【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第五章第二节　等差数列及其前n项和含答案【高考】.doc，共(10)页，195.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第二节等差数列及其前n项和授课提示：对应学生用书第92页[基础梳理]1．等差数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件

是A＝a＋b2，其中A叫作a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋an）2．3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am

＋(n－m)d(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．(4)若Sn为等差数列{an}的前

n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2．三个必备结论(1)若等差数列{an}的项数为

偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.(2)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②S奇S偶＝n＋1n.(3)在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0

，则满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1＜0，d＞0，则满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值Sm.3．两个函数等差数列{an}，当d≠0时，an＝dn＋(a1－d)，是关于n的一次函数；Sn＝d2n2＋

(a1－d2)n是无常数项的二次函数．[四基自测]-2-1．(基础点：求项数)已知数列{an}中，an＝3n＋4，若an＝13，则n等于()A．3B．4C．5D．6答案：A2．(基础点：求公差)已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝

33，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4答案：B3．(基础点：求通项)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an－1，则an等于________．答案：－n＋24．(基础点：求等差数列的前n项和)已知等差数列5，

427，347，…，则前n项和Sn＝________．答案：514(15n－n2)授课提示：对应学生用书第92页考点一等差数列的基本运算及性质挖掘1用等差数列的基本量a1和d进行计算/自主练透[例1](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记

Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12[解析]设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得33a1＋3×（3－1）2×d＝2a1＋2×（2－1）2×d＋4a1＋4×（4－1）2×d，将a1＝2代入上式

，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.[答案]B(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an

＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n[解析]设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得a1＋4d＝5，4a1＋6d＝0，解得a1＝－3，d＝2.所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋n（n－1）2

×2＝n2－4n.故选A.-3-[答案]A(3)已知等差数列{an}的各项都为整数，且a1＝－5，a3a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝()A．70B．58C．51D．40[解析]设等差

数列{an}的公差为d，由各项都为整数得d∈Z，因为a1＝－5，所以a3a4＝(－5＋2d)(－5＋3d)＝－1，化简得6d2－25d＋26＝0，解得d＝2或d＝136(舍去)，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×（1＋13

）2＝58.故选B.[答案]B挖掘2用等差数列性质进行计算/互动探究[例2](1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8[解析]设等差数列{an}的公差为d，∴a1＋3d＋a1＋

4d＝24，6a1＋6×52d＝48，∴d＝4，故选C.[答案]C(2)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．7B．3C．－1D．1[解析]由{an}是等差数列

及a1＋a3＋a5＝105，得3a3＝105，即a3＝35，由{an}是等差数列及a2＋a4＋a6＝99，得3a4＝99，即a4＝33，则公差d＝a4－a3＝－2，则a20＝a3＋(20－3)d＝35－34＝1，故选D.[答案]D(3)(2020·广东第一次模拟)等差

数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于()A．3B．4C．log318D．log324[解析]∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列，∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3

(3x)，∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，-4-∴2x（4x＋2）＝（3x）2，2x＞0，4x＋2＞0，3x＞0，解得x＝4.∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，∴公差d＝log312－log38＝log332，∴数列的第四项

为log318＋log332＝log327＝3.[答案]A[破题技法]等差数列的计算技巧方法解读适合题型基本量法用a1和d表示条件和所求，用方程思想求出a1和d五个基本量，a1，d，Sn，n，an中知三

求二性质法用等差数列的性质将已知和所求联系起来，用性质表示an和Sn当已知中有“an＋am”式的表达式(2020·河北石家庄一模)已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图像关于直线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)

＝f(a51)，则{an}的前100项的和为()A．－200B．－100C．0D．－50解析：由y＝f(x－2)的图像关于直线x＝1对称，可得y＝f(x)的图像关于直线x＝－1对称，由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，函数f(x)在(－

1，＋∞)上单调，可得a50＋a51＝－2，又由等差数列的性质得a1＋a100＝a50＋a51＝－2，则{an}的前100项的和为100（a1＋a100）2＝－100，故选B.答案：B考点二等差数列的判定与证明挖掘1用等差数列定义证明/自主练透[例1](2020·南京模拟)已知数列

