【文档说明】【精准解析】2021届高考数学（浙江专用）：§9.3　椭圆【高考】.docx，共(23)页，296.278 KB，由小赞的店铺上传

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§9.3椭圆基础篇固本夯基【基础集训】考点一椭圆的定义及标准方程1.已知椭圆𝑦2𝑚+𝑥22=1的一个焦点为(0,12),则m=()A.1B.2C.3D.94答案D2.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0

)的左、右焦点为F1、F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4√3,则C的方程为()A.𝑥23+𝑦22=1B.𝑥23+y2=1C.𝑥212+𝑦28=1D.𝑥212+𝑦24=1答案A3.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆𝑦24+�

�23=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为()A.5B.4C.3D.2答案A4.椭圆𝑥29+𝑦225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是.答案(-

3,0)或(3,0)考点二椭圆的几何性质5.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是()A.13B.√33C.√34D.2√23答案D6.设椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点

分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.√36B.13C.12D.√33答案D7.设椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑏≥√32a>0),右焦点为F(c,0)(c>

0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则𝑥12+𝑥22的取值范围是()A.(0,32]B.(1,32]C.(1,34]D.(1,74]答案D考点三直线与椭圆的位置关系8.(2019河北衡水中学五调,6)与椭圆𝑥22+y2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切

的椭圆的离心率为()A.√22B.√55C.12D.15答案B9.椭圆𝑥225+𝑦216=1的左,右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为()A.53B.103C.√103D.√53答案A

10.已知P(1,1)为椭圆𝑥24+𝑦22=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则此弦所在直线的方程为.答案x+2y-3=011.设F1,F2分别是椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与

x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据题意知F1(-c,0),M(𝑐,𝑏2𝑎).由kMN=34得𝑏2𝑎-

0𝑐-(-𝑐)=34,即2b2=3ac,将b2=a2-c2代入得2(a2-c2)=3ac,2c2-2a2+3ac=0,2e2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍),故C的离心率为12.(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,设直线MF1与y轴的交点为D,则D(0,

2)是线段MF1的中点,故𝑏2𝑎=4,即b2=4a,①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则{2(−𝑐-𝑥1)=c,-2𝑦1=2,即{𝑥1=−32c,𝑦1=−1.代入C的方程,得9𝑐24𝑎2+1�

�2=1.②将①及c=√𝑎2-𝑏2代入②得9(𝑎2-4a)4𝑎2+14𝑎=1.解得a=7,则b2=4a=28.故b=2√7.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决

问题的能力.综合篇知能转换【综合集训】考法一与椭圆定义相关的问题1.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,√3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆

的方程为()A.𝑥28+𝑦26=1B.𝑥216+𝑦26=1C.𝑥24+𝑦22=1D.𝑥28+𝑦24=1答案A2.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C:𝑥2𝑎2+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P

为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2√3,则△PF1F2的周长是()A.2(√2+√3)B.4+2√3C.√2+√3D.√2+2√3答案A3.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆𝑥24

+𝑦23=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案D考法二椭圆离心率问题的求法4.(2019福建3月质检,9)设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的

圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为()A.√2-1B.√5-12C.√22D.√2+1答案A5.(2018河北衡水金卷二模,7)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射

中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是𝑅2,5𝑅2(如图所示),则“嫦娥一号”卫星

轨道的离心率为()A.25B.15C.23D.13答案A6.(2019河北武邑中学二模,12)设F,B分别为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,O为坐标原点,C是直线y=𝑏𝑎x与椭圆在第一象限内的交点,若𝐹�

�⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=λ(𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),则椭圆的离心率是()A.2√2+17B.2√2-17C.2√2-13D.√2-1答案A考法三直线与椭圆位置关系问题的解法7.(20

19北京清华中学生标准学术能力试卷文,6)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦24=1(a>2)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|AF2|+|BF2|的最大值为283,则该椭圆的离

心率为()A.√22B.√53C.12D.59答案B8.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为√32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂

线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解析本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.(1)设椭圆C的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0).由题意得{𝑎=2,𝑐𝑎=√32,解得c=√3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为𝑥24

