【文档说明】专题08一元二次方程（真题76道模拟50道）-5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（解析版）（四川专用）.docx，共(48)页，125.280 KB，由管理员店铺上传

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5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（四川专用）专题08一元二次方程（真题76道模拟50道）一．选择题（共30小题）1．（2020•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（）A．﹣1B．−14C．0D．1【分析】根据关于x的方程x2﹣

x﹣m＝0没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．【解析】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，解得：𝑚＜−14，故选：A．2．（2020•自贡）关于x的一元二次方程ax2﹣2x

+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（）A．12B．−12C．1D．﹣1【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a的值．【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相

等实数根，∴{𝑎≠0△=(−2)2−4×𝑎×2=0，∴a=12．故选：A．3．（2020•凉山州）一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2【分析】移项后利用因式分解法求解可得．【解析】

∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，五年中考真题∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：C．4．（2020•雅安）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k≥94B．k≥−94且k≠0C．k≤94且

k≠0D．k≤−94【分析】根据关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，知△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【解析】∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤94且k≠

0，故选：C．5．（2019•内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或16【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据三角形三边关

系得出三角形的三边长度，继而相加即可得．【解析】解方程x2﹣8x+15＝0，得：x＝3或x＝5，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选：A．6．（2019•遂宁）已知关于x的一元二次方程

（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣1【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a﹣1≠0，进而得出答案．【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2

x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，则a的值为：a＝﹣1．故选：D．7．（2019•宜宾）一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（）A．﹣2B．bC．2D．﹣b【分析】根据“一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2”，结合根与

系数的关系，即可得到答案．【解析】根据题意得：x1+x2=−−21=2，故选：C．8．（2019•自贡）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞1【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＜0，然后解不等式即

可．【解析】根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1．故选：D．9．（2019•达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．

2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．【解析】设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+25

00（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．10．（2018•凉山州）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的一个根，则m+n的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】根据一元二次方程的解的定义得到n2+mn+2n＝0，然后利用等式性质

求m+n的值．【解析】把x＝n代入方程x2+mx+2n＝0得n2+mn+2n＝0，因为n≠0，所以n+m+2＝0，则m+n＝﹣2．故选：D．11．（2018•宜宾）一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2

B．1C．2D．0【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2＝0，此题得解．【解析】∵一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，∴x1x2＝0．故选：D．12．（2018•宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文

化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2%B．4.4%C．20%D．44%【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为

x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2＝2.88

，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选：C．13．（2018•泸州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．

k≤2B．k≤0C．k＜2D．k＜0【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．【解析】根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜2．故选：C．14．（2018•

眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则𝛽𝛼+𝛼𝛽的值是（）A．427B．−427C．−5827D．5827【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=−23、αβ＝﹣3，将其代入𝛽𝛼+𝛼𝛽=(𝛼+𝛽)2−2𝛼𝛽𝛼𝛽中即可求出结论．【解析】

∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，∴α+β=−23，αβ＝﹣3，∴𝛽𝛼+𝛼𝛽=𝛽2+𝛼2𝛼𝛽=(𝛼+𝛽)2−2𝛼𝛽𝛼𝛽=(−23)2−2×(−3)−3=−5827．故选：C．1

5．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%【分析】设

平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1﹣x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．【解析】设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1，x2

＝1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．故选：C．16．（2018•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x

的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】设参加酒会的人数为x人，根据题意得：12x（x﹣1）＝55，整理，得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为11人．故选：C．17．（2017•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2

+2x﹣k﹣1＝0的两根，且x1x2＝﹣3，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2＝﹣k﹣1，结合x1x2＝﹣3可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣

1＝0的两根，∴x1x2＝﹣k﹣1．∵x1x2＝﹣3，∴﹣k﹣1＝﹣3，解得：k＝2．故选：B．18．（2017•攀枝花）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1【分析】根据

