【文档说明】高中数学新教材人教A版必修第一册 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ） 教案 （1） 含答案【高考】.docx，共(10)页，847.634 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五章三角函数5.6函数y=Asin（ωx+φ）的图像本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》5.6.2节函数y=Asin(ωx+φ)的图象通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响。通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律

的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换

与函数解析式变换的内在联系。通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在。提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目

标学科素养1.借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ)的图象，观察参数Φ，ω，A对函数图象变化的影响；2.引导学生认识y＝Asin(ωx+φ)的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.3.体会数

形结合以及从特殊到一般的化归思想;培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.a.数学抽象：三个参数对函数图像变化的影响；b.逻辑推理：由特殊到一般的归纳推理；c.数学运算：运用规律解决问题；d.直观

想象：由函数图像归纳规律；e.数学建模：运用规律解决问题；教学重点：重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图

象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.教学难点：：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．-2-多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创设问题情境提出问

题上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin（ωx+φ）其中（A＞０，ω＞０）的函数．显然，这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函

数的性质．从解析式看，函数y=cosx就是函数y＝Asin(ωx＋φ)，在A＝１，ω＝１，φ＝０时的特殊情形．(1)能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响？(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)含有三个参数，你认为应按怎样的思

路进行研究.1.探索φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验．如图5.6.4，取A＝１，ω＝１，动点M在单位圆𝑂1上以单位角速度按逆时针方向运动．图5.6.4如果动点M以𝑂

0为起点（此时φ＝０），经过xｓ后运动到点P，那么点P的纵坐标y就等于sinx．以（x，y）为坐标描点，可得正弦函数y=sinx的图象．在单位圆上拖动起点𝑄0，使点𝑄0绕点𝑄1旋转𝜋6到𝑄1

，你发现通过开门见山，提出问题，利用图像变换观察参数对函数图像的影响问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。-3-图象有什么变化？如果使点𝑄0绕点𝑄1旋转-𝜋6,𝜋3,-𝜋3，或者旋转一个任意角φ呢当起点位于𝑄1时，φ=𝜋6，可得函数y＝sin(x＋𝜋6)的图象．进一步

，在单位圆上，设两个动点分别以𝑄0，𝑄1为起点同时开始运动．如果以𝑄0为起点的动点到达圆周上点P的时间为xｓ，那么以𝑄1为起点的动点相继到达点P的时间是(x-𝜋6)ｓ．这个规律反映在图象上就是：如果F（x，y）是函数y＝sinx图象上的一点，那么G(x-𝜋6

,y)就是函数y＝sin(x＋𝜋6)图象上的点，如图5.6-4所示．这说明，把正弦曲线y＝sinx上的所有点向左平移𝜋6个单位长度，就得到y＝sin(x＋𝜋6)的图象．分别说一说旋转-𝜋6,𝜋3,-𝜋3时的情况．一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函

数是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左（当φ＞０时）或向右（当φ＜０时）平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ)的图象．2.探索ω（ω＞０）对y=sin（ωx+φ）图象的影响下面，仍然通过数学实验来探索．如图5.6.5，取圆的

半径A=1．为了研究方便，不妨令φ＝𝜋6．当ω＝１时得到y＝sin(x＋𝜋6)的图象．取ω＝２，图象有什么变化？取ω＝12呢？取ω＝３，ω＝13，图象又有什么变化？当ω取任意正数呢?取ω＝２时，得到函数y＝sin(2x＋𝜋6)的图象．进一步，在单位圆上

，设以𝑄1为起点的动点，当ω＝１时到达点P的时间为𝑥1ｓ，当ω＝２时到达点P的时间为𝑥2ｓ．因为ω＝２时动点的转速是ω＝１时的２倍，所以𝑥2＝12𝑥1．这样，设G（x，-4-y）是函数y＝sin(x＋𝜋6

)图象上的一点，那么K（12𝑥，y）就是函数y＝sin(2x＋𝜋6)图象上的相应点，如图5.6-5示．这说明，把y＝sin(x＋𝜋6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），就得到y＝sin(2x＋𝜋6)的图象．y＝sin(2x＋𝜋6)的周期为𝜋，是y＝s

in(x＋𝜋6)的周期的12倍．同理，当ω＝12时，动点的转速是ω＝１时的12倍，以𝑄1为起点，到达点P的时间是ω＝１时的２倍．这样，把y＝sin(x＋𝜋6)图象上所有点的横坐标扩大到原来的２倍（纵坐标不变），就得到y＝sin(12x＋𝜋6)的图象．y＝sin(12x＋

𝜋6)的周期为４π，是y＝sin(x＋𝜋6)的周期的２倍．一般地，函数的周期是2𝜋𝜔，把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞１时）或伸长（当０＜ω＜１时）到原来的1𝜔倍（纵坐标不变），就得到的图象．3.探索A（A＞０）对y=sin（ωx+φ）

图象的影响下面通过数学实验探索A对函数图象的影响．为了研究方便，不妨令ω=2,φ=𝜋6．当A＝１时，如图5.6.6，可得y=sin（2x+𝜋6）的图象．-5-改变A的取值，使A取２，12，３,13等，你发现图象有什

么变化？当A取任意正数呢?当A＝２时，得到函数y=2sin（2x+𝜋6）的图象．进一步，设射线𝑂1𝑄1与以𝑂1为圆心、２为半径的圆交于𝑇1．如果单位圆上以𝑂1为起点的动点，以ω＝２的转速经过xｓ到达圆周上点P，那么点P的纵坐标是2sin（2x+𝜋6）；相应地，