+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=𝑛𝑚+2,故直线DE的斜率kDE=-𝑚+2𝑛.所以直线DE的方程为y=-𝑚+2𝑛(x-m).直线BN的方程为y

=𝑛2−𝑚(x-2).联立{𝑦=−𝑚+2𝑛(x-m),𝑦=𝑛2−𝑚(x-2),解得点E的纵坐标yE=-𝑛(4-𝑚2)4−𝑚2+𝑛2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又S△BDE=12|BD|·|yE|=2

5|BD|·|n|,S△BDN=12|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.【五年高考】考点一椭圆的定义及标准方程1.(2019课标Ⅰ,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F

2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.𝑥22+y2=1B.𝑥23+𝑦22=1C.𝑥24+𝑦23=1D.𝑥25+𝑦24=1答案B2.(2019课标Ⅲ,15,5分)设F1,F2为椭圆C:

𝑥236+𝑦220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.答案(3,√15)3.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>

b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求

椭圆E的方程.解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=𝑏𝑐√𝑏2+𝑐2=𝑏𝑐𝑎,由d=12c,得a=2b=2√𝑎2-𝑐2,可得离心率𝑐𝑎=√32.(2

)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=√10.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-

4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8𝑘(2𝑘+1)1+4𝑘2,x1x2=4(2𝑘+1)2-4𝑏21+4𝑘2.由x1+x2=-4,得-8𝑘(2𝑘+1)1+4𝑘2=-4,解得k=12.从而x1x2=8-2b2

.于是|AB|=√1+(12)2|x1-x2|=√52√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=√10(𝑏2-2).由|AB|=√10,得√10(𝑏2-2)=√10,解得b2=3.故椭圆E的方程为𝑥212+𝑦23=1

.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=√10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则𝑥12+4𝑦12=4b2,𝑥22+4𝑦22=4b2,两式相减并结合x1+x

2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率kAB=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=12.因此直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1

x2=8-2b2.于是|AB|=√1+(12)2|x1-x2|=√52√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=√10(𝑏2-2).由|AB|=√10,得√10(𝑏2-2)=√10,解得b2=3.故椭圆E的方程为𝑥

212+𝑦23=1.解题关键对于第(2)问,利用弦长及韦达定理或点差法构造关于参数的方程是解题的关键.考点二椭圆的几何性质4.(2017浙江,2,4分)椭圆𝑥29+𝑦24=1的离心率是()A.√133B.

√53C.23D.59答案B5.(2019北京,4,5分)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b答案B6.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(

a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为√36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案D7.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:𝑥

2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.√63B.√33C.√23D.13答案A8.(2016

课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中

点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案A9.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),双曲线N:𝑥2𝑚2-𝑦2𝑛2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正

六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.答案√3-1;210.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的

垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=52.(1)求椭圆C的标准方程;(2)

求点E的坐标.解析本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因

为DF1=52,AF2⊥x轴,所以DF2=√𝐷𝐹12-𝐹1𝐹22=√(52)2-22=32.因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)解法一:由(1)

知,椭圆C:𝑥24+𝑦23=1,a=2.因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由{𝑦=2𝑥+2,(𝑥-1)2+𝑦

2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.将x=-115代入y=2x+2,得y=-125.因此B(-115,-125).又F2(1,0),所以直线BF2:y=34(x-1).由{𝑦=34(x-1),𝑥24+𝑦

23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.因此E(-1,-32).解法二:由(1)知,椭圆C:𝑥24+𝑦23=1.如图,连接EF1.因为BF2=2

a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.因为F1(-1,0),由{𝑥=−1,

𝑥24+𝑦23=1,解得y=±32.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-32.因此E(-1,-32).考点三直线与椭圆的位置关系11.(2019天津,18,13分)设椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)

的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为√55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.解析本题主要考查椭圆

的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,𝑐𝑎=√55,又a2=b2+c2

,可得a=√5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为𝑥25+𝑦24=1.(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立{𝑦=𝑘𝑥+2,�

