【文档说明】专题07“倍半角”模型解决旋转变换等几何问题 -【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）（解析版）.docx，共(43)页，2.174 MB，由管理员店铺上传

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【经典剖析1】（绍兴·中考真题）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，45EAF=，延长CD到点G，使DGBE=，连接EF，AG．求证：EFFG=．（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，90BAC=，ABAC=，点M，N在边

BC上，且45MAN=，若1BM=，3CN=，求MN的长．【分析】（1）证ADGABE，FAEFAG，根据全等三角形的性质求出即可；（2）过点C作CEBC⊥，垂足为点C，截取CE，使CEBM=．连接AE、EN．通过证明()ABMACESAS推知全等三角形的对应边AMAE

=、对应角BAMCAE=；然后由等腰直角三角形的性质和45MAN=得到45MANEAN==，所以()MANEANSAS，故全等三角形的对应边MNEN=；最后由勾股定理得到222ENECNC=+即222MNBMNC=+．【解

答】（1）证明：在正方形ABCD中，ABEADG=，ADAB=，在ABE和ADG中，ADABABEADGDGBE===()ABEADGSAS，BAEDAG=，AEAG=，90EAG=，在FAE和FAG中，45AEAGEAFFAGAFAF=

===，()FAEFAGSAS，EFFG=；（2）解：如图，过点C作CEBC⊥，垂足为点C，截取CE，使CEBM=．连接AE、EN．ABAC=，90BAC=，45BACB==．CEBC⊥，45ACEB==．在ABM和ACE中，ABACBACEBMCE

===()ABMACESAS．AMAE=，BAMCAE=．90BAC=，45MAN=，45BAMCAN+=．于是，由BAMCAE=，得45MANEAN==．在MAN和EAN中，AMAEMANEANANAN=

==()MANEANSAS．MNEN=．在RtENC中，由勾股定理，得222ENECNC=+．222MNBMNC=+．1BM=，3CN=，22213MN=+，10MN=【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理

的综合应用．角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包

含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2

+CE2=DE2.图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（2）（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图

示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方

形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大

小【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。【知识总结】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三

角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关

系。一、半角模型特征1、共端点的等线段；2、共顶点的倍半角；二、半角模型辅助线的作法1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。【例题1】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD

上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合，通过证明△AEF≌△AEG即可得到BE＋DF＝EF.【例题2】如图，在正方形ABCD中，E

、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合；将△ABE绕点A逆时针旋转90º得到△ADH，使得AB与AD重合.∵旋转，∠1＝∠H，又∵△AFE≌△AFH，∴∠2＝∠H，∴∠

1＝∠2；∵旋转，∠4＝∠G，又∵△AEF≌△AEG，∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4，即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.【例题3】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º

，则.简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.【例题4】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.【例题5】如图，

在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，则＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.【例题6】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的

点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.【例题7】如图，在正方形ABCD中，E、F分

别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.【例题8】如图，在正方形ABCD中，E、F分

别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到.【例题9】如图，在正方形ABC

D中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.【例题10】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE

、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.【例题11】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，

EF最小，最小，最大.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，，，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF、均有最小值，有最大值.【例题12】如图，在正方形A

BCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论8可得△△ECA△NDA，，，同理可得.【例题13】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△AC

D绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，，∴ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.【例题14】如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若

CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为4．【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴

∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝4，故

答案为：4．【例题15】如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（）A．B．C．D．【解答】解

法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，∴四边形ADCF是矩形，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∴四边形

ADCF是正方形，∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADF＝90°，∴△AFG≌△ADE，∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，∴△BAE≌△BAG，∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，设BC＝a，则AB

＝4+a，BF＝4﹣a，在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，∴BG＝BE＝，∴S△ABE＝S△ABG＝××4

＝．【例题16】（1）【探索发现】如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，A

B＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM

，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．【解答】解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6，∴BM+CM+CN+DN＝6，∴

BC+CD＝6，∴BC＝CD＝3，故答案为3．（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，

在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN，∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MA

E，∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）解：如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AN．作NH⊥AD于H，在AH上取一点K，使得∠NKH＝30°在Rt△DHN中，∵∠NDH＝60°DN＝5（﹣1），

