【文档说明】专题17 对数函数分层训练（解析版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）.docx，共(17)页，624.681 KB，由管理员店铺上传

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专题17对数函数A组基础巩固1．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高二期末（文））函数()()2ln28fxxx=−−的单调递增区间是（）A．(),2−−B．(),1−−C．()1,+D．()4,+【答

案】D【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”的原则得出答案.【详解】()()2280,24,xxx−−−−+，又∵()222817xxx−−=−+，对称轴：1x=，由“同增异减”，∴函数的单调递增区间是()4,+.故选：D.2．（2021·福

建高二期末）下列区间中，函数()2ln2yxx=−+单调递增的区间是（）A．(0，1)B．(,1)−C．(1,)+D．(1，2)【答案】A【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断可

得；【详解】解：因为()2ln2yxx=−+，令()220txxx=−，解得02x，即函数的定义域为|02xx，且ylnt=，因为()22txxx=−在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，ylnt=在定义域上单调递增，所以函数()2ln2yxx=−

+的单调递增区间为()0,1故选：A3．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）设函数()()21ln11fxxx=+−+，则使得()()21fxfx−成立的x的取值范围是（）A．1,13B．()1,1,3−−

+C．11,33−D．11,,33−−+U【答案】A【分析】判断函数的奇偶性及单调性，转化条件为21xx−，即可得解.【详解】由题意，函数()fx的定义域为R，且()()()21ln11

fxxfxx−=+−−=+−，所以该函数为偶函数，当0x时，由函数()21ln1,1yxyx=+=−+均单调递增可得函数()fx单调递增，又()()21fxfx−，所以21xx−，解得1,13x.

故选：A.4．（2021·山东高三其他模拟）若函数()()()2,232ln1,2axxfxaxx−=−−在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0,1B．(0,2C．30,2D．31,2【答案】A【分析】由分段函数单调递增的特性结

合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.【详解】因函数()()()2,232ln1,2axxfxaxx−=−−在R上单调递增，则有2yax=−在(,2]−上递增，()()32ln1yax=−−在(2,)+上也递增，根

据增函数图象特征知，点(2,22)a−不能在点(2,0)上方，于是得0320220aaa−−，解得01a，所以实数a的取值范围是(0,1.故选：A5．（2021·河南高二月考（文））函数()22log6yxx=−−的定义域为（）A．()2,3−B．()3,2−C．()()

,32,−−+UD．()(),23,−−+【答案】D【分析】对数函数的定义域为真数大于0，解不等式即可.【详解】解：函数()22log6yxx=−−的定义域为：260xx−−，即3x或2x−，所以定义域为：()(),23,−−+.故选：D.6．（2021·天

津高三其他模拟）已知()fx是定义在R上的偶函数且在区间(,0]−上单调递增，则（）A．()()221loglog23fff−B．()()2212loglog3−fffC．()()221log2

log3−fffD．()()2212loglog3−fff【答案】B【分析】由2223log1lg2olog=，01220−，结合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()fx是定义在R上的偶函

数且在区间(,0]−上单调递增，可得函数()fx在(0,)+上单调递减，因为2223log1lg2olog=，01220−，因为()fx是定义在R上的偶函数，可得2221(log)(log3)(log3)3fff=−=，所以()()2212loglog3−fff

.故选：B.7．（2021·全国高二期末）函数()211ln21fxxx=−−+，则使得()()21fxfx−成立的x的取值范围是（）A．11,3−B．1,3−C．1113,,,4422−−+D．1111,

,443−−【答案】D【分析】由函数定义域的求解方法可求得()fx定义域，由奇偶性定义可知()fx为偶函数，由单调性性质和复合函数单调性的判断方法可确定当1,2x+时，()fx单调递增，由偶函数性质知其在1,2−−上单调

递减，由此可得自变量的大小关系，结合函数定义域可构造不等式组求得结果.【详解】由1200xx−得：12x−或12x，()fx定义域为11,,22−−+；()()(

)221111ln2ln211fxfxxxxx−=−−=−−=−++−，()fx为偶函数；当1,2x+时，()211ln21fxxx=−−+，又12yx=−在1,2+上单调递增

，1ln2yx=−在1,2+上单调递增，又211yx=+在1,2+上单调递减，()fx在1,2+上单调递增，()fx为偶函数，()fx在1,2−−上

单调递减；由()()21fxfx−得：21xx−，解得：113x−；又112,,22x−−+，111,,22x−−−+，114x−

−或1143x，即使得()()21fxfx−成立的x的取值范围为1111,,443−−.故选：D.【点睛】易错点点睛：本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，解题关键是能够通过对函数单

调性的判断，将函数值大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成取值范围求解错误.8．（2021·宜宾市翠屏区天立学校高三其他模拟（理））中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道

带宽W，经科学研究表明：C与W满足2log(1)SCWN=+，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将

信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）(附：lg20.3010)A．10%B．20%C．30%D．40%【答案】B【分析】先计算1000SN=和4000SN=时的最大数据传输速率1C和2C，再计算增大的百