�25+𝑦24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20𝑘4+5𝑘2,代入y=kx+2得yP=8−10𝑘24+5𝑘2,进而直线OP的斜率𝑦𝑃𝑥𝑃=4−5𝑘2-1

0𝑘.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2𝑘.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-𝑘2.由OP⊥MN,得4−5𝑘2-10𝑘·(-𝑘2)=-1,化简得k2=245,从而k=±2√305.所以,直线PB的斜率为2√305或-2√305.思

路分析(1)根据条件求出基本量a,b得到椭圆方程.(2)要利用条件OP⊥MN,必须求P点和M、N点坐标.由直线PB的方程与椭圆方程联立得到P点坐标,求出M及N点坐标,利用kOP·kMN=-1求出kPB.12.(2018天津,19,14分)设椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=

1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53,|AB|=√13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的

值.解析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有𝑐2𝑎2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=

√𝑎2+𝑏2=√13,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为𝑥29+𝑦24=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2

[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组{2𝑥+3𝑦=6,𝑦=𝑘𝑥,消去y,可得x2=63𝑘+2.由方程组{𝑥29+𝑦24=1,𝑦=𝑘𝑥,消去y,可

得x1=6√9𝑘2+4.由x2=5x1,可得√9𝑘2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.当k=-89时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-12时,x2=12,x1=125,符合题意.所以,k的值为-12.解题关键第(2)问中把

两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得到关于k的方程是求解的难点和关键.13.(2018课标全国Ⅰ,19,12分)设椭圆C:𝑥22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线

AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解析(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为(1,√22)或(1,−√22).所以AM的方程为y=-√22x+√2或y=√22x-√2.(2)证明:当l与x轴重合时,∠OM

A=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<√2,x2<√2,直线MA,MB的

斜率之和为kMA+kMB=𝑦1𝑥1-2+𝑦2𝑥2-2,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=2𝑘𝑥1𝑥2-3k(𝑥1+𝑥2)+4k(𝑥1-2)(𝑥2-2).将y=k(x-1

)代入𝑥22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=4𝑘22𝑘2+1,x1x2=2𝑘2-22𝑘2+1.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4𝑘3-4k-12𝑘3+8𝑘3+4k2𝑘2+1=0,从而kMA

+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.14.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|

MA|,直线OM的斜率为√510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为(23a,13b),又kOM=√510,从而𝑏

2𝑎=√510.进而a=√5b,c=√𝑎2-𝑏2=2b.故e=𝑐𝑎=2√55.(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为(𝑎2,-𝑏2),可得𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑎6,5𝑏6).又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗=(-a,b),从而有𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-16a2+56b2=16(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,故MN⊥AB.评析本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证明线线垂直,较难

.教师专用题组考点一椭圆的定义及标准方程1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+𝑦2𝑏2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.答案x2+32y2=12.(201

1课标,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为√22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.答案𝑥216+𝑦28

=13.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)过点(0,√2),且离心率e=√22.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G(-94,0)与以线段A

B为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析(1)由已知得{𝑏=√2,𝑐𝑎=√22,𝑎2=𝑏2+𝑐2.解得{𝑎=2,𝑏=√2,𝑐=√2.所以椭圆E的方程为𝑥24+𝑦22=1.(2)解法一:设点A(

x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由{𝑥=𝑚𝑦-1,𝑥24+𝑦22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2𝑚𝑚2+2,y1y2=-3𝑚2+2,从而y0=𝑚𝑚2+2.所以|GH|2=(𝑥0+94)

2+𝑦02=(𝑚𝑦0+54)2+𝑦02=(m2+1)𝑦02+52my0+2516.|𝐴𝐵|24=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)24=(1+𝑚2)(𝑦1-𝑦2)24=(1+𝑚2)[(𝑦1+𝑦2)2-4�

�1𝑦2]4=(1+m2)(𝑦02-y1y2),故|GH|2-|𝐴𝐵|24=52my0+(1+m2)y1y2+2516=5𝑚22(𝑚2+2)-3(1+𝑚2)𝑚2+2+2516=17𝑚2+216