∴DH＝DN＝，HN＝DH＝，在Rt△KNH中，KN＝2HN＝15﹣5，HK＝HN＝，∴AK＝AH﹣HK＝15﹣5，∴AK＝KN，∴∠KAN＝∠KNA，∵∠NKH＝∠KAN+∠KNA，∴∠NAK＝15°，∴

∠MAN＝75°＝∠BAD，由（2）得，MN＝BM+DN＝10+5（﹣1）＝5+5．【例题17】请阅读下列材料：问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间

有怎样的数量关系？小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；（2）

当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．【解答】解：（1）BM+D

N＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．理由如下：如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF，∠MAB＝∠FAD．∴∠MAB+∠BAF＝

∠FAD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°．又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．∵AN＝AN，∴△MAN≌△FAN．∴MN＝FN，即MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM；（3）∵正方形的边长为16，D

N＝4，∴CN＝12．根据（1）可知，BM+DN＝MN，设MN＝x，则BM＝x﹣4，∴CM＝16﹣（x﹣4）＝20﹣x．在Rt△CMN中，∵MN2＝CM2+CN2，∴x2＝（20﹣x）2+122．解得x＝13.6．∴MN＝13.6cm．【例题18】小曼和他的同学组成了“爱琢

磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：方案一：过点A作AM∥

HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图（2）），是探

究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度．【解答】解：（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于

点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，∴AM＝HF，AN＝BC，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN∴△ABM≌△ADN

∴AM＝AN，即EG＝FH（2）结论：EG：FH＝3：2证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，∴AM＝HF，AN＝EC，在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90

°，∴∠BAM＝∠DAN．∴△ABM∽△ADN．，∵AB＝2，BC＝AD＝3，∴．（3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，∵．∴在Rt△ABM中，BM＝．将△AND绕点A顺时

针旋转90°到△APB．∵EG与FH的夹角为45°，∴∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠MAB＝45°，即∠PAM＝∠MAN＝45°，从而△APM≌△ANM，∴PM＝NM．设DN＝x，则NC＝1﹣x，MN＝PM＝．在Rt△CMN中，解得．∴．【例题19】在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠A

CB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.【解答】（1）见解析；（2）AF－EF＝CE.【解析】（1

）连接CO，过点O作OG⊥OF交BE于点G，如图所示：由题意可得△AOF≌△COG，∴OF＝OG，∴△EOF≌△EOG，∴EF＝EG，∴EF＝EG＝EC＋CG＝EC＋AF；（2）AF－EF＝CE.【例题20】如图，在

四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.【解析】如图，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合.∵旋转，∴△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB

，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF，∴GE＝EF，∵GE＝GB＋BE＝DF＋BE，∴EF＝BE＋FD.【例题21】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120º，以D为顶

点作一个60º的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？【解答】6【解析】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120º，∴∠BCD＝∠DBC＝30º，∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60

º，∠DBA＝∠DCA＝90º，如图，延长AB至点F，使BF＝CN.连接DF，在△BDF与△CND中，，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60º，∴∠BDM＋∠CDN＝60º，∴∠BDM＋∠BDF＝60º，在△DMN与△DMF中，，∴MN＝MF，∴△AMN的周长是：AM＋AN＋

MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6.【例题22】如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，连接EO、FO，满足∠EOF＝60º，连接EF.（1）①求证：OB＝OC；②求∠BOC的度数；（2）求证：CF＝BE＋EF.【解答】

（1）①见解析；②120º；（2）见解析.【解析】（1）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60º，∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB＝30º，∴OB＝OC；②∵∠OBC＝∠OCB＝30º，∴∠BOC＝180º－∠OBC－∠OCB

＝120º.（2）如图，以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝60º交BC于点G.∵∠BOC＝120º，∴∠BOF＋∠COG＝60º，∵∠EOF＝60º，∴∠EOB＋∠BOF＝60º，∴∠COG＝∠EOB，∵∠ABO

＝∠ABC＝30º，∴∠EBO＝∠OCG，∴△BOE≌△COG，∴OG＝OE，BE＝CG，又∵△OEF≌△OGF，∴EF＝FG，∴CF＝FG＋CG，∴CF＝EF＋BE.【例题23】如图，在平面直角坐标系中，且.（1）求证：△ABC

