【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第八章第二节　直线的位置关系与距离公式 含答案【高考】.doc，共(8)页，181.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第二节直线的位置关系与距离公式授课提示：对应学生用书第153页[基础梳理]三种距离三种距离条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2点到直线

的距离P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为dd＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2两平行线间的距离直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为dd＝|C1－C2|A2＋B21．点到直线的距离公式(1)直线方程为一般式．(2)公式中分

母与点无关．(3)分子与点及直线方程都有关．2．两平行直线间的距离(1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离．[四基自测]1．(基础点：点到直线的距离)点(1，

－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A.12B．32C.22D.322答案：D2．(基础点：直线的交点)直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．答案：233．(基础点：两平行线间的距离)已知两平行线l1：2x＋3y＝6

，l2：2x＋3y－1＝0，则l1与l2间距离为________．答案：513134．(易错点：点到直线距离的应用)已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．答案：－

4或12授课提示：对应学生用书第154页-2-考点一直线的交点及应用挖掘直线交点的应用/自主练透[例](1)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．[解析]法一：由方程组

x－2y＋4＝0x＋y－2＝0得x＝0，y＝2，即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－43，所以直线l的方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋

4－2λ＝0.因为l⊥l3，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.[答案]4x＋3y－6＝0(2)过点M(0，1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰

好被M所平分，则此直线方程为________．[解析]过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别是0，103，(0，8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，其图像与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有①yA＝kxA＋1，xA

－3yA＋10＝0，②yB＝kxB＋1，2xB＋yB－8＝0.由①解得xA＝73k－1，由②解得xB＝7k＋2.因为点M平分线段AB，所以xA＋xB＝2xM，即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.所以所求直线为y＝－14x＋1，即x＋4y－4＝0.

[答案]x＋4y－4＝0(3)已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．[解析]法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时

与l1，l2的交点分别为A′(3，－4)，B′(3，－9)，截得的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.解方程组y＝k

（x－3）＋1，x＋y＋1＝0，得A3k－2k＋1，－4k－1k＋1，解方程组y＝k（x－3）＋1，x＋y＋6＝0，得B3k－7k＋1，－9k－1k＋1.由|AB|＝5，得3k

－2k＋1－3k－7k＋12＋－4k－1k＋1＋9k－1k＋12＝52.-3-解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.法二：如图所示，作直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0.l1与x、y轴的交点A(－1，0)、B(0，－1)，

l2与x、y轴交点C(－6，0)、D(0，－6)．所以|BD|＝5，|AC|＝5.过点(3，1)与l1、l2截得的线段长为5.即平行x轴或y轴．所以所求直线方程为x＝3或y＝1.[破题技法]1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解

由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．2．求过两直线交点的直线方程的方法(1)直接法：①先求出两直线的交点坐标；②结合题设中的其他条件，写出直线方程；③将直线方程化为一般式．(2)直线系法：①设过两直线A1x＋B1y＋C1＝0

，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.②利用题设条件，求λ的值，得出直线方程．③验证A2x＋B2y＋C2＝0是否符合题意．(3)数形结合法，求

直线截得的线段长．考点二距离问题挖掘距离问题的应用/自主练透[例](1)(2020·昆明模拟)点P到点A′(1，0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于22，这样的点P共有()A．1个B．2个C．3个D.4个[解析]设点P(x，y)，由题意知（x－1）2＋y2＝|x

＋1|，且22＝|x－y|2，所以y2＝4x，|x－y|＝1，即y2＝4x，x－y＝1，①或y2＝4x，x－y＝－1，②-4-解①得x＝3－22，y＝2－22或x＝3＋22，y＝2＋22，解②得

x＝1，y＝2，因此，这样的点P共有3个．[答案]C(2)已知两条平行直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为5，则直线l1的方程为________．[解析]因为l1∥l2，所以m2＝8m≠

n－1，所以m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2.①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，所以|n＋2|16＋64＝5，解得n＝－22或18.故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x

＋4y＋9＝0.②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，把l2的方程写成4x－8y－2＝0，所以|－n＋2|16＋64＝5，解得n＝－18或22.故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.[答案]2x±4y＋9＝0或2x±4y－1

1＝0[破题技法]应用点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式时应注意：(1)用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；(2)两平行线间的距离公式，两直线方程中x，y的系数分别相同；(3)两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化．考点三对称问题

挖掘1求对称点、直线/自主练透[例1]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．[解析](1)设对称点

A′的坐标为(m，n)，由已知可得n＋2m＋1·23＝－1，2·m－12－3·n－22＋1＝0，解得m＝－3313，n＝413，即A′－3313，413.(2)在直线m上取一点，如B(2，0)，则B关于

l的对称点必在m′上，设对称点为B′(a，b)，-5-则由2·a＋22－3·b＋02＋1＝0，b－0a－2·23＝－1，得B′613，3013.设m与l的交点为N，由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4，3)．设直线

m′上任意一点的坐标为(x，y)，由两点式得直线m′的方程为y－33013－3＝x－4613－4，即9x－46y＋102＝0.(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)．则M，N关于点A的对称点M′，N′均

