【文档说明】《2022年小升初数学无忧衔接（苏科版）》第08讲 有理数的乘方（解析版）-小升初无忧衔接（苏科版）.docx，共(13)页，154.402 KB，由envi的店铺上传

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第08讲有理数的乘方（解析版）一、知识衔接二、新知导学知识点一有理数乘方的意义知识梳理一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·…·a，记作an，读作“a的n次方”.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做

指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.典例剖析+反馈练习典例1（2021秋•凌海市期中）把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）写成幂的形式是，底数是，指数是．思路引领：根据有理数的乘方的定义解答．解：把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）写成幂的形式是（﹣3）3，底数是﹣3，指

数是3，故答案为：（﹣3）3，﹣3，3．解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．反馈练习1．（2019秋•兴安盟期末）把（−12）×（−12）×（−12）×（−12）×（−12

）写成幂的形式（不用计算）为思路引领：求n个相同因数积的运算，叫做乘方，据此把（−12）×（−12）×（−12）×（−12）×（−12）写成幂的形式即可．解：把（−12）×（−12）×（−12）×（−12）×（−12）写成幂的形式（不用计算）为（−12

）5．故答案为：（−12）5．小学阶段：两个相同的因数相乘，3×3=32，a·a=a2a2读作：a的平方或a的二次方三个相同因数连乘：4×4×4=43，a·a·a=a3,a3读作：a的立方或a的三次方初中阶段：由两个、三个数相乘扩充到n个数

连乘。a·a·…·a，记作an，读作“a的n次方”.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.解题秘籍：此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及有理数的乘法的运算方法，要熟

练掌握．知识点二乘方的符号法则知识梳理典例剖析+反馈练习典例2判断下面各式结果的符号，你能发现什么规律？（1）（﹣5）4；（2）（﹣5）5；（3）﹣（﹣5）6；（4）﹣（﹣5）7思路引领：利用有理数的乘方分别计算，从中发现结

果符号的规律．解：（1）（﹣5）4＝625，（2）（﹣5）5＝﹣3125，（3）﹣（﹣5）6＝﹣15625，（4）﹣（﹣5）7＝78125．由上可以发现规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，解题的关键是能够根据计算结果

发现规律．反馈练习2．（2021秋•南平期末）已知四个数：﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣|﹣2|，﹣22，计算结果为负数的个数是（）A．1B．2C．3D．4思路引领：根据相反数、有理数的乘方、绝对值的定义解决此题．解：∵﹣（﹣2）＝2＞0，（﹣2）2＝4

＞0，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，﹣22＝﹣4＜0，∴在﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣|﹣2|，﹣22中负数有﹣|﹣2|、﹣22，共2个．故选：B．解题秘籍：本题主要考查相反数、有理数的乘方、绝对值，熟练掌握相反数、有理数的乘方、绝对值的定义是

解决本题的关键．3．不做运算，判断下列各运算结果的符号：（﹣3）13，（﹣2）24，（﹣1.7）2007，（43）5，﹣（﹣2）23，02004，﹣516．思路引领：根据有理数乘方运算的法则直接判断：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．

正数的任何次幂都是正数．零的任何正整数幂都是零．解：（﹣3）13是负号，（﹣2）24是正号，（﹣1.7）2007是负号，（43）5是正号，﹣（﹣2）23是正号，02004是0．式子“﹣516”表示16个5乘积的相反数，可得出结果为负．解

题秘籍：一看底数，二看指数．当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数为奇数，结果为负．知识点三乘方的实际应用知识梳理典例剖析+反馈练习典例3（2021秋•莱西市期中）当你把纸对折

一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去（最多折7次）．（1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？（2）计算当你对折6次时，层数是多少；（3）如果纸的厚度是0.1mm，求对折7次时，总厚度是多少．思路引领：（1）先求出对折一次、二次、三次的层数，然后利用数字变化规律得到折纸

的次数是n时，折得的层数即可；（2）计算26即可；（3）计算0.1×27即可．解：（1）纸对折一次时，就得到2层，即21层；当对折两次时，就得到4层，即22层；当对折三次时，就得到8层，即23层；当折纸的次数是n时，折得的层数是2n（

1≤n≤7且n为正整数）；（2）26＝64，所以对折6次时，层数是64；（3）0.1×27＝0.1×128＝12.8（mm），所以对折7次时，总厚度是12.8mm．解题秘籍：本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．也考查了规律型问题的解决方法．反馈练习4．（2021秋•新会区期末）将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成3段，将一根绳子对折2次．从中间剪断，绳子变

