【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题4.9 函数的应用（二）-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(15)页，399.999 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.9函数的应用（二）-重难点题型精讲1．函数的零点(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.(2)函数的零点与方程的解的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(

x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)几种常见函数的零点①二次函数的零点一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函

数y=+bx+c(a≠0)的零点.②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点.④反比例函数y=(k≠0)没有零点.⑤指数函数y=(a>0,且a≠1)没有零点.⑥对数函数y=(

a>0,且a≠1)仅有一个零点1.⑦幂函数y=,当a>0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点.2．函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(

x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a)

)与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3．二分法(1)二分法的定义：对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端

点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.(3)用二分法求方程的近似解：用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区

间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a,)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.(4)用二分法求

函数零点的近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.2.求区间(a,b)的中点c.3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数

的零点；(2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c；(3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c.4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.【题型1求函数的零点】【方法点拨】(1)代数法：根

据零点的定义，解方程f(x)=0，它的实数根就是函数y=f(x)的零点.(2)几何法或性质法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根据函数y=f(x)的性质及图象求出零点.例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点；因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f

(0)=0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)=0，从而y=f(x)的零点是0.【例1】（2022·全国·高一课时练习）函数𝑓(𝑥)=log3(𝑥−1)−2的零点为（）A．

10B．9C．（10，0）D．（9，0）【解题思路】令𝑓(𝑥)=0，解对数方程，求出x＝10.【解答过程】令𝑓(𝑥)=log3(𝑥−1)−2=0，即log3(𝑥−1)=2=log332，所以𝑥−1=

32，因此x＝10，所以函数𝑓(𝑥)=log3(𝑥−1)−2的零点为10，故选：A.【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）若32是函数𝑓(𝑥)=2𝑥2−𝑎𝑥+3的一个零点，则𝑓(𝑥)的另一个零点为（）A．1B

．2C．（1，0）D．（2，0）【解题思路】由32是函数𝑓(𝑥)=2𝑥2−𝑎𝑥+3的一个零点，可得𝑎值，再利用韦达定理列方程解出𝑓(𝑥)的另一个零点．【解答过程】因为32是函数𝑓(𝑥)

=2𝑥2−𝑎𝑥+3的一个零点，所以𝑓(32)=2×(32)2−𝑎×32+3=0，解得𝑎=5．设另一个零点为𝑥0，则𝑥0+32=52，解得𝑥0=1，所以𝑓(𝑥)的另一个零点为1．故选：A．【变式1-2】（

2022·河北·高一开学考试）函数𝑦=𝑥2−4𝑥+3的零点为（）A．（1，0）B．（1，3）C．1和3D．（1，0）和（3，0）【解题思路】令𝑓(𝑥)=0，即可得到方程，解得即可；【解答过程】

解：令𝑥2−4𝑥+3=0，解得𝑥=1或𝑥=3，所以函数的零点为：1和3.故选：C．【变式1-3】（2021·全国·高一课时练习）函数𝑓(𝑥)的零点与函数𝑔(𝑥)=4𝑥+2𝑥−2的零点之差的绝对值不超过0.25，则𝑓(𝑥)

可以是（）．A．𝑓(𝑥)=4𝑥−1B．𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2C．𝑓(𝑥)=4𝑥−1−1D．𝑓(𝑥)=𝑥4−1【解题思路】根据题意，画出函数𝑦1=4𝑥与函数𝑦2=−2𝑥+2的图像，得到𝑔(𝑥)的零点在区间(0，0.5)上，结合选择中的函数，求

得相应的零点，即可求解.【解答过程】由题意，函数𝑔(𝑥)=4𝑥+2𝑥−2，令𝑔(𝑥)=0，则4𝑥=−2𝑥+2，画出函数𝑦1=4𝑥与函数𝑦2=−2𝑥+2的图像，如图所示，当𝑥=

0.5时，𝑦1|𝑥=0.5=40.5=2,𝑦2|𝑥=0.5=−2×12+2=1，可得𝑔(𝑥)的零点在区间(0，0.5)上，对于A中，函数𝑓(𝑥)=4𝑥−1，令𝑓(𝑥)=0，解得𝑥=0.25；对于B中，函数

𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2，令𝑓(𝑥)=0，解得𝑥=1；对于C中，函数𝑓(𝑥)=4𝑥−1−1，令𝑓(𝑥)=0，解得𝑥=1；对于D中，函数𝑓(𝑥)=𝑥4−1，令𝑓(𝑥)=0，解得𝑥=±1.故选：A.【题型2函数零点存在定理的应用】

【方法点拨】确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，通常利用函数零点存在定理将问题转化为判断区间的两个端点对应的函数值是否异号.【例2】（2022·内蒙古·高一阶段练习（文））函数𝑓(𝑥)=6𝑥−log2�

�的零点所在区间是（）A．(0，1)B．(1，2)C．(3，4)D．(4，+∞)【解题思路】先判断出函数的单调性，然后得出𝑓(3),𝑓(4)的函数符号，从而得出答案【解答过程】由𝑦=6𝑥在(0,+∞)上单调递减，𝑦=log2𝑥在(0,+∞)上单调递增，所以函数𝑓(�

�)=6𝑥−log2𝑥在(0,+∞)上单调递减，又𝑓(3)=2−log23=log243>0,𝑓(4)=32−log24=−12<0，所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，故选：C.【变式2-1】（2022·全国·模拟预测（文））函数𝑓(𝑥

)=2𝑥+3𝑥−4在𝑅上的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】由函数的单调性与零点存在性定理判断【解答过程】易得函数𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥−4在𝑅上单调递增，又𝑓(0)=−2<0,𝑓(1)=1>0，所以𝑓(0)𝑓(1)<0，

故函数𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥−4在𝑅上有唯一的零点，故选：B.【变式2-2】（2022·天津·模拟预测）函数𝑦=ln𝑥−2𝑥的零点所在的大致区间是（）A．(1e,1)B．(1,2)C．(2,e)D．(e,+∞)【解题思路】

首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【解答过程】解：𝑦=𝑓(𝑥)=ln𝑥−2𝑥的定义域为(0,+∞)，又𝑦=ln𝑥与𝑦=−2𝑥在(0,+∞)上单调递增，所以𝑓(𝑥)=ln𝑥−2𝑥在(0,+∞)上单调递增，又𝑓(1)=ln1−2=−2<0，𝑓(2

)=ln2−1<0，𝑓(e)=lne−2e=1−2e>0，所以𝑓(2)⋅𝑓(e)<0，所以𝑓(𝑥)在(2,e)上存在唯一的零点.故选：C.【变式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函数𝑓(𝑥)=−𝑥2+(𝑘−1)𝑥+1−𝑘在区间

(−1,0)和(0,2)上各有一个零点，则实数k的取值范围是（）A．(12,1)B．(1,32)C．(−3,1)D．(−∞,1)∪(5,+∞)【解题思路】利用零点存在定理列不等式组，即可求解.【解答过程】因为函数𝑓(𝑥)=−𝑥2+(𝑘−1)

𝑥+1−𝑘在区间(−1,0)和(0,2)上各有一个零点，且函数𝑓(𝑥)的图像开口向下，所以{𝑓(−1)=−1−(𝑘−1)+1−𝑘<0𝑓(0)=1−𝑘>0𝑓(2)=−4+2(𝑘−1)+1−𝑘<0，解得12<𝑘<1，所以实数k的取值范围是(12,1).故选：A.【

题型3利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题】【方法点拨】函数零点问题可看成与函数图象有关的问题的行生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，把方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题，解题时要准确把握各类函数的性质，画出函数简图，准确

找到交点所在的位置.【例3】（2022·江西·高三阶段练习（文））函数𝑓(𝑥)={ln𝑥−𝑥2+2𝑥,𝑥>0𝑥2−2𝑥−3,𝑥≤0的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】当𝑥>0时，将函数𝑓(𝑥)的零点个数转化为函数𝑦=ln�

