【文档说明】湖北省恩施一中、建始一中、咸丰一中三校2023-2024学年高二上学期9月联考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.204 MB，由管理员店铺上传

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恩施一中、建始一中、咸丰一中三校九月联考高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2560Axxx=−−，45

Bxx=−，则AB=（）A.46xx−B.16xx−C.{|5xx或6}xD.41xx−−【答案】C【解析】【分析】求出集合A，根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意得2560{6Axxxxx=−−=或1}x−，而45Bxx

=−，故{|5ABxx=或6}x，故选：C2.复数5i2−的共轭复数的虚部是（）A.1−B.1C.i−D.i【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求得5i2−的结果，即可得其共轭复数，即可得答案.【详解】由题意得55(2i)2ii25−−==−−−，故复数5

i2−的共轭复数为2i−+，其虚部为1，故选：B3.甲、乙两套设备生产的同类型产品共3200件，现采用分层抽样的方法从中抽取一个样本容量为80的样本进行质量检测．若样本中有45件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（）A.1100件B.1200件C.1400件D.160

0件【答案】C【解析】【分析】由题意求出样本中乙设备生产的产品的占比，即可求得乙设备生产的产品总数.【详解】由题意可知样本中有45件产品由甲设备生产，则有35件产品由乙设备生产，故乙设备生产的产品所占比例为3578016=，则乙设备生产的产品总数为73200140016=（件），故选：C4.已

知向量||2a=，||1b=，且|2|10ab−=，则b在a方向上的投影向量为（）A.14aB.14a−C.18aD.18a−【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算可得222|2|4410abaabb−=−+=，可求得12ab=−，即可利用投影向

量得出答案.【详解】∵||2a=，||1b=，且|2|10ab−=，∵222|2|4410abaabb−=−+=，∴44410ab−+=，12ab=−，∴b在a方向上的投影向量为21||cos,||8||||||||||aabaabbabbaaaabaa===−，故选：D．5.已知

函数()yfx=是偶函数，(2)yfx=−在[0,2]是单调减函数，则（）A.(1)(2)(0)fff−B.(1)(0)(2)fff−C.(0)(1)(2)fff−D.(2)(1)(0)fff−

【答案】C【解析】【分析】先根据()2yfx=−在0,2是单调减函数，转化出()yfx=的一个单调区间，再结合偶函数关于y轴对称得02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】()2yfx=−在0

,2是单调减函数，令2tx=−，则20t，−，即()ft在20−，上是减函数()yfx=在20−，上是减函数函数()yfx=是偶函数，()yfx=在02，上是增函数()()11ff−=,则()()()012ff

f−故选C【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．6.已知0.302a=.，0.20.3b=，0.3log0.2c=，则（）A.abcB.cabC.cbaD.bac【答案】A【解析】【分析】利用指数函数以及幂函

数的单调性比较,ab大小，根据对数函数的单调性判断c的范围，即可得答案.【详解】由于0.2xy=在R上单调递减，故0.30.2020.21a=.，而0.2yx=在R上单调递增，故20.02.10.230.b=，即1ab；由于0.3logyx=在(

0,)+上单调递减，故0.30.3log0.2log0.31c==，故abc，故选：A7.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比512t−=的近视值.有一个内角为36o的等腰三角形中，

较短边与较长边之比为黄金比.则sin126=（）A.512−B.512+C.514−D.514+【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，讨论等腰三角形顶角为36o与底角为36o两种情况，利用正弦定理，以及三角恒等变换对应的公式，即可得出结果.【详解】若该等腰

三角形的顶角为36o，则底角为36180722−=ooo，因此，由正弦定理可得：较短边与较长边之比为sin3651sin722−=oo，即sin36512sin3636cos2−=ooo，所以51cos364+=，因此cos51sin126364+==oo；若该等腰三角形的底角为36o，则顶

