【文档说明】广西名校联盟2024-2025学年高二上学期入学考试 数学 Word版含解析.docx，共(10)页，649.480 KB，由小赞的店铺上传

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2024年秋季学期高二入学检测卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3

.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章1.1—1.2.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数()

2ii−对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若,,abc是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.,,2abab+B.,,aabac++C.,,aacc−D.,,2bcacabc++++3.已知一组数据为2,0,1,3,5,5−，

则该组数据的方差为（）A.203B.403C.6D.74.已知ABC的三个顶点分别为()()()1,2,3,1,5,ABCm，且π2ABC=，则m=（）A.2B.3C.4D.55.在正四棱柱1111ABCDABCD−中，12,4ABAA==，设1,,ABa

ADbAAc===，则()aabc++=（）A.2B.22C.4D.86.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若tan3,3Bbac=−=，则2()acac+=（）A.6B.4C.3D.27.已知向量,ab的夹角为2π3，且5,4ab==，则a在b方向上的投

影向量为（）A.38b−B.58b−C.58bD.78b−8.现有7张分别标有1,2,3,4,5,6,7的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为a，剩下的2张卡片数字之和为b，则3ab…的概率为（）A.57B.27C.

47D.37二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12，则A和B可能分别是（）A.三棱锥和四棱柱B.四棱

锥和三棱柱C.四棱锥和四棱柱D.五棱锥和三棱柱10.已知复数6i1iz=−，则（）A.33iz=−B.32z=C.z的虚部为3D.izz=11.抛掷质地均匀的骰子两次，事件A=“第一次出现偶数点”，事件B=“第二次出现奇

数点”，事件C=“两次都出现偶数点”，则（）A.A包含CB.A与B相互独立C.B与C互为对立事件D.B与C互斥但不对立三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数()()211iaa−++

为纯虚数，则实数a=__________.13.《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为__________.14.在四棱锥PABCD−

中，底面ABCD为菱形，2ABBD==，点P到,ADBC的距离均为2，则四棱锥PABCD−的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情

况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求m的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；（2）若认

定评分在)80,90内的学生为“运动爱好者”，评分在90,100内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.

16.（15分）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为11AC的中点.（1）求异面直线AE与1BC所成角的余弦值；（2）求三棱锥1ABCE−的体积.17.（15分）在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,

abc，已知()sincos1cossin,1CBaCBb=−.（1）证明：1cosCb=.（2）若2,aABC=的面积为1，求c.18.（17分）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相

同）.（1）若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；（2）若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.19.（17分）如图，圆台的上底面直径4AD=，下底面直径8BC=，母线4AB=.（1）求圆台的表面积与

体积；（2）若圆台内放入一个圆锥1AO和一个球O，其中1O在圆台下底面内，当圆锥1AO的体积最大时，求球O体积的最大值.2024年秋季学期高二入学检测卷数学参考答案1.A因为()2ii12i−=+，所以其对应的点位于

第一象限.2.B因为()22aabb=+−，所以,,2abab+共面；,,abc是空间的一个基底，假设,,aabac++共面，则存在不全为零的实数,st，使得()()asabtac=+++，即()astasbtc=++

+，则1,0stst+===，无解，故,,aabac++不共面；因为()aacc=−+，所以,,aacc−共面；因为()()2abcbcac++=+++，所以,,2bcacabc++++共面.3.A因为平均数为20135526−+++++=，所以方差为222222(22)(02)

(12)(32)(52)(52)2063−−+−+−+−+−+−=.4.D因为()()2,1,2,1,BABCmBABC=−=−⊥，所以()410BABCm=−+−=，解得5m=.5.C()2||4aabcaaabaca++=++==.6.B

因为tan3B=−，所以2π3B=，由余弦定理可得222222cos3bacacBacacac=+−=++=，即2()4acac+=，故2()4acac+=.7.B因为5,4,aba==与b的夹角为2π3，所以2π1cos5432abab

==−=-10，故a在b方向上的投影向量为258||abbbb=−.8.D由题意得123456728ab+=++++++=，即28ab=−，由3ab…，得7b„.设事件A=“7b„”，则样本空间可记为()()()()()()()()Ω{1,2,

1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,2,3,2,4,(2=，()()()()()()()()()()()()5),2,6,2,7,3,4,3,5,3,6,3,7,4,5,4,6,4,7,5,6,5,7,6,7}，共包含21个样本点，其中{(1,2),(1,3),(

1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4)}A=，共包含9个样本点，所以()93217PA==.9.AD三棱锥和四棱柱､五棱锥和三棱柱的顶点数之和均为12，四棱锥和三棱柱的顶点数之和为11，四棱锥和四棱柱的顶点数之

和为13.10.BCD因为()6i1i6i33i1i2z+===−+−，所以33i,32zz=−−=，z的虚部为()3,i33ii3i3zz=−+=−−=.11.ABD由题意得A包含C，A正确.因为()()()()()31311,,62624PAPBPABP

APB======，所以A与B相互独立，B正确.因为B与C不可能同时发生，且BC不是必然事件，所以B与C互斥但不对立，C错误，D正确.12.1由210,10,aa−=+得1a=.13.23乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，共有6种排法，其中乾､坤相邻的排法有4种，故乾､坤相