在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设直线l关于点A的对称直线l′上的任意一点P(x，y)，则点P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵点P′

在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.挖掘2利用对称性求解直线方程/互动探究[例2](1)(2020·淮安模拟)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)

，则反射光线所在直线的方程为________．[解析]设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b－4a－（－3）·1＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)．所以所求

直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.[答案]6x－y－6＝0(2)已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为__________________________

________________________．[解析]A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．设A1(x1，y1)，-6-则有y1＋1

x1－4×1＝－1，x1＋42－y1－12－1＝0，解得x1＝0，y1＝3，所以A1(0，3)．同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.[答案]2x－y＋3＝0(3)已知直线l：x－2y＋

8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小．[解析]设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，则n－0m－2＝－2，m＋22－2·n＋02＋8＝0，解得m＝－2，n＝8，故A′(－2，8)

．P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解方程组x＝－2，x－2y＋8＝0，得x＝－2，y＝3，故所求的点P

的坐标为(－2，3)．[破题技法]有关对称问题的规律方法方法解读中心对称点关于点点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，利用中点x＝2a－x1y＝2b－y1直线关于点l1关于A对称的直线：取B∈l1

，求B关于A的对称点B′，利用斜率相等，求点斜式轴对称点关于直线对称点A关于l1的对称点A′，利用A′A的中点在l1上，且AA′⊥l，求A′点线l1关于线l对称l1∩l＝A利用A∈l2，且取B∈l1，求B关于l的对称点

B′，由A和B′求方程若l1∥l利用平行线l1与l，l与l2之间的距离相等；或者利用斜率相等考点四点、线及位置关系、距离的应用挖掘构造距离求最值(创新问题)/互动探究[例](1)设x＞0，y＞0，满足2x＋y＝1，则x＋x2＋y2的最小值为()A.45B．25-7-C．1D.1＋23[解析]因为x

，y∈R＋，满足2x＋y＝1，设z＝x＋x2＋y2，其可表示为直线2x＋y＝1在第一象限的点P(x，y)到y轴的距离d与到原点的距离|PO|的和．设原点关于直线2x＋y＝1的对称点O1(m，n)，则由2·m＋02＋n＋02－1＝0，（－2）·n－0m－0

＝－1解得m＝45，n＝25，所以O145，25.由对称性可得|PO1|＝|PO|，所以z＝|PO1|＋d，故PO1⊥y轴时z最小．故当且仅当x＝310，y＝25时z＝x＋x2＋y2取最小值45，故选A.[答案]A(2)已知实

数x满足|2x＋1|＋|2x－5|＝6，则x的取值范围是________．[解析]由|2x＋1|＋|2x－5|＝6可得|x－(－12)|＋|x－52|＝3，它表示数轴上的动点x到定点－12与52的距离

之和为3.又定点－12与52之间的距离恰好为3，故有x∈[－12，52]．[答案][－12，52][破题技法]本解法利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的点之间的距离问题，使解题过程直观快捷．(3)设a＞0，若f(x)＝x2

－6ax＋10a2＋x2＋2ax＋5a2(x∈R)的最小值为10，则a＝________．[解析]f(x)＝（x－3a）2＋[0－（－a）]2＋（x＋a）2＋（0－2a）2，它表示动点P(x，0)到点A(3a，－a)与B(－a，2a)的距离之和，即f(x)＝|PA|＋|PB|.由已知条件可知：

f(x)＝|PA|＋|PB|的最小值为10.因为a＞0，所以点A，B在x轴的两侧，故对x轴上的动点P(x，0)，一定有|PA|＋|PB|≥|AB|，故|PA|＋|PB|的最小值为|AB|.于是有|AB|＝10，即[3a－（－a）]2＋（－a－2a

）2＝10，又a＞0，解得a＝2.[答案]2[破题技法]构造距离后，把已知条件转化为x轴上的动点到两定点的距离之和的最小值为10，便于顺利得到关于a的方程进行求解．(4)求函数y＝x2－2x＋2＋x2－6x＋13的最小值．[解析]此类问题直接用代

数方法求解，困难较大，我们注意到x2－2x＋2和x2－6x＋13分别可变形为（x－1）2＋（0－1）2和（x－3）2＋（0－2）2，便可分别看成是点(x，0)到另两点(1，1)和(3，2)的距离，即问题化为x轴上一动点(x，-8-0)到另两定点(1，1)和

(3，2)的距离之和的最小值．结合图形(图略)，易得ymin＝13.[破题技法]此类问题直接用代数方法求解，困难较大，我们往往对解析式通过变形赋予一定的几何意义，利用数到形的转变解决这类问题．