝π6.专练20两角
和与差的正弦、余弦、正切公式1．Dsin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.2．Btan(α－π4)＝tanα－11＋tanα
＝2－11＋2＝13.3．Bcos2α＝1－2sin2α＝1－29＝79.4．Dcos105°－cos15°＝－(sin15°＋cos15°)＝－2sin(15°＋45°)＝－2sin60°＝－62.5．Asin10°1－3tan10°＝sin10°1－3sin10°cos10
°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝12sin20°2sin20°＝14.6．D∵cosα＋cos(α－π3)＝1，∴cosα＋12cosα＋32sinα＝32cosα＋32si
nα＝3(32cosα＋12sinα)＝3cos(α－π6)＝1，∴cos(α－π6)＝33.7．D∵A＋B＝45°，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝1，∴tanA＋tanB＝1－tanAtan
B.∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2.8．C∵cosα＝17，0<α<π2，∴sinα＝1－cos2α＝437，又cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314，cosβ＝
cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝13＋12×37×14＝12，又0<β<π2，∴β＝π3.9．C∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<34π，cos(α
＋π4)＝13，∴sin(α＋π4)＝1－cos2（α＋π4）＝223，又－π2<β<0，∴0<－β2<π4，∴π4<π4－β2<π2，∴sin(π4－β2)＝1－cos2（π4－β2）＝63，∴cos(α＋β
2)＝cos（π4＋α）－（π4－β2）＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)·sin(π4－β2)＝13×33＋63×223＝539.10．答案：210解析：∵tanαtan（α＋π4）＝－23，∴tanα＝－23tan(α＋π4)
＝－23·1＋tanα1－tanα，整理得3tan2α－5tanα－2＝0，∴tanα＝－13或tanα＝2.sin(2α＋π4)＝22(sin2α＋cos2α)＝22·2sinαcosα＋cos2α－si
n2αcos2α＋sin2α＝22·2tanα＋1－tan2α1＋tan2α.当tanα＝－13时，sin(2α＋π4)＝210；当tanα＝2时，sin(2α＋π4)＝210.所以答案为210.11
．答案：－45解析：由cos(α－π6)＋sinα＝435，得32cosα＋12sinα＋sinα＝435，∴12cosα＋32sinα＝45，∴sin(α＋π6)＝45.∴sin(α＋76π)＝sin(α＋π6＋π)＝－sin(α＋π6)＝－4
5.12．答案：－112解析：∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan（α＋2β）－tanβ1＋tan（α＋2β）tanβ＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.tanα＝tan(α＋β－β)＝－1－（－3）1＋（－1）
×（－3）＝12.13．B因为θ为第二象限角，由tan(θ＋π3)＝12知，θ＋π3是第三象限角，所以sin(θ＋π3)＝－55，故sinθ＋3cosθ＝2sin(θ＋π3)＝－255.14．C由sinα＝55，cosβ＝31010，且α，β为锐角，可知cosα＝255，sinβ＝
1010，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.15．C由cosβ－3sinα＝2得，(cosβ－3sinα)2＝cos2β－6cosβsinα＋9sin2α＝4，①由si
nβ＋3cosα＝32得，(sinβ＋3cosα)2＝sin2β＋6sinβcosα＋9cos2α＝94.②①＋②＝10＋6(sinβcosα－cosβsinα)＝10＋6sin(β－α)＝254，∴s
in(β－α)＝－58.16．B由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得sinxcosy＋cosxsiny＝2sinxcosy－2cosxsiny，则tanx＝3tany，所以tan(x－y)＝tanx－tany1＋tanxtany＝2tany1＋3tan2y＝21tany＋3t
any≤33，当且仅当tany＝33时等号成立，由于f(x)＝tanx在x∈(0，π2)上单调递增，又x，y∈(0，π2)，则x－y的最大值为π6.专练21三角恒等变换1．Ccosα＝1－2sin2α2＝1－2×13＝13.2．A∵α为
锐角，∴π4<α＋π4<34π，∴sin(α＋π4)＝1－cos2（α＋π4）＝45，∴cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×45×35＝2425.3．Af(x)＝1－cos2x2＋32sin2x
＝sin(2x－π6)＋12，∵π4≤x≤π2，∴π3≤2x－π6≤56π，∴当2x－π6＝56π即x＝π2时f(x)min＝12＋12＝1.4．D∵cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1
＋tan2θ＝1－（－13）21＋（－13）2＝45.5．C因为acosB－bcosA＝c，所以由正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝sin(B＋A)，则2sinBcosA＝0.在
△ABC中，sinB≠0，则cosA＝0，A＝π2.所以B＝π－A－C＝π－π2－π5＝3π10，故选C.6．Ctan67.5°－1tan67.5°＝sin67.5°cos67.5°－1sin67.5°cos67.5°＝sin67
.5°cos67.5°－cos67.5°sin67.5°＝sin267.5°－cos267.5°sin67.5°cos67.5°＝－cos135°12sin135°＝2.7．A解法一因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α
＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，解得sinα＝14.因为α∈0，π2，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.解法二因为tan2α
＝2tanα1－tan2α＝2sinαcosα1－sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α－sin2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2si
n2α＝cosα2－sinα，解得sinα＝14.因为α∈0，π2，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.8．A∵a⊥b，∴sinθ－2cosθ＝0，∴tanθ＝2，∴sin2θ＋c
os2θ＝2sinθcosθ＋cos2θ＝2tanθ＋11＋tan2θ＝1.9．D通解因为cos5π12＝sin(π2－5π12)＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12＝cos2π12－sin2π12＝cos(2×π12
)＝cosπ6＝32.优解设cos2π12－cos25π12＝a，sin2π12－sin25π12＝b，则a＋b＝(cos2π12＋sin2π12)－(cos25π12＋sin25π12)＝1－1＝0①，a－b＝(cos2π12－sin2π12
)－(cos25π12－sin25π12)＝cos(2×π12)－cos(2×5π12)＝cosπ6－cos5π6＝2cosπ6＝3②，所以根据①＋②可得2a＝3，即a＝32，即cos2π12－cos25π12＝32.光速解因为cosπ12＝6＋24，
cos5π12＝6－24，所以cos2π12－cos25π12＝(6＋24)2－(6－24)2＝32.10．答案：19解析：∵sinx＝－23，∴cos2x＝1－2sin2x＝1－2×(－23)2＝19.11．答案：19解析：由sinα＋cosα＝
33，得1＋sin2α＝13，∴sin2α＝－23，∴cos4α＝1－2sin22α＝1－2×49＝19.12．答案：21解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π4)＋1，又2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b
.∴A＝2，b＝1.13．C由sin（π－α）－sin（π2－α）cos（π2＋α）＋cos（π＋α）＝13，得sinα－cosα－sinα－cosα＝13，由此式可知cosα≠0，所以tanα－1－tan
α－1＝13，得tanα＝12，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－14＝43.14．D因为f(x)＝6sin2x2＋2sinx2cosx2－3＝3(1－cosx)＋sinx－3＝10sin(x＋φ)，tanφ＝－3，φ∈(－π2，π2)，故当f(x)取得最大值时，若x＝θ，
则θ＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，则tanθ＝tan(2kπ＋π2－φ)＝tan(π2－φ)＝1tanφ＝－13.15．C方法一因为3π2<α<2π，所以sinα<0，0<cosα<1，所以1＋cosα1－cosα＋1－cosα1＋cosα＝（1＋cosα）2（1－cosα）（
1＋cosα）＋（1－cosα）2（1＋cosα）（1－cosα）＝（1＋cosα）2sin2α＋（1－cosα）2sin2α＝1＋cosα－sinα＋1－cosα－sinα＝－2sinα.方法二因为3π4<α2<π，所以sinα2>0，cosα2<0，所以1＋cosα1－cosα＋1－cosα
1＋cosα＝1＋2cos2α2－11－1＋2sin2α2＋1－1＋2sin2α21＋2cos2α2－1＝cos2α2sin2α2＋sin2α2cos2α2＝－(cosα2sinα2＋sinα2cosα2)＝－22sinα2cosα2＝－2sinα.16．C
由a－cosxsinx＝3，可得a＝3sinx＋cosx＝2sin(x＋π6)，因为x∈(0，π2)，所以x＋π6∈(π6，2π3)，则2sin(x＋π6)∈(1，2]，所以a的取值范围为(1，2].专练22正弦定理和余弦定理、解三角形1．C由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinA＝a
sinBb＝2×323＝22，又a<b，∴A为锐角，∴A＝π4.2．D解法一由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).解法二由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得sinC＝5719，从而cosC＝
41919(C是锐角)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝32×41919－12×5719＝35738.又ACsinB＝BCsinA，所以BC＝3.3．A由(2b－3c)c
osA＝3acosC得2bcosA＝3(acosC＋ccosA)，由正弦定理得2sinBcosA＝3(sinAcosC＋sinCcosA)＝3sin(A＋C)＝3sinB，又sinB≠0，得cosA＝32，A＝π6.4．C由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又a
2＝b2＋c2－bc，∴2cosA＝1，cosA＝12，∴sinA＝1－cos2A＝32，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×4×32＝3.5．D∵bsinA＝3csinB，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝
1，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝9＋1－2×3×23＝6，∴b＝6.6．B∵bcosC＋ccosB＝asinA，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三
角形．7．B∵S△ABC＝12AB×BC×sinB＝22sinB＝12，∴sinB＝22，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos45°＝1＋2－2×2×22＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为
直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos135°＝1＋2＋2×2×22＝5，∴AC＝5.8．A由正弦定理得ACsinB＝ABsinC，∴AB＝AC·sinCsinB＝50×22sin（1
80°－45°－105°）＝502.9．B在△ABC中，由余弦定理，b2＋c2－a2＝bc可化为cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3.由余弦定理，bcosC＋ccosB＝2可化为：ba2＋b2－c22ab＋ca2＋
c2－b22ac＝2，解得：a＝2(a＝0舍去).因为b2＋c2－a2＝bc，所以a2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，(当且仅当b＝c＝2时取等号).所以△ABC的面积S＝12bcsinA≤12×4×32＝3.10．答案：22解析：由题意得S△ABC＝12acsinB＝34ac
＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝12－2×4×12＝8，则b＝22.11．答案：93解析：在△ABD中，设AB＝a，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝3a2，
所以BD＝3a，由托勒密定理可得a(BC＋CD)＝AC·3a，即BC＋CD＝3AC，又∠ABD＝∠ACD＝30°，∠ACB＝∠ADB＝30°，所以四边形ABCD的面积S＝12BC·ACsin30°＋12CD·ACsin30°＝14(BC＋CD)·AC＝3
4AC2＝93.12．答案：π4解析：由余弦定理可得cosC＝a2＋b2－c22ab，所以a2＋b2－c2＝2abcosC.△ABC的面积为S＝12absinC＝a2＋b2－c24＝2abcosC4，所以sinC＝cosC，即tanC＝1，又0＜C＜π，所以C＝π
4.13．A由正弦定理及asinA－bsinB＝4csinC得a2－b2＝4c2，由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3c22bc＝－14.所以bc＝6.14．答案：43解析：由正弦定理，得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－
sinC＝0.sinAcosC＋3sinAsinC－sin(A＋C)－sinC＝0，3sinAsinC－sinCcosA－sinC＝0，因为sinC≠0，所以3sinA－cosA＝1，2sin(A－π6)＝1，所以sin
(A－π6)＝12，因为A∈(0，π)，所以(A－π6)∈(－π6，5π6)，所以A－π6＝π6，即A＝π3.因为△ABC的面积为33，所以12bcsinA＝12bcsinπ3＝34bc＝33，即bc＝12，所以b＋c≥2bc＝
212＝43，当且仅当b＝c＝23时取等号，故b＋c的最小值为43.15．答案：3－1解析：以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，DC→的方向为x轴的正方向，过点D且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略
)，易知点A位于第一象限．由AD＝2，∠ADB＝120°，得A(1，3).因为CD＝2BD，所以设B(－x，0)，x＞0，则C(2x，0).所以AC＝（2x－1）2＋（0－3）2＝4x2－4x＋4，AB
＝（－x－1）2＋（0－3）2＝x2＋2x＋4，所以ACAB2＝4x2－4x＋4x2＋2x＋4.令f(x)＝4x2－4x＋4x2＋2x＋4，x＞0，则f′(x)＝（4x2－4x＋4）′（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（x2＋
2x＋4）′（x2＋2x＋4）2＝（8x－4）（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（2x＋2）（x2＋2x＋4）2＝12（x2＋2x－2）（x2＋2x＋4）2．令x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－3(舍去)或x＝3－1
.当0＜x＜3－1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，3－1)上单调递减；当x＞3－1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(3－1，＋∞)上单调递增．所以当x＝3－1时，f(x)取得最小值，即ACAB取得最小值，此时BD＝3－1.16．答案：7解析：在△ABC中，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，则AC＝49＋169－2×7×13×17＝192＝83，cos∠BCA＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝192＋169－492×83×13＝32，又在△ABC中，0＜∠BCA＜π，所以∠BCA＝π6，设AD＝CD＝
x，∠BAC＝α，∠BCA＝β，∠ACD＝θ，则∠CAD＝θ，β＝π6，由∠BAD＝2∠BCD即α＋θ＝2(β＋θ)，则θ＝α－2β＝α－π3，在△ABC中，cosα＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝49＋192－16
92×7×83＝9143＝3314，又0＜α＜π，则有sinα＝1314，所以cosθ＝cos(α－π3)＝12cosα＋32sinα＝12×3314＋32×1314＝437，在△ACD中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos
θ，即x2＝(83)2＋x2－2×83×437x，解得x＝7，即AD的长为7.专练23高考大题专练(二)三角函数与解三角形的综合运用1．解析：(1)由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，代入b2＋c2－a2cosA＝2，得2bc＝2，故bc＝1.(2)由正弦定理及acosB－bcosAa
cosB＋bcosA－bc＝1，得sinAcosB－sinBcosAsinAcosB＋sinBcosA－sinBsinC＝1，化简得sin（A－B）sin（A＋B）－sinBsinC＝1.∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sinC，∴sin(A－
B)－sinB＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB－sinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴－2cosAsinB＝sinB.∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosA＝－12.∵A∈(0，π)，∴sinA＝1－cos2A＝32.由(1)知bc＝1，故△AB
C的面积S＝12bcsinA＝12×1×32＝34.2．解析：(1)∵A＝2B，∴由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，得sinCsinB＝sinBsin(C－A).∵sinB≠0，∴sinC＝sin(C－A).显然C
≠C－A，∴C＋C－A＝π.又C＋A＋B＝C＋32A＝π，解得C＝5π8.(2)证明：∵sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，∴sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，∴
sinCsinAcosB＝2sinBsinCcosA－sinBcosCsinA.由正弦定理，得accosB＝2bccosA－abcosC.由余弦定理，得a2＋c2－b22＝b2＋c2－a2－a2＋b2－c22.整理，得2a2＝b2＋c2
.3．解析：(1)由已知条件，得sin2B＋sinAsin2B＝cosA＋cosAcos2B.所以sin2B＝cosA＋cosAcos2B－sinAsin2B＝cosA＋cos(A＋2B)＝cos[π－(B＋C)]＋cos[π－(B＋C)＋2B]＝－cos(B＋C)＋cos[π＋(B－C)]＝－
2cosBcosC，所以2sinBcosB＝－2cosBcosC，即(sinB＋cosC)cosB＝0.由已知条件，得1＋cos2B≠0，则B≠π2，所以cosB≠0，所以sinB＝－cosC＝12.又0＜
B＜π3，所以B＝π6.(2)由(1)知sinB＝－cosC＞0，则B＝C－π2，所以sinA＝sin(B＋C)＝sin(2C－π2)＝－cos2C.由正弦定理，得a2＋b2c2＝sin2A＋sin2Bsin2C＝cos22C＋cos2Csin
2C＝（1－2sin2C）2＋（1－sin2C）sin2C＝2＋4sin4C－5sin2Csin2C＝2sin2C＋4sin2C－5≥22sin2C·4sin2C－5＝42－5，当且仅当sin2C＝22时，等号成立，所以a2＋b2c2的最小值为42－5.4．解析：(1)在△OAC中，由正弦定
理知OCsin∠OAC＝ACsin∠AOC，所以，OC＝3sin∠OACsinπ4＝4.(2)设∠OAB＝α，则α为锐角，sinα＝sin(π－∠OAC)＝sin∠OAC＝223，所以cosα＝1－sin2α＝13，所以sin
∠AOB＝sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝429，则cos∠AOB＝cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝79，所以sin∠BOC＝sin(∠AOB＋π4)＝sin∠AOBcosπ4＋cos∠AOBsinπ4＝22×429＋22×79＝8＋7218.5．解析：(1
)若选条件①，由正弦定理得sinBsinπ－A2＝sinAsinB，∵B∈(0，π)⇒sinB＞0，∴sinπ－A2＝sinA，∴cosA2＝2sinA2cosA2，又A2∈(0，π2)，∴cosA2≠
0，∴sinA2＝12，∴A2＝π6⇒A＝π3；若选条件②，△ABC中，b－acosC＝c2，由正弦定理知sinB－sinAcosC＝12sinC，∵A＋B＋C＝π，∴sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC
－sinAcosC＝12sinC，∴cosAsinC＝12sinC，∵sinC＞0，∴cosA＝12，又∵0＜A＜π，∴A＝π3；若选条件③，由btanA＝(2c－b)tanB，得sinBsinAcosA＝(2sinC－sinB)sinBcosB，B∈(0，π)，所以sin
B＞0，∴sinAcosB＝2sinCcosA－sinBcosA，∴sin(A＋B)＝2sinCcosA，∴sinC＝2sinCcosA，∵C∈(0，π)，∴sinC＞0，∴cosA＝12，∵A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)由(1)及AB→·AC→＝3得bc＝6，∴a2＝
b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥bc＝6，当且仅当b＝c＝6时取等号，∴a的最小值为6.专练24平面向量的概念及其线性运算1．A当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不共线的点为大前提，AB→＝DC→⇔ABCD为平行四边形，故②
正确；③显然正确；对于④由于当|a|＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件，故④不正确．2．D由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以a、b为邻边的平行四边形为矩形，故a⊥b.3．B因为BD＝2DA
，所以CB→＝CA→＋AB→＝CA→＋3AD→＝CA→＋3(CD→－CA→)＝－2CA→＋3CD→＝－2m＋3n.故选B.4．B∵M为BC的中点，∴AM→＝12(AC→＋AB→)＝12(AD→＋DC→)＋12AB→，又AB→＝－2CD→，∴DC→＝12AB→，∴AM
→＝12(AD→＋12AB→)＋12AB→＝34AB→＋12AD→.5．A由平行四边形法则可知，AC→＝AB→＋AD→，又O为AC与BD的交点，∴AC→＝－2CO→，∴CO→＝－12(AB→＋AD→)，∴λ＝－12.6．A∵2AC→＋CB→＝0，∴2(OC→－O
A→)＋OB→－OC→＝0，得OC→＝2OA→－OB→.7．C∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，∴AD→∥BC→且|AD→|＝2|BC→|，∴四边形ABCD为梯形．8．C∵PA→＋PB→＋PC→＝AB→＝PB→－PA→，∴PC→＝－2PA→，∴点P在线
段AC上．9．A∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝43AC→－13AB→.10．答案：－14解析：∵AD→＝3DB→，∴CD→－CA→＝3(CB→－CD→)，∴4CD→＝CA→＋3CB→，∴CD→＝－14AC→＋34CB→
.又CD→＝λAC→＋34CB→，∴λ＝－14.11．答案：32解析：由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所
以|b|＝32.12．答案：23解析：由AE→＝2ED→，得DE→＝13DA→＝－13AD→＝－13BC→，所以CE→＝CD→＋DE→＝BA→－13BC→，即λ＝1，μ＝－13，所以λ＋μ＝1－13＝23
.13．C∵3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，∴3(PA→＋PB→)＋2(PB→＋PC→)＝0，取AB的中点D，BC的中点E，连接PD，PE，则PA→＋PB→＝2PD→，PB→＋PC→＝2PE→，∴3PD→＋2PE→＝0，∴D、P、E三点共线，∴P到AC的
距离为B到AC的距离h的一半，∵S△ABC＝12AC·h＝6，∴S△PAC＝12AC×h2＝12×6＝3.14．A∵AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，则AB→＝52AE→，AD→＝2AF→，∴AC→＝AB→