角为361802108−=ooo，因此，由正弦定理可得：较短边与较长边之比为sin3651sin1082−=oo，即sin3651cos182−=oo，则2sin181851cos18cos2−=ooo，所以51sin184−=o，因此251sin126361c

os2sin184=+==−ooo.综上，51sin1264+=o.故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于正弦定理，结合题中条件，先表示出较短边与较长边之比，进而可利用三角恒等变换化简求解.8.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且2BDDC=，E为线段AD上一点，

若ABE与ACD的面积相等，则BEAC的值为（）A14B.14−C.34D.34−【答案】D【解析】【分析】由题可得E为AD的中点，建立坐标系利用坐标法即得.【详解】∵D在线段BC上，且2BDDC=，∴12ACDABDSS=，又E为线段AD上一点，若ABE与ACD的

面积相等，∴12ABEABDSS=△△，E为AD的中点，如图建立平面直角坐标系，则()()()33730,0,,3,2,0,3,0,,32244BADCE，∴7333,3,,34422BEAC==−

，∴733333342424BEAC=−=−.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得0分．9.已知函数π()tan23fxx=+，则下列说法正确的是（）A.()fx为奇函数B.()fx在区间π7π,1212上单调递增C.()fx图象的一个对称中心为π,012D.()fx的最小正周期为

π【答案】C【解析】.【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【详解】因为π()tan23fxx=+，所以ππ2π32xk++，解得ππ212kx+，Zk即函数的定义域不关于原点对称，所以()fx不是奇函数，故A错误；当π12x=时，ππ232x+=

，此时()fx无意义，故()fx在区间π7π,1212上单调递增不正确，故B错误；当π12x=时，ππ232x+=，正切函数无意义，故π,012为函数的一个对称中心，故C正确；因为πππππ()tan2()tan(2π)tan2()22333fxxxxfx

+=++=++=+=，故π2是函数的一个周期，故D错误.故选：C10.已知正实数a，b满足111ab+=，则下列不等式恒成立的是（）A.49ab+B.4abC.228ab+D.221112ab+【答案】BD【解析】【分析】利用条件将4ab+化)((14)1aabb

++，展开后结合基本不等式可判断A；直接利用基本不等式判断B；举反例判断C；将2211ab+化为22()11baab+−，l由基本不等式即可判断D.【详解】由题意正实数a，b满足111ab+=，故11444(4)()5259b

abaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=，结合111ab+=，即33,2ab==时取等号，A错误；由111ab+=可得111112abab=+，即4ab，当且仅当11

ab=，结合111ab+=，即2ab==时取等号，B正确；取44,3ab==满足111ab+=，但228ab+，C错误；为由于111ab+=，4ab，故22211221()11421ababab+=−=+−，当且仅当11ab=，结合111ab+=，即2ab==时取等

号，D正确，故选：BD11.在一次党建活动中，甲､乙､丙､丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲､乙､丙､丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀

小组”是（）A.甲组中位数为2，极差为5B.乙组平均数为2，众数为2C.丙组平均数为1，方差大于0D.丁组平均数为2，方差为3【答案】AD【解析】【分析】结合中位数，平均数，众数，方差，极差的定义，分析判断每个选项.【详解】对A，因为中位数为

2，极差为5，故最大值小于等于7，故A正确；对B，如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；对C，如失分数据分别为0,

0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；对D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于21(82)3.6310−=，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确

．故选：AD.12.已知()1fxx=+，()22xgxa+=+，若对任意13,4x，存在23,1x−，使()()12fxgx，则实数a的取值可以是（）A.1−B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】【分析】结合函数单调性求得()(),fxgx的最小

值，由题意可推出()minmin()fxgx，故得到相应不等式，的求出a的范围，即可求得答案.【详解】由题意3,4x时，()1[4,5]fxx=+，即()min4fx=；而()2222,222,2xxxaxgxaax+

