【文档说明】立体几何专题：简单几何体的外接球-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx，共(16)页，1.307 MB，由管理员店铺上传

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立体几何专题：简单几何体的外接球一、外接球和内切球概念及球的相关公式1、空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球2、空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球3、球的表面积：S＝4πR24、球的体积：V

＝43πR3二、常见几何体的外接球1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c22、正方体的外接球：正方体的棱长为𝑎，外接球半径为R，则2𝑅=√3𝑎长方体的外接球正方体的外接球3、直棱柱

的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径𝑅=√64𝑎.（2）

正四棱锥：设正四棱锥的棱长为𝑎，外接球半径𝑅=√22𝑎三、能补形为长方体的类型类型1：墙角模型找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR++=，即2222cbaR++=，求出R【补充】图1为阳马，图2和图

4为鳖臑类型2：对棱相等对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（CDAB=，BCAD=，BDAC=）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长

方体的长宽高分别为cba,,，xBCAD==，yCDAB==，zBDAC==，列方程组，=+=+=+222222222zacycbxba2)2(2222222zyxcbaR++=++=，补充：abcabcabcVBCDA31

461=−=−第三步：根据墙角模型，22222222zyxcbaR++=++=，82222zyxR++=，8222zyxR++=，求出R，四、多边形外接圆半径1、正（长）方形：半径等于对角线的一半2、等边三角形：半径等于

三分之二高3、直角三角形：半径等于斜边的一半4、一般的三角形：正弦定理2(sinarA=通用）cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BAyxabczzyx图12DCAB题型一长方体和正方体的外接球【例1】已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这

个正方体的表面积之比为（）A．3B．2C．32D．312【答案】B【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则3232RaRa==，球的表面积为222134432SRaa===，正方体的表面积为226Sa=，2122362SaSa==.【变式1-1】设

长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【答案】B【解析】作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为√𝑎2+(2𝑎)2=√5𝑎，线段BC即为长方体的高，长度

为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为√𝑎2+(√5𝑎)2=√5𝑎，则球的半径R＝AC2＝62a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.【变式1-2】已知长方体ABC-A1B1C1的共顶点的三条棱长度之比为1:2:2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全

面积为.【答案】803【解析】设长方体的外接球的半径为R，则4𝜋𝑅2=16𝜋，解得𝑅=2；设长方体的三条共顶点棱长分别为k，k，2k（k>0）,于是2𝑅=4=√𝑘2+𝑘2+(2𝑘)2=√6𝑘

，解得𝑘=4√6，所以该长方体的全面积为2(𝑘2+𝑘2+4𝑘2)=2×5𝑘2=803.【变式1-3】长方体的三个相邻面的面积分贝为2:3:6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为（

）A.72𝜋B.56𝜋C.14𝜋D.64𝜋【答案】C【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则{𝑎𝑏=2𝑏𝑐=3𝑎𝑐=6，解得{𝑎=2𝑏=1𝑐=3，令球的半径为R，则(2𝑅)2=22+12+32=14，∴𝑅2=

72，∴𝑆球=4𝜋𝑅2=14𝜋.【变式1-4】在正方体1111ABCDABCD−中，三棱锥11ABCD−的表面积为43，则正方体外接球的体积为（）A．43B．6C．323D．86【答案】B【解析】设正方体的棱长为a，则1111112BD

ACABADBCDCa======，由于三棱锥11ABCD−的表面积为43，所以()12133442242ABCSSa===所以2a=所以正方体的外接球的半径为()()()222222622++=，所

以正方体的外接球的体积为346632=题型二补形法解决墙角模型【例2】一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是()A．202πB．252πC．50πD．200π【答案】C【解析】因为这

个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即4r2＝50，故

它的外接球的表面积是S＝4πr2＝50π.【变式2-1】鳖臑（biēnào）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A-BCD是一个鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝6，BC＝3，DC＝2，则三棱锥A-BCD的外接

球的体积是（）A．493B．3432C．49πD．3436【答案】D【解析】依题意，三棱锥A-BCD可放在长方体中，如图所示易得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AD，则2226327=++=AD，故三棱锥A-BCD的外接球的半径72=R，所以34734

3326−==ABCDV．【变式2-2】已知SABC，，，都是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，ABBC⊥，2SA=，3AB=，4BC=，则球O的表面积等于______．【答案】29【解析】因为SA⊥平