＋AD→，∴AK→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)＝λ(52AE→＋2AF→)＝52λAE→＋2λAF→，由E，F，K三点共线可得52λ＋2λ＝1，解得λ＝29.15．答案：②③④解析：∵BC→＝a，CA→＝b，AD→＝12CB→＋AC→＝－12a－b，故①
不正确；对于②，BE→＝BC→＋12CA→＝a＋12b，正确；对于③，CF→＝12(CB→＋CA→)＝12(－a＋b)＝－12a＋12b，故③正确；对于④，AD→＋BE→＋CF→＝－b－12a＋a＋12b＋12b－12a＝0，故④正确．16．答案：511解析
：∵N，P，B三点共线，∴AP→＝mAB→＋211AC→＝mAB→＋611AN→，∴m＋611＝1，∴m＝511.专练25平面向量基本定理及坐标表示1．D选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0
无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则1＝λ，－2＝2λ无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则1＝λ，1＝－λ无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以
两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．2．D12a－32b＝(12，12)－(32，－32)＝(－1，2)3．C∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，∴(－1，1)＝m(
2，1)＋n(1，5)∴2m＋n＝－1，m＋5n＝1，得m＝－23，n＝13，∴m＋n＝－23＋13＝－13.4．D∵AB→＝OB→－OA→＝(a－1，1)，CB→＝(a＋b，－1)，∵A，B，C三点共线，∴(a－1)×(－1
)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴1a＋2b＝(1a＋2b)(2a＋b)＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8(当且仅当ba＝4ab即a＝14，b＝12时等号成立)5．A设点N的坐标为(x，y)，则MN→＝(x－5，y＋6)又MN→＝－
3a＝(－3，6)，∴x－5＝－3，y＋6＝6，得x＝2，y＝0.6．C∵m∥n，∴sinA(sinA＋3cosA)－32＝0，∴2sin2A＋23sinAcosA＝3.可化为1－cos2A＋3sin2A＝3，∴sin(2A－π6)＝1.∵
A∈(0，π)，∴2A－π6∈(－π6，11π6).∴2A－π6＝π2，解得A＝π3.7．C∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥22x·3y＝26xy，(当且仅当2x＝3y，即：x＝54，y＝56时等号成立)，∴xy≤2524
.8．A因为a⊥c，所以2x－4＝0，因为b∥c，所以－4－2y＝0，所以x＝2，y＝－2，所以x＋y＝0.9．C根据向量的线性运算法则，可得AO→＝xAB→＋yBC→＝xAB→＋y(BA→＋AC→)＝xAB→－yAB→＋yAC→＝(x－y)AB
→＋y·(AD→＋DC→)＝(x－y)AB→＋y·(2AF→＋12AB→)＝(x－y)AB→＋2yAF→＋12yAB→＝(x－y2)AB→＋2yAF→，因为B，O，F三点共线，可得x－y2＋2y＝1，即2x＋3y－2＝0；又由BO
→＝BA→＋AO→＝BA→＋xAB→＋yBC→＝BA→－xBA→＋y·43BE→＝(1－x)BA→＋4y3BE→，因为A，O，E三点共线，可得1－x＋4y3＝1，即3x－4y＝0，联立方程组2x＋3y－2＝03x－4y＝0，解得x＝817，y＝617，所
以x＋y＝1417.10．答案：85解析：通解因为a∥b，所以a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得kλ＝24k＝5，解得λ＝85k＝54.光速解因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝85.11．答案：0解析：a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，b＝
(－1，2)－(1，3)＝(－2，－1)，a－b＝(3，4)，|a－b|＋a·b＝9＋16＋(－2－3)＝0.12．答案：3解析：∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴M为△ABC的重心，则AM→＝12(AB→＋AC→)×23＝13(AB→＋AC→
)，∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.13．C建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(cos120°，sin120°)，即B(－12，32).设∠AOC＝α，则OC→＝(cosα，sinα)，∵OC→
＝xOA→＋yOB→＝(x，0)＋(－y2，32y)＝(cosα，sinα)，∴x－y2＝cosα，32y＝sinα，∴x＝sinα3＋cosα，y＝2sinα3，∴x＋y＝3sinα＋cosα＝2sin
(α＋30°).∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°.∴当α＝60°时，x＋y有最大值2.14．B建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1
)，∴CA→＝(－2，2)，CE→＝(－2，1)，DB→＝(1，2)，∵CA→＝λCE→＋μDB→，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝8
5.15．答案：[1，4]解析：根据题意，不妨设正六边形ABCDEF的边长为23，以中心O为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则可得F(－23，0)，D(3，3)，C(23，0)，B(3，－3)，设点G的坐标为(m，n)，则CG→＝(m－23，n)，CB→＝(－3，－3)，CD
→＝(－3，3)，由CG→＝λCB→＋μCD→可得：m－23＝－3λ－3μ，即λ＋μ＝－33m＋2，数形结合可知：m∈[－23，3]，则－33m＋2∈[1，4]，即λ＋μ的取值范围为[1，4].16．答案：
6解析：解法一：如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1＋OA1，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝23，所以
|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以OC→＝4OA→＋2OB→，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(－12，32)，C(3，3).由OC→＝λOA→＋μOB→，得3＝λ－12μ，3
＝32μ，解得λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.专练26平面向量的数量积及其应用1．B方法一由题意知，EC→＝EB→＋BC→＝12AB→＋AD→，ED→＝EA→＋AD→＝－12AB→＋AD→，所以EC→·ED→＝12AB→＋AD→·－12A
B→＋AD→＝|AD→|2－14|AB→|2，由题意知|AD→|＝|AB→|＝2，所以EC→·ED→＝4－1＝3，故选B.方法二以点A为坐标原点，AB→，AD→的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E(1，0
)，C(2，2)，D(0，2)，则EC→＝(1，2)，ED→＝(－1，2)，EC→·ED→＝－1＋4＝3，故选B.2．B∵a⊥b，∴2x＋3＝0，∴x＝－32.3．D由题意可得a－b＝()2，1－()－2，4＝()4，－3，所以||a－b＝42＋()－32＝5.故选D.4．D要判断A、B、C、D四
个选项中的向量哪个与b垂直，只需判断这四个向量哪个与b的数量积为零即可．A．(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝|a||b|cos60°＋2|b|2＝1×1×cos60°＋2×12＝52≠0.B．(2a＋b)·b＝2a·b＋b2
＝2|a||b|cos60°＋|b|2＝2×1×1×cos60°＋12＝2≠0.C．(a－2b)·b＝a·b－2b2＝|a||b|cos60°－2|b|2＝1×1×cos60°－2×12＝－32≠0.D．(2a－b)·b＝2
a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0.5．C由已知可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝3，解得a·b＝12.6．B∵n⊥(tm＋n)，∴tm·n＋n2＝
0，∴t|m||n|cos〈m·n〉＋n2＝0，∴34×13t＋1＝0，得t＝－4.7．B依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1.1x＋4y＝x＋yx＋4（x＋y）y＝5＋yx＋4xy≥9，当且仅当x＝13，y＝23时取等号．8．B由题意知，a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，所以co
s〈a＋b，a－b〉＝（a＋b）·（a－b）|a＋b||a－b|＝5×1＋3×（－1）34×2＝2217＝1717，故选B.9．D由题意，作出图形，如图，∵OA＝1，OB＝2，OA→·OB→＝－1，∴OA→·OB→＝1×2cos∠AOB＝2cos∠AOB＝－1，∴
cos∠AOB＝－12，由∠AOB∈(0，π)可得∠AOB＝2π3，∴AB＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos∠AOB＝7，又S△AOB＝12·OA·OB·sin∠AOB＝12·OD·AB＝32，则OD＝37，∴EO→·EA→＝－OE→·(ED→＋DA→)＝－2OE→2＝－
29·OD→2＝－29×37＝－221.10．答案：－34解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－34.11．答案：±2解析：因为|a－b|＝|a＋b|，所以(a－b)2＝(
a＋b)2⇒a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b⇒a·b＝0，a·b＝t×(－t)＋2×1＝－t2＋2＝0，得t＝±2.12．答案：－210解析：由题意知cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝2×（－8）＋2×622＋22×（－8）2＋62＝－210.13．D以点C为坐标原点，
AC，BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示．由题意可得A(3，0)，B(0，4)，C(0，0).∵PC＝1，∴设P(cosθ，sinθ)，∴PA→＝(3－cosθ，－sinθ)，PB→＝(－cosθ，4－sin
θ)，∴PA→·PB→＝(3－cosθ)·(－cosθ)＋(－sinθ)·(4－sinθ)＝cos2θ－3cosθ＋sin2θ－4sinθ＝1－3cosθ－4sinθ＝1－5sin(θ＋φ)，其中sinφ＝35，cosφ＝45.当sin(θ＋φ)＝1时，PA→·PB→取得最小值－4；当si
n(θ＋φ)＝－1时，PA→·PB→取得最大值6.故PA→·PB→的取值范围是[－4，6].故选D.14．B直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝23，所以AC＝43＝2BC，所以∠BAC＝30°，作AC⊥OB于点O，则OB＝3，OC＝3，OA＝33，如图，以
O为原点建立平面直角坐标系，不妨设点N在点M的左侧，设N(x，0)，则M(x＋2，0)，x∈[－3，33－2]，B(0，3)，则BM→＝(x＋2，－3)，BN→＝(x，－3)，所以BM→·BN→＝x(x＋2)＋9＝(x＋1)2＋8≥8，当且仅当x＝－1时，BM→·
BN→的最小值为8.15．答案：311解析：∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，∴AD→＝13AB→＋23AC→，∴AD→·AE→＝(13AB→＋23AC→)·(λAC→－AB→)＝(λ3－23)AB→·AC→－13AB→2＋23λ
AC→2＝λ－23×3×2×12－13×9＋23λ×4＝113λ－5＝－4，∴λ＝311.16．答案：2解析：根据题意，作出如下草图，令AF→＝e1，AE→＝e2，AB→＝λe1，AD→＝μe2，因为a＝λe1＋μe2，由平行四边
形法则，可得BC→＝AD→＝μe2，所以AD∥BC，因为|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，所以|EF→|＝|CE→|＝|CF→|，因为|AE→|＝|AF→|，所以△AEC≌△AFC，所以∠DAC＝∠BAC.因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以|AB→|＝
|BC→|，所以|AD→|＝|AB→|，即|λe1|＝|μe2|，所以λ＝±μ，又λ＋μ＝4，所以λ＝μ＝2，即a＝2e1＋2e2，所以平行四边形ABCD为菱形，设∠BAD＝θ，即向量e1，e2的夹角为θ，因为|e1－e2|＝|a－e1|，所以|e1－e2|＝|2e2＋e1|，即|e1－e2
|2＝|2e2＋e1|2，所以1＋1－2cosθ＝4＋1＋4cosθ，即6cosθ＝－3，所以cosθ＝－12，即θ＝2π3，所以|a|＝2|e1＋e2|＝21＋1＋2cos2π3＝2.专练27数系的扩充与复数的应用1．C
|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5.故选C.2．A由(1＋2i)a＋b＝2i，得a＋2ai＋b－2i＝0，即(a＋b)＋(2a－2)i＝0，所以a＋b＝0，2a－2＝0，解得a＝1，b＝－1.故选A
.3．D由题知z＝2＋i，则z－＝2－i，所以z－z＝2－i2＋i＝（2－i）（2－i）（2＋i）（2－i）＝（2－i）25＝35－45i.4．D因为z＝1＋i，所以z－＝1－i，所以iz＋3z－＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，
所以|iz＋3z－|＝|2－2i|＝22＋（－2）2＝22.故选D.5．C由题意知，5（1＋i3）（2＋i）（2－i）＝5（1－i）22－i2＝5（1－i）5＝1－i，故选C.6．B由a2－1＝0a＋1≠0，解得a＝1.7．A因
为a＋ii＝1－ai＝b＋2i(a，b∈R)，所以b＝1，－a＝2，则a－b＝－3.8．Dz＝2－5i，所以z的共轭复数的虚部是－5.9．A因为z＝i2022＋|3＋4i|3－4i＝(i)2020(i)2＋53－4i＝－1＋5（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）
＝－1＋35＋45i＝－25＋45i.所以z－＝－25－45i，故z－的虚部为－45.10．答案：2解析：∵iz＝1＋2i，∴z＝1＋2ii＝（1＋2i）i－1＝2－i，其实部为2.11．答案：4－i解析：6＋7i1＋2i＝（6＋7i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝6－
12i＋7i＋145＝20－5i5＝4－i.12．答案：5解析：∵(1＋i)z＝1－7i，∴z＝1－7i1＋i，∴|z|＝|1－7i||1＋i|＝12＋（－7）212＋12＝5.13．D由题意得(2－i)2＋b(2－i)＋c＝0，∴3＋2b＋c－4i－bi＝0，∴3＋2b＋c
＝0，4＋b＝0，∴b＝－4，c＝5，∴bc＝－4×5＝－20.14．B由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即n2＋mn＋2＝02n＋2＝0，解得m＝3，n＝－1，
∴z＝3－i.15．答案：±1解析：∵z＝a＋3i，∴z＝a－3i，又∵z·z＝4，∴(a＋3i)(a－3i)＝4，∴a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1.16．答案：－2解析：因为a－i2＋i＝（a－
i）（2－i）（2＋i）（2－i）＝2a－1－（a＋2）i5为实数，所以－a＋25＝0，解得a＝－2.专练28数列的概念与简单表示法1．A2．A∵a8＝S8－S7＝82－72＝15.3．Ba1＝2，a2＝6＝2＋4，a3＝
10＝2＋2×4，a4＝2＋3×4，…，an＝2＋（n－1）×4，由2＋4（n－1）＝72＝98，得n＝25.4．B∵an＋1－an＝nn＋2－n－1n＋1＝n（n＋1）－（n－1）（n＋2）（n＋1）（n＋2）＝2（n＋1）（n＋2），又n∈N*，
∴2（n＋1）（n＋2）＞0，即：an＋1－an＞0，∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．5．C数列可化为1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，∴an＝3（n－1）＋1＝3n－2，由3n－2＝219＝76，得n＝26.6．B因为Sn＝n2＋4n＋1，当n＝1时，
a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3.经检验，当n＝1时不符合，所以an＝6，n＝1，2n＋3，n≥2，所以a1＋a3＋a5＝28.7．A由题意得an＋1－an＝－2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋2n2－λn＝－4n－2＋λ＜0恒成立，∴－4
－2＋λ＜0，∴λ＜6.8．C因为a1＝1，且an＋1＝an＋3，n为奇数2an－1，n为偶数，所以a2＝a1＋3＝4，a3＝2a2－1＝7，a4＝a3＋3＝10，a5＝2a4－1＝19.9．D由an＋1＝Sn＋1，得an＝Sn－
1＋1(n≥2)，∴an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，∴an＋1an＝2(n≥2)，又a2＝S1＋1＝3，a1＝2，∴an＝2，n＝1，3×2n－2，n≥2，∴Sn＝2，n＝1，3×2n－1－1，n≥2，
∴S5＝3×25－1－1＝47.10．答案：2n2n＋1解析：∵23＝212＋1，45＝222×2＋1，87＝232×3＋1，169＝242×4＋1，∴an＝2n2n＋1.11．答案：－63解析：当n＝1时，a1＝2a1＋1，
得a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an－1－1＝2an－2an－1，即：an＝2an－1，∴{an}是以－1为首项以2为公比的等比数列，∴an＝－2n－1，∴S6＝－1×（1－26）1－2＝－63.12．答案：n2＋n2解析：由an＋1－an
＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝1＋1＝2，a3－a2＝2＋1＝3，a4－a3＝3＋1＝4，…，an－an－1＝n－1＋1＝n，∵an－a1＝（2＋n）（n－1）2，∴an＝n2＋n2(n≥2)，又当n＝1时a1＝1也适合上式，∴an＝n2＋n2.13．A由an＋1＝an＋ln(1＋1n)得a
n＋1－an＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－lnn，∴当n≥2时，a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，…，an－an－1＝lnn－ln(n－1)，∴an－a1＝lnn，∴an＝lnn＋a1＝2＋lnn，又当n＝1时，a1＝2＝2＋ln1符合上式．∴an＝2＋lnn．
14．A因为对任意的n∈N*都有an＜an＋1成立，所以数列是递增数列，因此1＜a，6－a＞0，a＜（6－a）×4－a，解得1＜a＜4.15．答案：an＝2n－1解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝
2，∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，∴an＝2n－116．答案：n解析：∵2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＋2nan＝(n－1)·2n＋1＋2，∴2a1＋22a2
＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(n－2)·2n＋2(n≥2)，两式相减，得2nan＝n·2n，即an＝n(n≥2)，当n＝1时，a1＝1，适合an＝n，故an＝n(n∈N*).专练29等差数列及其前n项和1．D设等
差数列{an}的公差为d.∵S5＝2S4，a2＋a4＝8，∴5a1＋5×42d＝2（4a1＋4×32d），a1＋d＋a1＋3d＝8，整理得3a1＋2d＝0，a1＋2d＝4，解得a1＝－2，d＝3.∴a
5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.2．C设等差数列{an}的公差为dS3＝3a1＋3×22d＝12，又a1＝2，∴6＋3d＝12，d＝2，∴a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12.3．C∵S4＝24，S9＝99，∴
4a1＋6d＝24，9a1＋36d＝99，解得a1＝3，d＝2.则a7＝a1＋6d＝15.4．C等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝3
0，∴S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝270.5．C设等差数列{an}的公差为d，则a1＋2d＝3a1，a1＋d＝3a1－1，所以a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋n（n－1）2＝n（n＋1）2，所以Snn＝n＋12，所以Sn＋1n＋1－Snn＝n＋1
＋12－n＋12＝12，所以Snn是以1为首项，12为公差的等差数列，数列Snn的前10项和T10＝10＋10×（10－1）2×12＝652.6．D∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝－15，∴a3＝－3，
∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.7．C方法一由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.设等差数列{an}的公差为d，则d＝a8－a48－4＝9－54＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋5×42×d＝20
，故选C.方法二设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋5×4
2×d＝20，故选C.8．D由题意，得4a1＋6d≤4，6a1＋15d≥12，即2a1＋3d≤2①，2a1＋5d≥4②，由②－①，得d≥1，所以数列{an}为递增数列，要使a4取得最小值，必须取d＝1，代入②，得a1≥－12，此
时必须取a1＝－12，即(a4)min＝a1＋3d＝52.9．B若a，b，c，d依次成等差数列，则a＋d＝b＋c，即必要性成立；若a＝2，b＝1，c＝3，d＝2，满足a＋d＝b＋c，但a，b，c，d依次成等差数列
错误，即充分性不成立．10．答案：25解析：设等差数列{an}的公差为d，则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，因为a2＋a6＝2，所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝－20＋45＝25
.11．答案：2解析：方法一设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.方法二设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3
(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.12．答案：51解析：设该数列为{an}，依题意可知，a5，a6，…成等差数列，且公差为2，a5＝5，设塔群共有n层，则1＋3＋3＋5＋5(n－4)＋（n－4）（n－5）2×2＝10
8，解得n＝12(n＝－8舍去).故最下面三层的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51.13．A因为2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日，所以小说家狄更斯出生于18
12年2月7日，其中1812年为闰年，1900不是闰年，又210＝52×4＋2，所以这210年有52个闰年，158个平年，所以共有52×366＋158×365＝76702天，因为76702＝10957×
7＋3，所以狄更斯的出生日是星期五．14．C因为S14>0，所以S14＝14×（a1＋a14）2＝7(a1＋a14)＝7(a7＋a8)>0，即a7＋a8>0，因为S15<0，所以S15＝15×（a1＋a15）2＝15a8<0，所以a8<0，
所以a7>0，所以等差数列{an}的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a1>0，d<0，S7为Sn的最大值．15．答案：8解析：∵a7＋a8＋a9＞0，a7＋a9＝2a8，∴3a8＞0，即a8＞0.又∵a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜0，∴
等差数列前8项的和最大．故n＝8.16．答案：100解析：设等差数列{an}公差为d，由2a4＝a2＋a6＝18得a4＝9，则d＝a7－a47－4＝15－93＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n＋1，当n为偶数时，(－1)n－1an－1＋(－1)nan＝an－an
－1＝d＝2，所以S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)＝50×2＝100.专练30等比数列及其前n项和1．B由题意可得a1（1－q6）1－q＝9×a1（1－q3）1－q，a1（1－q
5）1－q＝62，即q3＝8，a1（1－q5）1－q＝62，得q＝2，a1＝2，选B.2．C∵{an}为等比数列，∴a3a5＝a24，∴a3a5＝4(a4－1)可化为a24－4a4＋4＝0，得a4＝
2，又a4＝a1q3，∴q＝2，∴a2＝a1q＝14×2＝12.3．A∵等比数列{an}的各项均为正数，且a1·a6＝9,∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a6＝log3(a1·a2·…·a6)＝log3(a1·a6)3＝log393＝6.4．B
因为数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，所以令m＝n＝1，则a1＋1＝a1a1＝2×2＝4，即a2＝4，令m＝n＝2，则a2＋2＝a2a2＝4×4＝16，即a4＝16.5．C因为a27＝a9，即(a1q6)2＝a1q8，所以a5