二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，∴{𝑚−1≠0△=(−2)2+4(𝑚−1)≥0，

解得：m≥0且m≠1．故选：C．19．（2017•遂宁）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围为（）A．a≤2B．a＜2C．a≤2且a≠1D．a＜2且a≠1【分析】根据二次项系数非

零及根的判别式△≥0，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有两个实数根，∴{𝑎−1≠0△=22−4(𝑎−1)≥0，解得：a≤2且a≠1．故选：C．20．（2017•雅安）一个等腰三角形的边长是6，腰

长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或14【分析】通过解一元二次方程x2﹣7x+12＝0求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．【解析】由一元二次方程x2﹣7x+12＝0，得（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x﹣

3＝0或x﹣4＝0，解得x＝3，或x＝4；∴等腰三角形的两腰长是3或4；①当等腰三角形的腰长是3时，3+3＝6，构不成三角形，所以不合题意，舍去；②当等腰三角形的腰长是4时，0＜6＜8，所以能构成三角形，所以该等腰三

角形的周长＝6+4+4＝14；故选：C．21．（2017•德阳）已知关于x的方程x2﹣4x+c+1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1B．0C．1D．3【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于c的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】∵方

程x2﹣4x+c+1＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（c+1）＝12﹣4c＝0，解得：c＝3．故选：D．22．（2017•广元）方程2x2﹣5x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号

【分析】由方程的系数结合根的判别式可得出△＝1＞0，由此即可得出原方程有两个不相等的实数根，此题得解．【解析】∵△＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1＞0，∴方程2x2﹣5x+3＝0有两个不相等的实数根．故选：B．23．（2017•泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2

﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A．7B．11C．12D．16【分析】由根与系数的关系可得出m+n＝2t、mn＝t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）＝（t+1）2+7，由

方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．【解析】∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2

t+4，∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7＝16．故选：D．24．（2017•凉山州）若关

于x的方程x2+2x﹣3＝0与2𝑥+3=1𝑥−𝑎有一个解相同，则a的值为（）A．1B．1或﹣3C．﹣1D．﹣1或3【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的

分母不等于零．【解析】解方程x2+2x﹣3＝0，得x1＝1，x2＝﹣3，∵x＝﹣3是方程2𝑥+3=1𝑥−𝑎的增根，∴当x＝1时，代入方程2𝑥+3=1𝑥−𝑎，得21+3=11−𝑎，解得a＝﹣1．故选：C．25．（2017•

凉山州）一元二次方程3x2﹣1＝2x+5两实根的和与积分别是（）A．32，﹣2B．23，﹣2C．−23，2D．−32，2【分析】设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，然后把方程化为一般形式，然后根据根与系数的关系进行判断．

【解析】设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，方程3x2﹣1＝2x+5化为一元二次方程的一般形式为：3x2﹣2x﹣6＝0，所以x1+x2=23，x1x2=−63=−2．故选：B．26．（2017•咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+

bx+c＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解析】∵点P（a，c）在第二象

限，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．27．（2017•宜宾）一元二次方程4x2﹣2x+14=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实

数根C．没有实数根D．无法判断【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．【解析】在方程4x2﹣2x+14=0中，△＝（﹣2）2﹣4×4×（14）＝0，∴一元二次方程4x2﹣2x+14=0有两个相等的实数根．故选：B．2

8．（2017•绵阳）关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（）A．﹣8B．8C．16D．﹣16【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．【解析】∵关于x的方

程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，∴−𝑚2=−1，𝑛2=−2，∴m＝2，n＝﹣4，∴nm＝（﹣4）2＝16．故选：C．29．（2016•绵阳）若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一根为﹣1，则方

程的另一根为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．3【分析】设方程的另一根为m，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解析】关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一根为﹣1，设另一根为m，可得﹣1+m＝2，解得：m＝3，则方程的

另一根为3．故选：D．30．（2016•雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2【分析】根据题意

，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及m的值即可．【解析】由根与系数的关系式得：2x2＝﹣8，2+x2＝﹣m＝﹣2，解得：x2＝﹣4，m＝2，则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，故选：D．二．填空题（共20小题）