面ABC，ABBC⊥，所以四面体SABC−的外接球半径等于以长、宽、高分别为,,SAABBC三边长的长方体的外接球的半径．因为2SA=，3AB=，4BC=，所以2R＝222SAABBC++＝29，所以表面积为2942=R．【变式2-3】

表面积为43的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_____．【答案】6【解析】如图所示，将正四面体补形成一个正方体，∵表面积为43的正四面体，正四面体棱长为a，234434a=，解得2a=，

∴正方体的棱长是2，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴26R=，∴62R=，∴球的体积为346632=．【变式2-4】三棱锥ABCD−中，2,ABCD====5ACADBDBC==，则三棱锥ABCD

−的外接球的半径是.【答案】62=R【解析】由于三棱锥−ABCD三组对棱的长相等，故可把三棱锥−ABCD放到长方体中，使三棱锥−ABCD三组对棱分别为长方体的三组对面的对角线，则该长方体的长、宽、高分别为1,1,2，所以外接球的半径222112622++==R.题型三

直棱柱的外接球【例3】已知正三棱柱的体积为33cm3，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为____________cm2.【答案】12π.【解析】球O的表面积最小时，球O的半径R最小．设正三棱柱的底面边长为a

，高为b，则正三棱柱的体积V＝34a2b＝33，所以a2b＝12.底面正三角形所在截面圆的半径r＝33a，则R2＝r2＋b22＝a23＋b24＝13×12b＋b24＝4b＋b24＝2b＋2b＋b24≥332b·2b·b24＝3，当且仅当2b＝b24，即

b＝2时，取等号．又因为0<b<2R，所以(R2)min＝3.故球O的表面积的最小值为12π.【变式3-1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B．73

πa2C．113πa2D．5πa2【答案】B【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以

球的半径R＝OA满足R2＝33a2＋12a2＝712a2，故S球＝4πR2＝73πa2.【变式3-2】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（）A．952B．2

0C．8D．352【答案】B【解析】在ABCV中2120ABACBAC===，，可得32BC=，由正弦定理，可得ABCV外接圆半径2r=，设此圆圆心为'O，球心为O，在'RtOBOV中，易得球半径5R=，故此球的表面积为2420R=.【变式3-3】一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂

直于底面，已知该六棱柱的顶点都在111ABCABC−12ABACAA===120BAC=同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为【答案】34=V【解析】设正六边形边长为a，正六棱柱的高为

h，底面外接圆的关径为r，则21=a，底面积为833)21(4362==S，89833===hShV柱，3=h，1)21()23(222=+=R，1=R，球的体积为34=V【变式3-4】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.10

B.20𝜋C.24𝜋D.32𝜋【答案】C【解析】因为正四棱柱的高为4，体积我16，所以正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面的对角线为2√2，正四棱柱的对角线为2√6，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2

𝑅=2√6，𝑅=√6，则𝑆球=4𝜋𝑅2=24𝜋题型四正棱锥的外接球【例4】已知正四棱锥O-ABCD的体积为2，底面边长为√2，则该正四棱锥的外接球的半径为.【答案】53【解析】因为正四棱锥O-ABCD的体积为2，底面边长为√2，所

以有13∙(√2)2∙ℎ=2，所以棱锥的高h=3，由题意得，正四棱锥O-ABCD的外接球的球心在它的高OM上，记球心为N，则CM=1，CN=R，MN=3-R，在直角三角形CMN中，𝑅2=𝐶𝑀2+𝑀𝑁2=12+(3−𝑅)2，解得𝑅=53.【变式4-1】正

四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A．81π4B．16πC．9πD．27π4【答案】A【解析】如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOE中，(4－r)2＋(2)2＝r2，解得r＝94，∴该球的表面积为4πr

2＝4π×942＝81π4.【变式4-2】已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为22，求这个球的表面积（）A．4B．8C．12D．24【答案】C【解析】设该正三棱锥为ABCD−，将三棱锥ABCD−补成

正方体AEBFGCHD−，如下图所示：则正方体AEBFGCHD−的棱长为22222=，该正方体的体对角线长为23，所以，正三棱锥ABCD−的外接球直径为223R=，可得3R=，该球的表面积为2412SR==

.【变式4-3】正三棱锥S-ABC的外接球半径为2，底边成AB=3，则此棱锥的体积为.【答案】9√34或3√34.【解析】设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心，因为底面边长AB=3，所以𝐴𝐻=23𝐴𝐷=23√32−(32)2