＝1，又因为a8>a9，所以数列{an}为正项单调递减数列，所以0<q<1，因为an－1a1＝an－q4＝q4(a1qn－5－1)＝q4(qn－9－1)>0，所以qn－9>1＝q0，所以n<9.又因为n为整数，故nm
ax＝8.6．C设等比数列的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得a1q4＝3a1q2＋4a1，∴q2＝4，又∵an>0，∴q＝2，由S4＝a1（1－24）1－2＝15，解得a1＝1.∴a3＝a1·q2＝4.7．A对等比数列{an}，不妨设其公比为q，由a8＋a10＝12，a11＋a13＝1可得a8(
1＋q2)＝12，a11(1＋q2)＝1，故可得q3＝2，则a20＋a22＝a11(1＋q2)×q9＝1×(q3)3＝23＝8.即a20＋a22＝8.8．C由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5，可得S
8－S4＝S4＋5.又由等比数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2.于是a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝（S4＋5）2S4＝S4＋25S4＋10≥2S4×25S4＋10＝20
，当且仅当S4＝5时等号成立．所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.9．D设等比数列{an}的公比为q.由题意知，a2q＋a2＋a2q＝168，a2－a2q3＝42.两式相除，得1＋q＋q2q（1－q3）＝4，解得q＝12.代
入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2q4＝3.故选D.10．答案：32解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，根据S2＝3，S3－S1＝6，可得：a1＋a1q＝3a1q＋a1
q2＝6，解得：a1＝1q＝2，所以a6＝a1q5＝32.11．答案：－12解析：由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，所以8×a1（1－q6）1－q＝7×a1（1－q3）1－q，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q
3)＝7，所以q＝－12.12．答案：－1373解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a3a4＋a5＝0，则a1q2·a1q3＋a1q4＝0，将a1＝3代入得3q＋1＝0，得q＝－13，所以an＝3·(－13)n－1，所以S3＝a1＋a2＋a3＝3－1＋13＝73.1
3．C设蒲的长度构成等比数列{an}，其首项a1＝3，公比为12，其前n项和为An.莞的长度构成等比数列{bn}，其首项b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则An＝3（1－12n）1－12，Bn＝2n－12－1，由题意可得5×3（1－12n）1－12＝2n－12－
1，解得2n＝30或2n＝1(舍去).∴n＝log230＝lg30lg2＝lg3＋1lg2＝1.480.3≈4.9.14．B在等比数列{an}中，a7，a11是方程x2＋5x＋2＝0的两个根，则a7＋a11＝－5a
7a11＝2，∴a9＝－2，则a3·a9·a15a5·a13＝a39a29＝a9＝－2.15．答案：14解析：∵{an}为等比数列，∴a2＝a4q2＝4q2，a6＝a4q2＝4q2，∴2a2＋a6＝8q2＋4q2≥28q2×
4q2＝82(当且仅当8q2＝4q2，即q4＝2，q＝42时等号成立)，此时log2q＝log242＝14.16．答案：64解析：设等比数列{an}的公比为q，∴a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，即a1＋a1q2＝10，a1q＋a1q3＝5，解得a1＝8，q＝12，∴
a1a2…an＝(12)(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)＝1212n（n－7）＝(12)12（n－72）2－494，当n＝3或4时，12（n－72）2－494取到最小值－6，此时(12)12
（n－72）2－494取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.专练31数列求和1．CSn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2（1－2n）1－2＋（1＋2n－1）n2＝2n＋1－2＋n2.2．A∵a2，a4，a8成等比数列，∴a24＝a2a8，∴(a
1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，得a1＝d＝2，∴Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n(n＋1).3．B∵11＋2＋3＋…＋n＝2（1＋n）n＝2(1n－1n＋1)，∴Sn＝2(1－12＋12－13
＋…＋1n－1n＋1)＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.4．D∵1n＋1＋n＝n＋1－n，∴S2018＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(2019－2018)＝2019－1.5．D当n＝2k－1时，a2k＋a2k－1＝2，∴{an}的前100项和
S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100.6．A∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2
，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2018＝336×0＋a2017＋a2018＝a1＋a2＝3.7．D因为anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，故bn＝1n2＋5n＋6＝1n＋2－1n＋3，故{bn}的前10项之和为13
－14＋14－15＋…＋112－113＝13－113＝1039.8．C由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为1×（
1－210）1－2＋10×1＋10×92×2＝1123.选C.9．C由题意知，S9＝9（a1＋a9）2＝18，所以a1＋a9＝4，a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝4，a5＝2，又f(x)＝(x－2)3＋1，则f(x)＋f(4－x)＝(x－2)3＋1＋(4－x
－2)3＋1＝2，所以f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝[f(a1)＋f(a9)]＋[f(a2)＋f(a8)]＋[f(a3)＋f(a7)]＋[f(a4)＋f(a6)]＋f(a5)＝4×2＋1＝9.10．答案：18解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a3＋a11＝6，∴3a1＋12
d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，∴S9＝（a1＋a9）×92＝2a5×92＝18.11．答案：2011解析：∵an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，∴an－a1＝（2＋n）（n－1）2，∴an＝1＋
（n＋2）（n－1）2＝n2＋n2(n≥2)又当n＝1时a1＝1符合上式，∴an＝n2＋n2，∴1an＝2n2＋n＝2(1n－1n＋1)，∴S10＝2(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝2(1－111)＝2011.12．答案：7解析：令n＝2k(k∈N*)，则有a2k
＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)，∴a2＋a4＝5，a6＋a8＝17，a10＋a12＝29，a14＋a16＝41，∴前16项的所有偶数项和S偶＝5＋17＋29＋41＝92，∴前16项的所有奇数项和S奇＝540－92＝448，令n＝2k－1(k∈
N*)，则有a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)，∴a2k＋1－a1＝(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k＋1－a2k－1)＝2＋8＋14＋…＋6k－4＝k（2＋6k－4）2＝k(3k
－1)(k∈N*)，∴a2k＋1＝k(3k－1)＋a1(k∈N*)，∴a3＝2＋a1，a5＝10＋a1，a7＝24＋a1，a9＝44＋a1，a11＝70＋a1，a13＝102＋a1，a15＝140＋a1，∴S奇＝a1＋a3＋…＋a15＝8a1＋2＋10＋24
＋44＋70＋102＋140＝8a1＋392＝448.∴a1＝7.13．D由题意，得an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝1－2n1－2＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝2－2n＋11－2
－n＝2n＋1－n－2.14．C因为数列{an}为等比数列，公比q≠1，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2＝3a1＋a3，即4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3.因为q≠1，所以q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n，其前n项和为Tn＝3（1－3n）1－3＝3n
＋12－32，所以S24＝T1＋T2＋…＋T6＋T3＝(322－32)＋(332－32)＋…＋(372－32)＋(342－32)＝12(32＋33＋…＋37)＋342－32×7＝1638＋342－32×7＝1668.15．答案：20222023解析：依题
意a1＝1，a2＝4，4an＋1－3an－an＋2＝0，an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，所以数列{an＋1－an}是首项a2－a1＝3，公比为3的等比数列，所以an＋1－an＝3n，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝
1－3n1－3＝3n－12，a1＝1也满足，所以an＝3n－12，bn＝1log33nlog33n＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，所以b1＋b2＋…＋b2022＝1－12＋12－13＋…＋12022－12023
＝1－12023＝20222023.16．答案：－800解析：由已知可得an＋an＋1＝n2·sin(nπ2)＝n2·sin（nπ2），n为奇数0，n为偶数S40＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋
(a5＋a6)＋…＋(a39＋a40)＝12×sinπ2＋32×sin3π2＋52×sin5π2＋…＋392×sin39π2＝12－32＋52－…－392＝(1－3)(1＋3)＋(5－7)(5＋7)＋…＋(37－39)(37＋
39)＝－2×(1＋3＋5＋7＋…＋37＋39)＝－2×1＋392×20＝－800.专练32高考大题专练(三)数列的综合运用1．解析：(1)设{an}的公差为d，则a2＝a1＋d＝11S10＝10a1＋45d＝
40，解得a1＝13，d＝－2.所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n.(2)由(1)得|an|＝15－2n，n≤72n－15，n≥8.当n≤7时，Tn＝13n＋n（n－1）2×(－2)＝14n－n2，当n≥8时，Tn＝T7＋
1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋（n－7）[1＋2（n－7）－1]2＝98－14n＋n2.综上，Tn＝14n－n2，n≤798－14n＋n2，n
≥8.2．解析：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－n22＋n2.当n＝1时，a1＝S1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－n22＋n2－（n－1）an－1－（n－1）22＋n－12
，∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1.等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1，∴an－an－1＝1.∴{an}是公差为1的等差数列．(2)由(1)可得an＝a1＋(n－1).∴a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8.∵a4，a7，
a9成等比数列，∴a27＝a4·a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，∴a1＝－12，∴Sn＝na1＋n（n－1）2×1＝－12n＋n2－n2＝12n2－252n.当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，为12×122－252
×12＝－78.3．解析：(1)∵a1＝1，∴S1a1＝1.又∵Snan是公差为13的等差数列，∴Snan＝S1a1＋13(n－1)，即Sn＝(13n＋23)an＝13(n＋2)an，∴当n≥
2时，Sn－1＝13(n＋1)an－1，∴an＝Sn－Sn－1＝13(n＋2)an－13(n＋1)an－1，n≥2，即(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，∴anan－1＝n＋1n－1，n≥2，∴当n≥2时，anan－1·an－1an－2·…·
a3a2·a2a1＝n＋1n－1·nn－2·…·42·31＝n（n＋1）2，∴an＝n（n＋1）2.当n＝1时，a1＝1满足上式，∴an＝n（n＋1）2.(2)证明：由(1)知an＝n（n＋1）2，∴1an＝2n（n＋1）＝2(1n
－1n＋1)，∴1a1＋1a2＋…＋1an＝2(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝2(1－1n＋1).∵n∈N*，∴0＜1n＋1≤12，∴1－1n＋1＜1，∴2(1－1n＋1)＜2，∴1a1＋1a2＋…＋1an＜2.4．解析：由题意可知，数列{Sn}的首项为a
1，设等差数列{Sn}的公差为d，由题意得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1＝2a1，则d＝S2－S1＝a1＋a2－a1＝a1，所以Sn＝a1＋(n－1)a1＝na1，即Sn＝a1·n2，所以an＝a1，n＝1Sn－Sn－1＝（2n－1）a1，n
≥2，即an＝(2n－1)a1，所以an＋1－an＝2a1，所以数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．5．解析：(1)由4Sn＝a2n＋2an－8，得4Sn－1＝a2n－1＋2an－1－8(n≥2)，两式相减得：4an＝a2n
＋2an－a2n－1－2an－1，则a2n－a2n－1－2(an＋an－1)＝0，即(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，因为an＞0，所以an－an－1＝2，又4a1＝a21＋2a1－8，解得a1＝4或a1＝－2(
舍去)，所以数列{an}是以4为首项，以2为公差的等差数列，所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2；(2)由(1)知：4Sn＝(2n＋2)2＋2(2n＋2)－8，所以Sn＝n(n＋3)，则(－1)n(Sn－3n)＝(－1)nn2，当
n为偶数时，Tn＝－12＋22－32＋42－…＋n2，＝3＋7＋…＋2n－1，＝n2（3＋2n－1）2＝n（n＋1）2；当n为奇数时，Tn＝－12＋22－32＋42－…＋(n－1)2－n2，＝3＋7＋…＋2n－3－n2，＝n－12（3＋2n－3）2－n2＝－n（n＋1）2.所以T
n＝n（n＋1）2，n为偶数－n（n＋1）2，n为奇数.专练33不等式与一元二次不等式的解法1．C∵a＜b＜0，∴a2＞b2.2．A∵a，b∈[0，＋∞)，∴p2－q2＝(a＋b)2－(a＋b)2＝2ab≥0，∴p≥q.3．C①中c值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依
据，故该命题是假命题．②中，由ac2＞bc2可知c2＞0，则a＞b，故该命题是真命题．③中，由a＜b＜0，可得a2＞b2成立，故该命题为真命题．④中，由c＞a＞b＞0可知0＜c－a＜c－b，故有1c－a＞1c－b＞0.又因a＞b＞0
，由“同向同正可乘”性可知ac－a＞bc－b成立．故该命题为真命题．⑤中，由1a＞1b可得b－aab＞0.又因为b－a＜0，所以ab＜0，又a＞b，所以a＞0，b＜0，故该命题为真命题．综上所述，命题②③④⑤都是真命题．4．C解
法一：(取特殊值进行验证)因为x＞y＞0，选项A，取x＝1，y＝12，则1x－1y＝1－2＝－1＜0，排除A；选项B，取x＝π，y＝π2，则sinx－siny＝sinπ－sinπ2＝－1＜0，排除B；选项D，取x＝2，y
＝12，则lnx＋lny＝ln(xy)＝ln1＝0，排除D.解法二：(利用函数的单调性)因为函数y＝(12)x在R上单调递减，且x＞y＞0，所以(12)x＜(12)y，即(12)x－(12)y＜0.5．C因为ab＜0，a＞b，则a＞0，b＜0，1a＞0，1b＜0，A不正确；ba＜0，ab＜0，则b
a＋ab＜0，B不正确；又a＋b＞0，即a＞－b＞0，则a2＞(－b)2，a2＞b2，C正确；由a＞－b＞0得a＞|b|，D不正确．6．B由题意得ax2＋bx＋1＝0有两根－1，13，由韦达定理得－1＋13＝－ba，－1×13＝1a，得a＝－3，b＝－2，∴ab＝(－3)×(－2
)＝6.7．C当a－2＝0即a＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立；当a－2≠0时，由题意得a－2＜0，Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）＜0，得－2＜a＜2，综上得－2＜a≤2.8．D∵|x2－2|<2，∴－2<x2－2<2，∴0<x2<4，解得－2<x<0或0
<x<2.9．D不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min＞0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得f（0）＝x2－4x＋3
＞0，f（4）＝4（x－1）＋x2－4x＋3＞0，∴x＜－1或x＞3.10．答案：(－1，23)解析：3x2＋x－2<0⇔(x＋1)(3x－2)<0，所以－1<x<23.11．答案：＞解析：令b＝854366236，则b＋3＝854366239，令a＝99876
3418，则a＋3＝998763421，所以854366239998763421＝b＋3a＋3，854366236998763418＝ba，根据题设知：854366236998763418＝ba＜b＋3a＋3＝854366239998763421.12．答案：9解析
：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋a2)2＋b－a24.因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－a24＝0，即b＝a24.所以f(x)＝(x＋a2)2.又f(x)＜c，所以(x＋a2)2＜c，即－a2－c＜x＜
－a2＋c.所以－a2－c＝m①，－a2＋c＝m＋6②.②－①，得2c＝6，所以c＝9.13．B因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定，对于A，因为x＞0＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；
对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误．14．D由0＜x＝ln2＜lne＝1，0＜y＝lg2＜lg
10＝12可得1x＝log2e，1y＝log210，故1x＋1y＝log2e＋log210＝log2(10e)＞1，即x＋y＞xy，1y－1x＝log210－log2e＝log2(10e)＞1，即x－y＞xy
，又x∈(0，π2)时，tanx＞x，0＜x＋y＜32＜π2，故tan(x＋y)＞x＋y，综上tan(x＋y)＞x＋y＞x－y＞xy.15．D解析：令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.当2a＞1，即a＞12时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a＜0的解集
为{x|1＜x＜2a}，则3＜2a≤4，解得32＜a≤2；当2a＝1，即a＝12时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a＜0无解，所以a＝12不符合题意；当2a＜1，即a＜12时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a＜0的解集为{x|2a＜x＜1}
，则－2≤2a＜－1，解得－1≤a＜－12.综上，a的取值范围是{a|－1≤a＜－12或32＜a≤2}．16．答案：(－14，＋∞)解析：由题意知，可对不等式分x≤0，0＜x≤12，x＞12三段讨论．当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋12＞1，解得x＞－14，∴－14＜x≤0.当0＜x
≤12时，原不等式为2x＋x＋12＞1，显然成立．当x＞12时，原不等式为2x＋2x－12＞1，显然成立．综上可知，x＞－14.专练34二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．D2．C在平面直角坐标系中画
出可行域如图的阴影部分所示，该阴影部分的形状为等腰梯形，其面积S＝12×(3＋9)×3＝18.3．A当x＝0时，y＝0，1，2，3，共4个点；当x＝1时，y＝0，1，2，共3个点；当x＝2时，y＝0，1，共2个点；当x＝3时，y＝0，共1个点．∴共有4＋3＋
2＋1＝10个点．4．A直线2x＋y－4＝0与线段PQ有公共点，说明点P，Q不在直线2x＋y－4＝0的同一侧，∴(2－2－4)(2a＋2－4)≤0，解得a≥1，实数a的取值范围是[1，＋∞).5．C通解作出不
等式组所表示的可行域，如图中阴影部分．由z＝2x－y，得y＝2x－z.作出直线y＝2x并平移，当平移后的直线经过点A(4，0)时，直线y＝2x－z在y轴上的截距最小，此时z取得最大值，则zmax＝2×4－0＝8.故选C.快解由不等式组围成的区域是封闭的三角形，
三个顶点的坐标分别为(0，2)，(2，0)，(4，0).把三个顶点的坐标分别代入目标函数，那个坐标所对应的值最大即为最大值，显然点(4，0)是目标函数取得最大值的点．所以最大值为2×4－0＝8.故选C.6．C由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所
示，设z＝x＋2y，则y＝－12x＋z2，当直线y＝－12x＋z2过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，无最大值．7．D作出可行域，如图：∵x－2y＋2＝0y＝－x＋1解得x＝0y＝1即：A(0，
1)，又∵x－2y＋2＝0y＝x－1解得x＝4y＝3即：B(4，3).对于目标函数z＝2x＋y可化为：y＝－2x＋z，∴z的最小值在A处取得，最大值在B处取得，此时：zmin＝2×0＋1＝1，zmax＝2
×4＋3＝11即：z∈[1，11]，∴z≠12，其余的三个值都可能取到．8．C不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由x2＋y2是点(x，y)到原点距离的平方，故只需求出三条直线的交点A(3，－1)，B(0，2)
，C(0，－3)到原点距离的平方，然后再进行比较．经计算点A(3，－1)是最优解，x2＋y2的最大值是10.9．B作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为目标函数t＝y－2x－3表示区域内的点与点M(3，2)连线的斜率．由
图知当区域内的点与点M的连线与圆相切时斜率分别取最大值或最小值．设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，则有|3k－2|1＋k2＝2，解得k＝125或k＝0，所以t＝y－2x－3的范围是0，1
25.10．答案：8解析：如图，作出可行域，为一封闭三角形区域(包含边界)，求出三条边界的交点，分别为A(1，4)，B(5，2)，C(2，1).作出直线y＝2x并平移，当直线y＝2x－z过点B时截距－z取得最小值，即z取得最大值，所以zmax＝8.11．答案：15解析：根据不等式组作出可
行域如图所示，作出直线3x＋2y＝0并平移，由图可知，当平移后的直线经过点A时，z取得最大值．根据3x－2y＝3，－2x＋3y＝3，得x＝3，y＝3，所以zmax＝3×3＋2×3＝15.12．答案：1解析：不等式组x－y＋3≥0x＋y－4≥02x－y－
7≤0表示的平面区域如下图所示．由z＝y－ax得y＝ax＋z；当a＝0时，直线化为y＝z，此时取得最大值的最优解只有一个C点，不满足条件；当a＜0时，直线y＝ax＋z截距取得最大值，此时最优解只有一个C点，不满足条件；当a＞0时，直线y＝ax＋z截距取得最大值时，z取得最大值，此时满足直
线y＝ax＋z与AC平行，由直线AC的斜率k＝1，解得a＝1；综上，满足条件的a＝1.13．BP(x，y)，A(2，1)，所以OP→·OA→＝2x＋y，设z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，不等式组2x－y≥0，x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，表示的平面
区域如图所示，当直线y＝－2x＋z过C(2，0)时，z＝2x＋y取得最大值，zmax＝4；当直线y＝－2x＋z过E(－23，－43)时，z＝2x＋y取得最小值，zmin＝－83；则OP→·OA→的取值范围是[－83，
4].14．D根据题意，要使|AB|最小，只需圆C：x2＋y2＝16的圆心(0，0)到直线l的距离最大即可，作出不等式组对应的平面区域如图所示：由图像可知，当点P是直线x＝1和x＋y＝4的交点时，|OP|最大，即当|OP|为圆心(0，0)到过点P的直线的距离，此时作出直线与圆相交的
弦最短，解方程组x＝1x＋y＝4得P(1，3)，所以圆心到点P的距离为d＝|OP|＝12＋32＝10，所以|AB|＝2r2－d2＝216－10＝26.15．答案：10解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由b＝x－2y，得y＝12
