【文档说明】甘肃省兰州市第五十中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（文科）试卷 含答案.docx，共(14)页，200.012 KB，由小赞的店铺上传

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保密★启用前兰州市五十中2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟；总分150分题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选

题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x∈Z||x|≤2},则A∩B=()A.{1,2}B.{1,-2}C.{-1

,2}D.{-1,-2}2．复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i3．某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依

次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是()495443548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921206A．23B．09C．02D．164.s

in10°1－3tan10°＝()A.14B.12C.32D．15．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A．2B．4＋22C．

4＋42D．4＋626.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．47.已知向量a＝(1，m)，b＝(0，－2)，且(a＋b)⊥b，则实数m等于()A．2B．1C．－1D．－

28.函数f(x)=xln|x|的大致图象是()9.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是()A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a∥b,

则a,b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c10.椭圆𝑥225+𝑦216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的一条直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2的内切圆面积为π,且A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=()A.√53B.103C.2

03D.5311.设f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负12.已知关于x的不等式ax2e1

-x-xlnx-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[0,1]B.(-∞,0]C.(-∞,1]D.-∞,12第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的

横线上．）13.已知函数f(x)={log2𝑥,0<𝑥≤1,𝑓(𝑥-1),𝑥>1,则f(20192)=.14.已知向量a=(2,-1),b=(1,t),且|a+b|=|a-b|,则t=.15.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>

0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是.16.已知在正项等比数列{an}中,存在两项am,an,满足√𝑎𝑚𝑎𝑛=2a1且a6=a5+2

a4,则1𝑚+4𝑛的最小值是.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共6

0分．17.（12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次

转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得

玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.18.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,∠ABC=90°,且PB=PC.(1)求证:平面PAD⊥平面

ABCD;(2)求点D到平面PBC的距离.19.(12分)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).(1)求角C的值;(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为√3,求△ABC

的周长.20.(12分)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且|F1F2|=2,P在椭圆C上且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2的直线交椭圆于点B,C两点,A为椭圆的左顶点,若𝐹1𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,求直线AB的斜率k的值.21.(12分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切

线,求a的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过点P(3,2),且倾斜角α=π

6,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.[选修4-5：不等式]23.（10分）已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,a∈R.(1)当a=1时,

解不等式f(x)≥5;(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|<3,求a的取值范围.答案及解析1.已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x∈Z||x|≤2},则A∩B=()A.{1,2}B.{1,-2}C.{-1,2}D.{-1,-2

}解析：C由题知x2-x-2=0,解得x=-1或x=2,∴A={-1,2}.又集合B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={-1,2}.故选C.2．复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选B∵21－

i＝2（1＋i）（1－i）（1＋i）＝1＋i，∴21－i的共轭复数为1－i.3．某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取

方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是()495443548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921206A．23B．09C

．02D．16解析：选D从随机数表第一行的第6列数字3开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21，32，09，16，故第4个志愿者的座号为16.4.sin10°1－3tan10°＝()A.14B.12C.32D．1解析：选Asin10°1－3tan10°＝si

n10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°412cos10°－32sin10°＝sin20°4sin（30°－10°）＝14.5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三

棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A．2B．4＋22C．4＋42D．4＋62解析：选C由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC－A

1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝2，∠ACB＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋22)×2＝4＋42，故选C.6已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4解

析：选B解法一：设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得a1＋a1＋4d＝10，4a1＋4×32×d＝16，解得a1＝1，d＝2，故选B.解法二：设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝4（a1＋a4）2＝2(a1＋a5－d)＝2(10－

d)＝16，所以d＝2，故选B.8.已知向量a＝(1，m)，b＝(0，－2)，且(a＋b)⊥b，则实数m等于()A．2B．1C．－1D．－2解析：选A依题意得a＋b＝(1，m－2)，所以(a＋b)·b＝1×0－2(m－2)＝0，解得m＝2，故选A.8.函数f(x)=xln|x|的大致图象是(

).解析：选C由f(x)=xln|x|,所以当0<x<1时,f(x)<0,故排除A,D,而f(-x)=-xln|-x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,故选C.9.a,b

,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是()A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c解析：选

C对于A,B,D,a与c可能相交、平行或异面,因此A,B,D不正确,根据异面直线所成角的定义知C正确.10.椭圆𝑥225+𝑦216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的一条直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2的内切圆面积为π,且A(x1,y1),B(x2,y2)