成5段，将一根绳子对折3次，从中间剪断，绳子变成9段；现把一根足够长的绳子对折7次，从中间剪断．绳子会变成（）段．A．63B．65C．127D．129思路引领：根据题意找出规律，再根据有理数的乘方法则进行计算即可．解：对折1次从中间剪断，有21+1＝3；对折2次

，从中间剪断，有22+1＝5．∴对折7次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成27+1＝129（段）．故选：D．解题秘籍：此题考查了有理数的乘方，通过观察、归纳、抽象出数列的规律是解题的关键．三、限时测试1．（2021秋•莱州市期末）设n为正整数，计

算（﹣1）2n+1的结果是（）A．1B．﹣1C．2n+1D．﹣2n﹣1思路引领：根据﹣1的奇次幂等于﹣1即可得出答案．解：∵n为正整数，∴2n+1是奇数，∴原式＝﹣1，故选：B．解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，掌

握﹣1的奇次幂等于﹣1，﹣1的偶次幂等于1是解题的关键．2．（2021秋•石狮市期末）下列计算结果是负数的是（）A．|﹣2|B．（﹣2）3C．（﹣3）×（﹣2）×（﹣1）×0D．﹣（﹣2）思路引领：根据绝对值的性质计算A选项；根据

有理数的乘方计算B选项；根据有理数的乘法计算C选项，根据相反数的定义计算D选项．解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣8，故该选项符合题意；C选项，原式＝0，故该选项不符合题意；D选项，原式＝2，故该选项不符合题意；故选：B．解题秘籍：本题考查了绝对值

，有理数的乘法，有理数的乘方，相反数，正数和负数，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．3．（2021秋•滨江区期末）下列计算结果最小的是（）A．﹣（﹣2）2B．（﹣2）2C．（−12）2D．﹣（−12）2思路引领：先化简原数，然后根据有理数的大小比较法则即可求

出答案．解：∵﹣（﹣2）2＝﹣4，（﹣2）2＝4，（−12）2=14，﹣（−12）2=−14，∴﹣4＜−14＜14＜4，故选：A．解题秘籍：本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确化简原数，本题属于基础题型．4．（2021秋•高邑县期末）计算下列各式，其结果为负数的是（）A．﹣（﹣3）B．|

﹣3|C．（﹣3）3D．（﹣3）2思路引领：分别求出：﹣（﹣3）＝3；|﹣3|＝3；（﹣3）3＝﹣27；（﹣3）2＝9；即可求解．解：﹣（﹣3）＝3；|﹣3|＝3；（﹣3）3＝﹣27；（﹣3）2＝9；故

选：C．解题秘籍：本题考查实数的运算；熟练掌握有理数的乘方运算、绝对值、相反数的性质是解题的关键．5．（2022•澄海区模拟）﹣12022的相反数是（）A．2022B．﹣2022C．1D．﹣1思路引领：根据有理数的乘方的定义即

可得出答案．解：﹣12022＝﹣1，﹣1的相反数是1，故选：C．解题秘籍：本题考查了相反数，有理数的乘方，掌握﹣12022与（﹣1）2022的区别是解题的关键．6．（2022春•宝山区校级月考）下列各对数中，数值相等的是（）A．﹣28与

（﹣2）8B．（﹣3）7与﹣37C．﹣3×23与﹣33×2D．﹣（﹣2）3与﹣（﹣3）2思路引领：根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答案．解：A选项，﹣28＜0，（﹣2）8＞0，故该选项不符合题意；B选项

，（﹣3）7＝﹣37，故该选项符合题意；C选项，﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，﹣33×2＝﹣27×2＝﹣54，故该选项不符合题意；D选项，﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，﹣（﹣3）2＝﹣9，故该选项不符合题意；故选：B．解题秘籍

：本题考查了有理数的乘方和乘法，掌握负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数是解题的关键．7．（2021秋•虎林市校级期末）下列各组数中，数值相等的一组是（）A．32和23B．（﹣2）3和﹣23C．﹣32和（﹣3）2D．﹣（2×3）2和﹣2×32思路

引领：根据乘方的定义逐一计算判断即可．解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意；B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意；C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意；D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣

18，故选项D不符合题意．故选：B．解题秘籍：本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键．8．（2022•石阡县模拟）下组各组数中，相等的一组数是（）A．﹣2和﹣（﹣2）B．﹣22和（﹣2）2C．﹣|

﹣2|和﹣（﹣2）D．﹣2和﹣|﹣2|思路引领：根据乘方和绝对值的定义及运算法则计算出各数值再进行判断即可．解：A选项：﹣（﹣2）＝2≠﹣2，∴A选项错误，B选项：﹣2²＝﹣4，（﹣2）²＝4，﹣4≠4，∴

B选项错误，C选项：﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，﹣2≠2，∴C选项错误，D选项：﹣|﹣2|＝﹣2，D选项正确，故选：D．解题秘籍：本题是基础题，能正确进行乘方和绝对值的计算时解题的关键．9．（2022春•普陀区校级期中）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写

成乘方的形式．思路引领：根据乘方的意义即可解答．解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，故答案为：（﹣2）4．解题秘籍：本题考查乘方的意义，解题的关键是掌握乘方的概念．10．（2022•工业园区模拟）计算：(−12)2=．思路引领：利用有理数的乘方法则计算得结果．

解：原式＝（−12）×（−12）=14．故答案为：14．解题秘籍：本题考查了实数的运算，掌握乘法的意义是解决本题的关键．11．（2022春•沭阳县月考）82022×（﹣0.125）2021＝．思路引领：根据幂的意义计算即可．解：原式＝82

022×（−18）2021＝﹣82022×8﹣2021＝﹣8．故答案为：﹣8．解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，掌握有乘方先算乘方是解题的关键．12．（2022•雨花区校级开学）下列各数：①13，②0.1，③﹣|﹣2|，④（﹣3）2，⑤𝜋2，是正有理

数的是（填序号）．思路引领：根据绝对值、有理数的乘方、相反数、有理数的定义解决此题．解：①13是正分数，那么①是正有理数．②0.1是正的小数，那么②是正有理数．③根据绝对值的定义，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，那么﹣|﹣2

|是负数，那么③不是正有理数．④根据有理数的乘方，（﹣3）2＝9＞0，那么（﹣3）2是正有理数，那么④是正有理数．⑤根据无理数的定义，𝜋2是无理数．综上：正有理数有①②④．解题秘籍：本题主要考查绝对值、有理数的乘方、相反数、有理数，熟练掌握绝

对值、有理数的乘方、相反数、有理数的定义是解决本题的关键．13．（2021秋•泰山区期末）|a|＝3，b2＝9，且|a+b|＝a+b，那么a+b的值是．思路引领：根据绝对值、有理数的乘方、有理数的加法以及分类

讨论的思想解决此题．解：∵|a|＝3，b2＝9，∴a＝±3，b＝±3．∵|a+b|＝a+b≥0，∴当a＝3时，b＝±3，此时a+b＝6或0；当a＝﹣3时，b＝3，此时a+b＝0．综上，a+b＝6或0．故答案为：6或0．解题秘

籍：本题主要考查绝对值、有理数的乘方、有理数的加法，熟练掌握绝对值、有理数的乘方、有理数的加法以及分类讨论的思想是解决本题的关键．14．（2021秋•莱芜区期末）下列各数：①﹣1.42；②0；③|﹣3|；④8；

⑤﹣10%；⑥﹣42，其中正整数有（填序号）．思路引领：先化简，再根据正整数的定义进行判断即可．解：|﹣3|＝3，﹣42＝﹣16，属于正整数的有：3，8；故原来的6个数中，只有③|﹣3|、④8是正整数．故答案为：③④．解题秘籍：本题考查了有理

数的分类；注意整数、0、正数之间的区别：0是整数但不是正数．15．（2021秋•本溪期末）计算（﹣123）2的结果为．思路引领：首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．解：原式=259，故答案为：259．解题秘籍：本题

考查了有理数的乘方，掌握乘方的意义和法则是解题的关键．16．（2021秋•环江县期末）计算：4÷（﹣2）3＝．思路引领：先计算乘方，再乘除运算．解：4÷（﹣2）3=4÷(−8)=−12．故答案为：−12．解题秘籍：本题考查有理数乘方的

综合计算，关键在于掌握计算顺序．17．（2021秋•长汀县期末）计算：(−1)3−8×(−12)2=．思路引领：根据有理数的运算法则即可求出答案．解：原式＝﹣1﹣8×14＝﹣1﹣2＝﹣3，故答案为：﹣3．解题秘籍