x－b2.易知在点(a，a)处b取最小值，故a－2a＝－2，可得a＝2.由图可知，b＝x－2y在点(2，－4)处b取最大值，于是b的最大值为2＋8＝10.16．答案：[2，＋∞)解析：令z＝2x＋y，画出约束条件x－y＋1≤0，x＋y－3≥0，y－4≤0的可行域，由可行域知目标函数过
点B时取最小值，由x＋y－3＝0，y＝4，可得x＝－1，y＝4，可得B(－1，4)，z的最小值为2×(－1)＋4＝2.所以若存在x，y，使2x＋y≤a成立，只需使a≥(2x＋y)min，所以a≥2.专练35基本不等式1．D∵a>0，∴a＋1a≥2(当且仅当a＝
1a即a＝1时等号成立)，∴a＋1a＋2的最小值为4.2．B∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴0<ab≤2，1ab≥12，∴1ab的最小值为12.3．C当x∈(0，
1)时，lgx<0，故A不成立，对于B中sinx＋4sinx≥4，当且仅当sinx＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－1x在(0，2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又x＋1x≥2x·1x＝2(当且仅当x＝1x即x＝1时等号成立).故C正确．4．D由lo
g4(3a＋4b)＝log2ab，得3a＋4b＝ab，且a>0，b>0，∴a＝4bb－3，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋4bb－3＝b＋4（b－3）＋12b－3＝(b－3)＋12b－3＋7≥212＋7＝43＋7(当且仅当b－3＝12b－3即b
＝3＋23时等号成立)，即a＋b的最小值为7＋43.5．Cx＋2y＝1⇒y＝1－x2，则xy2x＋y＝x－x23x＋1.∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴0<x<1.设3x＋1＝t(1<t<4)，则x＝t
－13，原式＝－t2＋5t－49t＝59－(t9＋49t)≤59－2481＝19，当且仅当t9＝49t，即t＝2，x＝13，y＝13时，取等号，则xy2x＋y的最大值为19.6．C由题意得：点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)，则由共线向量定理可知：设BE→＝λBD→(0＜λ＜1)∵
AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋λBD→＝AB→＋λ(AD→－AB→)＝(1－λ)AB→＋λ2AC→，∴x＝1－λ，y＝λ2(x＞0，y＞0)∴2x＋1y＝21－λ＋2λ＝(21－λ＋2λ)[(1－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2（1－λ）λ≥4＋22λ1－λ·2（1－λ）λ＝8当且仅当
2λ1－λ＝2（1－λ）λ，即λ＝12，x＝12，y＝14时取等号，故2x＋1y的最小值为8.7．C因为直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1.所以a＋b＝(a＋b)·(1a＋1b)＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4
，当且仅当ab＝ba即a＝b＝2时取“＝”．8．B由题意，可得(a＋b)2＝(6＋1a＋9b)(a＋b)＝6(a＋b)＋10＋ba＋9ab≥6(a＋b)＋16，则有(a＋b)2－6(a＋b)－16≥0，解得a
＋b≥8，当且仅当a＝2，b＝6时取到最小值8.9．B由lga＋lgb＝lg(a＋3b)⇒lg(ab)＝lg(a＋3b)⇒ab＝a＋3b⇒a＝3bb－1，因为a＞0，b＞0，所以b－1＞0，即b＞1，所以a＋b＝3bb－1＋b＝3b－1＋(
b－1)＋4≥23b－1·（b－1）＋4＝4＋23，当且仅当3b－1＝b－1时取等号，即b＝3＋1时取等号．10．答案：14解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋18b＝2a＋2－3b≥22a·2－3b＝22a－3b
＝22－6＝14.当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋18b取得最小值为14.11．答案：36解析：∵x>0，a>0，∴4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即x＝a2时等号成立，由a2＝3，a＝36.12．答案：23解析
：直线ax－by－3＝0过点(1，－1)，则a＋b＝3，又a＞0，b＞0，设t＝a＋1＋b＋2，则t＞0，t2＝a＋1＋b＋2＋2（a＋1）（b＋2）＝6＋2（a＋1）（b＋2）.由(a＋1)(b＋2)≤(a＋1＋b＋22)2＝9，当且仅当a＋1＝b＋2，即
a＝2，b＝1时等号成立．所以t2＝6＋2（a＋1）（b＋2）≤12，即t≤23，所以a＋1＋b＋2的最大值为23，当且仅当a＝2，b＝1时等号成立．13．A由9m＝10得mlg9＝1，所以m＝1lg9
，所以m－lg11＝1lg9－lg11＝1－lg11·lg9lg9.因为lg11·lg9<(lg11＋lg92)2＝(lg992)2<(lg1002)2＝1，所以m－lg11>0，则10m>11，所以a＝10m－11>0.同
理，lg8m－lg9＝lg8lg9－lg9＝lg8·lg10－（lg9）2lg9<（lg8＋lg102）2－（lg9）2lg9＝（lg802）2－（lg9）2lg9<（lg812）2－（lg9）2lg9＝0，所以8m<9，则b<0，所以a>0>b.故选A.14．A∵xx2＋3x＋1＝1x＋1x
＋3，∵x>0，∴x＋1x≥2(当且仅当x＝1x即x＝1时等号成立)，∴xx2＋3x＋1≤15，由题意得a≥15.15．答案：9解析：z(1＋i)＝(a＋bi)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i，故复数对应的点的坐标为(a－b，a＋b)
，又因为点在直线x＋3y－2＝0上，∴(a－b)＋3(a＋b)－2＝0，整理得：2a＋b＝1，2a＋1b＝(2a＋1b)(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当2ba＝2ab时，即a＝b时等号成立，即2a＋1b的最小值为9.16．答案：92解析：（x＋1）（
2y＋1）xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋5xy＝2＋5xy.∵x>0，y>0，∴4＝x＋2y≥2x·2y，解得0<xy≤2，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2且y＝1时“＝”成立．此时1xy≥12，∴2＋5xy≥2＋52＝92，故（x＋1）（2y＋1）xy的最小值为92
.专练36合情推理与演绎推理1．CA、D是归纳推理，B是类比推理，C符合三段论的模式是演绎推理．2．A大前提：任何实数的绝对值大于0不正确．3．C从给出的式子特点观察可知，等式右边的值，从第三项开始，
后一个式子的右端值等于它前面的两个式子右端值的和，∴a10＋b10＝123.4．D(方法一)因为αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<1αk≤1，所以α1<α1＋1α2＋1α3＋1α4＋1α5，所以b1>b5，所以A错误．同理α3<α
3＋1α4＋1α5＋1α6＋1α7＋1α8.设1α4＋1α5＋1α6＋1α7＋1α8＝t1，所以α2＋1α3>α2＋1α3＋t1，则α1＋1α2＋1α3<α1＋1α2＋1α3＋t1，所以b3>b8，所以B错误．同理α2<α2＋1α3＋1α4＋1α5＋1α6.设
1α3＋1α4＋1α5＋1α6＝t2，所以α1＋1α2>α1＋1α2＋t2，所以b2<b6，所以C错误．同理α4<α4＋1α5＋1α6＋1α7.设1α5＋1α6＋1α7＝t3，所以α3＋1α4>α3＋1α4＋t3，则α2＋1α3＋1α4<α2＋1α3＋1α4＋t3，所以α1＋1α2＋1α
3＋1α4>α1＋1α2＋1α3＋1α4＋t3，所以b4<b7，所以D正确．故选D.(方法二)此题可赋特殊值验证一般规律，不必以一般形式做太多证明，以节省时间．由αk∈N*，可令αk＝1，则b1＝2，b2＝32，b3＝53，b4＝85.分子、分母分别构成斐波纳契数列，可得b5＝138，b6＝2
113，b7＝3421，b8＝5534.对比四个选项，可知选D.5．D正三角形的内切圆与外接圆半径分别为三角形高的13，23，∴其半径之比为1∶2，故其面积之比为1∶4，推广到空间在正四面体P－ABC中，内切球与外接球的半径分别为正四面体高的14，34，其半径之比为1∶3
，故其体积之比为127.6．B若甲说对，乙、丙说错：甲说对，小明不会法语也不会日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；丙说错，则小明不会德语，由此可知，小明四门外语都不会，不符合题意；若乙说对，甲、丙说错：乙说对，则小明会英语或法语；甲说错，则小明会法语或日语；丙说错，小明不会德语；则
小明会法语；若丙说对，甲、乙说错：丙说对，则小明会德语；甲说错，则小明会法语或日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；则小明会德语或日语，不符合题意；综上，小明会法语．7．A填表如下：多面体顶点数V面数F棱数E各
面内角和的总和三棱锥4464π四棱锥5586π五棱锥66108π不难发现各面内角和的总和的表达式是2(V－2)π．8．CA中两个函数形式相似，因此可以根据前者的性质猜测后者的性质，是类比推理，A正确；B中，由特殊到一般的猜想推理，是归纳推理，
B正确；C中，是三段论的演绎推理，不属于合情推理，C错；D中，省略了大前提：函数f(x)满足f(－x)＝f(x)恒成立，则f(x)是偶函数，D正确．9．A三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：(1)若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；(2)若丙预测正确，
甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测又正确，与假设矛盾；(3)若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意．10．答案：丙解析：因为是单选题，即四个选项中有且只有一个正
确，根据甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”，可知甲和乙有且只有一个人说的是真话，又四位同学中有且仅有一位同学说了真话，所以丙说的是假话，即答案为C，所以丙同学选对了，此时也满足丁说的是假话．11．答案：9解析：由题可得三角形数表的每一行都是等差数列，且公差分别为1，2，
4，8，…，2i－1，…，所以aij＝a(i－1)j＋a(i－1)(j＋1)＝2a(i－1)j＋2i－2＝2[a(i－2)j＋a(i－2)(j＋1)]＋2i－2＝2[2a(i－2)j＋2i－3]＋2i－2]＝22a(i－2)j＋2×2i－2…
＝2i－1a1j＋(i－1)2i－2＝2i－1j＋(i－1)2i－2，所以ai4＝2i－1×4＋(i－1)·2i－2＝(i＋7)·2i－2＞2022，解得i＞8，所以i的最小值为9.12．答案：120解析：根据3×3的蛇形数阵可知，当n为奇数时，“n×n蛇形数阵”的正中间数为n2，
故11×11的蛇形数阵正中间数为112＝121，且为第6行第6列，又观察3×3的蛇形数阵可得11×11的蛇形数阵第6行第5列的数比第6行第6列小1，为120.13．C在△ABC中其内切圆的半径r，S＝12(ar＋br＋cr)
，∴r＝2Sa＋b＋c，在四面体P－ABC中，V＝13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R，∴其内切球的半径R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.14．C根据已知条件可知原位大三和弦有a1，a5，a8；a2，a6，a9；a3，a7，a1
0；a4，a8，a11；a5，a9，a12，共5个．原位小三和弦有a1，a4，a8；a2，a5，a9；a3，a6，a10；a4，a7，a11；a5，a8，a12，共5个，所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之
和为10.15．答案：12＋15＋145解析：∵[1813]＝1，故1318＝12＋2×13－182×18＝12＋29，又因为[92]＝4，所以29＝15＋5×2－95×9＝15＋145，故1318＝12＋15＋145.
16．答案：6427解析：由题意，当n＝1时，第1个图中的三角形的边长为13，三角形的周长为3×13＝1；当n＝2时，第2个图中“雪花曲线”的边长为13×13＝(13)2，共有3×4条边，其“雪花曲线”周长为3×4×(13)2；当n＝3时，第3个图中“雪花曲线”的边长为
13×13×13＝(13)3，共有3×42条边，其“雪花曲线”周长为3×42×(13)3；当n＝4时，第4个图中“雪花曲线”的边长为13×13×13×13＝(13)4，共有3×43条边，其“雪花曲线”周长为3×43×(13)4＝6427.专练37证明1．C需
假设a，b，c，d不都为0.2．B由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．3．A“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．4．B根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到
与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法．5．C∵a，b，c是不全相等的正数，∴a－b，b－c，c－a至少有一个不为0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故①正确；②显然正确；a，b，c不全相等，可能全不相等，
即a≠b，b≠c，c≠a同时成立，故③不正确．6．CsinAsinC<cosAcosC⇒cos(A＋C)>0⇒cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)<0⇒B为钝角⇒△ABC一定是钝角三角形．7．B“至少有一个”的否定是
“一个也没有”即“都不是”．8．C由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.要证b2－ac<3a只要证(－a－c)2－ac<3a2，即证a2－ac＋a2－c2>0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证a(a－c)－b(a－c)>
0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“b2－ac<3a”索的因应是(a－c)(a－b)>0.9．D假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2，则有a＋1b＋b＋1c＋c＋1a<6.又∵a>0，b>0，c>0，∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝(a＋1a)＋(
b＋1b)＋(c＋1c)≥2a·1a＋2b·1b＋2c·1c＝6，这与假设矛盾．∴a＋1b，b＋1c，c＋1a三个数至少有一个不小于2.10．答案：a≥0，b≥0且a≠b解析：aa＋bb>ab＋ba，即：(a－b)2(a＋b)>0，需满足a≥0，b≥0
且a≠b.11．答案：x≠－1且x≠1解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．12．答案：P>Q解析：P2－Q2＝2a2＋13a＋42－2a2＋13a＋40>0，∴P2>Q2，∴P>Q.13．A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)在R上单调递
减，∵x1＋x2>0，∴x1>－x2，∴f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，∴f(x1)＋f(x2)<0.14．C“都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b至少有一个能被5整除”．15．答案：③解析：取a＝12，b＝23，则a＋b＝76>1，而a<b<1，
∴①推不出；取a＝b＝1，则a＋b＝2，∴②推不出；取a＝－3，b＝－2，则a2＋b2＝13>2，ab＝6>1，而a<0，b<0，∴④⑤推不出．对于③可用反证法证明：假设a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，则a＋
b≤2，与a＋b>2矛盾，故a，b中至少有一个大于1.16．答案：②解析：对于①，(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，∴(a＋3)2<2a2＋6a＋11，∴①不成立；对于②，∵a≠0，a2＋1a2≥a＋1a，等价于a4＋1≥a3＋a.而(a4＋1)－(
a3＋a)＝a3(a－1)－(a－1)＝(a－1)(a3－1)＝(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，∴a4＋1≥a3＋a恒成立，即②恒成立；对于③，当a>b时，恒成立，当a<b时不成立．专练38空间几何体的结构及其
三视图和直观图1．B由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．2．C截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．3．D如图所示的①②分别为△AB
C的实际图与直观图由斜二测画法可知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝12×a×32＝34a，∴S△A′B′C′＝12A′B′×O′C′×sin45°＝12×a×34a×22＝616a2.4．D由正视图与俯视图可得三棱锥A－BCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直
角三角形，且直角边长均为22，故其侧视图的面积S＝12×22×22＝14.5．B由三视图可作几何体如图，可知选B.6．D根据已知条件作出图形如图所示，结合多面体的正视图可知，该几何体的侧视图为D选项中的图形．7．C
由三视图可得该几何体是如图所示的四棱锥P－ABCD，由图易知四个侧面都是直角三角形．8．D由三视图知，该几何体是底面为腰长为2的等腰直角三角形、长为4的侧棱垂直于底面(垂足为腰与底边交点)的三棱锥，所以该三棱锥的最长棱的棱长为42＋（22）2＝26，最短棱的棱长为2，所以该几何
体中最长的棱与最短的棱的长度之和为26＋2.9．C如图，设正四棱锥的底面边长BC＝a，侧面三角形底边上的高PM＝h，则正四棱锥的高PO＝h2－a24，∴以|PO|为边长的正方形面积为h2－a24，侧面三角形面积为12ah，∴h2－a24＝12ah，∴4h2－2ah－a2＝0，两边
同除以a2可得4(ha)2－2·ha－1＝0，解得ha＝1±54，又∵ha>0，∴ha＝5＋14.10．答案：13解析：如图，过A作AC⊥BO，交BO于点C，则BC＝OB－O′A＝8－3＝5，又AC＝12，∴AB＝AC2＋BC2＝52＋
122＝13.11．答案：[22，23]解析：由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包含棱切球半径和外接球半径).设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝2×4，所以r＝22；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以(
2R)2＝42＋42＋42，所以R＝23.所以球O的半径的取值范围是[22，23].12．答案：32解析：由题意得：点M为AD1的中点，点Q为C1D1中点，点N与B1重合，∴其俯视图为三角形BM′N′，如
图所示∴S＝12×2×322＝32.13．C根据三视图还原原几何体的直观图如图所示：由三视图可知△PAD为等腰三角形，AD＝2，PA＝PD＝3＋（AD2）2＝2，AB⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，则AB⊥PA，AB＝1，CD＝2，PB＝PA2＋AB2＝5，同理可得P
C＝CD2＋PD2＝22，由正视图可知，四边形ABCD为直角梯形，且AB、CD为腰，BC＝AD2＋（CD－AB）2＝5，因此，该四棱锥的所有侧棱中，最长的侧棱长为22.14．答案：42解析：如图所示，将三棱锥的侧面展开，因为∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，所以∠AP
A1＝90°，当虫子沿AA1爬行时，距离最短，又AA1＝16＋16＝42，所以虫子爬行的最短距离是42.15．答案：2解析：方法一如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝23
×32×3＝3.将三棱锥SABC补形为正三棱柱SB1C1－ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝12SA.又球的半径R＝OA＝2，OA2＝OO21＋O1A2，所以4＝14SA2＋3，得SA＝2.方法二如图，设
△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝23×32×3＝3.设三棱锥SABC的外接球球心为O，连接OO1，则OO1⊥平面ABC.又SA⊥平面
ABC，所以OO1∥SA，连接OS，OA，由题意知OS＝OA＝2.过O作SA的垂线，设垂足为H，则四边形AO1OH为矩形，所以OO1＝AH，由OS＝OA可知H为SA的中点，则OO1＝AH＝12SA.所以在Rt△OO1A中，由
勾股定理可得OA2＝OO21＋O1A2，即4＝14SA2＋3，得SA＝2.16．答案：22解析：△OAO1≌△OBO2，∴OA＝OB，取AB中点G，连接OG，OA，OM，ON，OB，O2A，∵OA＝OB，G为
AB中点，∴OG⊥AB；∵O2B⊥O1A，O2B⊥O1O2，O1A∩O1O2＝O1，O1A，O1O2⊂平面AO1O2，∴O2B⊥平面AO1O2，又O2A⊂平面AO1O2，∴O2B⊥O2A；∵OA2＝OO21＋O1A2＝8，AB2＝O2A2＋O2B2
＝22＋42＋22＝24；∴OG＝OA2－AG2＝8－6＝2，∴MG＝OM2－OG2＝4－2＝2，∵OM＝ON，∴G也是MN中点，∴MN＝2MG＝22.专练39空间几何体的表面积和体积1．D作出该零件的直观图如图所示，该零件可看作是长、宽、高分别为2，2，3的长方
体去掉一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体所得，其表面积为2×(2×2＋2×3＋2×3)－2×1×1＝30，故选D.2．B如图，将三视图还原成直观图．该直观图是一个侧放的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面
ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，AA1＝2.所以底面面积S＝（2＋4）×22＝6，设该直四棱柱的高为h，则该几何体的体积V＝Sh＝6×2＝12.故选B.3．D由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去一
个以1为底面圆的半径，高为1的圆柱的14，如图所示，故其表面积S＝1×1＋1×1＋2×1×1－π4＋2π4×1＝1＋1＋2－π2＋π2＝4.4．A如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是
边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝3，又PC＝6，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP
ABC＝13×S△ABC×PD＝13×12×2×3×3＝1，故选A.5．B由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积．设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r，则玻璃球的体积为4πr33，
圆柱的底面面积为πr2，若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为2r，所以4πr33＝πr2(2r－10)，解得r＝15(cm).6．D依题意，这是半个圆柱和一个三棱柱组成的几何体，故体积为12×2×2×2＋12π
×12×2＝4＋π.7．B由三视图知该柱体的直观图为如图所示的五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1，取CD中点G，连接AG，由侧视图知AG⊥CD，AG＝6，∴底面积S＝S梯形AGCB＋S梯形AGDE＝12×(2＋6)×3＋12×(4＋6)×3＝27，∴该柱体体积V＝Sh＝27×6＝162.8．C
由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中PB⊥平面ABC，底面三角形为等腰三角形，且AB＝4，PB＝4，CD⊥AB，CD＝23，所以AB＝BC＝AC＝4，由此可知四个面中面积最大的为侧面PAC，取AC中点E，连接PE，BE，则AC⊥平面PBE，所以PE
⊥AC，PE＝BE2＋PB2＝27，S△PAC＝12·AC·PE＝47.9．C设甲、乙两个圆锥的母线长都为l，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2.因为两圆锥的侧面展开图的圆心角之和为2π
，所以2πr1l＋2πr2l＝2π，则r1＋r2＝l.又S甲S乙＝2，所以πr1l＝2πr2l，所以r1＝2r2，所以r1＝23l，r2＝13l，所以h1＝l2－23l2＝53l，h2＝l2－13l2＝223l，所以V甲V乙＝13πr21h113πr22h2＝49l2·53l19l
2·223l＝10.故选C.10．答案：8040解析：该几何体的上方是棱长为2的正方体，下方是底面边长为4，高为2的长方体，故其表面积S＝4×4×2＋4×4×2＋2×2×4＝80，∴V＝42×2＋23＝40.11．答案：39π
解析：设该圆锥的高为h，则由已知条件可得13×π×62×h＝30π，解得h＝52，则圆锥的母线长为h2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π.12．答案：50π3解析：因为PA＝PB＝PC＝10，所以点P在底面ABC的射影为△ABC的外心O1，所
以球心O在直线PQ1上，设三棱锥外接球的半径为R，因为2AO1＝22sinπ4，所以AO1＝2，PO1＝6，由AO2＝OO21＋AO21可得，R2＝(6－R)2＋4，解得R＝56，故此三棱锥外接球的表面积为4
πR2＝4π×256＝50π3.13．C设四棱锥的底面为四边形ABCD.设四边形ABCD的外接圆圆心为O′，半径为r.S四边形ABCD＝S△AO′B＋S△AO′D＋S△BO′C＋S△CO′D＝12r2sin∠AO′B＋12r2sin∠