,则|y1-y2|=()A.√53B.103C.203D.53解析：选.B∵椭圆𝑥225+𝑦216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,△ABF2的内切圆的面积为π,∴△ABF2内切圆半径r=1,𝑆△𝐴𝐵𝐹

2=12×1×(AB+AF2+BF2)=2a=10.∵𝑆△𝐴𝐵𝐹2=12|y1-y2|×2c=12|y1-y2|×2×3=10,∴|y1-y2|=103.故选B.11.设f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时,f(x)单调递减

,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负解析：选.A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)

<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0.故选A.12.已知关于x的不等式ax2e1-x-xlnx-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[0,1]B.(-∞,0]C.(-∞,1]D.-∞,12解析：选.C原不等式等价于axe1

-x≤lnx+1𝑥(x>0),当a≤0时,令g(x)=lnx+1𝑥,则g'(x)=1𝑥−1𝑥2=𝑥-1𝑥2,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,g(x)min=g(1)=1,所以lnx+1𝑥≥1,显然有axe1-x≤lnx+1𝑥;当a>0时,令f(x)=a

xe1-x-lnx-1𝑥,则f'(x)=1-𝑥e𝑥-1a+e𝑥-1𝑥2,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)≤0即可,因为f(1)=a-1,所以0<a≤1.综上,a≤1.故选C.13.已知函数f(x)={log

2𝑥,0<𝑥≤1,𝑓(𝑥-1),𝑥>1,则f(20192)=.-1由函数f(x)={log2𝑥,0<𝑥≤1,𝑓(𝑥-1),𝑥>1,可得当x>1时,满足f(x)=f(x-1),所以函数f(x)是周期为1的函数,所以f(20192)=f(1009+12)=f(12)=l

og212=-1.14.已知向量a=(2,-1),b=(1,t),且|a+b|=|a-b|,则t=.2由|a+b|=|a-b|,得32+(t-1)2=1+(-1-t)2,解得t=2.15.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a

>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是..(1,53]设P(x,y),则(x+c)2+y2=4[(x-c)2+y2],化简得(𝑥-53𝑐)2+y

2=169c2,所以点P在以M(5𝑐3,0)为圆心,43c为半径的圆上.又因为点P在双曲线的渐近线bx±ay=0上,所以渐近线与圆M有公共点,所以53𝑏𝑐√𝑏2+𝑎2≤43c,解得5b≤4c,即𝑐𝑎≤53,所以双曲线离心率的取值范

围是(1,53].16已知在正项等比数列{an}中,存在两项am,an,满足√𝑎𝑚𝑎𝑛=2a1且a6=a5+2a4,则1𝑚+4𝑛的最小值是.94在正项等比数列{an}中,设公比为q,因为a6=a5+2a4,所以q2-q-2=0,解

得q=2或q=-1(舍去),因为存在两项am,an满足√𝑎𝑚𝑎𝑛=2a1,所以2m+n-2=4,所以m+n=4,所以1𝑚+4𝑛=141𝑚+4𝑛(m+n)=145+𝑛𝑚+4𝑚𝑛≥145+2√𝑛

𝑚·4𝑚𝑛=94,当且仅当m+n=4,𝑛𝑚=4𝑚𝑛,即m=43,n=83时取等号.所以1𝑚+4𝑛的最小值是94,故答案为94.17.（12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动

如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy

≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由..解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基

本事件构成的集合是S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=

516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=38.事件C包

含的基本事件共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因为38>516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.18.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,A

B∥CD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,∠ABC=90°,且PB=PC.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)求点D到平面PBC的距离.解.(1)证明取AD,BC的中点分别为M,E,连接PM,PE,ME,因为AB∥CD,AB=3CD=3,所以四边形ABCD为梯形,又M,E

为AD,BC的中点,所以ME为梯形的中位线,所以ME∥AB,又∠ABC=90°,所以ME⊥BC,因为PB=PC,E为BC的中点,所以PE⊥BC,又PE∩ME=E,PE⊂平面PME,ME⊂平面PME,所以BC

⊥平面PME,又PM⊂平面PME,故PM⊥BC,因为PA=PD,M为AD中点,所以PM⊥AD,又AD,BC不平行,必相交于某一点,且AD,BC都在平面ABCD上,所以PM⊥平面ABCD,又PM⊂平面PAD,则平面PAD⊥平面ABCD.(2)解由题知,P

M为三棱锥P-BCD的高,AD=2√2,ME=2,PM=√2,故PE=√6,S△PBC=12BC×PE=12×2×√6=√6,而S△BCD=12BC·CD=12×2×1=1,设点D到平面PBC的距离为h,则VP-BCD=VD-BCP,则13S△

