【文档说明】福建省泉州市安溪县2024-2025学年高三上学期11月期中测评试题 数学 Word版含解析.docx，共(14)页，1005.836 KB，由管理员店铺上传

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绝密★启用前2024~2025学年高三11月测评（福建）数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题

目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，

每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2230Axxx=−−，1Bxyx==−，则()BA=Rð（）A．1,1−B．)1,1−C．3,1−

D．)3,1−2．若复数z满足12iizz−=+，则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a和b是两个互不相等的正实数，则“2ab+=”是“log0ab”的（）A．充分不必要条件B．必要

不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a，b是两个非零平面向量，()32aba⊥−，则b在a方向上的投影向量为（）A．aB．12aC．23aD．13a5．在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转π4后经过点()1,2−，则sin

=（）A．1010B．1010−C．31010D．31010−6．定义在R上的偶函数()fx和奇函数()gx满足()()12xfxgx++=，若函数()()()()22hxgxmfxm=−R的最小值为1

2−，则m=（）A．1B．3C．22D．22−7．数列na是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为nS．2π11sin2nnnnbSS+=−，nT为数列nb的前n项和，则10T=（）A．10221023B．20462047C．4094

4095D．819081918．函数()fx的定义域为()0,+，()fx为()fx的导函数，满足()()()()22fxxxfxx+=+，()312f=−，则()fx的最小值为（）A．e−B．eC．2e−D．2e2−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共1

8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列函数最小值为4的是（）A．223yxx=−+B．222xxy−=+C．2211sincosyxx=+D．()22loglog41ayaa=+10．已知函数()()π2sin20

6fxx=+，则下列说法正确的是（）A．当1=时，()fx的最小正周期为2πB．函数()fx过定点()0,1C．将函数()fx的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数()hx的图象，若函数()hx是偶函数，则

的最小值为12D．函数()()3gxfx=−在区间0,π上恰有5个零点，则的取值范围为937,41211．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F，G分别是11AD，1DD，11CD的中点，点P为正方体表面

上的一动点，则下列说法正确的是（）A．EFG△的面积为32B．三棱锥PEFG−体积的最大值为34C．若1AP∥平面EFG，则点P的轨迹长度为62D．当点P为BC的中点时，P到直线11AC的距离为322三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数()2

2,1713,1xxfxxxx=−+，则()()()1fff=________．13．在ABC△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2sinAC=，2a=，1c=，则b=________．14．

记数列na的前n项和为nS，若对任意的正整数n，函数()()2ln22nxfxxax=+−+均存在两个极值点1nx，2nx，且满足()211nnnxxna−=+，则nS=________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的

文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知等差数列na的前n项和为nS，若6329aa−=，515S=．（1）求数列na的通项公式na及前n项和nS；（2）若12nannba+=，求数列nb的前n项和nT。16．（本小题满分15分）

如图所示，C，D分别为半圆锥PAB的底面半圆弧上的两个三等分点，O为AB中点，E为母线PB的中点．（1）证明：DE∥平面PAC；（2）若PAB△为等边三角形，求平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）函数()()1e1axfxxx=−−−，其中a

为整数．（1）当1a=时，求函数()fx在1x=处的切线方程；（2）当()0,x+时，()0fx恒成立，求a的最大值．18．（本小题满分17分）在ABC△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinsin

cos21bABB+=，21323sincbcA+=．（1）求a；（2）求ABC△的面积；（3）在ABC△所在的平面内有一动点(),Dxy，满足113DADC=，求33xy−的最小值．19．（本小题

满分17分）设()fx为函数()fx的导函数，若()fx在区间D上单调递增，则称()fx为区间D上的凹函数，区间D称作函数()fx的凹区间；反之，则称()fx为区间D上的凸函数，区间D称作函数()fx的凸区间．（1）已知函数()21ln2g

xxx=+，求()gx的凹、凸区间；（2）如图所示为某个凹函数()ymx=的图象，在图象上任取两个不同的点()()11,Axmx，()()22,Bxmx，过线段AB的中点C作x轴的垂线，与函数图象和x轴分别交于D，E两点，则有CEDE．①将不等关系CEDE转化为对应的不等式；②证

