【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题 .docx，共(7)页，1.477 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2023年上学期高一期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数()i2iz=+，则复数z在复平面内对应的点

在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.正方体1111ABCDABCD−中，异面直线1AD与BD所成角为（）A.45B.60C.90D.1203.在ABC中，BDDC=，则AD=（）A

.1122ABAC−B.1122ABAC+C.22ABAC+D.2ABAC−4.ab、为空间中两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若a∥b，a∥，则b∥B.若ab、为异面直线，则过空间任一点M，存在直

线c与ab、都垂直C.若a，b=，则a与b相交D.若a不垂直于，且b，则a不垂直于b5.一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为93π，则该圆锥的母线长为（）A.3B.33C.6D.

636.向量||||1,||2abc===，且0abc++=，则cos,acbc−−=（）A.15−B.25−C.25D.457.先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件A=“两次掷出的点数之和是6”，事件B=“第一次掷出的点数是奇数”，事件C=“两次掷出的点数相

同”，则（）A.A与B互斥B.B与C相互独立C.()16PA=D.A与C互斥8.已知点G为三角形ABC的重心，且GAGBGAGB+=−，当C取最大值时，cosC=（）A.45B.35C.25D.15二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：下列说法正确的是（）A.产品升级后，产品A的

营收是升级前的4倍B.产品升级后，产品B营收是升级前的2倍C.产品升级后，产品C的营收减少D.产品升级后，产品B､D营收的总和占总营收的比例不变10.设1z，2z是复数，则下列命题中正确的是（）A.若1z是纯虚数，则210zB若22120zz+=，则12

0zz==C.若12zz=，则1122zzzz=D.若复数1z满足11z=，则12zi+的最大值为311.如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CDs=.测绘兴趣小组利用测

角仪可测得的角有：,,,,,ACBACDBCDADBADCBDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）的.的A.,,,sACBBCDBDCB.,,,sACBBCDACDC.,,,sACBACDADCD.,,,sACBBCDADC12.如图，

正方体ABCDABCD−的棱长为4，M是侧面ADDA上的一个动点（含边界），点P在棱CC上，且1PC=，则下列结论正确的有（）A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为45B.保持PM与BD垂直时，点M的运动轨迹长度为

32C.若保持||25PM=，则点M的运动轨迹长度为43D.平面ADP被正方体ABCDABCD−截得截面为等腰梯形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临

床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为______．14.甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院

校A，B至少有一所被选择的概率为_________．15.水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一的个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.16.如图，已知P，Q

分别为AOB两边上的点，π6AOB=，3PQ=，过点P，Q作圆弧，R为PQ的中点，且π6PQR=则线段OR长度的最大值为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）17.已知向量()1,3a=−，()5,1b=−．（1）若ab∥，求的值；（2）若()()2abab+⊥−，求值．18.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为1AA的中点，F为A

E的中点．（1）求证：//CE平面BDF；（2）求三棱锥EBDF−的体积．19.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．分组频数频率)10

,15100.25)15,2024n)20,25mp25,3020.05的合计M1（1）写出表中M、p及图中a的值（不需过程）；（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间)10,15上的人数；（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．

（结果精确到0.01）20.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2222cosbcaA+−=．（1）求bc；（2）若coscos1coscosaBbAbaBbAc−−=+，求ABC面积．21.已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外

心．4ACAB==，2BC=.（1）证明：BC⊥AD；（2）E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为1，求二面角ECOB−−的余弦值．22.甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两

名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同.（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；（2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.获

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