BCD×PM=13S△PBC×h,即13×1×√2=13×√6×h,解得h=√33,所以点D到平面PBC的距离为√33.19.(12分)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).(1)求角C的值;(2)若2a+b=6,且△

ABC的面积为√3,求△ABC的周长..解(1)因为asin(A+B-C)=csin(B+C),由正弦定理得sinAsin(π-2C)=sinCsin(π-A)=sinCsinA,因为sinA≠0,所以sin(π-2C)=sinC,即si

n2C=2sinCcosC=sinC.因为sinC≠0,所以cosC=12.因为0<C<π,所以C=π3.(2)由S△ABC=12absinC=√3,可得ab=4.因为2a+b=6,所以2a+4𝑎=6,解得a=1或2.当a=1时,b=4,c2=a2+b2-2abcosC=13,c=√1

3,所以周长为5+√13.当a=2时,b=2,c2=a2+b2-2abcosC=4,c=2,所以周长为6.综上,△ABC的周长为6或5+√13.20.(12分)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且

|F1F2|=2,P在椭圆C上且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2的直线交椭圆于点B,C两点,A为椭圆的左顶点,若𝐹1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,求直线AB的斜率k的值.解(

1)因为|F1F2|=2,所以2c=2,c=1.根据椭圆的定义及|PF1|+|PF2|=4,可得2a=4,a=2.所以b=√𝑎2-𝑐2=√3,所以椭圆C的方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)设直线AB的方程lAB:y=k(x+2),B(xB,yB).由(1)知,

A(-2,0).由{𝑦=𝑘(𝑥+2),𝑥24+𝑦23=1,消去y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,∴-2xB=16𝑘2-123+4𝑘2,∴xB=-8𝑘2+63+4𝑘2,∴yB=k(xB+2)=12𝑘3+4𝑘2,∴B(-8𝑘2+63+4𝑘

2,12𝑘3+4𝑘2).若k=12,则B(1,32),C1,-32,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3,32).∵F1(-1,0),∴𝐹1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-32).∴𝐹1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0不成立.同理,k=-12也不成立.

∴k≠±12.∵F2(1,0),𝑘𝐵𝐹2=4𝑘1-4𝑘2,𝑘𝐶𝐹1=-1𝑘,∴直线BF2的方程𝑙𝐵𝐹2:y=4𝑘1-4𝑘2(x-1),直线CF1的方程𝑙𝐶𝐹1:y=-1𝑘(x+1).由{𝑦=4𝑘1-

4𝑘2(𝑥-1),𝑦=-1𝑘(𝑥+1),得{𝑥=8𝑘2-1,𝑦=-8𝑘.∴C(8k2-1,-8k).又点C在椭圆上,得(8𝑘2-1)24+(-8𝑘)23=1,即(24k2-1)(8k2+9)=0,即k2=124,k=±√612.21.(12分)已知函数f(x)=x

3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.解(1)f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).由题意得{𝑓(

0)=𝑏=0,𝑓'(0)=-𝑎(𝑎+2)=-3,解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(

1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-12.所以a的取值范围为(-∞,-12)∪(-12,+∞).22.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过点P(3,2),且倾斜角α=π6,以坐标原

点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值..解(1)由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ,从而有x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.(2)由题

意设直线l的参数方程为{𝑥=3+𝑡cosπ6,𝑦=2+𝑡sinπ6,即{𝑥=3+√32𝑡,𝑦=2+12𝑡(t为参数),代入圆的方程得3+√32t2+12t2=4,整理得t2+3√3t+5=0,t1+t2=-3√3,t1t2=5,由t1+t2<0且

t1t2>0,可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=3√3.23.（10分）已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,a∈R.(1)当a=1时,解不等式f(x)≥5;(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|<3,求a的取值范围.

解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+|2x+1|,由f(x)≥5得|x-2|+|2x+1|≥5.当x≥2时,不等式等价于x-2+2x+1≥5,解得x≥2;当-12<x<2时,不等式等价于2-x+2x+1≥

5,即x≥2,不等式无解;当x≤-12时,不等式等价于2-x-2x-1≥5,解得x≤-43.所以原不等式的解集为(-∞,-43]∪[2,+∞).(2)f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2

x-4|+|2x+a|≥|2x+a-(2x-4)|=|a+4|.因为f(x)+|x-2|<3等价于(f(x)+|x-2|)min<3,所以|a+4|<3,所以-7<a<-1.故所求实数a的取值范围为(-7,

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