明：当x，()0,2y时，21122xyxyxyxy+++++恒成立．2024~2025学年高三11月测评（福建）·数学参考答案、提示及评分细则题号12345678答案BCACBCBD题号91011答案BCDBCACD一、选择题：本题共8小题

，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】易得1,3A=−，)1,B=+，则(),1B=−Rð，所以())1,1BA=−Rð，故选B．2．【答案】C【解析】()()()()12i1i12i13i1i1i1i2z−−−−−=

==+−+，在复平面内对应的点在第三象限，故选C．3．【答案】A【解析】若2ab+=，易得01a，1b或者01b，1a，可推出log0ab，反之，若log0ab，无法推出2ab+=，故选A

．4．【答案】C【解析】因为()32aba⊥−，所以()320aba−=，即22322abaa==，可得223aba=，则b在a方向上的投影向量为223abaaa=，故选C．5．【答案】B【解析】根据三角函数的定义，πtan24−=−，即tan121tan−=−+，

解得1tan3=−，即cos3sin=−，易得是第四象限角，sin0，222sincos10sin1+==，解得10sin10=−，故选B．6．【答案】C【解析】()()12xfxgx++=，()()()()12xfx

gxfxgx−+−+−=−=，解得()22xxfx−=+，()22xxgx−=−，()()()222222xxxxhxm−−=−−+，设)222,xxt−+=+，函数224ytmt=−−的对称轴为tm=，当2m时，2m

in412ym=−−=−，解得22m=或者22m=−（舍）．当2m时，min412ym=−=−，解得3m=（舍）．故选C．7．【答案】B【解析】易得12nna−=，21nnS=−，所以22π11π11sin

sin222121nnnnnnnbSS++=−=−−−，显然当n为偶数时，πsin02n=，当n为奇数时，πsin12n=，此时2112121nnnb+=−−−，因此10139133

5911111111212121212121Tbbb=+++=−+−++−−−−−−−11120461212047=−=−．故选B．8．【答案】D【解析】将条件变形为()()22xfxfxx−=，构造函数()()2fxgxx=，则(

)()()2421xfxxfxgxxx−==，则()()2lnfxgxxCx==+，即()22lnfxxxCx=+，所以()312fC==−，()223ln2fxxxx=−，()()2ln32ln1fxxxxxxx=+−=−，当()0,ex时，()0fx，

函数()fx在区间()0,e上单调递减，当()e,x+时，()0fx，函数()fx在区间()e,+上单调递增，则()fx的最小值为()2ee2f=−。故选D。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6

分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】BCD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】A选项错误，()222312yxxx=−+=−+，当1x=时，最小值为2；B选项正确，22222224xxxxy−−=+=，当且仅当222xx−

=，即1x=时，等号成立；C选项正确，222222211cossin14sincossincos1sin22xxxxxxx++==，当且仅当sin21x=时等号成立．D选项正确，22212log2lo

g22log4logayaaa=+=+，当且仅当221loglogaa=，即2a=时等号成立，故选BCD．10．【答案】BC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】A选项错误，当1=时，最小正周期2π12T==；B选项正确，()π02sin

16f==，与的取值无关；C选项正确，向左平移π3个单位长度后的函数解析式()2ππ2sin236hxx=++，令2ππππ362k+=+，kZ，解得3122k=+，当0k=时，的最小正值为12；D选项错误，令()30fx−=，即π3sin262x+=

，解得1ππ22π63xk+=+或2π2π22π63xk+=+，1k，2kZ，即1ππ12kx=+或者2ππ4kx=+，要使得在区间0,π上恰好有5个零点，令122kk==，满足2ππ2πππ124++，解得259124．故选BC．11．【

答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】A选项正确，EFG△是边长为2的等边三角形，1π322sin232EFGS==△；B选项错误，由三垂线定理易得，1BD⊥平面EFG，要使得三棱锥体积达到最大值，只需点