+−−+−=+=+−，故()gx在3,2−−上单调递减，在2,1−上单调递增，所以()min(2)1gxga=−=+，由于对任意13,4x，存在23,1x−，使()()12f

xgx，过()minmin()fxgx，即41,3aa+，结合选项，故实数a的取值可以是1,2,3−，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.平面的法向量为()1,1,2n=−，()2,0,1AB=−

，那么直线AB与平面的关系是_____．【答案】AB∥或AB【解析】【分析】计算平面的法向量和AB的数量积，即可判断,BnA的关系，进而判断直线AB与平面的关系.【详解】由题意知()1,1,2n=−，()2,0,1AB=−，则()(),10,2,0112(1)021,2(1

)nAB−=+−+==−−，故nAB⊥，则AB∥或AB，故答案为：AB∥或AB14.一位射击运动员在一次射击测试中射靶7次，命中的环数依次如下：7，8，10，9，8，8，6，则该组数据的上四分位数是____________．【答案】9【解析】【

分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的概念，即可求得答案.【详解】将7，8，10，9，8，8，6从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，由于775%5.25=，故该组数据的上四分位数为第6个数9，故答案为：915.已知函数(),142,12xaxfxaxx

=−+是R上的增函数，则实数a的取值范围是_____________.【答案】)4,8【解析】【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出a的取值

范围.【详解】函数(),142,12xaxfxaxx=−+是R上的增函数，所以14024122aaaa−−+，解得48a.故答案：[4,8)16.现有一个底面边长为23，侧棱长为2

2的正三棱锥框架，其各顶点都在球1O的球面上，将一个圆气球2O放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时球2O的表面积为____________．【答案】()44166π−【解析】【分析

】求出正棱锥的高，由题意知球2O为正三棱锥的棱切球，确定球心位置，列方程求出球的半径，即可求得答案.【详解】设此正三棱锥框架为−PABC，球1O半径为R，球2O的半径为r，ABC的外接圆圆心为O，连接,POAO，延长AO交BC于N，为

的因为圆气球恰好与正三棱锥各棱都相切，设球2O与棱,PABC相切于,MN，则3212332123,,3ANAOANONAN======，由题意知PO⊥底面ABC，AO底面ABC，故POAO⊥，又22

PA=，故22842POPAAO=−=−=，在2RtOON中，221,122OOrr=−，在2RtPMO中，由于2POAO==,则2ππ,44APOMPO==，则22,2PMMOrPOr===，由22POPOOO=+，可得2221rr=+−，解得223r=−，（223r=+舍），故球2O

的表面积为()()224π4π22344166πr=−=−，故答案为：()44166π−【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求出球2O的半径，解答时要发挥空间想象，确定球2O的球心大致位置，进而根据等量关系列出方程，求得半径，即可

求解答案.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图所示，四棱柱1111ABCDABCD−中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60．（1）求

1AC的长；（2）求1DA与AC夹角的正弦值．【答案】（1）6（2）36【解析】【分析】（1）记1,,ABaADbAAc===，根据空间向量的运算表示出1ACcab=++，根据向量模的计算即可得答案；（2）求出空间向量1

,DAAC的数量积和它们的模长，根据空间向量的夹角的计算，即可求得答案.【小问1详解】记1,,ABaADbAAc===，则π||||||1,,,3,abcabbcac======，所以12abbcac==

=，由于1ACcab=++，故222221()222ACabcabcabacbc=++=+++++11111126222=+++++=，故1||6AC=，即1AC的长为6；【小问2详解】由于11,DAAAADcbACABADab=−=−=+=+，所以21()

()DAACcbabcacbbab=−+=+−−111112222=+−−=−，221||()1111,()1113DAcbACab=−=+−==+=++=，故111132cos,6||||13DAACDAACDAAC−===−

，由于1DA与AC夹角的范围为π(0,]2，故1DA与AC夹角的余弦值为36.18.我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过

x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),...,[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）已知该市有80万居民，估计

全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【答案】（Ⅰ）0.30a=；（Ⅱ）96000人；(Ⅲ)估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过