AO′D＋12r2sin∠BO′C＋12r2sin∠CO′D＝12r2(sin∠AO′B＋sin∠AO′D＋sin∠BO′C＋sin∠CO′D).因为∠AO′B＋∠AO′D＋∠BO′C＋∠CO′D＝2π，且当θ＝π2时，sinθ取最大
值1，所以当∠AO′B＝∠AO′D＝∠BO′C＝∠CO′D＝π2时，S四边形ABCD最大，即当四棱锥O－ABCD的底面为正方形时，四棱锥O－ABCD的体积取得最大值．设AB＝a(a>0)，则正方形ABCD的外接圆的半径r＝22a，四棱锥O－ABCD的高h＝1－12a2，则1－12a2>0，
解得0<a<2，所以VO－ABCD＝13a2h＝13a4－12a6.令f(x)＝x4－12x6(0<x<2)，则f′(x)＝4x3－3x5＝x3(4－3x2).当x∈(0，233)时，f′(x)>0；当x∈(233，2)时，f′(x)<0.所以f(x)在(0，233)上单调
递增，在(233，2)上单调递减．当x2＝43时，f(x)取得极大值，也是最大值，即VO－ABCD取得最大值，此时四棱锥O－ABCD的高h＝1－12a2＝33.故选C.14．B作出如图三棱锥O－ABC，OA＝OB＝
OC＝2，取AB中点D，连接DC，DO，则OD⊥AB，又平面OAB⊥平面ABC，平面OAB∩平面ABC＝AB，OD⊂平面OAB，所以OD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，则OD⊥CD，又AB＝22，OA2＋OB2＝AB2，所以OD＝2，OA⊥OB，所以CD＝22－（2）2＝2＝12
AB，所以AC⊥BC，S△OAB＝12×2×2＝2，要使三棱锥O－ABC体积最大，则C到平面OAB的距离h最大，显然h≤CD，当CD⊥AB时，平面OAB∩平面ABC＝AB，CD⊂平面ABC，所以CD⊥平面OAB，此时h＝CD＝2，为最大值，Vmax＝13×2×2＝223.15．答案：
163π解析：如图所示，正三角形绕边AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为r＝OC＝23，母线长为l＝AC＝4，则所得几何体的表面积为S＝2×πrl＝2π×23×4＝
163π.16．答案：22π5解析：设该半正多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱椎所得，内侧即为二十四等边体，其体积V1＝2×2×2－8×13×12×1×1×1＝203；由二十四等边体的对称性可知，如
图所示，其外接球的球心即为正方体中心O，半径为中心到一个顶点的距离，则R＝OA2＋AB2＝1＋1＝2，故V2＝43π(2)3＝82π3，从而V2V1＝22π5.专练40空间点、直线、平面之间的位置关系1．B2．D当三条直线相交于同一点时，可以确定一个或三个平面，故A、B错；当三点共线时，
不能确定一个平面，故C错．3．A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，故最多可确定4个平面．4．D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．5．D过平面α外一点P，可以作无数条直线与α相交，但垂直α的只有一条，故A、B、C均错，D
正确．6．D∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．7．C两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1
都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB
⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．8．A连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C
，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A，M，O三点共线．9．B取DN中点O，连结MO，BO，∵三棱锥ABCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，∴MO∥A
N，∴∠BMO是异面直线BM与AN所成角，设三棱锥ABCD的所有棱长为2，则AN＝BM＝DN＝22－12＝3，MO＝12AN＝NO＝12DN.BO＝BN2＋NO2＝1＋34＝72，∴cos∠BMO＝BM2＋MO2－BO22×BM×OM＝3＋34－742×3×32＝23.∴异面直
线BM与AN所成角的余弦值为23.10．答案：52解析：因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，则BE＝5.因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，t
an∠BAE＝BEAB＝52.11．答案：5解析：与AB和CC1都相交的棱为BC，与AB相交且与CC1平行的棱为AA1，BB1，与AB平行且与CC1相交的有CD，C1D1，故符合条件的棱有5条．12．答案：②③④解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线
，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面直线，且所成的角为90°，即DE与MN垂直．13．D连接BD，则∠B1DB，∠DB1A分别是B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，所以∠B1DB＝∠DB1A＝30°.所以BB1＝12DB1，BD＝32DB1，AD＝12DB
1.设BB1＝a，则DB1＝2a，AD＝BC＝a，BD＝3a，所以AB＝BD2－AD2＝2a，AC＝BD＝3a，CB1＝BB21＋BC2＝2a.所以AB＝2AD，AC≠CB1，因此A，C项错误．易知∠DB1C是B1D与平面BB1C1C所成的角，且为
锐角．因为DC＝2a，DB1＝2a，CB1＝2a，所以DC2＋CB21＝DB21，所以DC⊥CB1.在Rt△DCB1中，sin∠DB1C＝DCDB1＝22，所以∠DB1C＝45°，即B1D与平面BB1C1C所成的角为45°，因此D项
正确．因为AD⊥平面ABB1A1，AD⊂平面AB1C1D，所以平面AB1C1D⊥平面ABB1A1，所以∠B1AB是AB与平面AB1C1D所成的角．在Rt△ABB1中，AB＝2a，BB1＝a，所以tan∠B1AB＝BB1AB＝22≠33，所以∠B1AB≠30°，即AB与平面AB1C1D所成的角
不是30°，因此B项错误．故选D.14．B对于①，梯形一定是平面图形，是真命题；对于②，当这一点在这一条直线上时，不确定，是假命题；对于③，两两相交，且交于一点的三条直线可不一定确定一个平面，是假命题；对于④，如果平面α外有两点A，B位于平面α两侧时，
不满足，是假命题；故正确的命题个数为1个．15．答案：①②④解析：对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③
，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．16．答案：32解析：在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥B
C1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，
EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为32.专练41直线、平面平行的判定与性质1．D由线面平行的定义可知，当a∥α时，a与平面α内的任意一条直线都不相交．2．
DA中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．3．B易知A、C、D选项中α与β可能相交．4．C由面面平行的判定定理和性
质知A、B、D正确；对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面．5．B对于A，当m∥α，n∥α时m与n可能平行、相交、异面，故A不正确；对于B，当m⊥α，n⊂α时，由线面垂直的性质定理可知m⊥n，故B正确；对于C，当m⊥α，m⊥n时n∥α或n⊂α，故C不正
确；对于D，当m∥α，m⊥n时，n∥α或n⊂α，故D不正确．6．D∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2又PA′∶AA′＝2∶3∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′
∶S△ABC＝4∶25.7.B如图E，F，G，H是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH中，故有EF，FG，GH，HE，FH，EG共6条直线．8．B设BD＝x，由α∥β⇒AB∥CD⇒△PAB∽△PCD⇒PBPA＝PDPC.①当点P在两平面之间时，如图1，x－8
6＝89－6，∴x＝24；②当点P在两平面外侧时，如图2，8－x6＝89＋6，∴x＝245.9．AA项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中心，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所
示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥
NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.10．答案：平行解析：连结BD，交AC于O点，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴O为BD的中点，又E为DD1的中点，∴EO∥BD1，又EO⊂平面A
EC，BD1⊄平面AEC，∴BD1∥平面AEC.11．答案：2解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝22.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝12AC＝2.12．答案：点M在线段FH上(
或点M与点H重合)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.13．C如图所示，EFGH为平行四边形，则EF∥GH，又EF⊄面BCD，HG⊂面BCD，∴EF∥面BCD，又面B
CD∩面ACD＝CD，∴EF∥CD，∴CD∥面EFGH，同理可得AB∥面EFGH.14．A取AB的中点H，则BH∥C1G，BH＝C1G，从而四边形BC1GH为平行四边形，所以BC1∥HG.易知EH∥GF，FH∥GE，则四边形EGFH为平行四边形，从而GH⊂平面EFG.又BC1⊄平
面EFG，所以BC1∥平面EFG.易知BF∥ED1，BF＝ED1，则四边形BFD1E为平行四边形，从而BD1与EF相交，所以直线BD1与平面EFG相交．15．B过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，
AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG
有交点Q，故D错误．16．B取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF的中点O，连接A1O，如图所示，∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，∴AM∥A1E，MN∥EF，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，M
N⊂平面AMN，A1E，EF⊂平面A1EF，∴平面AMN∥平面A1EF，∵动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，∴点P的轨迹是线段EF，∵A1E＝A1F＝12＋（12）2＝52，EF＝1212＋12＝22，∴A1O⊥EF，∴当P与O重合时，P
A1的长度取最小值A1O，A1O＝（52）2－（24）2＝324，当P与E(或F)重合时，PA1的长度取最大值A1E或A1F，A1E＝A1F＝52.∴PA1的长度范围为[324，52].专练42直线、平面垂直的判定与性质1．D如图ABCD为矩形，PA⊥
面ABCD时，△PAB，△PAD为直角三角形，又AD⊥DC，PA⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥PD，∴△PCD为直角三角形，同理△PBC为直角三角形，共4个直角三角形．2．D∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，∵m⊥α，l
⊂α，∴m⊥l，∴m⊥n，故A正确；若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，
而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．3．C当α∥β，b⊥β时，b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a，故C正确.4．C因AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC，而BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，则有AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BD
E，C正确；在平面ABC内取点P，作PM⊥AB，PN⊥BE，垂足分别为M，N，如图，因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE＝BE，则PN⊥平面BDE，则有PN⊥BD，若平面ABC⊥平面ABD，同理可得PM⊥BD，而PM∩PN＝P
，PM，PN⊂平面ABC，于是得BD⊥平面ABC，显然BD与平面ABC不一定垂直，A不正确；过A作△ABD边BD上的高AF，连CF，由△ABD≌△CBD得，CF是△CBD边BD上的高，则∠AFC是二面
角ABDC的平面角，而∠AFC不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；因AC⊥平面BDE，则∠DEB是二面角DACB的平面角，∠DEB不一定是直角，平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确．5．C当m∥α时，过m作平面γ∩α＝n，则m∥n，结合α⊥
β，得n⊥β，从而m⊥β；当m⊥β时，在α内作直线n⊥l，结合α⊥β，得n⊥β，所以m∥n，又m⊄α，n⊂α，所以m∥α.6．B由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．7．C∵α∩
β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l.8．D如图所示，连接AC，∵AA1⊥平面ABCD，∴A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵AA1＝5，∴tan∠ACA1＝1.9．C∵AB＝BC，E为AC的中点，∴EB⊥AC，同理DE⊥A
C，又DE∩EB＝E，∴AC⊥面BDE，又AC⊂面ACD，∴平面ACD⊥面BDE，同理平面ABC⊥面BDE.10．答案：外解析：连结OA，OB，OC，OP，∴△POA，△POB，△POC为直角三角形，又PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．11．答案：②④解析：
∵γ∩β＝l，∴l⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m，l⊥m，∴l⊥α，∵γ∩β＝l，∴l⊂β，又l⊥α，∴α⊥β，∴②④正确．12．答案：5解析：∵PA⊥面ABCD，又PA⊂面PAD，∴面PAD⊥面ABCD；同理面PAB⊥面ABCD，又PA⊥面ABCD，∴PA⊥
CD，又CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥面PAD，又CD⊂面PCD，∴面PCD⊥面PAD，同理面PBC⊥面PAB，面PAB⊥面PAD，共有5对．13．D∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立．又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成
立．∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∠PDA＝45°，∴D正确．14．C设正方体的棱长为2，对于①，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，图(1)故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，在Rt△OPC中，OC＝2
，CP＝1，故tan∠POC＝12＝22，故MN⊥OP不成立．对于②，如图(2)所示，取AN的中点B，连接PB，OB，图(2)则OP＝12＋（2）2＝3，PB＝2，OB＝12＋22＝5，所以OP2＋PB2＝OB2，所以OP⊥PB，又
PB∥MN，所以OP⊥MN.图(3)对于③，如图(3)所示，取AD的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C分别是DE，AD的中点，所以CP⊥BD，又OC⊥平面ADEB，BD⊂平面ADEB.所以OC⊥BD，又OC∩CP＝C，OC，CP⊂平面OC
P，所以BD⊥平面OCP，所以BD⊥OP，又BD∥MN，所以OP⊥MN，图(4)对于④，如图(4)所示，取AN的中点B，ME的中点F，连接PB，BF，OF，若OP⊥MN，又OF⊥平面MENA，所以OF⊥MN，所以
MN⊥平面OFBP，所以MN⊥BF，显然，MN与BF不可能垂直，所以OP⊥MN不成立．15．答案：BM⊥PC(DM⊥PC)解析：当BM⊥PC时，面MBD⊥面PCD，证明如下：如图所示，∵PA⊥面ABCD，AB＝AD，∴PB＝PD，又BC＝CD，∴△PBC≌△PC
D，∴当BM⊥PC时，DM⊥PC，∴PC⊥面MBD，又PC⊂面PCD，∴平面MBD⊥面PCD.16．答案：①④⑤解析：对于①，因为点M，N分别为VA，VC的中点，所以MN∥AC，又MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，故①正
确；对于②，若OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，而由题意知AB是圆O的直径，则BC⊥AC，故OC与AC不可能垂直，故②不正确；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN⊥BC，即MN与BC所成的角为90°，故③不正确；对于④，易得OP∥VA，VA⊥
MN，所以MN⊥OP，故④正确；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故⑤正确
．综上，应填①④⑤.专练43高考大题专练(四)立体几何的综合运用1．解析：方法一(1)证明：过点E作EE′⊥AB于点E′，过点F作FF′⊥BC于点F′，连接E′F′，如图(1).∵平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，EE′⊂平面EA
B，∴EE′⊥平面ABCD.同理FF′⊥平面ABCD，∴EE′∥FF′.易得△EE′B≌FF′B，∴EE′＝FF′，∴四边形EE′F′F是平行四边形，∴EF∥E′F′.又∵E′F′⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD
，∴EF∥平面ABCD.(2)过点G，H分别作GG′⊥CD于点G′，HH′⊥DA于点H′，连接F′G′，G′H′，H′E′，AC，如图(1).由(1)及题意，可知E′，F′，G′，H′分别为AB，BC，CD，DA
的中点，四棱柱EFGHE′F′G′H′为长方体．故该包装盒可看作由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成．由底面ABCD是边长为8cm的正方形，可得E′F′＝E′H′＝12AC＝42cm.在正三角形ABE中，易得EE′＝43cm.∴所求包装盒的容积V
＝VEFGHE′F′G′H′＋4VA－EE′H′H＝E′F′×E′H′×EE′＋4×13×E′H′×EE′×14AC＝42×42×43＋4×13×42×43×14×82＝64033(cm3).方法二(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EAB和△FBC是正三角形，∴分别取AB，BC
的中点K，I，连接EK，FI，KI，则EK⊥AB，FI⊥BC，如图(2).∵平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，EK⊂平面EAB，∴EK⊥平面ABCD.同理FI⊥平面ABCD，∴EK
∥FI.易知△EAB≌△FBC，∴EK＝FI，∴四边形EKIF是平行四边形，∴EF∥KI.又∵EF⊄平面ABCD，KI⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)可补形成长方体，如图(2)，易得长方体的高为43cm.故所求包装盒的容积V
＝82×43－4×13×12×42×43＝64033(cm3).2．解析：(1)因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，O是BC的中点，所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB.记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA，所以∠
HBA＝∠AOB.所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF，故CF＝AF，F是AC的中点．因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC.因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC，所以EF∥DO.又DO
⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，所以EF∥平面ADO.(2)由(1)得FO∥AB，因为AB⊥BC，所以FO⊥BC.又PO⊥BC，所以∠POF是二面角PBCF的平面角，所以二面角PBCF的大小为120°.如图，过点P
作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB，则∠POM是二面角PBCM的平面角，所以∠POM＝60°.在△PBC中，由PB＝PC＝6，BC＝22，得PO＝2，所以PM＝3.所以三棱锥PABC的体积
VPABC＝13S△ABC×PM＝13×12×2×22×3＝263.3．解析：(1)当λ＝12时，平面AEF⊥平面PBC，理由如下：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为ABCD为矩形，所
以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.因为PE＝12PB，所以E为线段PB的中点，又因为PA＝AB，所以AE⊥PB，又PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PB
C.(2)因为平面AEF⊥平面PBC，由(1)可知E为PB的中点，因为PA⊥底面ABCD，所以点E到底面ABCD的距离为12PA＝1，所以VEABF＝13×(12×2×BF)×1＝BF3，因为VEABF∶VPABCD＝1∶6，所以BF32×3×23＝BF12＝16，所以BF＝
2，VEABF＝16×4＝23，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则PA⊥AB，同理可知BF⊥BE，∵PA＝AB＝2，E为PB的中点，则AE＝BE＝22PA＝2，EF＝BE2＋BF2＝6，所以S△
AEF＝12×2×6＝3，设点B到平面AEF的距离为d，由VBAEF＝VEABF得13d·3＝23，解得d＝233.4．解析：(1)证明：∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB＝CB.∵E为AC的中点，∴DE⊥AC，BE⊥AC.∵D
E∩BE＝E，DE，BE⊂平面BED，∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD.(2)如图，连接EF.在△ABC中，由AB＝BC＝2，∠ACB＝60°可知，AC＝2，BE＝3，∵A
D⊥CD，E为AC的中点，∴DE＝12AC＝1.又BD＝2，∴DE2＋BE2＝BD2，∴DE⊥BE，由(1)知△ABD≌△CBD，∴AF＝CF.又E为AC的中点，∴EF⊥AC.∴当△ACF的面积最小时，EF⊥BD.∴S△BDE＝
12BE·DE＝12BD·EF，∴EF＝32，BF＝32.方法一：∴VFABC＝VABEF＋VCBEF＝2VABEF＝2×13×12×32×32×1＝34.方法二：∴BF∶BD＝3∶4.∴VFABC＝34VDABC＝34×13
×12×2×3×1＝34.5．解析：(1)因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)如图，
过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，即四棱锥A1BB1C1C的高为A1H.
由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1.又AA1＝2，∠ACA1＝90°，所以A1C1＝CA1＝2.方法一由S△CA1C1＝12·CA1·A1C1＝1
2·A1H·CC1，得A1H＝CA1·A1C1CC1＝2×22＝1，故四棱锥A1BB1C1C的高为1.方法二在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝12CC1＝1，故四棱锥A1BB1C1C的高为1.专练44
直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．Ck＝0－23－0＝－23.2．D由x＋3y＋1＝0，得y＝－33x－33，∴直线的斜率k＝－33，其倾斜角为56π.3．A由点斜式得y－5＝－34(x＋2)，即：3x
＋4y－14＝0.4．B∵当π2<α<π时，k<0，∴α>π3k>3；当k>3时，π3<α<π2，∴k>3⇒π3<α<π2，∴α>π3是k>3的必要不充分条件．5．D因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大
于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.6．D若直线过原点，则直线方程为y＝2x，若直线不过原点，设所求的直线方程为x＋y＝m，又P(1，2)在直线上，∴1＋2＝m
，∴m＝3，即：x＋y＝3.7．Aax＋by＋c＝0可化为y＝－abx－cb，又直线过一、二、四象限，∴－ab<0且－cb>0，即ab>0，bc<0.8．B设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得ta
nθ＝－sinα∈[－1，1]，∴θ∈0，π4∪34π，π.9．B直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1，1)，kPA＝2，kPB＝34，∴k的取值范围是－∞，34∪[2，＋∞).