邻的概率为4263=.14.393如图，因为2ABBD==且底面ABCD为菱形，所以ABD为等边三角形.过点P作底面ABCD的垂线，与底面交于点O，作,OEOF分别垂直于,ADBC.因为AD∥BC，所以EFAD⊥.又,ADPOEFOPO⊥

=，所以AD⊥平面PEF，则,ADPEBCPF⊥⊥，即132,22PEPFOEEF====，22132POPEOE=−=.故四棱锥PABCD−的体积为1π133922sin3323=.15.解：（1）由直方图知（0.0050.0150.0200

.0300.005)101m+++++=，则0.025m=.因为分数在))))40,50,50,60,60,70,70,80内的频率分别为0.05,0.15,0.2,0.3，所以这100名学生的成绩的中位数为0.50.050.150.2

7073.30.03−−−+分.（2）因为分数在)80,90,90,100内的频率分别为0.25,0.05，所以用分层抽样方法抽取的6名学生中“运动爱好者”有5人，“运动达人”有1人.设抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”

各1人为事件A，记这5名“运动爱好者”分别为,,,,e,1abcd名“运动达人”为M，则从这6名学生中抽取2名学生进行经验交流发言有()()()()(),,,,,,,e,,abacadabc，()()()

()()()()()()(),,,e,,,,e,,e,,,,,,,,,e,bdbcdcdaMbMcMdMM，共15个基本事件，而事件A包含了5个基本事件，所以()51153PA==，故抽取的2名发言者中恰好“

运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率为1316.解：（1）连接1AD，则1AD∥1BC.连接1AD，记11ADADO=，则O为1AD的中点.连接1DE，取1DE的中点F，连接OF，则OF是1DAE的中位线，所以OF∥AE，所以1AOF为所求的角.连接1AF，在1AOF中，116

102,,22OAOFAF===，所以22211113cos26OAOFAFAOFOAOF+−==，故异面直线AE与1BC所成角的余弦值为36.（2）因为1EC∥平面ABCD，所以11ABCECABCVV−−=，因为正方体的棱长为2，所以11122232CABCV−==43，所以14

3ABCEV−=.法二：因为111111233AAEBAEBVSAA==，111111233CCEBCEBVSCC==，11111114,433BABCABCABCABCABCVSBBVSBB−−====，且111111111ABCEABCAB

CAAEBCCEBBABCVVVVV−−=−−−，所以143ABCEV=.17.（1）证明：因为()sincos1cossinCBaCB=−，所以sincoscossincossinCBCBaCB+=，即()co

ssinsinaCBCB=+.根据πBCA+=−，得()sinsinCBA+=，所以cossinsinaCBA=，由正弦定理得cosabCa=，所以cos1bC=，从而1cosCb=.（2）解：由（1）可得2211sin1bCbb−=−=.因为ABC的面积为1

，所以2211sin112babCbbb−==−=，解得22,cos2bC==.又2a=，所以由余弦定理得2222cos4222222cababC=+−=+−=.18.解：（1）一次取出3个小球，取出小球的编号为()1,1,2的有2种，()1,1,3的有

2种，()1,2,2的有2种，()1,3,3的有2种，()2,2,3的有2种，()2,3,3的有2种，()1,2,3的有8种，共20种，而3个小球上标号均不相同的情况为()1,2,3，共8种，所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为82205=.（2）记6个小球的标号分别为1,1,2,2,3,3a

babab，则有放回地先后取出2个小球的情况有()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2aaabbabbaaabbabb，()()()()()()()()3,3,3,3,3,3,3,3,1,2,1,2,1,

2,1,2aaabbabbaaabbabb，()()()()()()()()2,1,2,1,2,1,2,1,1,3,1,3,1,3,1,3aaabbabbaaabbabb，()()()()()()()()3,1,3,1,3,1,3,1,

2,3,2,3,2,3,2,3aaabbabbaaabbabb，()()()()3,2,3,2,3,2,3,2aaabbabb，共36种，而2个小球上标号相同的情况有()()()()()()(1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2aaabbabb

aaabb，)()()()()()2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3abbaaabbabb，共12种，所以取出的2个小球上标号不相同的概率为1221363−=.19.解：（1）因为圆台上底面半径12r=，下底面半径24r=，母线4l=，所以圆台上底面面积2

1π4πSr==上，下底面面积22π16πSr==下.因为圆台的侧面积()()12ππ24424π,Srrl=+=+=侧所以圆台的表面积4π16π24π44πS=++=.在等腰梯形ABCD中，4,8,4ADBCAB

CD====，所以梯形的高为23，即圆台的高23h=，所以圆台的体积()()11563π4π8π16π23333VSSSSh=++=++=下下上上.（2）记E为BC的中点，则1O为BE的中点.当圆1O与圆E内切时，圆1O的面积最大，此时圆锥1AO的体积最大，要使球

O的体积最大，则球O与圆台上底面､下底面､侧面和圆锥1AO侧面都相切，即四边形AECD的内切圆半径为球O的半径R.如图，易知四边形AECD为边长为4的菱形，且120ADC=.因为2,60,ODODFOFAD==⊥，所以3,ROF==所以球O体积的最大值为34π43π3R=

.