【文档说明】安徽省合肥市第八中学2024届高三下学期艺术生文科数学最后一卷 Word版含解析.docx，共(17)页，987.748 KB，由小赞的店铺上传

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2024届艺文最后一卷数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知()1i2z−=（i为虚数单位），则z的虚部是（）A.iB.i−C.1D.1−【答案】D【

解析】【分析】利用复数的除法法则及共轭复数的定义，结合复数的定义即可求解.【详解】由()1i2z−=，得()()()()21i21i21i1i1i1i2z++====+−−+，所以1iz=−，所以z的虚部是1−.故选：D.2.已知集合21,3,A

a=，1,2Ba=+，BA，则实数a的值为（）A.2B.1−或2C.1或2D.0或2【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.【详解】由21,3,Aa=，得21a，即1a，此时21,23aa++，由BA，得

22aa=+，而1a−，所以2a=.故选：A3.抛物线24xy=−的准线方程是（）A.1y=B.1y=−C.2y=D.=2y−【答案】A【解析】【分析】结合抛物线的准线方程求解即可.【详解】由题知抛物线224xpyy=−=

−,所以2p=，故抛物线24xy=−的准线方程为12py==.故选：A.4.已知()()4250125112xxaaxaxax+−=++++，则1a的值为（）A.9−B.7−C.9D.7【答案】B【解析】【分析】根据题意分别将()()4112xx+−化简为()()441212xxx−+−，

然后对每项进行二项式展开求出x项的系数，从而可求解.【详解】由题意可得()()()()4441121212xxxxx+−=−+−，然后分别求出()412x−和()412xx−中x项的系数，对于()412x−，其展开式通项为()14C2kkkkTx+=−，当1k=时，x项的系数为8−，对于

()412xx−，其展开式通项为()114C2rrrrxTx++=−，当0r=时，x项的系数为1，所以x项的系数1817a=−+=−，故B正确.故选：B5.已知向量()1,2a=，3b=，217ab−=，则向量a在向量b上的投影向量的模长为（）A.6B.3C.2D.655【

答案】C【解析】【分析】由条件结合向量的数量积的性质可求ab，再根据投影向量，向量的模的定义求解即可.【详解】因为()1,2a=，所以5a=，因为217ab−=，所以()2217ab−=，所以4417aaabbb−+=，又3b=，所以6ab=

，所以向量a在向量b上的投影向量的模的值为623abb==，.故选：C.6.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x的非负半轴重合，将角的终边按照逆时针方向旋转π6后，其终边经过点()1,2P，则2πsin23−=（）A.45−B.45C.34−D.34【答案

】B【解析】【分析】根据三角函数定义先求ππsin,cos66++，然后利用诱导公式和二倍角公式可解.【详解】由题知，角π6+的终边过点()1,2P，所以，22π225sin6512+==+，22π15cos6512+==+，所以2ππs

in2sinπ233−=−+πππsin22sincos366=+=++25542555==.故选：B7.已知正三棱台111ABC

ABC-的上、下底面边长分别为3，23，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（）A.9πB.102πC.103πD.20π【答案】D【解析】【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与

下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径.【详解】分别取ABC、111ABC△的中心,EF，连结EF，过A作1AMAF⊥，因为3AB=，由正弦定理得2sin60ABAE=，得1AE=，同理可得12AF=，所以11

AM=，因为正三棱台111ABCABC-，所以EF⊥平面111ABC，EF∥AM，所以AM⊥平面111ABC，所以1AAM为侧棱1AA与底面所成的角，所以11tan3AMAMAAM==，所以3EFAM==，设正三棱台的外接球球心O，因为E为上底面截面圆的圆心，F为下底面截面圆

的圆心，所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O在直线EF上，设外接球O的半径为R，所以1OAOAR==，222OAAEOE=+，22211OAAFOF=+，即2221ROE=+，2222ROF=+，当O在EF的延长线上时，可得2222133RR−−−=，无解；当O在线段

EF上时，轴截面中由几何知识可得2222123RR−+−=，解得5R=，所以正三棱台111ABCABC-的外接球表面积为24π20πSR==.故选：D8.已知函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，若()fx满足：()()()10xfx

fx−−，()()222exfxfx−−=，则下列判断正确的是（）A.()()1e0ffB.()()22e0ffC.()()33e0ffD.()()44e0ff【答案】C【解析】【分析】根据题意令

()()exfxFx=，利用导数及题干所给条件求得()Fx的单调性，利用函数的对称性，可得(1)(0)(2)(3)(4)FFFFF=，对其进行比较即可判断各选项.【详解】令()()exfxFx=，则()()()()()2eeeexxxx

fxfxfxfxFx−−==，函数()fx满足(1)()()]0xfxfx−−，当1x时()0,()FxFx在)1,+上单调递增，当1x时()0,()FxFx在(,1−上单调递