10．答案：4解析：由题意得kAC＝kBC，∴5－36－4＝5－a6－5，得a＝4.11．答案：45°解析：y′＝3x2－2，当x＝1时，y′＝3－2＝1，∴k＝1，其倾斜角为45°.12．答案：1解析：由题意得，4－mm＋2＝1，得m＝1.13．A
由题意知，y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－12.14．C∵
O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.15．答案：0，π2∪34π，π解析：∵y′＝3x2－1≥－1，∴tan
θ≥－1，∴θ∈0，π2∪34π，π.16．答案：3＋22解析：∵直线l过点(1，2)，∴1a＋2b＝1，∴a＋b＝(a＋b)(1a＋2b)＝3＋ba＋2ab≥3＋2ba·2ab＝3＋22(当且仅当ba＝2ab，即a＝2＋1，b＝2＋2
时等号成立).专练45两条直线的位置关系及距离公式1．A设所求的直线方程为x－2y＋c＝0，又(1，0)在直线l上，∴1＋c＝0，∴c＝－1，故所求的直线方程为x－2y－1＝0.2．C当m＝0时，x＋my＋2＝0⇒x＝－2，由2x－y＋1＝0知y＝2x＋1，斜率为2，所以直
线2x－y＋1＝0与x＝－2不垂直，不符合题意；当m≠0时，x＋my＋2＝0⇒y＝－1mx－2m，因为直线2x－y＋1＝0与直线x＋my＋2＝0垂直，所以－1m×2＝－1，解得m＝2.3．B因为直线l1：2x＋ay＋2＝0与直线l2：(
a－1)x＋3y＋2＝0平行，所以2×3－a(a－1)＝0，即a2－a－6＝0，解得：a＝－2或3，当a＝3时，l1：2x＋3y＋2＝0与l2：2x＋3y＋2＝0重合，不满足题意，舍去；当a＝－2时，l1：x－y＋1＝0与l2：3x－3y－2＝0平行，满足题意．4．B由
kx－y＝k－1，ky－x＝2k，得x＝kk－1，y＝2k－1k－1．又∵0<k<12，∴x＝kk－1<0，y＝2k－1k－1>0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．5．B由点(1，3)到直线x＋
3y＋C＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C|12＋（3）2＝|4＋C|2＝3，得C＝2或C＝－10.∴C＝2是点(1，3)到直线x＋3y＋C＝0的距离为3的充分不必要条件．6．A过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线就是过点P且与O
P垂直的直线，因为直线OP的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y－1＝－2(x－2)，得2x＋y－5＝0.7．D由题设，可得kAB＝2－01－2＝－2，且AB的中点为(32，1)，∴AB垂直平
分线的斜率k＝－1kAB＝12，故AB的垂直平分线方程为y＝12(x－32)＋1＝x2＋14，∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.8．C由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋
y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1，1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.9．B解法一当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k
(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，因为P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝32，则直线l的方程为3x－2y－4＝0.解法二由题意知，所求直线经过P(4，2)和Q(0，－4)的中点或与过P(4，2)和Q(0，－4)的直线平行．当所
求直线经过P(4，2)和Q(0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P(4，2)和Q(0，－4)的直线平行时，由kPQ＝－4－20－4＝32，得直线l的方程为y－1＝32(x
－2)，即3x－2y－4＝0.10．答案：2解析：由题意得A(0，1)，由点A(0，1)到直线x＋y－3＝0的距离为|1－3|12＋12＝2.11．答案：0或1解析：因直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直，则有1·
m＋m[－(2m－1)]＝0，即2m－2m2＝0，解得m＝0或m＝1，所以m＝0或m＝1.12．答案：2解析：由题意可知，kAB＝b－a5－4＝b－a＝1，故|AB|＝（5－4）2＋（b－a）2＝2.13．B因为直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x
－b2y－1＝0互相垂直，所以(b2＋1)－ab2＝0.又因为b>0，所以ab＝b＋1b≥2，当且仅当b＝1时等号成立．14．C直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)，所以点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，P
Q垂直直线，即m·2－13－2＝－1，∴m＝－1.15．Ca×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－
1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；在l1上任取点(x，ax＋1)，其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确；联立ax－y＋1＝0，x＋ay＋1＝0，解得x＝
－a－1a2＋1，y＝－a＋1a2＋1，即M(－a－1a2＋1，－a＋1a2＋1)，所以|MO|＝（－a－1a2＋1）2＋（－a＋1a2＋1）2＝2a2＋1≤2，所以|MO|的最大值是2，故D正确．1
6．C如图1，作A关于DC的对称点为E，D关于AB的对称点为G，C关于AB的对称点为F，连接GF，EF，由题可得tanα＝EGGF＝3AD2AD＝32.如图2，作A关于BC的对称点为G，B关于AD的对称点为F，C关于AD的对称点为E，连接EF
，EG，由题可得tanα＝EFGF＝AD6AD＝16.综上，tanα的值为16或32.专练46圆的方程1．D设所求的直线l的方程为x－y＋C＝0，∵直线l过圆心(0，3)，∴－3＋C＝0，C＝3，故所求的直线方程为x－y＋3＝0.2．D
半径r＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．D∵A为直角，∴AB⊥AC，∴2a＝－4，a＝－2，∴△ABC外接圆的圆心(－3，0)，半径r＝BC2＝（－4＋2）2＋
（－2－2）22＝5，∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.4．C由题意得D2＋E2－4F>0，∴4＋4－4a>0，∴a<2.5．D由题意得25a2＋144a2<1，∴a2<1132，得|a|<113.6．B∵y＝kx－2k＋1可化为y
＝k(x－2)＋1，恒过定点(2，1)，则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.7．C3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离为d＝|10－0|32＋（－4）2＝2，显然圆的半径r＝22＝1，与3x－4y＝0和3x－4y＋10＝0的距离相
等的直线为3x－4y＋5＝0，由3x－4y＋5＝0，y＝－x－4，得x＝－3，y＝－1，∴圆心(－3，－1)，∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.8.B圆C即(x－1)2＋(y－2)2＝2，半径r＝2，因为CA⊥CB，所以
AB＝2r＝2，又P是AB的中点，所以CP＝12AB＝1，所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.9．B连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∵r＝1，∴|OP|＝
2，又原点到直线x＋y－2＝0的距离d＝|－2|12＋12＝2，∴符合条件的点P只有一个．10．答案：1解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件是a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<23，又
a∈－2，0，1，34，∴仅当a＝0时该方程表示圆．11．答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a).由点(3，0)，(0，1)均在⊙M上，
可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝（a－3）2＋（1－2a）2＝a2＋（1－2a－1）2，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝5，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.12．答案：(x－2
)2＋(y－3)2＝13[或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－43)2＋(y－73)2＝659或(x－85)2＋(y－1)2＝16925]解析：设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2).(1)若圆过A，B，
C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝4＋a2＝13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝
4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝4＋a2＝5，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组
y＝x＋1，y＝－2x＋5，解得x＝43，y＝73，则半径r＝169＋499＝653，所以圆的方程为x－432＋y－732＝659.(4)若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方
程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组y＝1，y＝5x－7，解得x＝85，y＝1，则半径r＝85－42＋（1－2）2＝135，所以圆的方程为x－852＋(y－1)2＝16925.13．A设圆心为(x
，2x)(x>0)，r＝2x＋2x＋15≥55＝5，当且仅当x＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心(1，2)，半径为5，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.14．答案：y＝3或3x＋4y－12＝0解析：联立y
＝x－1，y＝2x－4，解得x＝3，y＝2.所以圆心C(3，2).若k不存在，不符合题意；若k存在，则设切线方程为y＝kx＋3，可得圆心到切线的距离d＝r，即3k＋3－21＋k2＝1，解得k＝0或k＝－34.则所求的切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.15．
答案：4解析：如图：∵y＝33x＋23，∴kAC＝－3，∴∠ACD＝60°，过D作DE⊥AC于E，则|DE|＝|AB|.∵圆心到直线l的距离d＝61＋3＝3，∴(|AB|2)2＝r2－d2＝12－9＝3.∴|AB|2＝12，则|AB|＝23.在Rt△DEC中，|CD|＝|
AB|sin60°＝2332＝4.16．答案：12解析：由题意，得PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3
)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA→·PB→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.专练47直线与圆
、圆与圆的位置关系1．B圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝|2－2－5|22＋12＝5<6，∴两圆相交但不过圆心．2．B∵x2＋y2＝4的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化为
(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圆心C2(－3，4)，半径r2＝3，又圆心距|C1C2|＝（0＋3）2＋（0－4）2＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切．3．A因为直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，所以直线2x＋y－1＝0经过圆心．由圆的标准方
程，知圆心坐标为(a，0)，所以2a＋0－1＝0，解得a＝12.故选A.4．B圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝2，r2＝3，圆心距|C1
C2|＝（－2－2）2＋（2＋1）2＝5，r1＋r2＝5，∴|C1C2|＝r1＋r2，∴两圆C1与C2外切，∴它们有3条公切线．5.D设原点为O，直线l与圆C交于点A，B，由题意，得∠AOB＝120°.过O作OH⊥AB于点H，则
|OH|＝1；设直线l的方程为y＝x＋b，由|OH|＝1，得|b|2＝1，解得b＝±2，所以直线l在y轴上的截距为±2.6．D由题意得圆心(1，0)到直线l：y＝kx＋1的距离d为d＝|k＋1|k2＋1＝4－（2）2，得(k＋1)2＝2(k2＋1)，得k＝1.7．C将方程x2＋y2
－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取得最大值，此时|2－1－z|2＝3，解得z＝1±32，故z＝x－y的最大值为1＋32，故选
C.8．B圆C的圆心为C(2，0)，则|PA|＝|PC|2－r2，其中r2＝4，|PC|的最小值为点C到直线l的距离，即|2×2－0＋4|22＋（－1）2＝85，所以当|PC|取最小时，|PA|也取最小，即2555.9．Cx2＋y2－
2x－4y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝(5)2，因为直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为25，故直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)经过圆心(1，2)，即a＋2b＝6.又6＝
a＋2b≥22ab，即ab≤92，当且仅当a＝2b＝3时取等号，故ab的最大值为92.10．答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，
4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y).由O1A＝15O1O2，得A(35，45).因为kO1O2＝43，所以切线l1的斜率k1＝－34，所以l1：y－45＝
－34(x－35)，即3x＋4y－5＝0.由图像易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝43x.联立y＝43x，x＝－1，解得x＝－1，y＝－43．故直线l与l2的交点
为P(－1，－43).由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋43＝k(x＋1).由点到直线的距离公式，得k－43k2＋1＝1，解得k＝724，所以l3：y＋43＝724(x＋1)，即7x－24y－25＝0.11
．答案：26解析：x2＋y2－2y－7＝0可化为x2＋(y－1)2＝8，∴圆心(0，1)到直线kx－y－k＋2＝0的距离d＝|－1－k＋2|k2＋1＝|1－k|k2＋1，∴|AB|＝28－k2－2k＋1k2＋1＝
27＋2kk2＋1又－1≤2kk2＋1≤1，∴|AB|min＝26.12．答案：x＝1或8x－15y－53＝0解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)，即：kx－y－k－3＝0，由题意得．|4k－2－k－3|k2＋1＝3
，得k＝815，∴切线方程为8x－15y－53＝0.13．A圆心(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为|2＋2|12＋12＝22，又圆的半径为2，∴P到AB的距离d∈[22－2，22＋2]，即d∈[2，32]，易知B(
0，－2)，A(－2，0)，|AB|＝（－2－0）2＋（0＋2）2＝22，S△ABP＝12|AB|d∈[2，6].14．C圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2＋b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，
b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2＋b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2＋b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直
线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．15．答案：(－1，3)解析：由题意知：圆半径为2，OM⊥AB，故AB＝2×2sinθ＝4sinθ，f(θ)＝4sinθ＋2θ，则
f′(θ)＝4cosθ＋2，令f′(θ)＝0，解得cosθ＝－12，又0<θ<π，当θ∈(0，2π3)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增；当θ∈(2π3，π)时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；故当θ＝2π3时，f(θ)取
得最大值，此时M(2·cos2π3，2·sin2π3)，即(－1，3).16．答案：8解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x＋y＝2.点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝
2，∴1a＋9b＝12(1a＋9b)(a＋b)＝12(10＋ba＋9ab)≥12×(10＋6)＝8，当且仅当ba＝9ab，即b＝3a时取等号，所以1a＋9b的最小值为8.专练48椭圆1．D∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为2a－3＝2×4－3＝5.2．B由椭圆的方程得a＝
3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|C
A|)＝2a＋2a＝4a＝43.3．A通解设点P(x，y)，则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2
＝－4y2－2y＋6＝254－(2y＋12)2.当2y＋12＝0，即y＝－14(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max＝52.优解因为点P在椭圆x25＋y2＝1上，所以可设点P(5c
osθ，sinθ).易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(5cosθ)2＋(sinθ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝254－(2sinθ＋12)2.易知当
2sinθ＋12＝0，即sinθ＝－14时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max＝52.4．B依题意，动点P的轨迹是椭圆，且焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由c＝4，2a＝10，即a＝5，得b＝a2－c2＝3，则椭圆方程为
x225＋y29＝1.5．B∵2a＝8，∴a＝4，e＝ca，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，∴椭圆的标准方程为x216＋y27＝1或x27＋y216＝1.6．B方法一因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝
12|PF1|·|PF2|＝b2tan∠F1PF22，得12|PF1|·|PF2|＝1×tan90°2，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.方法二因为＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|
＋|PF2|＝2a＝25，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.7．C由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c＝2，∴a2＝4＋c2＝8，
∴a＝22，∴e＝ca＝222＝22.8．C由已知a＝2，b＝3，c＝1，若P为短轴的顶点(0，3)时，∠F1PF2＝60°，△PF1F2为等边三角形，∴∠P不可能为直角，若∠F1＝90°，则|PF1|
＝b2a＝32，S△PF1F2＝12·b2a·2c＝32.9．A由题意知，a2－b2＝(32)2＝34，b2－c2＝(12)2＝14，∴a2－c2＝1.又a2＝b2＋c2，∴b2＝1，b＝1.∴a2＝74，a＝72.10．答案：(3，4)∪(4，5)解析：由题意可知5
－k>0，k－3>0，5－k≠k－3，解得3<k<4或4<k<5，故k的取值范围为(3，4)∪(4，5).11．答案：35解析：由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－
2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝35或e＝－1(舍去).12．答案：8解析：解法一由椭圆C：x216＋y24＝1可知|F1F2|＝43.由P，Q为C上关于坐标原点对称的两个点，且|PQ|＝|F1F2|，得|PO|＝|QO|
＝23(O为坐标原点)，所以P，Q既在椭圆x216＋y24＝1上，又在圆x2＋y2＝12上．不妨设点P在第一象限，则由x216＋y24＝1，x2＋y2＝12，可得P(463，233)，所以由对称性，可得四边形PF1QF2
的面积S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2×12×|F1F2|×yP＝2×12×43×233＝8.解法二由椭圆方程知，a＝4，b＝2，则c＝a2－b2＝23.由点P在椭圆上，得|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2
|＝64①.由椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|知，四边形PF1QF2是矩形，在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝48②.由①－②得|PF1|·|PF2|＝8
，所以S四边形PF1QF2＝|PF1|·|PF2|＝8.光速解由椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|知，四边形PF1QF2是矩形，且∠F1PF2＝π2.结合b2＝4，及椭圆焦点三角形的面积公式，得S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2b2
tan∠F1PF22＝8.13．B由椭圆C的离心率为13，可得e＝ca＝a2－b2a2＝13.化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b
2＝－1.联立得方程组8a2＝9b2，－a2＋b2＝－1，解得a2＝9，b2＝8.所以C的方程为x29＋y28＝1.故选B14．C由椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，由椭圆的对
称性，得|BF1|＝|BF2|＝a，设|PF2|＝m，则|BP|＝a＋m，又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－m，因为△PF1B为等腰三角形，所以|BP|＝|PF1|，即a＋m＝2a－m，得m＝a2，
所以|PF2|＝a2，|BP|＝|PF1|＝3a2，在△BF1F2中，由余弦定理，得cos∠BF2F1＝a2＋4c2－a22a·2c＝ca，在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠PF2F1＝（a2）2＋4c2－（3a2）22·2c·a2＝2c2－a2ac，又∠BF2F1＋∠PF2F1＝π，所以c
os∠BF2F1＋cos∠PF2F1＝0，即ca＋2c2－a2ac＝0，整理，得3c2＝a2，所以e2＝13，由e∈(0，1)，得e＝33.15．答案：22，1解析：设P0为椭圆x2a2＋y2b2＝1的上顶点，由题意得∠F1P0F2≥90°，∴∠OP0F2≥45°，∴ca≥sin45°
，∴e≥22，又0<e<1，∴22≤e<1.16．答案：x＋2y－3＝0解析：由题可知直线AB的斜率存在；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于点A，B都在椭圆上，所以x21a2＋y21b2＝1①，x22a2＋y22b2
＝1(a>b>0)②，①－②，化简得－b2a2＝y21－y22x21－x22；又因离心率为22，所以1－b2a2＝22，所以b2a2＝12，即y21－y22x21－x22＝（y1－y2）（y1＋y2）（x1－x2）（x1＋x2）＝－1
2；又线段AB的中点为M(1，1)，所以（y1－y2）（y1＋y2）（x1－x2）（x1＋x2）＝（y1－y2）（y1＋y2）2（x1－x2）（x1＋x2）2＝y1－y2x1－x2＝－12，所以直线AB的斜
率为－12，故所求直线l的方程为y＝－12(x－1)＋1，即x＋2y－3＝0.专练49双曲线1．D由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为x216－y29＝1.2．Bx2－y
2＝9可化为x29－y29＝1，∴a＝3，由双曲线的定义知|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF1|，∴△F2PQ的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF1|＝2|PQ|＋4a＝2×7＋4×3＝26.3．
A不妨设焦点为F(c，0)，渐近线方程为y＝bax，即bx－ay＝0，则焦点F(c，0)到渐近线的距离为bca2＋b2＝bcc＝b＝1，又a＝3，所以c＝3＋1＝2，所以该双曲线的离心率e＝ca＝23＝233.4．C∵c2＝a2＋1，∴e2＝c2a2＝a
2＋1a2＝1＋1a2，又a2>1，∴0<1a2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e<2.5．C∵e＝ca＝14，不妨设a＝4，c＝1，则b＝15，∴对应双曲线的渐近线方程为：y＝±bax＝±154x，选C.6．D结合选项可
知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得x21－y219＝1x22－y229＝1，两式作差，得x21－x22＝y21－y229，即(x1－
x2)(x1＋x2)＝（y1－y2）（y1＋y2）9，化简得（y1－y2）（y1＋y2）（x1－x2）（x1＋x2）＝9，即y1－y2x1－x2·y1＋y22x1＋x22＝kAB·y0x0＝9，因此kAB＝9·x0y0.由双
曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×11＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×－12＝－92＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kA
B＝9×13＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×－1－4＝94<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.7．D根据双曲线的离心率e＝
5＝ca，得c＝5a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．方法一由y＝2x，（x－2）2＋（y－3）2＝1，得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2
，y2)，则x1＋x2＝165，x1x2＝125.所以|AB|＝1＋22|x1－x2|＝51652－4×125＝455，故选D.方法二圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以|AB|＝21－d2＝21－（55）2＝455，
故选D.8．B设点P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，因为|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由题，因为|F1F2|＝2c＝6，则2c>
2a4a>2a，所以∠PF1F2为最小角，故∠PF1F2＝π6，所以在△PF1F2中，由余弦定理可得，（4a）2＋（2c）2－（2a）22·4a·2c＝32，又因为c＝3，解得a＝3，所以b＝6，所以双曲线的标准方程为
x23－y26＝1.9．A设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则A(a，0)，F(－c，0)，由双曲线的离心率为2，得ca＝2，则c＝2a，因为直线l过点F(－c，0)且垂直于x轴交E于点M、N，所以点M、N的横坐
标都为－c，有（－c）2a2－y2b2＝1，解得y＝±b2a，所以M(－c，b2a)，N(－c，－b2a)，所以|MN|＝2b2a，又AF＝a＋c，AF⊥MN，则S△AMN＝12|AF||MN|＝12(a＋c)·2b2a＝(a＋c)·c2－a2a＝(a＋c)·4a2－a2a＝9a＝9，
所以a＝1，故c＝2a＝2，得b＝c2－a2＝3，所以双曲线的方程为：x2－y23＝1.10．答案：5解析：由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝|3－8|12＋22＝5.11．答案：5(答案不唯
一)解析：双曲线C的一条渐近线与C没有公共点，所以可令ba＝2，则e＝1＋（ba）2＝5.12．答案：1解析：由双曲线方程知b2＝3，从而c2＝a2＋3.又e＝2，因此e＝ca＝a2＋3a2＝2.又a>0，得a＝1.
13．A如图建立直角坐标系，过O4向x轴引垂线，垂足为A，易知|O4A|＝11，|O2A|＝13，∴ba＝1113，∴e＝（ba）2＋1＝29013.14．答案：9解析：对于双曲线x24－y212＝1，则a＝2，b＝23，c＝4，如图所示：设双曲线的
右焦点为M，则M(4，0)，由双曲线的定义可得|PF|－|PM|＝4，则|PF|＝4＋|PM|，所以，|PF|＋|PA|＝|PM|＋|PA|＋4≥|AM|＋4＝（1－4）2＋（4－0）2＋4＝9，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立．因此，|PF|＋|PA|的最小值为9.