是等边三角形；（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45º，试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1），且，∴，，∴OA＝OB＝OC

＝4，∵∠AOB＝∠BOC＝90º，∴∠BCA＝∠CBO＝∠OBA＝∠BAC＝45º，∴BA＝BC且∠CBA＝90º，即△ABC是等腰直角三角形；（2）猜想：.∵OA＝OB＝4，∴∠AOB＝90º，如图，将△BOM绕点O顺时针旋转90º得到△AOD，∴AD＝BM，DO＝MO，∠OAD＝

∠OBM＝45º，且∠DOM＝∠AOB＝90º，∴∠AOD＝∠BOM，∵∠MON＝45º，∠AOB＝90º，∴∠BOM＋∠AON＝45º，∴∠AOD＋∠AON＝45º，即∠DON＝∠MON＝45º，∴△DON≌△MON，∴D

N＝MN，∵∠OAD＝∠OBM＝∠BAO＝45º，即∠NAD＝90º，.【例题24】在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60º，∠CDB＝120º，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF.（1）试说

明：DE＝DF；（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG＝60º，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；（3）若题中条件“∠CAB＝60º，∠CDB＝120º”改为“∠CAB＝，∠CDB＝，G在AB上，那么∠EDG满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？”（直接写结果，不需证明）.【

解答】（1）见解析；（2）CE＋BG＝EG；（3）当∠EDG＝时，CE＋BG＝EC仍然成立.【解析】（1）在四边形ADBC中，有∠C＋∠CAB＋∠ABD＋∠CDB＝360º，∵∠CAB＝60º，∠CDB＝120º，∴∠C＋∠ABD＝180º，又∵∠ABD＋∠DBF＝180º，∴∠C

＝∠BDF，在△CDE与△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（SAS），∴DE＝DF；（2）如图，连接AD.在△ABD与△ACD中，，∴∠BDA＝∠CDA＝∠CDB＝60º，∵∠EDG＝60º，∴∠CDE＝∠ADG，∠ADE＝∠BDG

，由（1）可知△CDE≌△BDF，∴∠CDE＝∠BDF，∴∠BDG＋∠BDF＝60º，即∠FDG＝60º，∴∠EDG＝∠FDG，在△DEG和△DFG中，，∴EG＝FG，又∵CE＝BF，FG＝BF＋BG，∴CE＋

BG＝EG；（3）要使CE＋BG＝EG仍然成立，则∠EDG＝∠BDA＝∠CDB，即∠EDG＝，∴当∠EDG＝时，CE＋BG＝EC仍然成立.【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180º，AB＝AD，E、F

分别是线段BC、CD上的点，且BE＋FD＝EF，求证：∠EAF＝∠BAD.【解答】见解析【解析】证明：将△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如图：∵旋转，∴AG＝AF，BG＝DF，∠ABG＝∠D，∠BAG＝∠DAF，∵∠B＋∠D＝180º，

∴∠B＋∠ABG＝180º，∴点G、B、C三点共线，∵BE＋FD＝EF，∴BE＋BG＝GE＝EF，在△AEG与△AEF中，，∴∠EAG＝∠EAF，又∵∠BAG＝∠DAF，∴∠EAB＋∠DAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠BAD.【变式

2】已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45º，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN.（1）当∠MA

N绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【解答】（1）猜想：BM＋DN＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN【解析】

（1）猜想：BM＋DN＝MN.证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90º，得到△ABE，则E、B、M共线，∴∠EAM＝90º－∠NAM＝90º－45º＝45º，∵∠NAM＝45º，在△AEM与△ANM中，，∴ME＝MN，∵ME＝B

E＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN.证明：在线段DN上截取DQ＝BM，如图所示.在△ADQ与△ABM中，，∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN，在△AMN与△AQN中，，∴MN＝QN，∴DN－BM＝MN.【变式

3】已知在ABC△中，90=ACB，26==CBCA，ABCD⊥于D，点E在直线CD上，，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位