�与函数𝑦=𝑥2−2𝑥，在𝑥∈(0,+∞)上的交点个数，利用数形结合即得；当𝑥≤0时，解方程𝑥2−2𝑥−3=0，即得.【解答过程】当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=0⇒ln𝑥=𝑥2−2𝑥，则函数𝑓(𝑥)的零点个数为函数𝑦=ln𝑥与

函数𝑦=𝑥2−2𝑥，𝑥∈(0,+∞)的交点个数，作出两个函数的图象如下图所示，由图可知，当𝑥>0时，函数𝑓(𝑥)的零点有两个，当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−3=0，可得𝑥=−1或𝑥=3(舍去)即当𝑥≤0时，函数𝑓

(𝑥)的零点有一个；综上，函数𝑓(𝑥)的零点有三个.故选：C.【变式3-1】（2022·四川·高二阶段练习（文））已知函数𝑓(𝑥)={e−𝑥+3,𝑥≤0ln𝑥,𝑥>0，若函数𝑔(𝑥)=𝑓2(𝑥)−10𝑓(𝑥)+𝑚有四个零点，则实数�

�的取值范围为（）A．[24,25)B．[24,25]C．[21,25)D．[21,25]【解题思路】将问题转化为方程𝑓2(𝑥)−10𝑓(𝑥)+𝑚=0有四个不等实根，令𝑡=𝑓(𝑥)，可知𝑡2−10�

�+𝑚=0有两个不等实根𝑡1,𝑡2(𝑡1≠𝑡2)，结合𝑓(𝑥)与𝑦=𝑡1和𝑦=𝑡2有四个不同交点可得𝑡1≥4,𝑡2≥4，由二次函数根的分布可构造不等式组求得结果.【解答过程】

𝑔(𝑥)有四个零点等价于方程𝑓2(𝑥)−10𝑓(𝑥)+𝑚=0有四个不等实根；作出𝑓(𝑥)图象如下图所示，令𝑡=𝑓(𝑥)，则𝑡2−10𝑡+𝑚=0需有两个不等实根𝑡1,𝑡2(𝑡1≠𝑡2)，即Δ=100−4𝑚>0

，解得：𝑚<25；要使𝑔(𝑥)有四个零点，则需𝑓(𝑥)与𝑦=𝑡1和𝑦=𝑡2有四个不同交点，在图象中平移直线𝑦=𝑡1和𝑦=𝑡2，要使𝑓(𝑥)与𝑦=𝑡1和𝑦=𝑡2有四个不同交点，则需𝑡1≥4，𝑡2≥4，∴42−10×4+𝑚≥0，解得：

𝑚≥24；综上所述：实数𝑚的取值范围为[24,25).故选：A.【变式3-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数𝑓(𝑥)={2𝑥,0⩽𝑥⩽1,ln(−𝑥),𝑥<0,若关于𝑥的方程[𝑓(𝑥

)]2−𝑎𝑓(𝑥)+2=0有4个不同的实根，则𝑎的取值范围是（）A．[2,4]B．(2√2,4]C．[2,3]D．(2√2,3]【解题思路】画出𝑓(𝑥)的图象，根据𝑓(𝑥)=𝑡并讨论t研究其实根

的分布情况，将问题化为ℎ(𝑡)=𝑡2−𝑎𝑡+2在[1,2]内有两个不同的零点，结合二次函数性质求参数范围.【解答过程】如图，画出𝑓(𝑥)的图象，设𝑓(𝑥)=𝑡结合图象知：当𝑡<1或𝑡>2时𝑓(𝑥

)=𝑡有且仅有1个实根；当1≤𝑡≤2时𝑓(𝑥)=𝑡有2个实根；问题转化为ℎ(𝑡)=𝑡2−𝑎𝑡+2在[1,2]内有两个不同的零点，从而{ℎ(1)=3−𝑎≥0ℎ(2)=6−2𝑎≥01≤𝑎2≤2Δ=𝑎2−8>0，解得2√2<𝑎≤3.故选：D