31．（2020•眉山）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则1𝑥1+1𝑥2的值为34．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=−32，x1x2＝﹣2，再把1𝑥1+1𝑥2通分得到�

�1+𝑥2𝑥1⋅𝑥2，然后利用整体代入的方法计算．【解析】根据题意得x1+x2=−32，x1x2＝﹣2，所以1𝑥1+1𝑥2=𝑥1+𝑥2𝑥1⋅𝑥2=−32−2=34．故答案为34．32．（2020•雅安）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，

则x2+y2＝6．【分析】设x2+y2＝z，则原方程转化为关于z的一元二次方程．解一元二次方程即可．【解析】设x2+y2＝z，则原方程转化为z2﹣5z﹣6＝0，（z﹣6）（z+1）＝0，解得z1＝6，z2＝﹣1，∵x2+y

2不小于0，∴x2+y2＝6，故答案为6．33．（2020•宜宾）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则𝑥2𝑥1+2x1x2+𝑥1𝑥2=−372．【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2

，x1•x2＝﹣8，再通分后根据完全平方公式变形，再代入求出即可．【解析】∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，∴𝑥2𝑥1+2x1x2+𝑥1𝑥2＝2x1x2+�

�22+𝑥12𝑥1𝑥2＝2×（﹣8）+(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2−8＝﹣16+(−2)2−2×(−8)−8=−372，故答案为：−372．34．（2020•内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2

+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为−13．【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．【解析】把x＝﹣1代入原方

程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，由根与系数的关系得：x1•x2=13，又x1＝﹣1，∴x2=−13故答案为：−13．35

．（2020•甘孜州）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是17．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝6，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为3

，然后计算三角形的周长．【解析】x2﹣8x+12＝0，（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x1＝2，x2＝6，若x＝2，即第三边为2，4+2＝6＜7，不能构成三角形，舍去；当x＝6时，这个三角形周长为4+7+6＝17，故答案为：17．36．（2020•泸州）已知x

1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是2．【分析】根据根与系数的关系求解．【解析】根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2

＝16﹣14＝2故答案为2．37．（2020•成都）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m−32=0有实数根，则实数m的取值范围是m≤72．【分析】根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．【解析】∵关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m−32=0有实数根，∴△

＝（﹣4）2﹣4×2×（m−32）＝16﹣8m+12≥0，解得：m≤72，故答案为：m≤72．38．（2019•眉山）设a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为﹣2017．【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝﹣1，a

b＝﹣2019，将其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中即可得出结论．【解析】∵a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（

a+b）+1＝﹣2019+1+1＝﹣2017．故答案为：﹣2017．39．（2019•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是16．【分析】根据x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，可以求得x1+

x2和x1x2的值，从而可以求得所求式子的值．【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，∴（x1+4）（x2+4）＝x1x2+4x1+4x2+16＝x1x2+4（x1+x2）+16＝﹣4+4×1+16＝﹣4+4

+16＝16，故答案为：16．40．（2019•广元）若关于x的一元二次方程ax2﹣x−14=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+

1＞0，﹣a﹣3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解．【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣x−14=0（a≠0）有两个不相等的实数根，∴{𝑎≠0△=(−1)2−4×𝑎×(−14)＞0，解得：a＞﹣1且a≠0．∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0，∴点P（

a+1，﹣a﹣3）在第四象限．故答案为：四．41．（2019•资阳）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是8．【分析】直接把a的值代入得出2a2﹣a＝4，进而将原式变形得出答案．【解析】∵a是方程2x2＝x+4的一个根，∴2a2﹣a＝4，∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a

）＝2×4＝8．故答案为：8．42．（2019•攀枝花）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝6．【分析】根据根与系数的关系变形后求解．【解析】∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝2，x

1×x2＝﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣1）＝6．故答案为：6．43．（2019•成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为﹣2．【分析】根据“x1，x2是关于

x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．【解析】根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，𝑥12+𝑥22−x1x2=(𝑥1+𝑥2)2−3x1x