分比211CCC−即可.【详解】当1000SN=时，122log1001log1000CWW=；当4000SN=时，222log4001log4000CWW=.所以增大的百分比为：2122112log4000lg4000lg4lg10001111log1000

lg1000lg1000CCCWCCW−+=−=−=−=−lg42lg220.30100.220%lg100033===.故选：B.9．（2021·福建南平·高三二模）克劳德·香农是美国数学家、信息论的

创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN=+．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功

率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加（）A．10%B．20%C．30%D．50%【答案】B【分析】由题意设12log1001CW=，22lo

g4001CW=，然后利用对数的性质计算212212log4001log1001log1001CCC−−=即可得答案【详解】设12log1001CW=，22log4001CW=，则212212log4001log1001lo

g1001CCC−−=，()2100010002log400121log40001log411lg2log10013=−−=+−=又113411lg10lg2lg1043==，122lg2639

，故选：B．10．（2021·全国高三其他模拟（理））函数xyba=与()logaybx=的图像在同一坐标系中可能是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐

一判断可得选项．【详解】令()xfxba=?，()()logagxbx=，对于A选项：由()xfxba=?得>1a，且()00>1fbab==，所以log>0ab，而()1log0agb=，所以矛盾，故A不正确；对于

B选项：由()xfxba=?得>1a，且()001fbab==，所以log0ab，而()1log>0agb=，所以矛盾，故B不正确；对于C选项：由()xfxba=?得>1a，且()001fbab==，所以log0ab，又()1log0agb=，故C正确；对于D选项：由()xf

xba=?得>1a，且()00>1fbab==，而()()logagxbx=中01a，所以矛盾，故D不正确；故选：C．11．（2021·山东师范大学附中高二月考）设11,()ln,()1,()1xfxxgxhxxx==−=−，三个函数的图象如图

所示，则()fx，()gx，()hx的图象依次为图中的（）A．123,,CCCB．132,,CCCC．231,,CCCD．321,,CCC【答案】C【分析】算出()()(),,fegehe，比较出它们的

大小，可选出答案.【详解】因为()()()11,11,11fegeheee==−=−所以()fx，()gx，()hx的图象依次为图中的231,,CCC故选：C12．（2021·浙江高三专题练习）函数()l

g1yx=−的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】将函数lgyx=的图象进行变换可得出函数()lg1yx=−的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lgyx=的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg1yx=−的图象，再将所得

函数图象位于x轴下方的图象关于x轴翻折，位于x轴上方图象不变，可得到函数()lg1yx=−的图象.故合乎条件的图象为选项C中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()xxxfxfx⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，

()()yyyfxfx⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.13．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数()()1lg4fxxx=++−的定义域是_____________．【答案】)1,4−【分析】根据函数解析式直接

列出式子即可求解.【详解】()()1lg4fxxx=++−，1040xx+−，解得14x−，故函数的定义域为)1,4−.故答案为：)1,4−.14．（2021·北京高三二模）函数12log(32)1yxx=−+−的定义域是___________.【答案】2,13

．【分析】由函数式有意义即可得．【详解】由题意32010xx−−，解得213x．故答案为：2,13．B组能力提升15．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝()212log3xaxa−+在区间[2，＋∞)上为

减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(－4，4]【分析】利用定义域及复合函数的单调性列不等式组，求出a的范围.【详解】解析二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝2a，由已知，应有2a≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即

2,24230,aaa−+解得－4<a≤4．故答案为：(－4，4]【点睛】求复合函数的单调性要注意：（1）定义域优先满足；（2）复合函数的单调性口诀：同增异减，其具体含义为：内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(

增)；内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减).16．（2021·全国高一课时练习）函数()()1log164xxy+=−的定义域为______．【答案】()()1002−，，【分析】由真数大于0，底数大于0且不等于1可得定

义域．【详解】由16401011xxx−++，，，得21100xxxx−−，，，或02x函数的定义域是()()1002−，，．故答案为：()()1002−，，．17．

（2020·宾县第一中学校高一月考）已知函数222log(2)0()3,0xxaxfxxx++=−，的值域是R，则实数a的最大值是___________；【答案】8【分析】根据条件可得()fx在[0，)+上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a的

范围．【详解】当0x时，2()33)(,fxx−=−．因为()fx的值域为R，则当0x…时，()3minfx„．当0x…时，222(1)1yxxaxa=++=++−，故()fx在[0，)+上单调递增，()(0)3=minfxf„，即2log3a„，解得08a„

，即a的最大值为8．故答案为：8．18．（2021·江苏高二月考）已知函数()()2log14xfxx=+−.（1）求证：函数()fx是偶函数；（2）求函数()fx的值域.【答案】（1）证明见解析；（2）)1,+

【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算()fx−即可判断；（2）依题意可得21()log(2)2xxfx=+，令122xxt=+，再根据对数函数的性质计算可得；【详解】解：（1）根据题意，函数2()log(14)xfxx=+−，其定义域为R，有221()log(1)log(14)()4x

xfxxxfx−=++=+−=，所以函数()fx是偶函数，（2）因为22221()log(14)log(14)loglog(2)22xxxxxfxx=+−=+−=+，设1222xxt=+…，当且仅当0x=时等号成立，则t的最小值为2，故2(