置关系和数量关系：___________，___________；（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且2AFFD=时，求证：45=CNE；（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得45=CNE．若存在，请直接写出AF的长度

；若不存在，请说明理由．【解答】（1）AE⊥CM，AE＝CM；（2）见解析；（3）AF＝8.【解析】（1）AE⊥CM，AE＝CM.如图，延长AE交CM于点H.∵∠ACB＝90º，CA＝CB＝，CD⊥AB于点D，∴∠CAB＝∠CBA＝∠ACD＝∠BCD＝45º，AD＝BD＝CD

＝AB，∵M是DB的中点，∴，∵.在△AEC与△CMB中，，∴AE＝CM，∠CAE＝∠BCM，∵∠ACM＋∠BCM＝90º，∴∠ACM＋∠CAE＝90º，∴∠ACH＝90º，∴AH⊥CM，∴AE⊥CM，AE＝CM；（2）如图，过点A作AG

⊥AB,且AG=BM,，连接CG、FG,延长AE交CM于H.∵∠CAB＝90º，CA＝CB＝，∴∠CAB=∠CBA=45°，，∴∠GAC=∠MBC=45°，∵CD⊥AB，∴CD=AD=BD=，∵M是DB的中点,∴BM＝DM＝3，∴AG＝3，∵AF

＝2FD，∴AF＝4，DF＝2，∴FM＝FD＋DM＝2＋3＝5，∵AG⊥AF，，∴FG＝FM，在△CAG和△CBM中，，∴CG＝CM，∠ACG＝∠BCM，∴∠MCG＝∠ACM＝∠ACG＝∠ACM＋∠BCM＝90º，在△

FCGFCG和△FCMFCM中，，∴∠FCG＝∠FCM，∴∠FCH＝45º，由（1）知AE⊥CM，∴∠CHN＝90º，∴∠CNE＝45º；（3）存在，如图作BH⊥CN.由条件可得∠CHB=90º，∵CD⊥AB，∴∠ADE=90º，∠CHB=∠ADE，∵∠ACB=90CA

=CB=6√2,∴∠CAB=∠CBA=45°AB=√CA2+CB2=12，∴∠GAC=∠MBC=45º，∵CD⊥AB，CD=AD=BD=12AB=6，∵DE=12CD,DE=3.在Rt△ADE中，由勾股定理可得，

∵∠CNE＝45º，∴∠CBA＝∠CNE，∵∠AFN＝∠CFB，∴∠NAF＝∠BCF，∴△ADE∽△CHB，，，设,则，在Rt△CDF中,由勾股定理,得，∵∠CDF＝∠BHF＝90º，∠DFC＝∠HFB，∴△CDF∽△BHF，，解得（舍），∴AF＝6＋2＝8.【变式4】（1）如图

1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足222DNBM

MN+=，请证明这个等量关系；（2）在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC边上的两点．①如图2，当∠BAC＝60°，∠DAE＝30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是____________

______；②如图3，当∠BAC＝，(0°<<90°)，∠DAE＝21时，BD、DE、EC应满足的等量关系是____________【参考：1cossin22=+】【解答】（1）见解析；（2）；（3）【解析】如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90º得到△ADG，连接NG.∵旋转，∴△

ABM≌△ADG，∴DG＝BM，AG＝AM，∠ADG＝∠ABM＝45º，∠DAG＝∠BAM，∴∠ADB＋∠ADG＝45º＋45º＝90º，即∠NDG＝90º，∵∠EAF＝45º，∴∠BAM＋∠DAN＝45º，∴∠DAG＋∠DAF＝45º，即∠GAN＝45º，∴∠G

AN＝∠MAN，∴△AMN≌△AGN（SAS），∴GN＝MN，∵∠NDG＝90º，∴.（2）①如图，将△ABD逆时针旋转60º得到△ACF，连接EF，作FG⊥EC的延长线于点G.由题意可知△ABD≌△ACF，

∠FGC＝90º，∴AD＝AF，BD＝CF，∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝60º，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60º，∴∠ACF＝60º，∴∠ACF＋∠ACB＝120º，即∠ECF＝120º，∴∠FCG＝60º，∴∠CFG＝30º，，在Rt△C