{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求an的表达式．[解析](1)证明：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.因此1S

n－1Sn－1＝2(n≥2)．故由等差数列的定义知1Sn是以1S1＝1a1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1Sn＝1S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，-5-即Sn＝12n.由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－12n（n－1），又因为a1＝12

，不适合上式．所以an＝12（n＝1），－12n（n－1）（n≥2）.挖掘2用等差中项法证明/互动探究[例2]已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.(1)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列；(2)若am＋2是am＋1和am的等差中项，则Sm

，Sm＋2，Sm＋1成等差数列吗？[解析](1)证明：由S3，S9，S6成等差数列，得S3＋S6＝2S9.若q＝1，则3a1＋6a1＝18a1，解得a1＝0，这与{an}是等比数列矛盾，所以q≠1，于是有a1（1－q3）1－q＋a1（1－q6）1－q＝2a1

（1－q9）1－q，整理得q3＋q6＝2q9.因为q≠0且q≠1，所以q3＝－12，a8＝a2q6＝14a2，a5＝a2q3＝－12a2，所以2a8＝a2＋a5，即a8－a2＝a5－a8，故a2，a8，a5成等差数列．(2)依题意，得2am＋2＝am＋1＋am，

则2a1qm＋1＝a1qm＋a1qm－1.在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，所以2q2＝q＋1，解得q＝1或q＝－12.当q＝1时，Sm＋Sm＋1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm＋2＝(m＋2)a1.因

为a1≠0，所以2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，此时Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．当q＝－12时，Sm＋2＝a1[1－－12m＋2]1－－12＝2a13[1－(－12)m＋2]＝2a13[1－

14×(－12)m]，Sm＋Sm＋1＝a1[1－－12m]1－（－12）＋a1[1－－12m＋1]1－（－12）＝2a13[1－(－12)m＋1－(－12)m＋1]＝2a13[2－12×(－12)

m]，所以2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1.故当q＝1时，Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列；当q＝－12时，Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．-6-[破题技法]判定数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义

法：对任意n∈N＋，an＋1－an是同一个常数．(证明用)(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N＋，满足2an＝an＋1＋an－1.(证明用)(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等

差数列，最终一般都要转化为定义法判断．[拓展]判断数列为等差数列，也可以利用图像特点：如果数列的图像(孤立的点)分布在一条直线上，则该数列为等差数列，否则不是等差数列．如果a，b，c成等差数列且不全相等，1a，1b，1c能构成等差数列吗

？用函数图像解释一下．解析：a，b，c成等差数列，通项公式为y＝pn＋q的形式，且a，b，c位于同一直线上，而1a，1b，1c的通项公式为y＝1pn＋q的形式．其图像不是直线，故1a，1b，1c不是等差数列．考点三等差数列前n项

和及综合问题挖掘1等差数列的求和及最值/互动探究[例1](1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.①求{an}的通项公式；②求Sn，并求Sn的最小值．[解析]①设{an}的公差为d

，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.②由①得Sn＝a1＋an2·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.

(2)已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)·(an＋n)(n∈N＋)．①求证数列ann是等差数列，并求其通项公式；②设bn＝2an－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.[

解析]①证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N＋)，∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴an＋1n＋1－ann＝2，∴数列ann是等差数列，其公差为2，首项为2，∴

ann＝2＋2(n－1)＝2n.②由①知an＝2n2，∴bn＝2an－15＝2n－15，则数列{bn}的前n项和Sn＝n（－13＋2n－15）2＝n2－14n.-7-令bn＝2n－15≤0，解得n≤7.∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1

－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.∴Tn＝14n－n2，n≤7，n2－14n＋98，

n≥8.[破题技法]等差数列{an}的前n项和Sn存在最值的情况：如果a1＞0，d＜0时，数列的项先正(或0)后负，将所有正项(或0)相加，则Sn最大，或者Sn＝d2n2＋(a1－d2)n表示开口向下的抛物线，Sn存在最大．如