.【变式3-3】（2022·江苏·高三阶段练习）已知𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，且𝑓(𝑥+1)是偶函数，当0≤𝑥≤1时，𝑓(𝑥)=−log2(𝑥+1)．若关于𝑥的方程|𝑓(𝑥)|+𝑓(|𝑥|)−𝑚𝑥−2=0

(𝑚>0)有5个不同的实数根，则实数𝑚的取值范围是（）A．(16,15]B．(16,14)C．[15,14)D．(15,13]【解题思路】根据题意和函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数奇偶性求出函数

𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|+𝑓(|𝑥|)分别在0≤𝑥≤1、1<𝑥≤2、2<𝑥≤3、3<𝑥≤4时的解析式，作出函数𝑦=𝑔(𝑥)与𝑦=𝑚𝑥+2的图象，结合图象即可得出结果.【解答过程】因为𝑓(𝑥+1)是偶函数，所以函数𝑓(𝑥

)的对称轴为𝑥=1，而𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，所以有−𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)，因此有𝑓(𝑥)=−𝑓(𝑥+2)，所以𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+4)，因此函数𝑓(𝑥)的周期为4，设𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|+𝑓(|𝑥|)，易知𝑦

=𝑔(𝑥)是偶函数，且当𝑥≥0时，𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|+𝑓(|𝑥|)=|𝑓(𝑥)|+𝑓(𝑥)，所以𝑔(𝑥+4)=|𝑓(𝑥+4)|+𝑓(𝑥+4)=|𝑓(𝑥)|+𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)，因此有：当0≤𝑥≤1时，𝑔(𝑥)=|𝑓

(𝑥)|+𝑓(|𝑥|)=|−log2(𝑥+1)|−log2(|𝑥|+1)=0，当1<𝑥≤2时，𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|+𝑓(|𝑥|)=|−log2(3−𝑥)|−log2(3−|𝑥|)=0，当2<𝑥≤3时，𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥

)|+𝑓(|𝑥|)=|log2(−1+𝑥)|+log2(−1+|𝑥|)=2log2(−1+𝑥)，当3<𝑥≤4时，𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|+𝑓(|𝑥|)=|log2(5−𝑥)|+log2(5−|𝑥|)=2log2(5−𝑥)，作出函数𝑔(𝑥)=

|𝑓(𝑥)|+𝑓(|𝑥|)的图象如下图所示：关于x的方程𝑔(𝑥)−𝑚𝑥−2=0有5个不同的实根，等价于函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象与直线𝑦=𝑚𝑥+2有5个不同的交点，当直线𝑦=𝑚𝑥+2过点(−12,0)时，有6个交点，此

时𝑚=16，当直线𝑦=𝑚𝑥+2过点(−8,0)时，有4个交点，此时𝑚=14，所以当(16,14)时，函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象与直线𝑦=𝑚𝑥+2有5个不同的交点故选：B.【题型4用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】【方法点拨】根据二分法的步骤进行求解，即可确定.【例4】

（2021·全国·高一课前预习）方程𝑥3−2𝑥2+3𝑥−6=0在区间[−2,4]上的根必定在（）A．[−2,1]上B．[52,4]上C．[1,74]上D．[74,52]上【解题思路】设𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥2+3𝑥−6，运用二分法，依次计算𝑓(−2)，𝑓(4)，

𝑓(1)，𝑓(52)，𝑓(74)的值，再利用零点的存在性定理，即可得解.【解答过程】解析：设𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥2+3𝑥−6，则𝑓(−2)=−8−8−6−6=−28<0，𝑓(4)=64−32+12−6=38>0，因为−2+42=1且

𝑓(1)=1−2+3−6=−4<0，所以函数𝑓(𝑥)在[1,4]上必有零点.又因为1+42=52且𝑓(52)=1258−252+152−6=378>0，所以函数𝑓(𝑥)在[1,52]上必有零点.又因为1+522=

74且𝑓(74)=(74)3−2×(74)2+3×74−6=−9764<0，所以函数𝑓(𝑥)在[74,52]上必有零点.即方程的根必在[74,52]上.故选：D.【变式4-1】（2021·四川省高