FG中，由勾股定理得，∴∠BAD＋∠EAC＝30º，∠CAF＋∠EAC＝30º，即∠EAF＝30º，∴∠DAE＝∠FAE，∴△ADE≌△AFE，∴DE＝EF，在Rt△EGF中，由勾股定理得，，，；②将△ABD逆时针旋转得到△ACF，连接EF，作FG⊥EC

的延长线于点G.由题意可知△ABD≌△ACF，∠FGC＝90º，∴AD＝AF，BD＝CF，∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180º，∠ACB＋∠ACF＋∠FC

G＝180º，∴∠BAC＝∠FCG＝，∴∠ACF＝60º，∴CG＝，∴∠DAE＝，∴∠BAD＋∠CAE＝，∠CAF＋∠CAE＝，即∠EAF＝，∴∠DAE＝∠FAE，∴△ADE≌△AFE，∴DE＝EF，在Rt△EGF中，由勾股定理得，，，；，.【变式5】已知：△AOB和△COD均为等腰

直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论

．（1）证明：如图1中，∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，∴OA＝AB＝4，OD＝CD＝，∴AD＝＝＝，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OC＝OD，OA＝OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴BC＝AD

＝，∵点H为线段BC的中点，∴OH＝BC＝；（2）解：结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，∵点H是BC中点，∴BH＝CH，∴△BEH≌△CHO（SAS），∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，∴∠OBE＝∠EBC+∠OB

C＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，∵OB＝OA，OC＝OD，∴△BEO≌△ODA（SAS），∴OE＝AD，∴OH＝OE＝AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO

∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，∴OH⊥AD．【变式6】（1）问题发现如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是．（2）类比探究如图

2，将∠COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由．（3）拓展延伸∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数．解：问题发现（1）∵将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，∴OC＝OD，且OA＝OB，∴AC＝BD，故答案为：AC＝BD

；（2）结论仍然成立，理由如下：∵将∠COD绕点O在平面内旋转，∴∠COD＝∠AOB，∴∠BOD＝∠AOC，且AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD（SAS）∴AC＝BD；（3）∵OA＝OB，∠AOB＝50°，∴∠OAB＝∠OBA＝65

°，当点D在点O左侧，∵OD∥AB，∴∠BOD+∠OBA＝180°，∴∠BOD＝115°，当点D在点O右侧，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBA＝65°．【变式7】如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a

角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，

此时EC′的长为．解：（1）DB'＝EC'，理由如下：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD＝AE，由旋转可得，∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，∴∠DAB'＝∠EAC'，且AB'＝AC'，AD＝AE∴△ADB'≌△

AEC'（SAS），∴DB′＝EC′，（2）①当DB′∥AE时，∠B'DA＝∠DAE＝90°，又∵AD＝AB'，∴∠AB'D＝30°，∴∠DAB'＝60°，∴旋转角α＝60°，故答案为60°，②如图3，当点B'，D，E在一条直线上，∵AD＝，∴AB'＝2

，∵△ADE，△AB'C'是等腰直角三角形，∴B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，由（1）可知：△ADB'≌△AEC'，∴∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，∵∠ADB'＝∠DAE+∠AED，∠AEC'＝∠AED+∠DEC'，∴∠DEC'＝∠DAE＝90°，

∴B'C'2＝B'E2+C'E2，∴16＝（2+EC'）2+C'E2，∴CE＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式8】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90

°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理

由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45°∵AC＝CD，BC⊥AC，∴AB＝BD，∴∠BAC＝∠B

DC＝45°，∴∠ABD＝90°，∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°，∴四边形ABDE是矩形，且AB

＝BD，∴四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，AD＝AB，∴AB+AE＝AD，故答案为：；（2）结论仍然成立；如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，∵BC∥DF，∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，∴∠F＝∠DAF＝45°，∴AD＝DF，∴AF

＝AD，∵∠ADF＝∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF，∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝AD；（3）不成立，当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°

，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB﹣BF＝AF，∴AB﹣AE＝AD；当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥

BC，交BA延长线于点F，∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB+AF＝BF，∴AB+AD＝A

E．【变式9】如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为．如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG

与BE之间的数量关系，并说明理由．如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积．解：（1）如图①中，∵AC＝BC，CG＝EC，∴

AG＝AC﹣CG＝BC﹣EC＝BE，∴＝，故答案为：．（2）结论：＝．如图②中，所示，连接CG．∵∠ACG＝∠BCE，＝＝，∴△ACG∽△BEC，∴＝，（3）如图③中，连接CG，、∵△ACG∽△BEC，∴∠GAC＝∠EBC∠AGC＝∠BEC＝90°，

∵AG＝6，∴BE＝，∵tan∠EBC＝tan∠GAC＝，∴∠EBC＝30°，在Rt△BEC中，tan∠EBC＝∴EC＝，∴，【变式10】已知，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上一点（不与点

A．B重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE．（1）如图1，求证：∠EBD＝90°（2）如图2，连接DE与BC相交于点F，G在AC上，连接DG．若AG：CG＝7：5．BD＝2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角

．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，∴∠DCE＝90°，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠EBD＝90

°；（2）解：由（1）得：△ACD≌△BCE，∠EBD＝90°，∴AD＝BE，∵BD＝2AD，∴BD＝2BE，∴tan∠BDE＝＝；作DM⊥AC于M，如图2所示：则DM∥BC，△ADM是等腰直角三角形，∴＝＝2，AM＝DM，∴CM＝2A

M＝2DM，∴tan∠BCE＝tan∠ACD＝＝；∵AG：CG＝7：5，∴设AG＝7x，则CG＝5x，AC＝12x，DM＝AM＝AC＝4x，∴MG＝AG﹣AM＝3x，∴DG＝＝＝5x，∴DG＝CG，∴∠GDC＝∠ACD，∴tan

∠GDC＝tan∠ACD＝；综上所述，图2中所有正切值为的角为∠BDE、∠ACD、∠BCE、∠GDC．【变式11】已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点．（1）如图1，求∠B的度数；（2）如图2，点E为

AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：

PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．（1）∵AD⊥BC，D为BC中点，∴AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠BAC＝2∠B，∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠B+2∠B+∠B＝180°，∴∠B＝45°；（2）∠F＝2∠FDC，理由如下：在DH上取一点N使HN＝H

F，∵CH⊥DF，HN＝HF，∴CN＝CF，∴∠F＝∠CNF，∵DH＝CF+HF，DH＝DN+HN，∴CF＝DN，∵CN＝CF，CF＝DN，∴CN＝DN，∴∠FDC＝∠NCD，∵∠CNF＝∠FDC+∠NCD，∴∠F＝2

∠FDC；（3）连接PC交DF于K，过点C作CM⊥EG于M，由（2）知∠F＝2∠FDC，设∠FDC＝α，则∠F＝2α，∵∠BPD＝∠F，∴∠BPD＝2α，∵AD⊥BC，D为BC中点，∴BP＝CP，∠PCD＝∠PBD，∵∠BPD＝2α，∴∠PCD＝∠PBD＝90

°﹣2α，∴∠PKD＝∠PCD+∠FDC＝90°﹣α，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°﹣∠FDC＝90°﹣α，∴∠PKD＝∠ADF，∴PK＝PD，由EF沿着EC折叠可知∠FEC＝∠GEC，∴CM＝CH，由（1）知∠ABC＝45°，AD⊥BC

，∴∠BAD＝45°，∵∠BAC＝2∠ABC，∴∠DAC＝45°，∴∠AED＝45°+α，∴∠FEC＝∠CEG＝∠AED＝45°+α，∴∠HEG＝90°+2α，∵∠DEG＝90°﹣2α，∴∠EGC＝90°﹣α，∵∠EKC＝∠PK

D＝90°﹣α，∴∠EGC＝∠EKC，又∵∠GMC＝∠KHC＝90°，∴△GMC≌△KHC（AAS），∴GC＝CK，由BP：PD＝12：5，设BP＝12x，PD＝5x∴GC＝CK＝CP﹣PK＝BP﹣PK＝12x﹣5x＝7x∵GC﹣PD＝3∵7x﹣5

x＝3∴x＝1.5∴GC＝7x＝10.5获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com