：本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．18．（2021秋•莱西市期末）计算：﹣22﹣（﹣1）3＝．思路引领：根据有理数的乘方进行计算即可得解．解：﹣22﹣（﹣1）

3，＝﹣4﹣（﹣1），＝﹣4+1，＝﹣3．故答案为：﹣3．解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1，要注意﹣22的底数是2．19．（2021秋•延边州期末）一列数：1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…，其中某三个相邻数的

和是﹣1701，则这三个数中最大的数是．思路引领：观察数列可知规律为：（﹣3）0，（﹣3）1，（﹣3）2，（﹣3）3…，（﹣3）n；根据其中某三个相邻数的和是﹣1701，可得等量关系求出．解：设最小的数为（﹣3）n，则（﹣3）n+（﹣3）n+1+（﹣3）n+2＝﹣1701，解得（﹣3）n＝﹣24

3＝（﹣3）5，所以这三个数分别是（﹣3）5，（﹣3）6，（﹣3）7．则这三个数中最大的数是（﹣3）6＝729．解题秘籍：主要考查了有理数的乘方和数列的找规律能力．要熟悉乘方的意义，准确的找出规律．乘方是乘

法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．20．（2021秋•龙泉驿区校级期中）（）2=19．思路引领：根据有理数的乘方运算即可求出答案．解：（±13）2=19，故答案为：

±13．解题秘籍：本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型．21．（2021秋•富县期中）若xm＝y，则记为（x，y）＝m，例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，直接写出（2，8）＝，（3，81）＝．（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3

，求（b，a）的值．思路引领：（1）根据新定义和有理数的乘方即可得出答案；（2）根据新定义和有理数的乘方求出a，b的值，再求（b，a）的值即可．解：（1）∵23＝8，∴（2，8）＝3；∵（−13）4=181，∴（−13，

181）＝4；故答案为：3，4；（2）∵a＝42＝16，b3＝8，∴b＝2，∴（b，a）＝（2，16），∵24＝16，∴（b，a）＝4．解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，新定义问题，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．22．（2021秋•莱芜区期

中）已知有理数ab＜0，a+b＞0，且|a|＝2，|b|＝3，求ab．思路引领：根据绝对值、有理数的乘法法则、有理数的加法法则、有理数的乘方解决此题．解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3．∵ab＜0，∴a与b异号．又∵a+b＞0，∴当a＞0，则

b＜0，|a|＞|b|；当a＜0，则b＞0，|a|＜|b|．∴当a＝2，此时b不存在；当a＝﹣2，则b＝3．∴ab＝（﹣2）3＝﹣8．解题秘籍：本题主要考查绝对值、有理数的乘法、有理数的加法、有理数的乘方，熟练掌握绝对值、有理数的

乘法法则、有理数的加法法则、有理数的乘方是解决本题的关键．23．将面积为128平方分米的一张纸，第一次剪去一半，第二次再剪去剩余的一半，第三次再剪去剩余的一半，…，如此继续下去，剪完第6次后，剩下的面积还有多少平方分米？思路引领：根据

题意列出算式，计算即可得到结果．解：根据题意得：128÷26＝2（平方分米），则剪完第6次后，剩下的面积还有2平方分米．解题秘籍：此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．24．（202

1秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3

的圈4次方”．（1）直接写出计算结果：2③＝，（−12）④＝；（2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×12×12×12=（12）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝；（12）⑩＝；aⓝ＝；（3）计算：22×（−13）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．

思路引领：（1）根据除方的定义计算即可；（2）把除法转化为乘法即可得出答案；（3）根据除方的定义计算即可．解：（1）2÷2÷2=12，（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝1×（﹣2）×（﹣2）＝4，故答案为：12，4；（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣

3）÷（﹣3）＝1×（−13）×（−13）＝（13）2，12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12=1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，𝑎÷𝑎÷𝑎÷⋯÷𝑎︸𝑛个𝑎=1×1𝑎⋅1𝑎⋅⋯⋅1𝑎︸(𝑛−2)个1𝑎=（1𝑎）

n﹣2，故答案为：(13)2，28，(1𝑎)𝑛−2；（3）原式=22×(−3)2÷(−12)−[(−3)÷(−3)]＝4×9×（﹣2）﹣1＝﹣72﹣1＝﹣73．解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，有理数的乘除法，体现了转化思想，掌握除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数是解题的关键