P与点B重合．设1BD与平面EFG的交点为O，由等体积法得，133DO=，而123BD=，所以533BO=，此时三棱锥的体积为135353236=；C选项正确，点P在正三角形11ACD上，其轨迹长度为62；D选项正确，以A为原点，AB，AD，1AA分别为x，

y，z轴建立空间直角坐标系，则()10,0,2A，()2,1,0P，()12,2,2C，()112,2,0AC=，()12,1,2AP=−，1AP在11AC上的投影长度为1111163222APACAC==，故P到11AC的距离为2193222AP−=，故选ACD

．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案及评分细则】1（5分，其他结果均不得分）【解析】()12f=，()()()123fff==，()()()()131ffff==．13．【答案及评分细则】2（5分，其他结果均不得分）【解析】sin22sincossi

nAAAC==，由正弦定理得，2cosaAc=，解得1cos4A=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，21412bb=+−，2260bb−−=，解得2b=，32b=−（舍），所以2b=．14．【

答案及评分细则】22312nn−−++（或()()46312nnn+−++或246332nnn+−++）（5分，结果正确均得分）【解析】()fx的定义域为()0,+．令()120nfxxax=+−−=，即12naxx=+−，如图所示，不妨设1201nnxx，因为1

112nnnaxx=+−，2212nnnaxx=+−，所以12121122nnnnxxxx+−=+−，解得：121nnxx=，代入条件得：()()222211112nnnnnxnanxxx−=+=++−，化简得：()()2222120nn

nxnxn−+++=，即22nnxn+=，()241122222nnnannnnnn+=+−==−+++，所以1111111112132435112nSnnnn=−+−+−++

−+−−++1112221321212nnnn=+−−=−−++++．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．【答案】（1）nan=，()1

2nnnS+=（2）12nnTn+=【解析及评分细则】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，由题意得：6315128951015aaadSad−=+==+=，解得：111ad==，……3分通项公式()11naandn=+−=，……4分前n项和

()()11122nnnnnSnad−+=+=；……6分（2）()1212nannnban+==+，……7分()()123234122324212222324212nnnnTnTn+=+++++=++++

+①②……9分①-②：()12312222212nnnTn+−=++++−+()()11212212212nnnnn++−=+−+=−−……12分所以12nnTn+=．……13分16．【答案】（1）详

见解析（2）31313【解析及评分细则】（1）设PA的中点为F，连接EF，FC，OC，CD，BD，在PAB△中，EF为三角形的中位线，所以EFAB∥，12EFAB=，……2分因为C，D分别为半圆弧上的两个三等分点，OCD△为等边三角形，π3ODCDOB==，所以C

DAB∥，12CDAB=，……4分易得四边形CDEF为平行四边形，所以DECF∥，CF平面PAC，DE平面PAC，所以DE∥平面PAC；……6分（2）解法一：过D作AB的垂线，则垂足M为OB的中点，过M作PA的垂线，设垂足为N，连接MN，因为

平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，DMAB⊥，所以DM⊥平面PAB，DMPA⊥，……8分又因为PAMN⊥，DMMNM=，所以PA⊥平面DMN，PADN⊥，则DNM为平面PAB与平面PAD的夹角，设底面半径为R，则32DMR=，

……11分3BFR=，33344MNBFR==，……13分在RtDMN△中，22223916DNDMMNR=+=，即394DNR=，……14分所以313cos13MNDNMDN==，即平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为3

1313．……15分解法二：作CD的中点Q，连接OQ，以O为坐标原点，OQ，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设底面半圆的半径为2，则()0,0,0O，()0,0,23P，()0,2,0A−，()3,1,0D，()0,2,23PA=−−，()3,3,0AD

=，……9分由图形可知平面PAB的法向量为()1,0,0n=，设平面PAD的法向量为(),,mxyz=，则2230330PAmyzADmxy=−−==+=，令3y=，则1z=−，3x=−，所以()3,3,1

m=−−是平面PAD的一个法向量，……13分3313cos13113mnmnmn===，即平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为31313．……15分17．【答案】（1）()e11e0xy+++−=（2）2【解析及评