(𝑚2+2)>0,所以|GH|>|𝐴𝐵|2.故点G(-94,0)在以AB为直径的圆外.解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥1+94,𝑦1),𝐺𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗=(𝑥2+94,𝑦2).由{𝑥=𝑚𝑦-1,𝑥24+𝑦22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2𝑚𝑚2+2,y1y2=-3𝑚2+2,从而𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥1+94)(𝑥2+94)+y1y2=(𝑚𝑦1+

54)(𝑚𝑦2+54)+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(𝑚2+1)𝑚2+2+52𝑚2𝑚2+2+2516=17𝑚2+216(𝑚2+2)>0,所以cos<𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>>0.又𝐺

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗不共线,所以∠AGB为锐角.故点G(-94,0)在以AB为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与

方程思想.考点二椭圆的几何性质4.(2012课标,4,5分)设F1,F2是椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=3𝑎2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45答案C5.(2016浙江,

19,15分)如图,设椭圆𝑥2𝑎2+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的

线段为AP,由{𝑦=𝑘𝑥+1,𝑥2𝑎2+𝑦2=1得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-2𝑎2k1+𝑎2𝑘2.因此|AP|=√1+𝑘2|x1-x2|=2𝑎2|k|1+𝑎2𝑘2·√1+𝑘2.(2)假设

圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1)知,|AP|=2𝑎2|𝑘1|√1+𝑘121+𝑎2𝑘12,|AQ|

=2𝑎2|𝑘2|√1+𝑘221+𝑎2𝑘22,故2𝑎2|𝑘1|√1+𝑘121+𝑎2𝑘12=2𝑎2|𝑘2|√1+𝑘221+𝑎2𝑘22,所以(𝑘12-𝑘22)[1+𝑘12+𝑘22+a2(2-a2)𝑘12𝑘22]=0.由于k1≠k2,k1,k2>0得1+𝑘

12+𝑘22+a2(2-a2)𝑘12𝑘22=0,因此(1𝑘12+1)(1𝑘22+1)=1+a2(a2-2),①因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>√2.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤√2

,由e=𝑐𝑎=√𝑎2-1𝑎得,所求离心率的取值范围为0<e≤√22.评析本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.6.(2014江苏

,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为(43,13),且BF2=√2

,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2=√𝑏2+𝑐2=a.又BF2=√2,故a=√2.因为点C(43,13)在椭圆上,所以169

𝑎2+19𝑏2=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为𝑥22+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为𝑥𝑐+𝑦𝑏=1.解方程组{𝑥𝑐+𝑦𝑏=1,𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,得{𝑥1=2𝑎2c𝑎2+𝑐2,𝑦

1=𝑏(𝑐2-𝑎2)𝑎2+𝑐2,{𝑥2=0,𝑦2=b.所以点A的坐标为(2𝑎2c𝑎2+𝑐2,𝑏(𝑐2-𝑎2)𝑎2+𝑐2).又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为(2𝑎2c𝑎2+𝑐2,𝑏(𝑎2-𝑐2)𝑎2+𝑐2).因为直线F1

C的斜率为𝑏(𝑎2-𝑐2)𝑎2+𝑐2-02𝑎2c𝑎2+𝑐2-(-c)=𝑏(𝑎2-𝑐2)3𝑎2c+𝑐3,直线AB的斜率为-𝑏𝑐,且F1C⊥AB,所以𝑏(𝑎2-𝑐2)3𝑎2c

+𝑐3·(-𝑏𝑐)=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=15.因此e=√55.7.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦

点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+√2,|PF2|=2-√2,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+√2)+(2-√2

)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|=√|𝑃𝐹1|2+|P𝐹2|2=√(2+√2)2+(2−√2)2=2√3,即c=√3,从而b=√𝑎2-𝑐2=1.故所求椭圆的标准方程为𝑥24+y2=1.(2)解法一:连接F1Q,如图,设

