【文档说明】广西合浦县2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.109 MB，由envi的店铺上传

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2024年秋学期期中考试高二数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷

上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第七章、选择性必修第一册第一章至第三章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．1.抛物线24yx=的焦点坐标是（）A.()1,0B.()0,1C.1,016D.10,16【答案】D【解析】【分析】将抛物线化为标准形式，根据焦点坐标公式即可解出．【详解】24yx=得到214xy=，则焦点坐标为1(0,)16．故选：

D.2.双曲线221100yx−=的渐近线方程为（）A.110yx=B.1100yx=C.10yx=D.100yx=【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质即可求解.【详解】由221100yx−=，得10a=，

1b=，所以渐近线方程为ayxb=，即10.yx=故选：C3.已知直线1:200lxay+−=与()2:21100lxay++−=.若12//ll，则a=（）A.1−B.1C.13D.2【答案】B【解析】【分析】根据直线平行列方程，从而

求得a的值.【详解】由于12//ll，所以()112,1aaa+==，此时两直线方程分别200,2210050xyxyxy+−=+−=+−=，不重合，符合题意，所以1a=故选：B4.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的长轴长为8，且离心率为154

，则C的标准方程为（）A.22116xy+=B.2216449xy+=C.2211615xy+=D.221644xy+=【答案】A【解析】分析】根据概念得到,,abc，即可得到结果.【详解】由题意易得28a=，则4a=，因为椭圆C的离心率为154，所以15c=，则216151b=−=

，故C的标准方程为22116xy+=，故选：A．5.一束光线从点()1,4P射出，经y轴反射后经过点()2,0M，则该束光线从点P到点M路径长为（）为.【的A.4B.5C.6D.17【答案】B【解析】【分析】先求出P关于y轴的对称点P,再根据两点间距离公式计算即可.【详

解】点P关于y轴对称的点为()1,4P−，则该光线从点P到点M的路径长为PM()222145=++=．故选：B.6.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率π三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆2222:1(0

)xyCabab+=的面积为2π，1F，2F为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若124PFPF+=，则椭圆C的焦距为().A.√3B.2C.25D.23【答案】D【解析】【分析】先通过124PFPF+=，确定a的值，再通过椭圆的面积公式求出b，最后求出c，即可得

到椭圆的焦距.【详解】根据题意可得π2πab=，则2ab=，因为1224PFPFa+==，所以𝑎=2，则1b=，所以椭圆C的焦距为：224123.c=−=故选：D.7.已知抛物线2:16Cyx=的焦点为.F点()21A，，P是C上一个

动点，则PFPA+的最小值为（）A.4B.5C.6D.8【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义可求PFPA+的最小值.【详解】由题意得()40F，，准线为4x=−，点A在抛物线C的内部，过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，则有426PFPAPDPA

AB+=+=+=，当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立，所以PFPA+的最小值为6.故选：C.8.金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件A=“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件B=“甲、乙两人所选项目完全

不同”，事件C=“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件D=“甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（）A.A与C是对立事件B.C与D相互独立C.A与D相互独立D.B与D不互斥【答案】C【解析】【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况，计算

每个事件的概率，()()1PAPC+可得选项A错误；由相互独立的定义可知选项B错误，选项C正确；由互斥事件的概念可知选项D错误.【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和2

00米跑中选择两个项目参加的情况有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（141

4），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434

），共36种，其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则()242363PA==，()61366PB==，()61366PC==，()91364PD==.由()()1PAPC+可得A与C不是对立事件，选项A错误.()()()31136

1224PCDPCPD===，C与D不相互独立，选项B错误.()()()61366PADPAPD===，A与D相互独立，选项C正确.由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若直线l与双曲线221315xy−=的左、右两支各有一个交点，则l的方程可以是（）A.51yx=+B.1yx=+C.3yx=D.221yx=+−【答案】BD【解析】【分析】根据双曲线的渐近线结合双曲线性

质得出A，C选项错误；将直线与双曲线221315xy−=两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得解．【详解】双曲线221315xy−=的焦点在x轴上，且渐近线方程为5yx=，则直线51yx=+与双曲线221315

xy−=的左支只有一个交点，A错误；因为35，所以直线3yx=与双曲线221315xy−=无交点，C选项错误；联立2211315yxxy=+−=，消y得2280xx−−=，()Δ14280=−−，所以方程2280xx−−=有两个根12,xx

，1240xx=−，所以方程2280xx−−=有一正一负根，联立222211315yxxy=+−−=，消y得()2322422180xx+−+−=，()()2Δ2244322182404020=−−−=−，所以

方程()2322422180xx+−+−=有两个根34,xx，34221803xx−=，所以方程2280xx−−=有一正一负根，直线1yx=+，221yx=+−均与双曲线221315xy−=的左、右两支各有一个交点，B,D

选项正确.故选：BD.10.已知圆()()22:14Cxaya−+−=的半径为2，则下列命题是真命题的是（）A.1a=B.点()1,4在圆C的外部C.若直线20mxy+−=平分圆C的周长，则1m=−D.圆()()229564xy−+