)log21fx=…，即函数的值域为)1,+，19．（2021·上海黄浦区·格致中学高三三模）“弗格指数logaxbfxb+=−”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x

是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当(1,2)f时，该地区收入均衡性最为稳定.（1）指出函数()logaxbgxfxb+==−的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格

指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）.【答案】（1）定义域为(),b+，()gx在(),b+上单调递减，实际意义见解析，1.04

；（2）22(,)11abbabbaa++−−.【分析】（1）由0xbxb+−及1x且1b可得函数()gx的定义域；由复合函数的单调性可得函数()gx的单调性；将0.89f=，3.15x=，2.17a=代入函数()gx，用计算器可求得b；（2）解不等式1log2axb

xb+−可得结果.【详解】（1）要使函数()gx有意义，则0xbxb+−，又1x且1b，解得xb，所以，函数()gx的定义域为(),b+；令()xbtxbxb+=−，则logaft=.因为21xbbtxbxb+==+−−，所以当(),xb+时，函数t单调递减

；又1a，所以logaft=在()0,+上单调递增，故logaxbfxb+=−在定义域(),b+上是减函数.其实际意义是：当该地区收入均值系数x大于该地区的最低保障收入系数b时，收入均值系数x越大，弗格指数f越小.将0.89f=，3.15x=，2.17a=代入函数得

2.173.150.89log3.15bb+=−，所以()0.890.890.892.1713.153.152.173.152.171bbb−+==−+，用计算器可解得1.04b.（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则(1,2)f，即1log2axbxb+

−，又1a，所以2xbaaxb+−，即2211baaxb−−−，又xb，1a，所以211121xbaba−−−，解得2211abbabbxaa++−−，即该地区收入均值系数x的取值范围是22,11a

bbabbaa++−−.【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是解不等式1log2axbxb+−.20．（2021·河北高一期末）已知定义域为R的函数()()2lnxmfxx=+−为奇函数.（1）求m的值；（2）判断并证明函数()fx的单调性，若()()22l

n417faxx−+在2,5x上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1m=；（2）()fx在R上单调递减，证明见解析，a的取值范围是1,4+.【分析】（1）根据定义在R上的奇函数，得到()00f=，即可求出参数m的值

，再代入检验即可；（2）利用定义法证明函数的单调性，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即224axx−−，在2,5x上恒成立，参变分离即可求出参数a的取值范围；【详解】解：（1）由()0ln0fm

==，得1m=.此时()()2ln1fxxx=+−，定义域为R.∵()()()()()2222ln1ln1ln1ln10xxxxxxfxfx=+−+++=+−=−=+，∴()fx为奇函数，满足题意，∴1m=.（2）设1x，)20,x+，且12xx.()()()(

)2211222212112222221111ln1ln1lnln11xxxxfxfxxxxxxxxx+−++−=+−−+−==+−++.又∵222111xx++，21xx，∴222211111xxxx++++，∴2222111ln01xxxx++

++，即()()120fxfx−.∵12xx，∴()fx在)0,+上单调递减.又∵()fx是奇函数，∴()fx在R上单调递减.由()()4ln417f−=+，得()()224faxxf−−在2,5

x上恒成立.∵()fx在R上单调递减，∴224axx−−，即224axx−，令1tx=，由2,5x得11,52t.设()221142444tttht=−+=−−+，11,52t，则()1144hth=

≤，则14a.故a的取值范围是1,4+.21．（2021·湖南师大附中高一开学考试）已知函数()22lgxxafxx++=.（1）求使()1fa的a最小值；（2）若对任意)1,x+，()fx有意义，求实数a的取值范围.【答案】（1）7；（2）()3,−+

.【分析】（1）由对数的单调性解不等式即可求解；（2）由题意转化为在区间)1,+上，220xxax++恒成立，分离参数求解即可.【详解】（1）()1fa即()lg31a+，所以310a+，即7

a，所以a的最小值为7.（2）对任意)1,x+，()fx有意义在区间)1,+上，220xxax++恒成立220xxa++恒成立22axx−−恒成立，①设()22gxxx=−−，)1,x+，

则①()maxagx，因为()()22211gxxxx=−−=−++，故当1x=时()gx取得最大值()13g=−，所以3a−，即a的取值范围是()3,−+.【点睛】关键点点睛：对任意)1,x+，()fx有意义，

转化为在区间)1,+上，220xxax++恒成立，分离参数后即可求解，属于中档题.22．（2021·湖南高一期末）设22()log(4)fxxax=−+，a为常数，若(5)2f=.（1）求a的值.（2）求()fx的定义域.【答案】（1）5

a=；（2）(,1)(4,)−+.【分析】（1）利用对数运算求值即可；（2）由真数大于0列出不等式求解即可.【详解】（1）22(5)log(2554)log(295)2faa=−+=−=229524a−==解得5a=（2）要()fx有意义，则240xax−+＞由（1）知5a=2540a

x−+＞，(1)(4)0xx−−＞解得x<1或x>4()fx定义域为(-∞，1)∪(4，+∞)