减，又由()()()()()()22222e2eexxxfxfxfxfxFxFx−−−−==−=，即函数()Fx的图象关于1x=对称，从而(1)(0)(2)(3)(4)FFFFF=，对于A，(1)(

0)FF，()()1010eeff，()()1e0ff，A错误；对于B，(0)(2)FF=，()()2020eeff=，()()22e0ff=，B错误；对于C，(3)(0)FF，()()3030eeff，()()33e0ff，C正确；对于D，(4)(0)FF，()()4040e

eff，()()44e0ff，D错误.故选：C【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数()()exfxFx=，利用导数法研究函数的单调性，结合函数的对称性即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目的要求，得全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确有（）A.数据4，3，2，5，6的60%分位数为4B.若()0PA，()0PB，()()PBAPB=，则()()P

ABPA=C.若事件A与事件B互斥，则()()1PAPB+=D.若随机变量X服从正态分布()22,N，()30.6PX=，则()10.4PX=【答案】BD的【解析】【分析】先将数据由小到大排列，然后计算560%3

=，然后可判断A；根据条件概率公式结合已知推导即可判断B；根据互斥事件与对立事件的区别可判断C；由正态分布的对称性求解可判断D.【详解】A选项：将数据由小到大排列：2,3,4,5,6.因为560%3=，所以第60百分位数为454.52+=

，A错误；B选项：因为()0PA，()0PB，()()()()PABPBAPBPA==，所以()()()()PABPBPBAPA==，B正确；C选项：若事件A与事件B互斥，但不对立，则()()1PAPB+，C错

误；D选项：若()22,XN，则()()130.6PXPX==，所以()()11110.60.4PXPX=−=−=，D正确.故选：BD10.下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题，其中正确

的有（）A.数列21na−是等差数列B.数列21na−是等差数列C.数列nan是递增数列D.数列3nand+是递增数列【答案】ABD【解析】【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差0d，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可.【详

解】设等差数列的首项为1a，所以11(1)naanddnad=+−=+−，对于A，由1nadnad=+−，则2111(21)22nadnaddnad−=−+−=+−，所以21212nnaad+−=−，即数列21na−是

等差数列为公差为2d的等差数列，故A正确；对于B，由1nadnad=+−，所以1212221nadnad−=+−−，则()()()11121212(1)22122212nnaadnaddnadd+−−−

=++−−−+−−=，所以数列21na−是以公差为2d的等差数列，故B正确；对于C，由1nadnad=+−，可得11nadnadaddnnn+−−==+，当10ad−时，数列nan不是递增数列，故C不正确；对于D，由1nadnad=+−，可得

143nnddaand++=−，所以()13(1)340nnadnndda+++−+=，所以数列3nand+是递增数列，故D正确；故选：ABD11.已知P是圆心为A，半径为2的圆上一动点，B是圆A所在平面

上一定点，设||ABt=（0t）．若线段BP的垂直平分线与直线AP交于点M，记动点M的轨迹为E，则（）A.当02t时，E为椭圆B.当2t时，E为双曲线C.当2t时，E为双曲线一支D.当2t且

t越大时，E的离心率越大【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由线段垂直平分线的性质可得MPMB=，结合选项，判断点B与圆的位置关系，结合椭圆、双曲线的定义以及其几何性质，依次判断选项即可.【详解】A：由题意知，点A、B为定点，2AP=，当02t时，点B在圆内

，由线段垂直平分线的性质知，MPMB=，所以2APMPMAMBMA=+=+=，由椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆，故A正确；B：当2t时，点B在圆外，不妨设点B在点A的右边，由线段垂直平分线的性质知，MPMB=，所以2APM

PMAMBMA=−=−=；同理，若点B在点A的左边，有2MAMB−=，所以2MAMB−=，由双曲线的定义知，点M的轨迹为双曲线，故B正确；C：由选项B的分析，可知C错误；D：由选项A知，当02t时，点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且1a=，

焦距为t，若t增大，则半焦距c增大，所以离心率ceca==随之增大；由选项B知，当2t时，点M的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，且1a=，焦距为t，若t增大，则半焦距c增大，所以离心率ceca==随之增大；所以当2t且越大时，E的离心率越大，故D正确.故选：ABD.

第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()yfx=是定义在R上的奇函数，且当0x时，()2exfx−=．则()ln2f=________．【答案】4−【解析】【分析】利用函数值的定义及奇函数的性质,结合

对数的运算即可求解.【详解】因为函数()yfx=是定义在R上奇函数，所以()()()()ln2l2n4ln2ln24eeff−−=−−=−−=−=.故答案为：4−.13.若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.1倍的概率为0.5，变为原来的0.9倍的

概率也为0.5，则经过4天该物品的价格不低于原来价格的概率为________．【答案】516##0.3125【解析】【分析】先判断价格比原来的升降情况，然后利用二项分布的知识求解，即得结果.【详解】设物品原价格为1，因为41.11.461，31.10.91.191，221.10.