+=与圆C外切【答案】ABD【解析】【分析】根据圆的半径、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】圆()()22:14Cxaya−+−=的半径为2，所

以44,1aa==，A选项正确.所以圆的方程为()()22114xy−+−=，圆心为()1,1，半径为2，()()22114914−+−=，所以点()1,4在圆C的外部，B选项正确.直线20mxy+−=

平分圆C的周长，则直线过圆心()1,1，即1210,1mmm+−=−==，所以C选项错误.圆()()229564xy−++=的圆心为()9,5−，半径为8，()1,1与()9,5−的距离为22681028+==+，所以圆(

)()229564xy−++=与圆C外切，D选项正确.故选：ABD11.在空间直角坐标系中，已知()()()1113330,2,,0,1,,2,1,,0,2,0,0,0,0,4,0,0222ABCABC

，则（）A.114BCAC为质数B.ABCV为直角三角形C.1BC与AB所成角的正弦值为52929D.几何体111ABCABC−的体积为72【答案】BCD【解析】【分析】对于ABC：根据空间向量的坐标运算分析求解即可；对于D：分析可知几何体111AB

CABC−为三棱台，且1AA与该三棱台的底面垂直，结合台体的体积公式运算求解.【详解】对于选项A：因为11332,1,,4,2,22BCAC==−−，所以119448215,154BCAC=−−=不是质数，A错误；对于选项B：因为()()

0,1,0,2,0,0BABC==，则0BABC=，所以,BABCABC⊥为直角三角形，B正确；对于选项C：因为112cos,29292BCAB==，所以1BC与AB所成角的正弦值为55292929=，C正确；对于选项D：根据已知6个点的

空间直角坐标可得几何体111ABCABC−为三棱台，且1AA与该三棱台的底面垂直，1111111113,,2,4,1,2,2ABBCABBCABBCABBCAA⊥⊥=====，所以几何体111ABCABC−的体积为1311117241224123222222+

+=，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线320xy++=与直线380xy+−=之间的距离为______.【答案】10【解析】【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】由于320xy++=与直线38

0xy+−=平行，故距离为22281013+=+，故答案为：1013.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是13，16，12和14，14，12，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为_________

_.【答案】38##0.375【解析】【分析】根据相互独立事件概率加法计算公式即可求得.【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为1111113.3464228++=故答案为：3.814.已知1F，2F分别是双曲线()2222:10,0xy

Cabab−=的左、右焦点，过点2F且斜率为2的直线与C的一条渐近线在第四象限相交于点M，四边形12MFNF为平行四边形.若直线2NF的斜率62,73k−−，则C的离心率的取值范围为_____.【答案】5,10【解析】【分析】联立2MF的方

程()2yxc=−与渐近线方程byxa=−，可得M坐标，根据两点斜率公式结合平行求解1MF的斜率，即可化简得23ba，进而可求解离心率.【详解】由题意可得𝐹1(−𝑐,0)，()2,0Fc，由于12MFNF为平行四边形，故21//NFMF,直线2

MF的方程为()2yxc=−，渐近线方程byxa=−，联立()22,222byxacbcxyaababyxc=−−==++=−，故22,22acbcMabab−++,所以2122222442NFMFbcbcbabkkacacbcabcab−−−+====++

++，因此324627bab−+−−，化简得2323babaa，故离心率为2215,10cbeaa==+，故答案为：5,10四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，AE⊥平面ABCD，

CF⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E，F位于平面ABCD的两侧．（1）若2AECF=，试用AB，AD，AE表示AF；（2）若2CF=，3AE=，4=AD，求直线BD与平面ABF所成角的正弦值．【答案】（1）12AFABADAE=+−（2）1010【解析】【分析】（1）根据图形，用AB，A

D，AE表示出AF即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，直线的方向向量与法向量所成角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接AC，由题意得AFACCFABADCF=+=++，又12CFAE=−，所以12AFABADAE=+−；【小问2详解】以A为坐标

原点，AB，AD，AE的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则𝐴(0,0,0)，()4,0,0B，()0,4,0D，()4,4,2F−，所以()4,0,0AB=，()4,4,2AF=−，()4,4,0B

D=−．设平面ABF的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则40,4420,mABxmAFxyz===+−=令1y=，得()0,1,2m=，设直线BD与平面ABF所成的角为，则410sincos,10542mBDmBDmBD====

，故直线BD与平面ABF所成交的正弦值为1010.16.已知不过原点的直线l在两坐标轴上的截距相等．（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l过点()2,6P，求直线l的方程；（3）若直线m与直线l垂直，且直线m被

圆224xy+=截得的弦长为2，求直线m在y轴上的截距．【答案】（1）34（2）80xy+−=（3）6【解析】【分析】（1）根据题意设出直线的截距式，即可求出斜率以及倾斜角；（2）将点的坐标代入到直线方程中即可；（3）根据弦长得到圆心到直线的距离，即可求出结果.【小问1详解