果a1＜0，d＞0，数列的项先负(或0)后正，将所有的负项(或0)相加，则Sn最小，或者Sn＝d2n2＋(a1－d2)n表示开口向上的抛物线，Sn存在最小．挖掘2等差数列求和的综合应用/互动探究[例2](1)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝

－a5.①若a3＝4，求{an}的通项公式；②若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．[解析]①设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－

2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.②由①得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝n（n－9）d2.由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，公差为d(d∈N＋)．①若a5＝30，求数列{an}的通项公式；②是否存在d，n使Sn＝10成立？若存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．[解析]

①当a5＝30时，由a5＝a1＋4d，得30＝－2＋4d，解得d＝8.所以an＝a1＋(n－1)d＝8n－10.所以数列{an}的通项公式为an＝8n－10.②由Sn＝10，得－2n＋n（n－1）2d＝10，即－4n＋dn2－dn＝20，所以dn2－

(d＋4)n－20＝0.n＝1时，得－24＝0不存在；n＝2时，得d＝14符合，此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝14n－16；-8-n＝3时，得d＝163不符合；n＝4时，得d＝3符合，此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3n－5；当n＝5时，d

＝2符合，此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－4；n＝6时，得d＝2215不符合；n＝7时，得d＝87不符合；n＝8时，得d＝1314不符合；n≥9时，d＜1均不符合，所以存在3组满足题意，其解与相应的通项公式分别为d＝14，n＝2，an＝14n－16；d＝3，n

＝4，an＝3n－5；d＝2，n＝5，an＝2n－4.[破题技法]有关Sn的处理方法关于等差数列前n项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为：(1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．(2)定方法，根据

已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法．①求和：用哪个公式，需要哪些量．②求Sn最值：(ⅰ)借助Sn的二次函数法；(ⅱ)借用通项的邻项变号法a1>0，d<0，满足am≥0am＋1≤0，Sn取得最大值Sm；a1<0，d>0，满足am

≤0am＋1≥0，Sn取得最小值Sm.挖掘3等差数列和的性质及创新问题/互动探究[例3](1)(2020·河北唐山第二次模拟)设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．2X＋Z＝3YB．4X＋Z＝

4YC．2X＋3Z＝7YD．8X＋Z＝6Y[解析]设数列{an}的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X，Y－X，R－Y，Z－R成等差数列，所以2(Y－X)＝X＋R－Y，解之得R＝3Y－3X，又因为2(R－Y)＝Y

－X＋Z－R，把R＝3Y－3X代入得8X＋Z＝6Y，故选D.[答案]D(2)(2020·湖北黄冈一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，若SnTn＝2018n－13n＋4，则a3b3＝()A．528B．529C．530D．5

31[解析]根据等差数列的性质：anbn＝S2n－1T2n－1得a3b3＝S5T5＝2018×5－13×5＋4＝531.故选D.[答案]D-9-(3)(2020·江西红色七校第一次联考)已知数列{an}为等差数列，若a2＋a6

＋a10＝π2，则tan(a3＋a9)的值为()A．0B.33C．1D.3[解析]∵数列{an}为等差数列，a2＋a6＋a10＝π2，∴3a6＝π2，解得a6＝π6，∴a3＋a9＝2a6＝π3，∴tan(a3＋a9)＝tanπ3＝3.故选D.[答案]D(4)中国古诗词中，有一道“八子

分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A．174斤B．184斤C．191斤D．

201斤[解析]用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a1＋8×72×17＝996，解得a1＝

65.∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B.[答案]B1．(2020·广东六校第三次联考)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值是()

A．14B．15C．16D．17解析：依题意，由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，得5a8＝120，即a8＝24，所以a9－13a11＝13(3a9－a11)＝13(a9＋a7＋a11－a11)＝13(a9＋a7)＝23a8＝23×24＝16，故选

C.答案：C2．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有SnTn＝2n－34n－3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为________．解析：因为{an}，{bn}为等差数列，

所以a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝a6b6，因为S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941.所以a6b6＝1941.-10-答案：1941

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．解析：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9，27，S9－S6成等差数列，∴a7＋a8＋a9＝S9

－S6＝2×27－9＝45.答案：45