90.981，故经过4天该物品的价格较原来价格增加的情况是4天中恰好是3天升高1天降低和4天升高,则经过4天该物品的价格较原来价格增加的概率为443444115CC2216+=.故答案为：516.14.已知椭圆C：()222210xyabab+=的左、右

焦点分别为1F和2F，N是椭圆C上一点，线段1FN与y轴交于M，若12π3NFF=，1:2:1FMMN=，则椭圆C的离心率为______.【答案】37−的【解析】【分析】设MNm=，则12FMm=，由条件得cm=，在12NFF△中，由余弦定理得()22237acc−=

，即可求解椭圆的离心率.【详解】因为1:2:1FMMN=，所以设MNm=，则12FMm=，因为12π3NFF=，所以11π1cos232FOcFMm===，所以cm=，所以133FNmc==，由椭圆定义知：223FNac=−，

在12NFF△中，由余弦定理得：()()()222123232232accccc−=+−，所以()22237acc−=，所以237acc−=或237acc−=−，所以()237ac=+或()237ac=−，又ac，所以()237a

c=+，所以椭圆C的离心率为23737cea===−+.故答案为：37−四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知函数()2131e2xfxxmx−=−−.（1）若曲线()

yfx=在点11,22f处的切线l与直线50xy−=垂直，求l的方程；（2）若函数()fx在()0,+上有2个极值点，求实数m的取值范围.【答案】（1）10230xy+−=（2）4,3+【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意

义即可得解；（2）令()0fx=，分离参数可得212e3xmx−=，由题意可得方程212e3xmx−=在()0,+上有2个根，构造函数()212e3xgxx−=，()0,x+，利用导数求出其极值和单调区间即可得解.【小问1详解】由题意得，()()21212212e

21e32e3xxxfxxmxxmx−−−=+−−=−，故131524fm=−=−，解得8m=，而112f=−，故所求切线方程为1152yx+=−−，即10230xy+−=；【小问2详解】令()0fx=，则2122e3xxmx

−=，故212e3xmx−=，因为函数()fx在()0,+上有2个极值点，所以方程212e3xmx−=在()0,+上有2个根，令()212e3xgxx−=，()0,x+，则()()21221e23xxgxx−−

=，令()0gx=，解得12x=，故当10,2x时，()0gx，()gx单调递减，当1,2x+时，()0gx，()gx单调递增，且1423g=，当0x→时，()gx→+，当x→+，()gx→+，故实数m的取

值范围为4,3+.16.如图，已知半圆锥的顶点为P，点C是半圆O弧AB上三等分点（靠近B点），点D是弧AC上的一点，平面PCD平面=PABl，且lAB∥，M是PB中点．（1）证明：平面MAC⊥平面POD；（2）若OPAB=，求平面PAB与平面AMC夹角的余弦值．【答案】（

1）证明见解析；（2）235.【解析】【分析】（1）通过证明ODAC⊥，POAC⊥，可证明结论；（2）取弧AB中点为N，如图建立以O为原点的空间直角坐标系，求出平面PAB与平面AMC的法向量，即可得答案.【小问1详解】由题可得PO⊥平面ABC

，又AC平面ABC，则POAC⊥.因lAB∥，AB平面ABC，l平面ABC，则//l平面ABC.又l平面PDC，平面PDC平面ABCDC=，则////lDCABDC.因点C是半圆O弧AB上三等分点，则π3BOC

=，又//ABDC，则π3OCD=.又OCOD=，则OCD是等边三角形，得π3DOC=.又πAOB=，则π3AOD=，即OD平分AOC.又OAOC=，则在等腰三角形AOC中，由三线合一可知ODAC⊥.又ODOP，平面POD，ODOPO=，则AC⊥平面POD.又

AC平面MAC，则平面MAC⊥平面POD.【小问2详解】取弧AB中点为N，连接ON.由（1）POONPOOB⊥⊥，，又ONOB⊥.则如图建立以O为原点的空间直角坐标系.取2OPAB==，则()0,1,0A

−，31,,022C，10,,12M.则30,,12AM=，33,,022AC=设平面AMC法向量为(),,nxyz=，则30233022nAMyznACxy=+==+=.取

=2y−，则233xz==，，即()23,2,3n=−.又平面PAB的法向量为()1,0,0m=，则平面PAB与平面AMC夹角的余弦值2323cos51249mnnm===++.17.小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B

类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题.（1）设小张抽

到A球的个数为X，求X的分布列及()EX.（2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答.（i）求小张回答论述题的概率；（ii）若已知小张回答的是论述