点𝑇1在以𝑂1为圆心、２为半径的圆上运动到点T，点T的纵坐标是2sin（2x+𝜋6）．这样，设K（x，y）是函数y=sin（2x+𝜋6）图象上的一点，那么点N（x，2y）就是函数图象y=2sin（2x

+𝜋6）上的相应点，如图5.6.6所示．这说明，把y=sin（2x+𝜋6）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的２倍（横坐标不变），就得到y=2sin（2x+𝜋6）的图象．同理，把y=sin（2x+𝜋6）图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变），就得到y=12sin（2x+𝜋

6）的图象．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞１时）或缩短（当０＜A＜１时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是［－A，A］，最大值是A

，最小值是－A你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）图象的过程与方法吗?一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）的图象，通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想

象、数学抽象、数学运算等核心素养；-6-可以用下面的方法得到：先画出函数y＝sinx的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的

1𝜔倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx的图象得

y=sin(x+φ)的图象得y=sin(ωx+φ)的图象得y=Asin(ωx+φ)的图象.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx的图象得y=Asinx的图象得y=Asin(ωx)的图象[来源:学科

网ZXXK得y=Asin(ωx+φ)的图象.典例解析例１画出函数y=12sin（3x-𝜋6）的简图．解：先画出函数y=sinx的图象；再把正弦曲线向右平移𝜋6个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的13倍，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的２倍，这时的曲

线就是函数y=12sin（3x-𝜋6）的图象，如图5.6.7所示．-7-下面用“五点法”画函数y=12sin（3x-𝜋6）在一个周期（T=2𝜋3）内的图象．令X＝3x-𝜋6，则x＝13（X+𝜋

6）列表（表5.6.1），描点画图（图5.6.8）例2摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图5.6.9，某摩天轮最高点距离地面高度为120ｍ，转盘直径为110ｍ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地

面最近的位置进舱，转一周大约需要30in．（１）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hｍ，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（２）求游客甲在开始转动５min后距离地面的高度；（３）若甲、乙两人分别坐在两

个相邻的座舱里，在运行一周的-8-过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：ｍ）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到０．１）分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高度犎呈现周而复始的变化，因此可

以考虑用三角函数来刻画．解：如图5.6.10，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为𝑥轴建立直角坐标系．（１）设𝑡=0𝑚𝑖𝑛时，游客甲位于点P（0，-55），以OP为

终边的角为-𝜋2；根据摩天轮转一周大约需要30𝑚𝑖𝑛，可知座舱转动的角速度约为𝜋15πrad／min，由题意可得H=55sin（𝜋15t-𝜋2）+65,0≤𝑡≤30,（２）当𝑡＝５时，H=55s

in（𝜋15×5-𝜋2）+65=37.5所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5ｍ．（３）如图5.6.10,甲、乙两人的位置分别用点A,B表示，则∠AOB＝2𝜋48＝𝜋24．经过𝑡𝑚𝑖𝑛后甲距离地面的高度为𝐻1=55sin（𝜋15t-𝜋

2）+65，点B相对于点A始终落后𝜋24rad，此时乙距离地面的高度为𝐻2=55sin（𝜋15t-13𝜋24）+65．则甲、乙距离地面的高度差ℎ=|𝐻1−𝐻2|=55|sin（𝜋15t-𝜋2）−sin（𝜋15

t-13𝜋24)|=55|sin（𝜋15t-𝜋2）+sin（13𝜋24−𝜋15t)|,利用𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑠𝑖𝑛𝜑=2𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜑2𝑐𝑜𝑠𝜃−𝜑2，可得ℎ=110|sin𝜋48sin（𝜋1

5t−𝜋48)|,0≤𝑡≤30，当𝜋15t−𝜋48=𝜋2（或3𝜋2），即𝑡≈7.8（或22.8）时，ℎ的最大值为110sin𝜋48≈7.2．所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2ｍ．三、当堂达标1．函

数y＝3sinπ2x＋π4的振幅和周期分别为()通过练习巩固本节所学知识，巩-9-A．3,4B．3，π2C.π2，4D.π2，3【解析】由于函数y＝3sinπ2x＋π4，∴振幅是3，周期T＝2ππ2＝4

.【答案】A2．将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为()A．y＝sin12x－π3B．y＝sin2x－π6C．y＝sin12xD．y＝sin12x－π6【解析

】函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin12x－π3的图象，再将此图象向左平移π3个单位，得y＝sin12x＋π3－π3＝sin12x－π6的图象，选D.【答案】D3．已知函数y

＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的表达式是()A．y＝3sin7x－π6B．y＝3sin7x＋π6C．y＝3sin7x＋π42D．y＝3sin7x－π42【解析】由已知得A

＝3，T＝2π7，φ＝π6，ω＝2πT＝7，所以y＝3sin7x＋π6.【答案】B4．函数y＝2sinx＋π3图象的一条对称轴是____．(填序号)①x＝－π2；②x＝0；③x＝π6；④x＝－π6.【解析】由正弦函数对称轴可知．x＋π

3＝kπ＋π2，k∈Z，x＝kπ＋π6，k∈Z，k＝0时，x＝π6.【答案】③5．已知函数f(x)＝2sin2x－π6，x∈R.固对三角函数图像变换规律的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。-10-(1)写出函数f(

x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值.【解】(1)由2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝π3＋k2π，k∈Z；由2x－π6＝kπ，k∈Z解得对称中心是

π12＋k2π，0，k∈Z；由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z解得单调递增区间是－π6＋kπ，π3＋kπ，k∈Z；由2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋32π，k∈Z，解得单调递减区间是π3＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z.(2)∵0

≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤56π，∴当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取最大值为2.四、小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数

解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+𝜋3))的图象,并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.五、作业1.课时练2.预习下节

课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；