15．答案：2解析：由题，a＝1，焦点F1(－c，0)，渐近线方程为y＝－bx，根据点到直线距离公式得|PF1|＝bcb2＋1＝b，根据勾股定理得|PO|＝a，在Rt△F1PO中，利用等面积法可得，P到x轴的距离h＝bc，所以
S△F1PF2＝12×2c×bc＝b＝3，离心率e＝ca＝1＋（ba）2＝1＋3＝2.16．答案：2＋3解析：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点A，则|PA|＝|PF2|，因为|PF1|＝|F1F2|＝2c，则|PF2|＝|PF1
|－2a＝2c－2a，则|PA|＝2c－2a，因为PA⊥AF1，则cos∠APF1＝|PA||PF1|＝c－ac，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|22|PF1|·|F1F2|＝c2－a2＋2ac2c2，因为PA∥F1F2，所以，∠APF
1＝∠PF1F2，所以，c－ac＝c2－a2＋2ac2c2，整理可得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0，因为e>1，解得e＝2＋3.专练50抛物线1．By＝14x2可化为x2＝4y，则焦点到准
线的距离为12×4＝2.2．B由抛物线的对称性，不妨设D在x轴上方、E在x轴下方．由x＝2，y2＝2px得D(2，2p)，E(2，－2p)，∵OD⊥OE，∴OD→·OE→＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦点坐标为(12，0).3．B∵F(2，1)在直线l：3x＋4y－1
0＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．4．B因为y2＝4x，所以焦点F(1，0)到准线l：x＝－1的距离为2，又|AF|＝6，所以|AB|＝2（6）2－22＝22.5．B由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点
为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2x0).根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝（1－3）2＋（2－0）2
＝22.故选B.6．D如图为x2＝y的图像，F为其焦点，l为x2＝y的准线，由抛物线的定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∴|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝4，由图可知AB的中点到准线的距离为|AA1|＋|BB1|
2＝2，∴AB的中点到x轴的距离为2－14＝74.7．D由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，又知双曲线的渐近线方程为y＝±bax，∵|AB|＝4|OF|＝4，不妨设A在B上方，∴A(－1，2)，又点A在直线y＝－bax上，∴2＝－ba·(－1)，∴ba＝2
，∴双曲线的离心率e＝1＋b2a2＝1＋4＝5.8．B当AB与x轴垂直时，A(12，1)，B(12，－1)，OA→·OB→＝12×12＋1×(－1)＝－34；当AB与x轴不垂直时，设l：y＝k(x－12)，由y＝k（x－12），y2＝2x，得k2x2－(k
2＋2)x＋k24＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝k2＋2k2，x1x2＝14，∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－12)(x2－12)＝(1＋k2)x1x2－12k2(x1＋x2)＋k24＝－34.9．D抛物线
y2＝4x的焦点F(1，0)，依题意，直线AB不垂直于坐标轴，设直线AB：y＝k(x－1)，由y＝k（x－1）y2＝4x消去y并整理得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，而k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝1，又|AB|
＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝163，即x1＋x2＝103，因AF→＝tFB→，且t>1，即|AF|>|BF|，则有x1>x2，解得x1＝3，x2＝13，又(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，
于是得1－x1＝t(x2－1)，t＝x1－11－x2＝3－11－13＝3，所以t的值为3.10．答案：94解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－54，所以A到准线的距离为1－
－54＝94.11．答案：8解析：|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.12．答案：0或1解析：由y＝kx＋2，y2＝8x，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，满足题意；若k≠
0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.13．C因为F(12，0)，设M(x0，y0)，显然当y0<0时，kOM<0，当y0>0时，kOM>0，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时y0>0，设P(m，n)，因为|PM|＝2|MF|，所以PM
→＝2MF→，即(x0－m，y0－n)＝2(12－x0，－y0)，解得：m＝3x0－1n＝3y0，由于n2＝2m，所以9y20＝2(3x0－1)，即32y20＋13＝x0，由于y0>0，则kOM＝y0x0＝y032y20＋13＝132y0＋13y0≤1232y0·13y0＝22，当且
仅当32y0＝13y0，即y0＝23时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为22.14．B令y＝1，得x＝14，即A(14，1).由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x.消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.则xAxB＝1，所以xB＝1
xA＝4.|AB|＝xA＋xB＋p＝254.将x＝4代入y2＝4x得y＝±4，故B(4，－4).故|MB|＝（4－3）2＋（－4－1）2＝26.故△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝(3－14)＋26＋254＝9＋26.15．答案：3解析：设A(
x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，所以有y21＝4x1，y22＝4x2，y23＝4x3，抛物线的焦点坐标为F(1，0)，△ABC的重心坐标为(x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33)，由题意可知：x1＋x2＋x33＝1，即x1＋x2＋
x3＝3，S21＋S22＋S23＝(12×|OF|·|y1|)2＋(12×|OF|·|y2|)2＋(12×|OF|·|y3|)2＝14(y21＋y22＋y23)＝x1＋x2＋x3，所以S21＋S22＋S23＝x1＋x2＋x3＝3.16．答案：3解析：如图所示，由题意得准线l：x＝－p2.
作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，BH⊥AC于点H，则|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因为在Rt△AHB中，∠HAB＝60°，所以cos60°＝|AH||AB|＝|AF|－
|BF||AF|＋|BF|，即12(|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得|AF||BF|＝3.专练51高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1．解析：(1)设M(x1，y1)(y1>0).当MD⊥x轴时，x1＝p.由抛物线的定义，得|MF|＝x1＋p2＝32p＝3，解得p＝2.故抛物线C
的方程为y2＝4x.(2)由(1)知D(2，0)，F(1，0).当直线MN的斜率不存在时，由抛物线的对称性得，α＝β＝π2，此时α－β不取最大值，舍去．当直线MN的斜率存在时，由抛物线的对称性知只考虑斜率大于0的情况即可．设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k>0)，M(y214，y
1)，N(y224，y2)，A(y234，y3)，B(y244，y4).由y＝k（x－1），y2＝4x消去x并整理，得y2－4ky－4＝0，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.因为kMD＝kAD＝kAM，所以y1－0y214－
2＝y3－0y234－2＝y3－y1y234－y214＝4y3＋y1，得y3＝－8y1.同理可得y4＝－8y2，则kAB＝y3－y4y234－y244＝4y3＋y4＝－y1y22（y1＋y2）＝k2.
因为tanα＝kMN＝k，tanβ＝kAB＝k2，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝k－k21＋k·k2＝k2＋k2＝12k＋k≤122，当且仅当2k＝k，即k＝2时，“＝”成立．故α－β取得最大值时，直线MN的斜
率为2，方程为y＝2(x－1).由y＝2（x－1），y2＝4x，得y1＝2＋6，y2＝2－6，则y3＝－8y1＝2(2－6)，故A(8－43，2(2－6)).又因为直线AB的斜率kAB＝k2＝22，所以直线AB的方程为y－2(2－6)＝22[x－(8－43)
]，即x－2y－4＝0.2．解析：(1)因为点A(－2，0)在C上，所以4b2＝1，得b2＝4.因为椭圆的离心率e＝ca＝53，所以c2＝59a2，又a2＝b2＋c2＝4＋59a2，所以a2＝9，c2＝5，故椭圆C的方程为y29＋x24
＝1.(2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由y－3＝k（x＋2）y29＋x24＝1，得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k
＝0，则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，故x1＋x2＝－16k2＋24k4k2＋9，x1x2＝16k2＋48k4k2＋9.直线AP：y＝y1x1＋2
(x＋2)，令x＝0，解得yM＝2y1x1＋2，同理得yN＝2y2x2＋2，则yM＋yN＝2y1（x2＋2）＋y2（x1＋2）（x1＋2）（x2＋2）＝2（kx1＋2k＋3）（x2＋2）＋（kx2＋2k＋3）（x1＋2）（x1＋2）（x2＋2）＝
22kx1x2＋（4k＋3）（x1＋x2）＋8k＋12x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝22k（16k2＋48k）＋（4k＋3）（－16k2－24k）＋（8k＋12）（4k2＋9）16k2＋48k＋2（－16k2－24k）＋4（4k2＋9）＝2×10836＝6.所以MN的中点的纵
坐标为yM＋yN2＝3，所以MN的中点为定点(0，3).3．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，由Δ1＝16p2－8p>0，得p>12.由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4
p，y1y2＝2p，所以|AB|＝1＋1122·（y1＋y2）2－4y1y2＝5·16p2－8p＝415，解得p＝2或p＝－32(舍去)，故p＝2.(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知
抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0).因为FM→·FN→＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝12|MF||NF|＝12(x3＋1)(x4＋1)＝12(x3x4＋x3＋x4＋1)(*).当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，所
以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，由y＝x－1，y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，得x3＝3－22，x4＝3－22或x3＝3＋22，x4＝3＋22．代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3
－22时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－22).当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.由y＝kx＋m，y2＝4x，得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，则x3＋x4＝4－2kmk2，x3x4＝m2
k2，y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝4mk.又FM→·FN→＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，所以m2k2－4－2kmk2＋
1＋4mk＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4.所以S△MFN＝12(x3x4＋x3＋x4＋1)＝m2＋k2－2km＋42k2＝m2＋k2＋2kmk2＝mk2＋2mk＋1.令t＝mk，则S△MFN＝t2＋2t＋1，因
为m2＋k2＋6km＝4，所以mk2＋6mk＋1＝4k2>0，即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋22或t<－3－22，从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－82＝4(3－22).故△MFN面积的最小值为4(3－22).4．解析：(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny
2＝1(m>0，n>0，m≠n).将点A(0，－2)，B(32，－1)的坐标代入，得4n＝1，94m＋n＝1，解得m＝13，n＝14．所以椭圆E的方程为x23＋y24＝1.(2)证明：(方法一)设M(x1，y1)，N(x2，
y2).由题意，知直线MN与y轴不垂直，设其方程为x－1＝t(y＋2).联立得方程组x－1＝t（y＋2），x23＋y24＝1.消去x并整理，得(4t2＋3)y2＋(16t2＋8t)y＋16t2＋16t－8＝0，所以y1＋y2＝－16t2＋8t4t2＋3，y1y2＝16t2＋1
6t－84t2＋3.设T(x0，y1).由A，B，T三点共线，得y1＋2x0＝y1＋1x0－32，得x0＝32y1＋3.设H(x′，y′).由MT→＝TH→，得(32y1＋3－x1，0)＝(x′－32y1－3，y′－y1)，所以x′＝3y1＋6－x1，y′＝y1，所以直线HN的斜率k＝
y2－y′x2－x′＝y2－y1x2＋x1－（3y1＋6）＝y2－y1t（y1＋y2）－3y1＋4t－4，所以直线HN的方程为y－y2＝y2－y1t（y1＋y2）－3y1＋4t－4·(x－x2).令x＝0，得y＝y2－y1t（
y1＋y2）－3y1＋4t－4·(－x2)＋y2＝（y1－y2）（ty2＋2t＋1）t（y1＋y2）－3y1＋4t－4＋y2＝（2t－3）y1y2＋（2t－5）（y1＋y2）＋6y1t（y1＋y2）－3y1＋4t－4＝（2t－3）·16t2＋16t－8
4t2＋3＋（5－2t）·16t2＋8t4t2＋3＋6y1－t（16t2＋8t）4t2＋3－3y1＋4t－4＝－2.所以直线NH过定点(0，－2).(方法二)由A(0，－2)，B(32，－1)可得直线AB的方程为y＝23x－2.a．若过点P(1，－2)的直线的斜率不存在，
则其直线方程为x＝1.将直线方程x＝1代入x23＋y24＝1，可得N(1，263)，M(1，－263).将y＝－263代入y＝23x－2，可得T(3－6，－263).由MT→＝TH→，得H(5－26，－263).此时直线HN的方程为y＝(2＋263)(x－1)＋263，则直线HN过定点(0，－2)
.b．若过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2).联立得方程组kx－y－（k＋2）＝0，x23＋y24＝1.消去y并整理，得(3k2＋4)x2－6
k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0.所以x1＋x2＝6k（2＋k）3k2＋4，x1x2＝3k（4＋k）3k2＋4，则y1＋y2＝－8（2＋k）3k2＋4，y1y2＝4（4＋4k－2k2）3
k2＋4，且x1y2＋x2y1＝－24k3k2＋4.①联立得方程组y＝y1，y＝23x－2，可得T(3y12＋3，y1).由MT→＝TH→，得H(3y1＋6－x1，y1).则直线HN的方程为y－y2＝y1－y23y1＋6－x1－x2(x－
x2).将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0.②将①代入②，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36
k2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN过定点(0，－2).5．解析：(1)圆A：(x－1)2＋y2＝8的圆心A(1，0)，半径r＝22，依题意，|SB|＝|ST|，|SB|＋|SA|＝|ST|＋|SA|＝|AT|＝22>2＝|AB|，即
点S的轨迹是以B，A为左右焦点，长轴长为22的椭圆，短半轴长b＝（2）2－12＝1，所以曲线C的方程为x22＋y2＝1.(2)由DE→·MN→＝0知，DE⊥MN，直线DE，MN不垂直坐标轴，否则点P，
Q之一与点B重合，不能构成三角形，即直线DE的斜率存在且不为0，设直线DE方程为：y＝k(x＋1)，由y＝k（x＋1）x2＋2y2＝2消去y并整理得：(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设D(x1，y1)，E(x
2，y2)，DE中点P(xP，yP)，则有x1＋x2＝－4k22k2＋1，xP＝－2k22k2＋1，yP＝k2k2＋1，因此，|BP|＝（1－2k22k2＋1）2＋（k2k2＋1）2＝k2＋12k2＋1，直线MN的斜率为－1k，同理可得|BQ|＝|k|k
2＋1k2＋2，△BPQ面积S△BPQ＝12|BP||BQ|＝12·k2＋12k2＋1·|k|k2＋1k2＋2＝|k|＋1|k|4（|k|＋1|k|）2＋2，令t＝|k|＋1|k|≥2，当且仅当|k|＝1时取“＝”，则S△
BPQ＝t4t2＋2＝14t＋2t，函数y＝4t＋2t在[2，＋∞)上单调递增，即当t＝2时，(4t＋2t)min＝9，所以当t＝2，即k＝±1时，(S△BPQ)max＝19，所以△BPQ面积的最大值是19.专练52算法初步1．C∵486＝168×2＋150，168＝150
＋18，150＝18×8＋6，18＝3×6，∴168与486的最大公约数为6.2．A由程序框图可知x＝21，a＝75，c＝32，b＝21.3．C该程序框图表示输入x，输出y＝log2x，x>2，x2－1，x≤2的函数值，由y＝3，得log2x＝3
，x>2，或x2－1＝3，x≤2，得x＝8或x＝±2，故可输入的实数x的值的个数为3.4．CS＝0，n＝1；S＝1，S≤100，n＝3；S＝4，S≤100，n＝5；S＝9，S≤100，n＝7；……S＝81，S≤100，n＝19；S＝100，S≤100，n＝21；S＝121，S>10
0，结束循环，∴输出n的值为21.5．B程序框图表示取a，b，c中的最大值，因为0<0.41.2<0.40＝1，即0<a<1，b＝1.20.4>1.20＝1，c＝log0.41.2<log0.41＝0，所以b>a>c，所以a，b，c中的最大值为b.6．AN＝6，k＝1，
p＝1，①p＝1×1＝1，1<6；②k＝2，p＝1×2＝2，2<6；③k＝3，p＝2×3＝6，3<6；④k＝4，p＝6×4＝24，4<6；⑤k＝5，p＝24×5＝120，5<6；⑥k＝6，p＝120×6＝720，6＝6；输出p＝720.7．A当k＝1时，k≤2成立，A＝12＋A＝12＋12；当k＝
2时，k≤2成立，A＝12＋A＝12＋12＋12；当k＝3时，k≤2不成立，输出A.8．B第一次执行得S＝2，S<5，进入循环体得a＝2，b＝12，i＝2；第二次执行得S＝4.5，S<5，进入循环体得a＝4，b＝14，i＝3，第三次执行得S＝8
.75，S≥5，满足条件，输出i＝3.9．B按程序框图执行程序如下：1≤3成立，则A＝1＋2＝3，B＝3＋2＝5，k＝2；2≤3成立，则A＝3＋5＝8，B＝8＋5＝13，k＝3；3≤3成立，则A＝8＋13＝21，B＝21＋13＝34，k＝4；4≤3不
成立，则输出B＝34，故选B.10．答案：－2解析：∵x＝116<1，∴y＝2＋log2116＝2－4＝－2.11．答案：3解析：第一次循环，x＝7，k＝1；第二次循环，x＝15，k＝2；第三次循环，x＝31，k＝3，x>16.终止循环，故输出的k的值为3.12．答案
：3解析：第一次循环，a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，i＝2；第二次循环，a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，i＝3；第三次循环，a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，此时a>b，跳出循环．故输出的i的值为3.13．D由题意，此程序框图表示S＝S*i的循环结构，当不满足S≥100时，i＝i＋2，直至满足S≥
100，即计算1×3×5×…×n≥100的最小的n的值．14．B根据题意，由初始条件a＝1，b＝1，n＝1运行程序：b＝1＋2×1＝3，a＝3－1＝2，n＝2，3222－2＝14>0.01，不满足条件，相继循环；b＝3＋2×2＝7，a＝7－2＝5，n＝3，7252－2＝125>
0.01，不满足条件，继续循环；b＝7＋2×5＝17，a＝17－5＝12，n＝4，172122－2＝1122<0.01，满足条件，结束循环，输出n＝4.故选B.15．B从程序框图可以看出，输入的函数是奇函数且有零点，则
即可输出该函数．因此答案等价于判断哪个函数是奇函数且有零点．假设输入答案A中的函数，显然A中函数为奇函数，但没有零点，所以不能输出函数；答案B中的函数是奇函数且存在零点0，所以输出函数为f(x)＝ln(x2＋1－x).同理答案C、D不符合题意．16．答案：1000解析：输入a
＝1728，k＝12，q＝1728÷12＝144…0；a＝144，k＝12，q＝144÷12＝12…0；a＝12，k＝12，q＝12÷12＝1…0；a＝1，k＝12，q＝1÷12＝0…1；所以输出的数为1000.专练53随机抽样1．C由随机抽样的特征可
知①为等距抽样，为系统抽样；②是简单随机抽样．2．D在简单随机抽样、系统抽样和分层抽样中，每个个体被抽中的概率均为nN，故P1＝P2＝P3.3．D因为高一年级1890名新生按系统抽样共抽取210人，所以分210组，每组9人
中抽取一人，因为43号被抽到，所以抽取的其他编号与43相差9的整数倍，而43－15＝28，72－43＝29，1214－43＝1171，1267－43＝1224中只有1224能被9整除，故下面4名学生中被抽到的是1267号学生．4．B由题可知分段间隔为357＝5，而在[130，138]范围内有10人
，故从[130，138]范围内抽2人，在[152，153]范围内有5人，故在[152，153]内抽取1人，在[139，151]上抽取7－2－1＝4人．5．D从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的前6个编号
分别是：253，313，457，007，328，072,则得到的第6个样本编号是072.6．B由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为100－32－45＝23人故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出
一句或一句也说不出的人数约为400100×23＝92人．7．C将1000名学生分成100组，每组10人，则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列{an}，由题意知a5＝46，则an＝a5＋(n－5)×10＝10n－4，n∈N*，易知只有C选项满足题意．8．B∵田径队共有运动员98人，其中女运动员
有42人，∴男运动员有56人，∵每名运动员被抽到的概率都是27，∴男运动员应抽取56×27＝16(人).9．A因为m＝6，所以在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中的编号依次为60，61，62，63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.1
0．答案：15解析：由题设，x＋45x＋135×30＝12，解得x＝15.11．答案：25解析：男生人数为900－400＝500.设应抽取男生x人，则由45900＝x500，得x＝25.即应抽取男生25人．
12．答案：46解析：∵分段间隔为648＝8，又第1组中随机抽取的号码为6，∴第6组中抽取的号码为6＋8×5＝46.13．C从N个个体中抽取M个个体，每个个体被抽到的概率都等于MN，因此应选C.14．B由题意知，这是一个分层抽样问题，其中北乡应抽取的人数为300×81
008100＋7488＋6912＝300×810022500＝108.15．答案：18解析：设从丙种型号的产品中抽取x件，由题意得60200＋400＋300＋100＝x300，∴x＝18.16．答案：2解析：由题意可得2y＝
4＋z，y2＝4（z＋4），解得y＝8，z＝12，则乙组中应抽取的城市个数为6×84＋8＋12＝2.专练54统计图表、用样本估计总体1．B由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%
.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为70%＋75%2＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%
，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的
正确率的方差s2后＝110×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝42.2510000，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数
为110×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s2前＝110×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(9
0%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝142.2510000，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选B.2．C对于A选项，将甲同学周课
外体育运动时长的样本从小到大排列，其样本容量为16，中间两个样本为7.3和7.5，所以中位数为7.3＋7.52＝7.4，所以A不符合题意．对于B选项，(方法一)乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为116×(6.3＋7.4＋7.6
＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)≈8.5，所以B不符合题意．(方法二)由乙的样本可知，小于8的样本有6.3，7.4，7.6，其他样本均大于8.又因为10.1＋
6.32>8，9.8＋7.42>8，9.3＋7.62>8，所以乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，所以B正确．对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的样本有8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4，共6个，则甲同学周课外运动时长大于8的概率的
估计值为616＝38<0.4，所以C符合题意．对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的样本有13个，则乙同学周课外运动时长大于8的概率的估计值为1316>0.6，所以D不符合题意．故选C.3．D设该班原有n位同学，数学成
绩记为a1，a2，a3，…，an原平均分x－0＝a1＋a2＋a3＋…＋ann，原方差s20＝（a1－x－0）2＋（a2－x－0）2＋（a3－x－0）2＋…＋（an－x－0）2n该同学回归校园后新平均分x－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＋x－0n＋1＝n·x－0＋x－0n＋1＝x－0，即平均分不变．该同学回归校园后新方差s21＝（a1－x－1）2＋（a2－x－1）2＋（a3－x－1）2＋…＋（an－x－1）2＋（x－0－x－1）2n＋1＝（a1－x－0）2＋（a2－x－0）2＋（a3－
x－0）2＋…＋（an－x－0）2＋（x－0－x－0）2n＋1＝nn＋1s20<s20，即方差变小．4．C根据图1可知2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，故A正确，C错误；根据图2可知，2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比为10.8%，交通通信占比为13.1%，故
B正确；食品烟酒和居住占比分别为29.8%，23.4%，由29.8%＋23.4%＝53.2%>50%，故D正确．5．D对于A，甲评分最高为98，最低为75，极差＝98－75＝23，乙评分最高为99，最低73，极差＝99－73＝2
6，故错误；对于B，甲平均数＝75＋79＋82＋84＋86＋87＋90＋91＋93＋9810＝86.5，乙平均数＝73＋81＋81＋83＋87＋88＋95＋96＋97＋9910＝88.2，故错误；对于C，由所给的数据可知乙的众数是81，故错误；对于D，甲的中位数＝86＋872＝86.5，乙
的中位数＝87＋882＝87.5，87.5>86.5，故正确．6．D由频率和为1，得(0.1×2＋b＋0.35＋0.15＋0.05)×1＝1，解得b＝0.25，所以A正确．长度落在区间[93，94)内的个数为100×0.35＝35，所以B正确．[90，93)内有
45个数，[94，96]内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间[93，94)内，所以C正确．根据频率分布直方图不能判断长度的众数一定落在区间[93，94)内，所以D错误．7．答案：(1)3(2)6000解析：(1)0.1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1，解得
a＝3.(2)消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所以所求购物者的人数为0.6×10000＝6000.8．答案：38解析：由题意得m＝2＋42＝3，∴甲组数据的平均数为27＋39＋333＝33.∴20＋n＋32＋34＋3
84＝33，∴n＝8，∴mn＝38.9．D因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润．由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少，故A正确；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确；由折线统计图可知202
1年8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误．10．A样本共30个，中位数为45＋472＝46，显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56.