分细则】（1）当1a=时，()()1e1xfxxx=−−−，()12f=−，即切点坐标为()1,2−，()e1xfxx=−−，切线斜率()1e1kf==−−，……3分由点斜式得，切线方程为()()2e11yx+=−+−，即()e11e0xy+++−=；……5分（2）当)1,x+时

，()1e0axx−，则()0fx恒成立，……6分当()0,1x时，()1e10axxx−−−，1e1axxx+−，……8分两边同时取对数，则()()1lnln1ln11xaxxxx+=+−−−，问题等价于()(

)ln1ln10xxax+−−−恒成立，……10分设()()()ln1ln1gxxxax=+−−−且()00g=，()2112111gxaaxxx=+−=−+−−，……11分当2a时，显然()0gx恒成立，则()gx在区间()0,1上单调递增

，()()00gxg=，满足题意，当3a时，令()0gx，即221ax−，解得21xa−，则函数()gx在区间20,1a−上单调递减，此时()()00gxg=，不符合题意，……14分综上所述，整数a的最大值为2．……15分18．【答案】（1）1a=（2）3

6（3）43−【解析及评分细则】（1）22sinsin1cos22sinbABBB=−=，……1分因为sin0B，所以sinsinbAB=，……2分由正弦定理得：sinsinabAB=，即sinsinbAaB=，所以1a=；……4分（2）

将余弦定理：22212cosabcbcA==+−代入得：22423sin2cosbcbcAbcA+=+，……5分两边同时除以2bc，2π3sincos2sin26bcAAAcb+=+=+，……7分222bccb+，当且仅当2bc=时等号成立，π2sin

26A+，当且仅当π3A=时等号成立，即23sincos22bcAAcb+=+=，由余弦定理得：2222212cos3bcbcAbcbcc=+−=+−=，……9分即213c=，ABC△的面积213sinsin

26SbcAcA===；……11分（3）由（1），（2）可知π2B=，33c=，1a=，以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标30,3A，()1,0C，……12分则3,3DAxy=−−，()1,DCxy=−−，222

231311132633DADCxxyyxy=−+−=−+−−=，∴2213426xy−+−=，所以12cos232sin6xy=+=+（为变量），则33π3323cos6sin43cos43223xy

−=+−−=+−，……16分所以33xy−的最小值为43−．……17分19．【答案】（1）详见解析（2）①()()121222mxmxxxm++②详见解析【解析及评分细则】（1）易得函数()gx的定义域为()0,+，()1gxxx=+，……1

分设()()1Gxgxxx==+，()211Gxx=−，……3分当()0,1x时，()0Gx恒成立，()gx在区间()0,1上单调递减，当()1,x+时，()0Gx恒成立，()gx在

区间()1,+上单调递增，所以函数()gx的凹区间为()1,+，凸区间为()0,1；……5分（2）①对于凹函数()ymx=定义域中的任意两个自变量1x，()212xxx，()()11,Axmx，()()22,Bxmx，()()1212,22mxmxxxC++，1212,22xxx

xDm++，12,02xxE+，∴()()122mxmxCE+=，122xxDEm+=，由CEDE，有()()121222mxmxxxm++；……8分②对不等式21122xyxyxyxy++++

+两边取对数，问题等价于，1121lnln2ln2ln222xyxyxyxyxyxy++++++=+++恒成立，……10分构造函数()1lnhxxx=+，()0,2x，即()()

22xyhxhyh++恒成立，……12分()22311111xhxxxxxx−=−=++，令()()Qxhx=，……13分()()()()()()322422233213141x

xxxxxxQxxxxx+−−+−++==++，……14分令()0Qx，即42410xx−−，解得2025x+，所以(0,25+是函数()hx的凹区间，()(0,20,25+，所以当()0,2x时，()hx是凹函数，由①知()()22hxhyxyh++

，即()()22xyhxhyh++，当xy=时，()()22xyhxhyh++=，……16分所以x，()0,2y时，()()22xyhxhyh++恒成立，即2112

2xyxyxyxy+++++恒成立．……17分