P(x0,y0),因为点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,所以𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1,𝑥02+𝑦02=c2,求得x0=±𝑎𝑐√𝑎2-2𝑏2,y0=±𝑏2𝑐.由|PF1|=|PQ|>|PF2

|得x0>0,从而|PF1|2=(𝑎√𝑎2-2𝑏2𝑐+c)2+𝑏4𝑐2=2(a2-b2)+2a√𝑎2-2𝑏2=(a+√𝑎2-2𝑏2)2.由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=√2|PF1

|.因此(2+√2)|PF1|=4a,即(2+√2)(a+√𝑎2-2𝑏2)=4a,于是(2+√2)(1+√2𝑒2-1)=4,解得e=√12[1+(42+√2-1)2]=√6-√3.解法二:连接F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a

.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=√2|PF1|,因此,4a-2|PF1|=√2|PF1|,得|PF1|=2(2-√2)a,从而|PF2|

=2a-|PF1|=2a-2(2-√2)a=2(√2-1)a.由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=𝑐𝑎=√|𝑃𝐹1|2+|P𝐹2|22𝑎=√(2-√2)2+(√2-1)2=√9−6√2=√6-√3.考点三直线与椭圆的位置关系8.(201

4辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+√3交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.解

析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-𝑥0𝑦0,切线方程为y-y0=-𝑥0𝑦0(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12·4𝑥0·4𝑦0=8𝑥0𝑦0,由𝑥02

+𝑦02=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=√2时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(√2,√2).(2)设C的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知2𝑎2+2𝑏2=1,并由{𝑥2𝑎2

+𝑦2𝑏2=1,𝑦=𝑥+√3得b2x2+4√3x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此{𝑥1+𝑥2=−4√3𝑏2,𝑥1𝑥2=6−2𝑏2𝑏2,由y1=x1+√3,y2=x2+√3,得|AB|=√

2|x1-x2|=√2·√48−24𝑏2+8𝑏4𝑏2.由点P到直线l的距离为√3√2及S△PAB=12×√3√2|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,从而所求C的方程为𝑥26+𝑦23=1.9.

(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(√3,12),焦点F1(-√3,0),F2(√3,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只

有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为2√67,求直线l的方程.解析本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.解法一:

(1)因为椭圆C的焦点为F1(-√3,0),F2(√3,0),所以可设椭圆C的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0).又点(√3,12)在椭圆C上,所以{3𝑎2+14𝑏2=1,𝑎2-𝑏2=3,解得{𝑎2=4,𝑏2=1.因此,椭圆C的方程为𝑥24+y2=1.因为圆O

的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则𝑥02+𝑦02=3.所以直线l的方程为y=-𝑥0𝑦0(x-x0)+y0,即y=-𝑥0𝑦0x+3𝑦0.由{𝑥24+𝑦2=1,𝑦=−𝑥0𝑦0x+3𝑦

0消去y,得(4𝑥02+𝑦02)x2-24x0x+36-4𝑦02=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4𝑥02+𝑦02)(36-4𝑦02)=48𝑦02(𝑥02-2)=0

.因为x0,y0>0,所以x0=√2,y0=1.因此,点P的坐标为(√2,1).②因为三角形OAB的面积为2√67,所以12AB·OP=2√67,从而AB=4√27.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=24

𝑥0±√48𝑦02(𝑥02-2)2(4𝑥02+𝑦02),所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+𝑥02𝑦02)·48𝑦02(𝑥02-2)(4𝑥02+𝑦02)2.因为𝑥02+𝑦02=3,所以AB2=16

(𝑥02-2)(𝑥02+1)2=3249,即2𝑥04-45𝑥02+100=0.解得𝑥02=52(𝑥02=20舍去),则𝑦02=12,因此P的坐标为(√102,√22).则直线l的方程为y=-√5x+3√2.解法二:(1)由题意知c=√3,

所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点(√3,12)在椭圆上,所以2a=√(√3-√3)2+(12-0)2+√(√3+√3)2+(12-0)2=4,所以a=2.因为a2=b2+c2,所以b=1,所以椭圆C的方程为𝑥24+y2

=1.(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,整理得(k2+

1)x2+2kmx+m2-3=0,因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,将直线l的方程代入椭圆C的方程,得𝑥24+(kx+m)2=1,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