一阶段练习）用二分法求函数𝑓(𝑥)=𝑥+lg𝑥−2的零点，可以取的初始区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【解题思路】根据二分法求函数零点的条件，结合𝑓(𝑥)即可判断和选择.【解答过程】因为𝑦=𝑥,𝑦=lg𝑥是单调增函数，

故𝑓(𝑥)是单调增函数，其零点至多有一个；又𝑓(1)=−1,𝑓(2)=lg2>0，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是(1,2).故选：B.【变式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函数𝑓(𝑥)零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第

三次所取区间可能是（）A．[−2,−1]B．[−1,1]C．[2,4]D．[5,6]【解题思路】根据二分法求函数零点的步骤，结合已知条件进行分析，即可判断.【解答过程】第一次所取区间为[−2,6]，则第二次所取区间

可能是[−2,2],[2,6]；第三次所取的区间可能是[−2,0],[0,2],[2,4],[4,6].故选：C.【变式4-3】（2021·湖北·高一阶段练习）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到�

�(1)<0,𝑓(1.5)>0,𝑓(1.25)<0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【解题思路】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间.【解答过程

】∵f（1）<0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数𝑓(𝑥)=3x+3x﹣8存在一个零点又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，∴在区间（1.25，1.5）内函数𝑓(𝑥)=3x+3x﹣8存在一个零点，由此可得方程3

𝑥+3𝑥−8=0的根落在区间（1.25，1.5）内，故选：B.【题型5用二分法求方程的近似解】【方法点拨】由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即对于求形如f(x)=g(

x)的方程的近似解，可以通过移项转化为求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解.【例5】（2022·全国·高一课时练习）若函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥−1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：x11.

51.251.3751.3125𝑓(𝑥)－10.875－0.29690.2246－0.05151则方程𝑥3−𝑥−1=0的一个近似根（误差不超过0.05）为（）A．1.375B．1.34375C．1.3125D．1.25【解题思路】由零点存在性定理

即可求解.【解答过程】因为𝑓(1.3125)<0，𝑓(1.375)>0，且𝑓(𝑥)为连续函数，所以由零点存在定理知区间（1.3125，1.375）内存在零点，又|1.3125−1.375|=0.0625<0.1，所以取此区间中点与零点的距离不

超过区间长度之半，故也不超过0.05，又1.3125+1.3752=1.34375，所有方程𝑥3−𝑥−1=0的一个近似根（误差不超过0.05）为1.34375.故选：B.【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）若函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2−2𝑥−2的部分函数值如

下，那么方程𝑥3+𝑥2−2𝑥−2=0的一个近似根（精确到0.1）可以是（）𝑓(1)=−2𝑓(1.5)=0.625𝑓(1.25)≈−0.984𝑓(1.375)≈−0.260𝑓(1.4375)≈0.162A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5【

解题思路】根据题干中所给的函数值，利用二分法求方程的近似解即可.【解答过程】解：因为𝑓(1.375)<0，𝑓(1.4375)>0，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程的一个近似根为1.4．故选：C.【变式5-2】（2021·广东·高一阶段练

习）若函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2−2𝑥−2的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程𝑥3+𝑥2−2𝑥−2=0的一个近似解（精确度0.04）为（）𝑓(1)=−2𝑓(1.5)=0.625𝑓(1.25)≈−0.984𝑓(1.375)≈−

0.260𝑓(1.4375)≈0.162𝑓(1.40625)≈−0.054A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375【解题思路】根据零点存在定理判断求解．【解答过程】由表格结合零点存在定理知零点在(1.40625,

1.4375)上，区间长度为0.03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1.4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，故选：D．【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）函数𝑓(𝑥)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：𝑓(1)=−

2𝑓(1.5)=0.625𝑓(1.25)=−0.984𝑓(1.375)=−0.260𝑓(1.438)=0.165𝑓(1.4065)=−0.052那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44【解题思路】根据二分法的定义和精确度的要求

分析判断即可【解答过程】由所给数据可知，函数𝑓(𝑥)在区间(1,1.5)内有一个根，因为𝑓(1.5)=0.625>0，𝑓(1.25)=−0.984<0，所以根在(1.25,1.5)内，因为|1.5−1.25|=0.25>0.1，所以不满足精确度，继续