11．答案：3解析：∵s2＝＝13[]x21＋x22＋x23－2x－（x1＋x2＋x3）＋3x－2＝13[]x21＋x22＋x23－3x－2，又s2＝13(x21＋x22＋x23－12)，∴3x－2＝12，∴x－＝2.
∴x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均数为x1＋x2＋x3＋33＝3.12．答案：50解析：设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为P，则中间一个小矩形面积为13P，P＋13P＝1，P＝34，则中间一个小矩形的面积
等于13P＝14，200×14＝50，即该组的频数为50.专练55变量的相关关系、统计案例1．C由散点图知，这些点都分布在条形区域内，具有相关关系．2．D因为K2＝2.974>2.706，所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错
误的概率不超过10%.3．D由题意，得x－＝15×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，y－＝15×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30，则k＝y－－0.25x－＝30－0.25×40＝20，故A正
确；由线性回归方程可知，b^＝0.25>0，变量x，y呈正相关关系，故B正确；若x的值增加1，则y的值约增加0.25，故C正确；当x＝52时，y^＝0.25×52＋20＝33，故D不正确．4．B由于线性回归方程为y^＝7.19x＋73.96，7.19>0，即y随x的增大而增大，y与x具有正的线性
相关关系，①正确；由计算可得，样本点的中心为(6，117.1)，②错误；当x＝10时，y^＝145.86，此为估计值，所以儿子10岁时的身高的估计值是145.86cm，而不一定是实际值，③错误；由于回归直线的斜率为7.19，则儿子年龄增加1周岁，身高约增
加7.19cm，④正确，故应选B.5．B由题意知，4.804>3.841，所以至少有95%的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．6．D由题意可得：x－＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y－＝1＋3＋6＋7＋m5＝17＋m5，回归方程过样本中心点，则：
17＋m5＝0.8×200－155，解得：m＝8.7．答案：0.8解析：x－＝0＋1＋3＋44＝2，y－＝0.9＋1.9＋3.2＋4.44＝2.6，又y^＝b^x＋1过(x－，y－)，∴2.6＝2b^＋1
，b^＝0.8.8．答案：①解析：根据查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．9．答案：没有解析：由于K2＝n（ad－bc）2（a＋
b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝200×（80×40－40×40）2120×80×120×80＝509<6.635，故没有99%以上的把握认为“生三胎与性别有关”．10．B由已知得x－＝8.2＋8.
6＋10.0＋11.3＋11.95＝10(万元)，y－＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8(万元)，故a^＝8－0.76×10＝0.4，所以回归直线方程为y^＝0.76x＋0.4，所以社区一
户年收入为15万元的家庭年支出为y^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).11．C由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝6
75，bc＝300，n＝100.代入K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），得K2的观测值k＝100（675－300）255×45×75×25≈3.030.因为2.706<3.030<3.841.所以有90%以上的把握认为“该
市民能否做到‘光盘’与性别有关”．12．答案：0.025解析：由题意可得列联表如下，集中培训分散培训总计一次考过453075一次未考过102030总计5550105K2＝105×（45×20－10×30）255×5
0×75×30≈6.109>5.024.故犯错误的概率不超过0.025.13．答案：68解析：计算可得，x－＝30，y－＝307＋a5，所以307＋a5＝0.67×30＋54.9，解得a＝68.专练56古典概型、
几何概型和条件概率1．C从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，
5)，(4，6)，(5，6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率p＝615＝25.故选C.2．A由log12
(3x－2)≥1可得0<3x－2≤12，即23<x≤56，所以事件“log12(3x－2)≥1”发生的概率为P＝56－232＝112.3．B行人在红灯亮起的25秒内到达路口，即满足至少需要15秒才出现绿灯，∴所求事件的概率P＝2
540＝58.4．B记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD，AB
E，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事件的概率P＝610＝35.5．C把3个1和2个0排成一行，共有10种排法，分别是00111，10011，11001，11100，01011，01101，01110，10101，10110，11010，其中2个0不相邻的排法有6种，分别是010
11，01101，01110，10101，10110，11010，所以所求概率P＝610＝0.6.6．A如图所示，题中所给区域为一圆环形区域，其面积为4π－π＝3π.由题意，知A点应在图中的BCDE区域内(包含边界)，其中∠BOx＝π4，该部分区
域的面积为12×π4×22－12×π4×12＝3π8，故所求概率为3π83π＝18，故选A.7．C设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件A－，则P(B|A)＝0.99，P(A)＝0.01，P(B|A－)＝0.1，P(A－)＝0.99，故所求概率P(B)
＝0.99×0.01＋0.1×0.99＝0.1089.8．D记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(
a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝46＝23，故选D.
9．A设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：乙甲ABCDEFA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)(C，E)(C，F)D
(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)(D，E)(D，F)E(E，A)(E，B)(E，C)(E，D)(E，E)(E，F)F(F，A)(F，B)(F，C)(F，D)(F，E)(F，F)共36种情况．其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为3036＝56
.故选A.10．答案：310解析：从5名同学中随机选3名参加社区服务工作，共有C35＝10(种)选法，甲、乙都入选有C13＝3(种)选法．根据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率p＝310.11．答案：59解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]
，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59.12．答案：58解析：两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|a－b|≤1的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2
，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10种，故这两人“心有灵犀”的概率为1016＝58.13．D从A，B，C，D，M五个点中任取三点的基本事件有：ABC，ABD，ABM，ACD，ACM，ADM，BCD，B
CM，BDM，CDM，共10个，其中可构成直角三角形的有：ABC，ABD，ABM，ACD，ADM，BCD，BCM，CDM，共8个，概率为P＝810＝45.14．B阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，则选出的(a，b
)的所有情况如下：(1，2)，(1，4)，(1，6)，(1，8)，(1，10)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(3，8)，(3，10)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(5，8)，(5，10)，(7，2)，(7，4)，(7，6)，(7
，8)，(7，10)，(9，2)，(9，4)，(9，6)，(9，8)，(9，10)，共有25种情况，其中满足|a－b|＝1的有(1，2)，(3，2)，(3，4)，(5，4)，(5，6)，(7，6)，(7，8)，(9，8)，(9，10)，共9种情况，所以概
率为925.15．A如图区域D：0≤x≤30≤y≤1表示矩形，面积为3，到坐标原点距离小于2的点，位于以原点O为圆心，半径为2的圆内，即x2＋y2＝4与区域D：0≤x≤30≤y≤1的公共部分(如图阴影部
分所示)，联立y＝1x2＋y2＝4得C(3，1)，连接OC，所以∠AOC＝30°，|OC|＝|OA|＝2，|OB|＝1，所以扇形AOC的面积：S扇形AOC＝12×π6×22＝π3，因为S△BOC＝12×|BO|×|BC|＝12×1×3＝32，所以S阴影＝S扇形AOC＋S△BOC＝
π3＋32，所以此点到坐标原点的距离小于2的概率为：π3＋323＝33＋2π18.16．答案：2解析：因为M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}，所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，
所以集合M中元素的个数为5×5＝25.因为xy＝1的情况有2种，xy＝2的情况有4种，xy＝4的情况有2种，所以要使xy≥k(k>0)的概率为625，需1<k≤2，所以k的最大值为2.专练57高考大题专练(六)概率与统计的综合运用1．解析：(1)A公司一共调查了260个班次，其中
有240个班次准点，故A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率是240260＝1213.B公司一共调查了240个班次，其中有210个班次准点，故B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率是210240＝78.(2)因为K2＝500×（240×30－20×210）2260×240×4
50×50＝12539≈3.205>2.706，所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．2．解析：(1)试验组的样本平均数为120×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18
.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝19.8.(2)(ⅰ)将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个和第21个数据分别为23.2和23.6，则40只小白鼠体重的增加量的中位
数m＝23.2＋23.62＝23.4.列联表如下：＜m≥m对照组614试验组146(ⅱ)K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4＞3.841.故有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在
正常环境中体重的增加量有差异．3．解析：(1)由题意，求出zi的值如表所示，试验序号i12345678910zi968－8151119182012则z＝110×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，s2＝110×[(9－11)2＋(
6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.(2)因为2s210＝26.1＝24.4，z＝11＝121>24.4，所以可认
为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．4．解析：(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积x－＝0.610＝0.06(m2)，平均一棵的材积量y－＝3.910＝0.
39(m3).(2)由题意，得i＝110(xi－x－)2＝i＝110x2i－10x－2＝0.038－10×0.062＝0.002，i＝110(yi－y－)2＝i＝110y2i－10y－2＝1.6158－10×0.392
＝0.0948，i＝110(xi－x－)(yi－y－)＝i＝110xiyi－10x－y－＝0.2474－10×0.06×0.39＝0.0134，所以相关系数r＝0.01340.002×0.0948＝0.01341.896×0.0001≈0.01340.01377≈0.97.(3
)因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以比例系数k＝y－x－＝0.390.06＝6.5，所以该林区这种树木的总材积量的估计值为186×6.5＝1209(m3).专练58高考大题专练(七)坐标系与参数方程1．解析：(1)∵点M在曲线C上，∴6＝3t，∴t＝2，∴a＝y＝2×22＋1＝9
.(2)∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ－π6)＝－3，∴直线l的直角坐标方程为：x－3y－23＝0.∵点P在曲线C上，∴设P(3t，2t2＋1)，则点P到直线l的距离为d＝|3t－23t2－33|2，当t＝
34时，dmin＝21316.2．解析：(1)C1的参数方程为x＝2＋t6，y＝t．消去参数t，得C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0).(2)曲线C3的极坐标方程为2cosθ－sinθ＝0，两边同乘ρ，得2ρcosθ－ρsinθ＝0，则C3的直角坐标方程为y＝2x
.联立得方程组y2＝6x－2（y≥0），y＝2x，解得x＝12，y＝1或x＝1，y＝2.将曲线C2的参数方程中的参数s消去，得y2＝－6x－2(y≤0).联立得方程组y2＝－6x－2（y≤0），y＝2x，解得x＝－12，
y＝－1或x＝－1，y＝－2.所以C3与C1交点的直角坐标为12，1和()1，2，C3与C2交点的直角坐标为－12，－1和(－1，－2).3．解析：(1)由ρsin(θ＋π3)＋m＝0，得1
2ρsinθ＋32ρcosθ＋m＝0.∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴l的直角坐标方程为32x＋12y＋m＝0.(2)(方法一)把x＝3cos2t，y＝2sint代入32x＋12y＋m＝0，得m＝－32cos2t－sint＝－32＋3sin2t－sint＝3(sint－16)2－1912.∵
sint∈[－1，1]，∴当sint＝16时，m取得最小值－1912；当sint＝－1时，m取得最大值52.∴m的取值范围是[－1912，52].(方法二)x＝3cos2t＝3(1－2sin2t)＝3[1－2(y2)2]＝3－32y2.∵
y＝2sint，sint∈[－1，1]，∴y∈[－2，2].联立得方程组x＝3－32y2，3x＋y＋2m＝0.消去x并整理，得3y2－2y－4m－6＝0，即4m＝3y2－2y－6＝3(y－13
)2－193(－2≤y≤2).∴－193≤4m≤10，∴－1912≤m≤52.∴m的取值范围是[－1912，52].4．解析：(1)C1：ρ＝2sinθ，方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入，得x2＋y2＝2y，又π4≤θ≤π2，所
以C1的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1(0≤x≤1，1≤y≤2).(2)由C2的参数方程可得C2的普通方程为x2＋y2＝4(－2＜x＜0，0<y<2).数形结合可知，若直线y＝x＋m与C1没有公共点，则m<0或m>2；若直线y＝x＋m与C2没有公共点，可先求相切时的临界情况，即|m|2＝
2，得m＝22，所以当m≤2或m＞22时，直线y＝x＋m与C2没有公共点．综上，当m＜0或m＞22时，直线y＝x＋m与C1和C2均没有公共点，故m的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞).5．解析：(1)记点A，B对应的参数分别为t1，t2.令x＝0，得t2＝－2cosα
，令y＝0，得t1＝－1sinα，则|PA|·|PB|＝－2cosα－1sinα＝2sinαcosα＝4sin2α＝4，所以sin2α＝±1，由题可知α∈[0，π)，所以α＝π4或α＝3π4.因为直线l与x轴正
半轴、y轴正半轴相交，所以α＝3π4.(2)根据(1)得直线l的参数方程为x＝2－22t，y＝1＋22t(t为参数)，转化为普通方程为x＋y－3＝0，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－3＝
0.6．解析：(1)由曲线C1的参数方程x＝1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，消去参数，可得普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，又由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入可得曲线C1的极坐标方
程为ρ＝2cosθ，设点B的极坐标为(ρ，θ)，点A的极坐标为(ρ0，θ0)，则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，因为|OA|·|OB|＝8，所以ρ·ρ0＝8，即8ρ＝2cosθ，即ρcosθ＝4，所以曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝4.(2)由题意，可得|OM|＝
2，则S△ABM＝S△OBM－S△OAM＝12|OM|·|xB－xA|＝12×2×|4－2cos2θ|＝|4－2cos2θ|，即S△ABM＝4－2cos2θ，当cos2θ＝1时，可得S△ABM的最小值为2.专练59高考大题专
练(八)不等式选讲1．解析：(1)当a＝2时，函数f(x)＝|2x＋2|＋1，解不等式f(x)＋x<2化为|2x＋2|＋1＋x<2，即|2x＋2|<1－x，∴x－1<2x＋2<1－x(x<1)，解得－3<x<－13，∴不等式的解集为x－3<x<－13.(2)由f(x)≥b＋|2
x＋a2|，得b≤|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，设g(x)＝|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，则不等式的解集非空，等价于b≤g(x)max，由g(x)≤|(2x＋a)－(2x＋a2)|＋1＝|a2－a|＋1，∴b≤|a2－
a|＋1.由题意知存在a∈[－13，1]，使得上式成立，而函数h(a)＝|a2－a|＋1在a∈[－13，1]上的最大值为h(－13)＝139，∴b≤139，即b的取值范围是(－∞，139].2．解析：(1)a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|2x－1|，①当
x≤－1时，f(x)＝－(x＋1)＋(2x－1)＝x－2≥0，解得x≥2，所以x∈∅；②－1<x<12时，f(x)＝(x＋1)＋(2x－1)＝3x≥0，解得x≥0，所以0≤x<12；③当x≥12时，f(x)＝(x＋1)－(2
x－1)＝－x＋2≥0，解得x≤2，所以12≤x≤2；综上所述，当a＝1时，f(x)≥0的解集为{x|0≤x≤2}．(2)f(x)＝|x＋1|－|2x－a|＝x－a－1，x≤－13x＋1－a，－1<x<a2－x＋a＋1，x≥a2，所以f(x)在(－∞，a2)上单调递增
，(a2，＋∞)上单调递减，又因为f(－1)＝－2－a<0，f(a－13)＝f(a＋1)＝0，且g(x)在(－∞，2)上单调递减，(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)与g(x)图像如图所示，要使得f(x)与g(x)的图
像可以围成一个四边形，则a－13<2<a＋1，即1<a<7.故a的取值范围为(1，7).3．解析：(1)f(x)＝－3x＋2，x＜0x＋2，0≤x≤23x－2，x＞2，当x<0时，－3x＋2≤6－x，得－2≤x＜0；当0≤x≤2时
，x＋2≤6－x，得0≤x≤2；当x＞2时，3x－2≤6－x，得x≤2，与x＞2矛盾．综上，不等式f(x)≤6－x的解集为{x|－2≤x≤2}．(2)如图所示，作出不等式组f（x）≤yx＋y－6≤0，即－3x＋2
≤y，x＜0x＋2≤y，0≤x≤23x－2≤y，x＞2x＋y－6≤0所确定的平面区域(图中阴影部分)，为△ABC，其中A(－2，8)，B(0，2)，C(2，4)，直线y＝－x＋6与y轴交于点(0，6)，所以S△A
BC＝12×(6－2)×[2－(－2)]＝8.4．解析：方法一(1)求不等式f(x)<x的解集，即求不等式2|x－a|－a<x的解集，整理得2|x－a|＜x＋a，不等式两边同时平方，得4(x2－2ax＋a2)<x2＋2ax＋a2，整理得3x2－10ax＋3a2<0，因式分解得(3
x－a)(x－3a)<0，因为a>0，所以可得a3<x<3a，故不等式的解集为a3，3a.(2)设曲线y＝f(x)与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，x1>x2.令f(x)＝0，得2|x－a|＝a，即2x－2a＝a或2x－2a＝－
a，得x1＝3a2，x2＝a2，故曲线y＝f(x)与x轴的两个交点之间的距离d＝|x1－x2|＝a，易得三角形不在x轴上的顶点的坐标为(a，－a)，所以三角形的面积S＝12d·|－a|＝12a2＝2，即a2＝4，解得a＝2
或a＝－2(舍去)，故a＝2.方法二(1)若x≤a，则f(x)＝2a－2x－a＜x，即3x＞a，解得x＞a3，得a3＜x≤a；(注：a>0)若x＞a，则f(x)＝2x－2a－a＜x，解得x＜3a，得a＜x＜3a.综上，不等
式的解集为a3，3a.(2)f(x)＝－2x＋a，x≤a2x－3a，x＞a，作出f(x)的大致图象如图，曲线y＝f(x)与x轴围成的图形即△ABC，易得Aa2，0，B3a2，0，C(a，－a)，所以|AB|＝a，△ABC的底边AB上的高为a，所以S△ABC＝1
2|AB|·a＝12a2＝2，解得a＝2或a＝－2(舍去)，故a＝2.5．证明：(1)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以由柯西不等式可知，(a2＋b2＋4c2)(1＋1＋1)≥(a＋b＋2c)2，即(a＋b＋2c)2≤9，且a，b，c均
为正数，所以a＋b＋2c≤3，当且仅当a＝b＝2c＝1时等号成立．所以a＋b＋2c≤3.(2)(方法一)31a＋1c＝31a＋22c＝31a＋12c＋12c.由b＝2c，a＋b＋2c≤3得31a＋1c＝3
1a＋1b＋12c≥(a＋b＋2c)1a＋1b＋12c≥(a·1a＋b·1b＋2c·12c)2＝9，当且仅当a＝2c时等号成立，所以1a＋1c≥3.(方法二)因为b＝2c，由(1)知a＋b＋2c≤3，所以1a＋
1c×3≥1a＋1c(a＋4c)＝1＋4ca＋ac＋4≥5＋24ca·ac＝9，当且仅当a＝2c时等号成立．所以1a＋1c≥3.6．证明：(1)因为a，b，c都是正数，所以a32＋b32＋c32≥33a32b32c32＝3abc
，当且仅当a＝b＝c＝319时取等号．因为a32＋b32＋c32＝1，所以abc≤13，即abc≤19.(2)(方法一)因为a，b，c都是正数，所以b＋c≥2bc，a＋c≥2ac，a＋b≥2ab，当且仅当a＝b＝c＝319时同时取等号．所以2abc
(ab＋c＋ba＋c＋ca＋b)≤2abc(a2bc＋b2ac＋c2ab)＝a32＋b32＋c32＝1，所以ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≤12abc.(方法二)要证ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≤12abc成立，只需证a32bcb＋c＋b32aca＋c＋c32aba＋b≤12成立即可
．因为a，b，c都是正数，所以b＋c≥2bc，a＋c≥2ac，a＋b≥2ab，当且仅当a＝b＝c＝319时同时取等号．所以a32bcb＋c＋b32aca＋c＋c32aba＋b≤a32bc2bc＋b32ac2ac＋c3
2ab2ab＝a32＋b32＋c322＝12，得证．