标准.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图中的矩形面积的和为1求a的值；（Ⅱ）首先计算月均用水量大于等于3吨的频率，80万乘以频率就是所求的人数；（Ⅲ）首先大体估计x的区间，再计算区间0,x的频率和为0.85时，求解x的值.试题解析：（

Ⅰ）由频率分布直方图，可得()0.080.160.400.520.120.080.040.51aa++++++++=，解得0.30a=.（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为()0.120.080.040.50.12++=，由以上样本频率分布，可以估计

全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为8000000.1296000=.(Ⅲ)前6组的频率之和为()0.080.160.300.400.520.300.50.880.85+++++=，而前5

组的频率之和为()0.080.160.300.400.520.50.730.85++++=，2.53x由()0.32.50.850.73x−=−，解得2.9x=，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.19.甲、乙

两人组成“红队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为12，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“红队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．【答案】38【解析】【分析】两轮活动中猜对3

个谜语相当于事件“甲猜对1个、乙猜对2个”和事件“乙猜对1个、甲猜对2个”的和事件，根据互斥事件以及独立事件的概率公式，即可求得答案.【详解】设12,AA分别表示甲两轮猜对1个和2个谜语的事件，12,BB分别表示甲两轮猜对1个和2个谜语的事件，则()()2

12313392,448416PAPA====，()()2121111122,2224PPBB====，设A表示“红队”在两轮活动中猜对3个谜语，则()()1221AABAB=，

且1221,ABAB互斥，故()()()()()()()12211221PAPABPABPAPBPAPB=+=+31913841628=+=，故“红队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为38.20.如图，在三棱锥VABC−中，VC⊥底面AB

C，ACBC⊥，D是AB的中点，且ACBCa==，π02VDC=．（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；（2）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角的为π6．【答案】（1）证明见解析；（2）4=【解析】【分析】(1)建立空间坐标系,先证

明线面垂直,再证明面面垂直,即先证ABCD⊥,ABVD⊥可证出AB⊥平面VCD，最后证出平面VAB⊥平面VCD;(2)先求出平面VAB的法向量,再根据线面角公式表示出和相关的式子,最后根据的范围求解.【小问1详解

】证明：以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)C，(,0,0)Aa，(0,,0)Ba，,,022aaD，20,0,tan2Va.于是2,,tan222aaVDa=−，,,022aaCD

=，(,,0)ABaa=−，从而2211(,,0),,0002222aaABCDaaaa=−=−++=，即ABCD⊥.同理22211(,,0),,tan0022222aaABVD

aaaaa=−−=−++=，即ABVD⊥.又CDVDD=,所以AB⊥平面VCD，又AB平面VAB，平面VAB⊥平面VCD.【小问2详解】解：设直线BC与平面VAB所成角为，平面VAB的一个法向量为(,,

)nxyz=，则由0,0,nABnVD==得0,2tan0,222axayaaxyaz−+=+−=可取22tan,tan,122n=，又(0,,0)BCa=−，于是22tan||22sinsin2||||1tan

anBCnBCa===+，当6=时，2sinsinsin62==，解得，2sin2=，又因为π02VDC=，所以，4=.21.已知幂函数()()23

122233ppfxppx−−=−+满足()()24ff．（1）求函数()fx的解析式；（2）若函数()()3hxnfx=−+，是否存在实数a，b（ab），使函数()hx在,ab上的值域为,ab？若存在，求出实数n的取

值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）()12fxx=（2）9(,2]4−−【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数求得参数p的值，结合单调性即可求得函数解析式；（2）假设存在实数a，b（ab），使函数()hx在,ab上的值域为,ab，根据函