因为直线l与椭圆C相切,所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得m2=4k2+1,所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-√2,则m=3,将k=-√2,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,整理得x2-2√2x+2=0,解得

x1=x2=√2,将x=√2代入x2+y2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(√2,1).②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,因为直线l和

椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-√2,将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,解得x1,2=-8𝑘𝑚±4√4𝑘2+1−𝑚22(

4𝑘2+1),所以|x1-x2|=4√4𝑘2+1−𝑚24𝑘2+1,因为AB=√(𝑥1-𝑥2)2+(k𝑥1-k𝑥2)2=|x1-x2|√𝑘2+1=4√4𝑘2+1−𝑚24𝑘2+1·√𝑘2+1,O到l的距离d=|𝑚|√𝑘2+1=√3,所以S△OAB=12·4√4

𝑘2+1−𝑚24𝑘2+1·√𝑘2+1·|𝑚|√𝑘2+1=12·4√𝑘2-24𝑘2+1·√𝑘2+1·√3=2√67,解得k2=5,因为k<0,所以k=-√5,则m=3√2,即直线l的方程为y=-√5x+3√2.解后反思(1)常用待定系数法求圆锥曲线方程

.(2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可设出直线方程求解.②因为△AOB的面积为2√67,而△AOB的高为√3,所以解题关键是求AB的长,可利用弦长公式AB=√(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=√1+𝑘2·√(𝑥1-𝑥2)2=√

1+𝑘2·|x1-x2|(x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.10.(2017天津,19,14分)设椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方

程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为√62,求直线AP的方程.解析本小题主要考查椭圆、抛物线的标准方程和几何性质,直线方程等基础知识.考查用代

数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,𝑐𝑎=12,𝑝2=a,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b2=a2-c2=34.所以,椭圆的

方程为x2+4𝑦23=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P(-1,-2𝑚),故Q(-1,2𝑚).将x=my+1与x2+4𝑦23=1联立,消去x,整理得(3m2

+4)y2+6my=0,解得y=0或y=-6𝑚3𝑚2+4.由点B异于点A,可得点B(-3𝑚2+43𝑚2+4,-6𝑚3𝑚2+4).由Q(-1,2𝑚),可得直线BQ的方程为(-6𝑚3𝑚2+4-2𝑚)(x+1)-(-3𝑚2+43�

�2+4+1)(𝑦-2𝑚)=0,令y=0,解得x=2−3𝑚23𝑚2+2,故D(2−3𝑚23𝑚2+2,0).所以|AD|=1-2−3𝑚23𝑚2+2=6𝑚23𝑚2+2.又因为△APD的面积为√62,故12×6𝑚23𝑚2+2×2|𝑚|=

√62,整理得3m2-2√6|m|+2=0,解得|m|=√63,所以m=±√63.所以,直线AP的方程为3x+√6y-3=0或3x-√6y-3=0.方法总结1.利用待定系数法求圆锥曲线标准方程的三个步骤:(1)作判断:根据焦点位置设方程;(2)找等量

关系;(3)解方程得结果.2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本策略:(1)巧设直线方程:当已知直线与x轴交点固定时,常设为x=my+b的形式,这样可避免对斜率是否存在的讨论;(2)注意整体代入思想的应用,利用根与系数的关系可以简化运算,提高运算的

效率和正确率.11.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2√6.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与�

�𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也

是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2√6,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±√6,32),所以94𝑎2+6𝑏2=1.②联立①,②得a2

=9,b2=8.故C2的方程为𝑦29+𝑥28=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗同向,且|AC|=|BD|,所以𝐴𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由{𝑦=𝑘𝑥+1,𝑥2=4y得x2-4kx-4=

0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由{𝑦=𝑘𝑥+1,𝑥28+𝑦29=1得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-16𝑘9+8𝑘2,x3x4=-649+8𝑘2.⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1