2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，故答案为：﹣2．44．（2019•遂宁）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＜1．【分析】利用根的判别式进行计算，令△＞0即可得到关于k的不等式，解答即

可．【解析】∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4﹣4k＞0，k＜1．故答案为：k＜1．45．（2019•宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又

将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为x

，根据利润＝售价﹣成本价结合半年以后的销售利润为（65﹣50）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1

﹣x）2＝65﹣50．故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．46．（2018•巴中）对于任意实数a、b，定义：a◆b＝a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5＝0的两

根记为m、n，则m2+n2＝6．【分析】根据新定义可得出m、n为方程x2+2x﹣1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n＝﹣2、mn＝﹣1，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中即可得出结论．【解析】∵（x◆2）﹣5＝x2+2x+4﹣5，∴m、n为方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴

m+n＝﹣2，mn＝﹣1，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝6．故答案为：6．47．（2018•资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝2．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过

解关于m的方程求得m的值即可．【解析】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，∴m2﹣2m＝0且m≠0，解得，m＝2．故答案是：2．48．（2018•达州）已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠

1，则𝑚𝑛+𝑛+1𝑛的值为3．【分析】将n2+2n﹣1＝0变形为1𝑛2_2𝑛−1＝0，据此可得m，1𝑛是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，由韦达定理可得m+1𝑛=2，代入𝑚𝑛+𝑛+1𝑛=m+1+1𝑛可得．【解析】由n2+

2n﹣1＝0可知n≠0．∴1+2𝑛−1𝑛2=0．∴1𝑛2−2𝑛−1＝0，又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠1𝑛．∴m，1𝑛是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．∴m+1𝑛=2．∴𝑚𝑛+𝑛+1𝑛=m+1+1𝑛=2+1＝3，故答案为：3．49

．（2018•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则12𝑥1+1+12𝑥2+1的值是6．【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2＝2、x1x2＝﹣1、𝑥12=2x1+1、𝑥22=2x2+1，将其代入12𝑥1

+1+12𝑥2+1=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2(𝑥1𝑥2)2中即可得出结论．【解析】∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，𝑥12=2x1+1，𝑥2

2=2x2+1，∴12𝑥1+1+12𝑥2+1=1𝑥12+1𝑥22=𝑥12+𝑥22(𝑥1𝑥2)2=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2(𝑥1𝑥2)2=22−2×(−1)(−1)2=6．故答案为：6．50．（2018•内江）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，则k的取值

范围是k≥﹣4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解析】∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，∴△＝42﹣4×1×（﹣k）＝16+4k≥0，解得：k≥﹣4．故答案为：k≥﹣4．二．填空题（

共12小题）51．（2018•内江）已知关于x的方程ax2+bx+1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0的两根之和为1．【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．【解析】设x+1＝t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0的两根分别

是x3，x4，∴at2+bt+1＝0，由题意可知：t1＝1，t2＝2，∴t1+t2＝3，∴x3+x4+2＝3故答案为：152．（2018•南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n＝0的根，则m﹣n的值为12．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝2n代入

方程得到x2﹣2mx+2n＝0，然后把等式两边除以n即可．【解析】∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n＝0的根，∴4n2﹣4mn+2n＝0，∴4n﹣4m+2＝0，∴m﹣n=12．故答案是：12．53．（2017•资阳）关

于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞−18且a≠1．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解析】∵关于

x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+a＝0有两个不相等的实数根，∴{𝑎−1≠0△=(2𝑎+1)2−4𝑎(𝑎−1)＞0，解得：a＞−18且a≠1．故答案为：a＞−18且a≠1．54．

（2017•巴中）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则a2+2ab+b2的值为1．【分析】由x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，可得1+a+b＝0，推出a+b＝﹣1，可得

a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1．【解析】∵x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，∴1+a+b＝0，∴a+b＝﹣1，∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1．故答案为1．55．（2017•遂宁）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则1𝑥1+1𝑥2=﹣3．【分析】根据根