取区间中点1.375，因为𝑓(1.375)=−0.260<0，𝑓(1.5)=0.625>0，所以根在区间(1.375,1.5)，因为|1.5−1.375|=0.125>0.1，所以不满足精确度，继续取区间中点1.4

38，因为𝑓(1.438)=0.165>0，𝑓(1.375)=−0.260<0，所以根在区间(1.375,1.438)内，因为|1.438−1.375|=0.063<0.1满足精确度，因为𝑓(1.4065)=−0.052<0，所以根在(

1.4065,1.438)内，所以方程的一个近似解为1.41，故选：C.【题型6用二分法求函数的近似值】【方法点拨】用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步缩小零点所在区间的过程，有时也利用数轴来表示这一过程.【例6】（2022·陕西·模拟预测（理

））某同学用二分法求函数𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥−7的零点时，计算出如下结果：𝑓(1.5)=0.33,𝑓(1.25)=−0.87，𝑓(1.375)=−0.26,𝑓(1.4375)=0.02,𝑓(1.4065)=−0.13,𝑓(1.422)=−0.05，下

列说法正确的有（）A．1.4065是满足精度为0.01的近似值.B．1.375是满足精度为0.1的近似值C．1.4375是满足精度为0.01的近似值D．1.25是满足精度为0.1的近似值【解题思路】根据二分法基本原理满足𝑓(𝑎)>0,𝑓(𝑏)<0,|𝑎−𝑏|<𝜀判断即可.【解

答过程】𝑓(1.4375)=0.02>0,𝑓(1.4065)=−0.13<0，又1.4375−1.4065=0.031>0.01A错误；∵𝑓(1.375)=−0.26<0,𝑓(1.4375)=0.02<0，又1.4375−1.375=0.062<0.1，∴满

足精度为0.1的近似值在(1.375,1.4375)内，则B正确，D错误；∵𝑓(1.422)=−0.05<0,𝑓(1.4375)=0.02>0,|1.4375−1.422|=0.0155>0.01，C错误.故选：B.【变式6-1】

（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数𝑓(𝑥)=𝑥5+8𝑥3−1的零点时，第一次经过计算得𝑓(0)<0，𝑓(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．(0,0.5)，𝑓(0.125)B．(

0,0.5)，𝑓(0.375)C．(0.5,1)，𝑓(0.75)D．(0,0.5)，𝑓(0.25)【解题思路】根据函数零点的存在性定理可知零点𝑥0∈(0,0.5)，结合对二分法的理解即可得出结果.【解答过程】因为𝑓(0)𝑓(0.5)<0，由零点存在性知：零点𝑥0∈

(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算𝑓(0+0.52)，即𝑓(0.25)，故选：D.【变式6-2】（2022·湖北省高一期末）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥−e−𝑥的部分函数值如下表所示𝑥10.50.750.6250.5625𝑓(𝑥)0.63

21−0.10650.27760.0897−0.007那么函数𝑓(𝑥)的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（）A．0.55B．0.57C．0.65D．0.7【解题思路】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.【解答过程】函数𝑓(

𝑥)=𝑥−(1e)𝑥在R上单调递增，由数表知：𝑓(0.5)<𝑓(0.5625)<0<𝑓(0.625)<𝑓(0.75)<𝑓(1)，由零点存在性定义知，函数𝑓(𝑥)的零点在区间(0.5625,0.625

)内，所以函数𝑓(𝑥)的一个零点的近似值为0.57.故选：B.【变式6-3】（2021·全国·高一专题练习）用二分法求函数𝑓(𝑥)的一个正实数零点时，经计算，𝑓(0.54)<0，𝑓(0.72)>0，𝑓(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（

）A．0.68B．0.72C．0.7D．0.6【解答过程】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为(0.68,0.72)，从而得出结论．【解题思路】解：由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为(0.68,0.72)，则函数的一个精确度为0.1

的正实数零点的近似值可以为0.7，故选：C．