)=162𝑘2(9+8𝑘2)2+4×649+8𝑘2,即16(k2+1)=162×9(𝑘2+1)(9+8𝑘2)2,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±√64,即直线l的斜率为±√64.(ii)证明:由x2=4y得

y'=𝑥2,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=𝑥12(x-x1),即y=𝑥1x2-𝑥124.令y=0,得x=𝑥12,即M(𝑥12,0),所以𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥12,-1).而𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(x1,y1-

1),于是𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥122-y1+1=𝑥124+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共40分

)1.(2018山东青岛城阳期末,7)若椭圆𝑥25+𝑦2𝑎=1的焦距为4,则实数a的值为()A.1B.21C.4D.1或9答案D2.(2019湖北重点中学第一次调研,11)点P是椭圆𝑥29+𝑦25=1上的点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的周长是()A.12B.10C.8

D.6答案B3.(2019广东深圳二模,10)设点F1、F2分别为椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的左、右焦点,点A、B分别为椭圆C的右顶点和下顶点,且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2,则椭圆C的离心率为()A.√

3-12B.√3-13C.√5-12D.√22答案C4.(2020届广东深圳第七高级中学第二次月考,11)F1,F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,线段PF2与y轴的交点为M,且𝐹1M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐹

1𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗),则点M到坐标原点O的距离是()A.14B.12C.1D.2答案A5.(2019安徽宣城二模,12)已知F1,F2分别为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第二象限内的点,延长PF1交椭圆于点Q,若PF2

⊥PQ,且|PF2|=|PQ|,则椭圆的离心率为()A.√6-√3B.√2-1C.√3-√2D.2-√2答案A6.(2019广东七校4月联考,11)已知点P为椭圆𝑥216+𝑦212=1上的动点,EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径,则𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐹⃗⃗

⃗⃗⃗的最大值和最小值分别是()A.16,12-4√3B.17,13-4√3C.19,12-4√3D.20,13-4√3答案C7.(2020届湖北洪湖第二中学月考,12)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交C

于A,B两点.若𝐴𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=47𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,|AF2|=|F1F2|,则椭圆C的离心率为()A.27B.37C.47D.57答案D8.(2019江西五校协作体4月联考,11)已知点F1,F2是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点,P

为椭圆上的动点,动点Q满足𝐹1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐹1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|且|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,其中𝐹1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗≠0,𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗≠0,若|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为1,最大值为9,则椭圆的方程为()

A.𝑥225+𝑦29=1B.𝑥29+y2=1C.𝑥225+𝑦216=1D.𝑥281+y2=1答案A二、多项选择题(每题5分,共10分)9.(2020届山东菏泽期中,8)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地

面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F、A、B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,则()A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=√(𝑚+𝑅)(𝑛+

𝑅)答案ABD10.(改编题)已知点P在以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,离心率为12的椭圆上.若过点P作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点F1,与椭圆的另一个交点为A.若△PF2A的面积为12(F2为椭圆的另一个焦点),则椭圆的

方程为()A.𝑥23+𝑦24=1B.𝑥24+𝑦23=1C.𝑥216+𝑦212=1D.𝑥212+𝑦216=1答案CD三、填空题(每题5分,共10分)11.(2020届湖北洪湖第二中学月考,14)万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕

,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次成为奥运会开幕式的主办场地.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭

圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为cm.答案2012.(2020届广西南宁10月摸底考,15)已知F1,F2分别是椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点,过左焦点F1的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AF1|=3|BF1|,|

AB|=|BF2|,则椭圆的离心率为.答案√105四、解答题(共50分)13.(2020届广东深圳第七高级中学第二次月考,20)已知椭圆G:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为√32,直线l过椭圆G的右顶点A(2,0),且交椭圆G于另

一点C.(1)求椭圆G的标准方程;(2)若以AC为直径的圆经过椭圆G的上顶点B,求直线l的方程.解析(1)由题设可得e=𝑐𝑎=√32,a=2,解得c=√3,因为a2=b2+c2,所以b=√𝑎2-𝑐2=1,所以椭圆G的标准方程为𝑥24+y2=1.(2)设C(

xC,yC).以AC为直径的圆经过点B等价于𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0.由题设及(1)可得B(0,1),所以𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-1),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(xC,yC-1),所以�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2xC-yC+1=0.又C(xC,yC)在椭圆G上,所以𝑥𝐶24+𝑦𝐶2=1,由yC=2xC+1,可得17𝑥𝐶2+16xC=0,解得xC=0或xC=-1617,所以C(0,1