】设直线:1xylaa+=，即yax=−，则直线l的斜率为1−，根据()tan0πk=，可求得倾斜角为34；【小问2详解】将点()2,6P的坐标代入yax=−，可得8a=，所以直线l的方程为80xy+−=；【小问3详解】因为直线m与直线l垂直，所以可

设:myxb=+，因为点()0,0到直线m的距离2bd=，所以22242422bd−=−=，解得6b=，则直线m在y轴上的截距为6.17.已知在ABCV中，()2,6A，()2,2B−−，()5,3

C−．（1）求ABCV的外接圆的标准方程；（2）过点B作ABCV的外接圆的切线，求该切线方程．【答案】（1）()()222125xy−+−=（2）43140xy++=【解析】【分析】（1）将三顶点代入圆的标准方程，解出即可；（2）由两直线垂直得到斜率关系，再由点斜式得到直线方

程即可；【小问1详解】设ABCV的外接圆的标准方程为()()222xaybr−+−=，则()()()()()()222222222262253abrabrabr−+−=−−+−−=−+−−=解得22,1,25,abr==

=故ABCV的外接圆的标准方程为()()222125xy−+−=．【小问2详解】由（1）得ABCV外接圆的圆心为()2,1N，半径为5．因为213224BNk−−==−−，所以切线的斜率为43−，故所求切线方程为()

4223yx+=−+，即43140xy++=．18.动点𝑀(𝑥,𝑦)与定点()2,0F的距离和M到定直线92x=的距离的比为23.记点M的轨迹为C.（1）求C的方程.（2）已知直线:lyxm=+.①若

直线l与C相交.求m的取值范围；②当直线l与C相交时，证明：直线l被C截得的线段的中点在同一条直线上.【答案】（1）22195xy+=（2）①()14,14−；②证明见解析【解析】【分析】（1）用坐标表示几何条件化简可得点M轨迹方程；（2）

①联立直线方程与椭圆方程，消去0可求m的取值范围；②法一，由①可得1297mxx+=−，进而求得中点坐标，消去参数可得直线l被C截得的线段的中点所在直线方程.法二，设直线l与C交于A，B两点.设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵

(𝑥2,𝑦2)，利用点差法可得结论.【小问1详解】根据题意可得()2222932xyx−+=−，化简得22195xy+=，即C的方程为22195xy+=.【小问2详解】①解：由22195xyyxm+=

=+，得2214189450xmxm++−=.由()()22Δ184149450mm=−−，解得1414m−，所以m的取值范围为()14,14−.②证明：（方法一）由①中2214189450xmxm++−=，得1297mxx+=−.设

直线l被C截得的线段的中点坐标为()00,xy，则1209214xxmx+==−，00514myxm=+=.的由00914514mxmy=−=，消去m可得00590xy+=，所以直线l被C截得的线段的中点在直线590xy+=上.（方法二）设直线l与C交于A，B两

点.设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，线段AB的中点坐标为()00,xy，则直线l的斜率为12121yyxx−=−，1202xxx+=，1202yyy+=.因为点A，B在C上，所以2211222

2195195xyxy+=+=，两式相减得22221212095xxyy−−+=，化简得1212121259022xxyyyyxx++−+=−，即00590xy+=，所以直线l被C截

得的线段的中点在直线590xy+=上.19.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右顶点分别为A，B，渐近线方程为y=32x，AB4=，直线1:2lyxm=+与C的左、右支分别交于点M，N（异于点A，B）.（1）

求C的方程；（2）若直线AM与直线BN的斜率之积为94−，求m的值.【答案】（1）22143xy−=（2）10m=【解析】【分析】（1）根据题意可以得到3224baa==，解此方程组即可求出结果；（2）联立直线和双曲线的方程，消去y得到222260xmxm−−−=，根据题意知2340

k−，利用韦达定理写出122xxm+=，212260xxm=−−，根据直线方程求出12yy，12(2)(2)xx+−，写出直线AM，BN的斜率分别为1k，2k，并计算12kk的值，化简即可求解.【小问1详解】

因为|𝐴𝐵|=4，渐近线方程为32yx=，所以3224baa==，解得2a=，3b=，所以双曲线C的方程为22143xy−=．【小问2详解】设点1(Mx,1)y，2(Nx,2)y，根据题意知

21xx，由221234120yxmxy=+−−=，得222260xmxm−−−=，则222(2)4(26)12(2)0mmm=−+−−=+，122xxm+=，212260xxm=−−，而()2222121212121

111133()()()2622242422yyxmxmxxmxxmmmm=++=+++=−−+=−；由于()22212121412(2)xxxxxxm−=+−=+，2222121221(2)(2)2()426212(2)4210212(2

)xxxxxxmmmm+−=+−−=−−++−=−−++；1112ykx=+Q，2222ykx=−，21212221233922(2)(2)4210212(2)myykkxxmm−−===−+−−++，化简可得241110

0mm−+=，解得21m=，或210m=，当21m=时，21233022yym−==，不符合题意，舍去，故10m=