=√3，当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如右图此时𝐴𝐻2+𝑂𝐻2=𝑂𝐴2，即(√3)2+(ℎ−2)2=22，解得ℎ=3，因而棱柱的体积𝑉𝑆−𝐴𝐵𝐶=13×12×3×3√32×3=9√34

.当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如右图有𝐴𝐻2+𝑂𝐻2=𝑂𝐴2，即(√3)2+(2−ℎ)2=22，解得ℎ=1，所以𝑉𝑆−𝐴𝐵𝐶=13×12×3×3√32×1=3√34，综上，棱锥的体积为9√34或3√34.【

变式4-4】半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2√3，AB=AC=BC，则三棱锥的高为（）A.3√2B.3√32C.2√2D.3【答案】B【解析】三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2√3，AB=AC=BC，如图，过点P作PM⊥平面ABC的垂足为

M，则球O的内接三棱锥P-ABC的球心O在PM所在直线上，∵球O的半径为2，所以OB=OP=2，∴由余弦定理得𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝑃𝑀=𝑃𝐵2+𝑂𝑃2−𝑂𝐵22∙𝑃𝐵∙𝑂𝑃=√32，∴∠BPM=30°，∴在𝑅𝑡∆𝑃𝑀𝐵中，∠PBM

=60°，∴PM=PBsin∠PBM=3题型五圆柱的外接球【例5】(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.3π4C.π2D.π4【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半

径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝1－122＝32.∴圆柱的体积为V＝πr2h＝34π×1＝3π4.【变式5-1】已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底

面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A．4πB.163πC.323πD．16π【答案】D【解析】如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径𝑟=𝑂𝐵=√𝑂𝐴2+𝐴𝐵2=√12+(√3)

2=2.故这个球的表面积S＝4πr2＝16π.故选D.【变式5-2】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，则圆柱的表面积与球O的表面积之比为（）A.3:4B.1:2C.3√2:8D.不能确定【答案】A【解析】因为

圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的底面圆的半径r，其高h=2r，其外接球的半径𝑅=√(ℎ2)2+𝑟2=√2𝑟，其圆柱的表面积𝑆1=2∙𝜋𝑟2+2𝜋𝑟∙2𝑟=6𝜋𝑟2，球O的表面积𝑆2=4𝜋𝑅2=8𝜋𝑟2，则圆柱的表面积与

球O的表面积之比为3:4.【变式5-3】已知圆柱的侧面积为2𝜋，其外接球的表面积为S，则S的最小值为（）A.3𝜋B.4𝜋C.6𝜋D.9𝜋【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面积为2𝜋，所以2𝜋𝑟ℎ=2𝜋，得𝑟ℎ=1.设圆柱的外接球半径为R，则𝑅2

=𝑟2+2(ℎ2)2≥2𝑟∙ℎ2=𝑟ℎ=1，当且仅当𝑟=ℎ2，即ℎ=√2，𝑟=√22时取等号，所以𝑅2的最小值为1，所以外接球的表面积S的最小值为4𝜋𝑅2=4𝜋.题型六圆锥的外接球【例6】已知球O

的内接圆锥体积为23，其底面半径为1，则球O的表面积为______.【答案】254【解析】由圆锥体积为23，其底面半径为1，设圆锥高为h则221133=h，可求得2h=设球半径为R，可得方程：(

)2221RR−−=，解得：54R=25254=164=S.【变式6-1】如图，已知一底面半径为1，体积为的圆锥内接于球O（其中球心O在圆锥内），则球O的表面积为（）A．1009B．209C．203D．503【答案】A【解析】设圆锥的

底面圆心为1O，连接1SO，1OB，OB21113VSO==锥，13SO=，设球O的半径为R，则22(3)1RR−+=，解得53R=，所以球O的表面积2251004499SR===．【变式6-2】已知球O是圆锥1PO的

外接球，圆锥1PO的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为818，则圆锥1PO的侧面积为．【答案】3【解析】设1OBr=，球O的半径为R，则3PBr=，由球O的表面积为28148R=，得28132R=．在Rt△1OOB中，2221()RPORr=−+，即222(22)RrR

r=−+，解得1r=，故圆锥1PO的侧面积为3rPB=．【变式6-3】已知一个圆锥内接于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910，则球O的表面积为．【答案】100【解析】设圆锥的底面半径OBr=，则3S

Or=，22(3)10SBSArrr==+=，圆锥的侧面积为91010rr=，解得3r=．圆锥的高为9，设球的半径为R，9OOR=−，由勾股定理得：222(9)RrR−+=，解得5R=，球O的表面积为：24100R=．