题，求小张回答的是A类题的概率.【答案】（1）分布列见解析，()95EX=（2）（i）3750；（ii）2837【解析】.【分析】（1）根据条件求得X的所有可能取值及相应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即

可；（2）（i）根据全概率公式进行计算即可；（ii）根据条件概率公式进行计算即可.【小问1详解】X的所有可能取值为1,2,3，()()122132323355CCCC331,2,C10C5PXPX======()

3335C13C10PX===,所以X的分布列为X123P31035110故()3319123105105EX=++=.【小问2详解】记事件A=“小张回答A类题”，B=“小张回答B类题”，C=“小张回答论述题”.（i）由（1）知()()3173,5101010PA

PB=+==，由题意知()()43,55PCAPCB==∣∣，所以()()()()()PCPCAPAPCBPB=+∣∣47333751051050=+=.（ii）()()()471451025PACPCAPA===∣，所以()()()2837PACPACPC==∣.18.已知椭圆2222:

1(0)xyCabab+=的离心率为2,,2AB分别为椭圆C的上､下顶点，且22AB=.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线:lykxm=+与椭圆C交于,MN两点（异于点,AB），且OMN的面积为2，过点

A作直线ATOM∥，交椭圆C于点T，求证：BTON∥.【答案】（1）22142xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件列出关于,,abc的方程，求得它们的值，即得答案.（2）联立直线和椭圆方程，设()()1122,,,MxyNxy，可得到根与系数的关系式

，根据三角形面积可得到2221mk=+，继而计算OMONkk以及ATBTkk，推出BTONkk=，即可证明结论.【小问1详解】由题意得：22222222caabcb==+=,解得2242ab==

,故椭圆C的方程为22:142xy+=.【小问2详解】证明：直线l的方程为ykxm=+，代入22142xy+=，得()222214240kxkmxm+++−=，需满足228(42)0km=−+，设()()112

2,,,MxyNxy，则2121222424,2121kmmxxxxkk−−+==++，则212||1||MNkxx=+−，点O到直线l的距离为2||1mdk=+，所以22122211424422221211||2OMN

kmmSmxxmkMNkd−−=−=−==++，即()()2422242210mkmk−+++=，得2221mk=+，满足228(42)0km=−+，所以()221212121212OMONkxxkmxxmyykkxxxx+++==()()()2222222244

21121,24422kmkmkmmkkmk−+−++−===−−−设()00,Txy，则2200142xy+=，即22002(2)xy=−，得2000200022212ATBTyyykkxxx−+−===−，因为,ATOMATOMkk=∥，所以BTONkk=，即BTON∥.【

点睛】难点点睛：有关直线和圆锥曲线的位置关系的题目，解题的思路一般并不难想到，即要联立直线和圆锥曲线方程，化简得到根与系数的关系式，结合条件进行化简，但难点在于计算的复杂性，计算量较大，且基本上都是相关参数的运算，因此要求计算十分细心才可.19.在不大于()*,,2nkknkN的

正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()kFn.（1）求()24F，()33F的值；（2）对于*,,mnpN，mnp，是否存在m，n，p，使得()()()666FmFnFp+=?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；（3）记

x表示不超过x的最大整数，且()1651nniSFi==−，求123100SSSS++++的值.【答案】（1）()245F=，()339F=（2）不存在，理由见解析（3）500【解析】【分析】（1）

由()kFn的定义，分别求出()24F，()33F；（2）若()()()666FmFnFp+=成立，可转化666mnp+=，即166nmpm−−+=，即可判断；（3）根据题意可知15S=，当2n时，可证55.6

nS，即5nS=，得解.为【小问1详解】在不大于42的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以()245F=.在不大于33的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除

的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以()339F=.【小问2详解】因为在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有62n个，能被3整除的数有63n个，能被6整除的数有66n个，所以()1666666

262363nnnnnnFn−=−−+==.若()()()666FmFnFp+=，则666333mnp+=，即666mnp+=，因为mnp，所以166nmpm−−+=，易知16nm−+是奇数，6pm−是偶数，上式不成立，故不存在m，n，p，使得()()()666FmFnFp+=.【小问

3详解】由（2）知，当1n=时，()165551121SF===−−，所以15S=，当2n时，()111165561631261261266nnnnFn−−−−−===−−−，（上式变换注意用到

不等式，若0,0abc，则bbcaac++.）所以当2n时，()211165111315351166656nnnniSFi−−==++++=+−−，所以当2n时，55.6nS，5nS=，所以

1231005100500SSSS++++==.【点睛】关键点点睛：本题第二问，关键是根据()kFn的定义分析在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有62n个，能被3整除的数有63n个，能被6整除的数有66n个，进而可得()16

66666262363nnnnnnFn−=−−+==.第三问，关键是分析得到当2n时，()1165631266nnFn−−=−成立，此处用到糖水不等式放缩.