数单调性可得相应关系式，推出33(3)(3)abab+−+=+−+，整理化简后可得313nabaa=++=+−+，利用换元法结合二次函数性质即可求得n的范围，即可得出结论.【小问1详解】由()()23122233ppfxppx−−=−+是幂函数，可得2331pp−+=，解得1p=或2p=；当1

p=时，()1fxx−=在(0,)+上单调递减，不满足()()24ff；当2p=时，()12fxx=在(0,)+上单调递增，满足()()24ff，故()12fxx=．【小问2详解】由题意知()()33hxnfxnx=−+=−+，则()hx在定义域[3,)−+上单调递减，若实数

a，b（ab），使函数()hx在,ab上的值域为,ab，则()()33hanabhbnba=−+==−+=，两式相减，得33(3)(3)ababab+−+=−=+−+，故()()33333

3ababab+−+=+−++++，而330ab+−+，所以331ab+++=，即313ba+=−+，将该式代入()3hbnba=−+=，得313nabaa=++=+−+，令3ta=+，由ab，知3313aba++=

−+，即132a+，故1[0,)2t，所以2219224nttt=−−=−−，由于21924yt=−−在1[0,)2上单调递减，所以924n−−，故存在实数a，b（ab），使函数()hx在,ab上的值域为,ab，

此时实数n的取值范围为9(,2]4−−.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问的探究问题，解答时要能根据函数的单调性得出,ab之间的关系式，从而推出n关于,ab的关系式，换元后转化为二次函数问题，即可得出结论.22.已知函数()sin()0,||,24fxxx

=+=−为()fx的零点，4x=为()fx图象的对称轴．（1）若()fx在[0,2]内有且仅有6个零点，求()fx；（2）若()fx在5,1836上单调，求

的最大值．【答案】（1）()sin34fxx=−；（2）9.【解析】【分析】（1）根据()fx的零点和对称中心确定出T的取值情况，再根据()fx在0,2上的零点个数确定出57222TT，由此确定出T的取值，结合2T=求解出的取值，再根据04f

−=以及的范围确定出的取值，由此求解出()fx的解析式；（2）先根据()fx在5,1836上单调确定出T的范围，由此确定出的可取值，再对从大到小进行分析，由此确定出的最大

值.【详解】（1）因为4x=−是()fx的零点，4x=为()fx图象的对称轴，所以()21444nTnN+−−=，所以()()221nTnN=+，因为()fx在0,2内有且仅有6个零点，分析正弦函数函数图象可知：6

个零点对应的最短区间长度为52T，最长的区间长度小于72T，所以57222TT，所以()5721,22TTnTnN+，所以5721,22nnN+，所以1n=，所以223T==，所以3=，所以()()sin3fxx=+，代入4x=

−，所以3sin044f−=−+=，所以3,4kkZ−=，所以3,4kkZ=+，又因为||2，所以1,4k=−=−，所以()sin34fxx=−；（

2）因为()fx在5,1836上单调，所以536182T−，即53618−，所以12，又由（1）可知()()221nTnN=+，所以221,nnNT==+，所以1,3,5,7,9,11，当11=时，11si

n044f−=−+=，所以111,4kkZ=+，所以13,4k=−=−，所以此时()sin114fxx=−，因为5,1836，所以132311,4

3618x−，又因为sinyt=在1323,3618t时显然不单调所以()fx在5,1836上不单调，不符合；当9=时，9sin044f−=−+=，所

以29,4kkZ=+，所以22,4k=−=，所以此时()sin94fxx=+，因为5,1836，所以339,442x+，又因为sinyt=在33,42t时显然单调递

减，所以()fx在5,1836上单调递减，符合；综上可知，的最大值为9.【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数()()sinfxAx=+涉及的取值范围问题的常见突破点：（1）结论突破：任意对称轴（对称中心）之间的距离为()*2nTnN，任意对称轴与对

称中心之间的距离为()*214nTnN−；（2）运算突破：已知()()sinfxAx=+在区间(),ab内单调，则有2Tba−且()()22,kkakZbkZ−−+−；已知(

)()sinfxAx=+在区间(),ab内没有零点，则有2Tba−且()()()1,kkakZbkZ+−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com