)或C(-1617,-1517),所以,直线l的方程为x+2y-2=0或3x-10y-6=0.14.(2020届广东珠海9月摸底测试,20)已知离心率为2√23的椭圆𝑥2𝑎2+y2=1(a>1)与直线l交于

P,Q两点,记直线OP的斜率为k1,直线OQ的斜率为k2.(1)求椭圆的方程;(2)若k1·k2=-19,则三角形POQ的面积是不是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.解析(1)由题意可知{𝑏=1,𝑒=𝑐𝑎=2√23,𝑎2=𝑏2+𝑐2

,解得a=3,c=2√2,所以椭圆的方程为𝑥29+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立得(9k2+1)x2+18kmx+9m2-9=0,则x1+x2=-18𝑘𝑚9𝑘2+1,x1x2=9𝑚2-99𝑘2+1

.因为|PQ|=√1+𝑘2√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=6√1+𝑘2√9𝑘2-𝑚2+19𝑘2+1,点O到直线PQ的距离d=|𝑚|√1+𝑘2,所以S△POQ=12|PQ|·d=3√𝑚29𝑘2+1(1−𝑚29𝑘2+1),(※)由k1k2=𝑦1𝑦2𝑥1

𝑥2=𝑘2𝑥1𝑥2+km(𝑥1+𝑥2)+𝑚2𝑥1𝑥2=-19化简得9k2=2m2-1,代入(※)式得S△POQ=32.若直线PQ的斜率不存在,则易算得S△POQ=32.综上,得三角形POQ的面积是定值32.

15.(2019福建四地七校3月调研,19)已知椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B,且AB是圆(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径

,求椭圆E的标准方程.解析(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为(𝑎2,𝑎2),代入椭圆方程可得14+𝑎24𝑏2=1,即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),∴2a2=3c2,∴e=√63.(2)由(1)得椭圆E的方程为𝑥23𝑏2+𝑦2𝑏2=1,易知直线l的斜率存在,设其

方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2).{𝑦=𝑘(𝑥-1)-1,𝑥2+3𝑦2=3𝑏2⇒(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0(*).∴x1+x2=6𝑘(𝑘+1)3𝑘2+1,x

1x2=3(𝑘+1)2-3𝑏23𝑘2+1.又x1+x2=2,∴k=13,∴x1x2=16−9𝑏24,则|AB|=√1+𝑘2√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=√103√4−4·16−9𝑏24=2√5,

∴b2=103,则a2=10,∴椭圆E的标准方程为𝑥210+𝑦2103=1.16.(2019黄山一模,20)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=12,点P是椭圆上的一个动点,△PF1F2面积的最大值

是4√3.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,且|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=967,

求此时直线AC的方程.解析(1)由题意知,当点P是椭圆上(或下)顶点时,△PF1F2的面积取得最大值.此时,𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12·2c·b=4√3,又e=𝑐𝑎=12,a2=b2+c2,所以a=4,b=2√3,故所求椭圆的方程为𝑥216+𝑦212=1.

(2)由(1)知F1(-2,0),由𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0得AC⊥BD.①当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时,|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=14,不合题意.②

当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时,其方程为y=k(x+2).由{𝑦=𝑘(𝑥+2),𝑥216+𝑦212=1消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-16𝑘23

+4𝑘2,x1x2=16𝑘2-483+4𝑘2.所以|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√1+𝑘2|x1-x2|=24(1+𝑘2)3+4𝑘2.直线BD的方程为y=-1𝑘(x+2),同理可得|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=24(1+𝑘2)4+3𝑘2.由|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|+

|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=168(1+𝑘2)2(4+3𝑘2)(3+4𝑘2)=967,解得k2=1,则k=±1.故所求直线AC的方程为y=±(x+2).获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com