与系数的关系可得出x1+x2＝3、x1•x2＝﹣1，将其代入1𝑥1+1𝑥2=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2中即可求出结论．【解析】∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，∴1𝑥1+1𝑥2=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=3−1=−3．故答案为：﹣3

．56．（2017•阿坝州）若一元二次方程x2+4x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是4．【分析】根据一元二次方程x2+4x+c＝0有两个相等的实数根，得出△＝16﹣4c＝0，解方程即可求出c的值．【解析】∵一元二次方程x2+4x+c＝

0有两个相等的实数根，∴△＝16﹣4c＝0，解得c＝4．故答案为4．57．（2017•眉山）已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值是﹣4．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝3、x1•x2＝﹣2，将其代入（

x1﹣1）（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1中，即可求出结论．【解析】∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝﹣2﹣3+1＝﹣4．故答案为：﹣4．58．（2017•宜

宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是50（1﹣x）2＝32．【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出

相应的方程即可．【解析】由题意可得，50（1﹣x）2＝32，故答案为：50（1﹣x）2＝32．59．（2017•成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝214．【

分析】由两根关系，得根x1+x2＝5，x1•x2＝a，解方程得到x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，即可得到结论．【解析】由两根关系，得根x1+x2＝5，x1•x2＝a，由x12﹣x22＝10得（x1+x

2）（x1﹣x2）＝10，若x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝25﹣4a＝4，∴a=214，故答案为：214．60．（2017•内江）设α、β是方程（x

+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则𝛽3𝛼+𝛼3𝛽=47．【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，得到α+β＝3，αβ＝1，根据完全平方公式得到α4+β4＝47，于是得到结论．【解析】方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5可化为x

2﹣3x+1＝0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，∴α+β＝3，αβ＝1，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝7，α4+β4＝（α2+β2）2﹣2α2•β2＝47，∴𝛽3𝛼+𝛼3𝛽=𝛼4+𝛽4𝛼

𝛽=47，故答案为：47．61．（2016•眉山）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为100（1+x

）2＝169．【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．【解析】由题意可得，100（1+x）2＝169，故答案为：100（

1+x）2＝169．62．（2016•眉山）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝5．【分析】根据根与系数的关系可知m+n＝﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7＝0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．【解析】∵设m、n是

一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，∵m是原方程的根，∴m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝5，故答案为：5．二．解答题（共14小题）6

3．（2020•南充）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式1𝑥1+1𝑥2=k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据方程的系数结合△≥0，即可得

出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2，x1x2＝k+2，结合1𝑥1+1𝑥2=k﹣2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．【解

析】（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，解得：k≤﹣1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．∵1𝑥1+1𝑥2=k﹣2，∴𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=2�

�+2=k﹣2，∴k2﹣6＝0，解得：k1=−√6，k2=√6．又∵k≤﹣1，∴k=−√6．∴存在这样的k值，使得等式1𝑥1+1𝑥2=k﹣2成立，k值为−√6．64．（2019•阿坝州）已知关于x的一元二次方

程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，然后解不等式即可．【解析】根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，解得k＞﹣2．65．（2019•巴中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有

两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．【分析】①根据“关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可，②根据“x1，x2是方程的两根且x1

2+x22+x1x2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．【解析】①根据题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得：m＞−54，②根据题意得：x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，x12+x22+x1x

2﹣17=(𝑥1+𝑥2)2−x1x2﹣17＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，解得：m1=53，m2＝﹣3（不合题意，舍去），∴m的值为53．66．（2019•南充）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝

0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算

两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【解析】（1）由题意△≥0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤134．（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+

1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1．67．（2018•遂宁）已知关于x的一元二

次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围

．【解析】∵该一元二次方程有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2＝a，x1+x2＝2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜

a≤1．68．（2018•内江）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}={𝑎(𝑎≥−1)−1(𝑎＜−1)解决问题

：（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}＝√22，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝3，则x的取值范围为23≤𝑥≤92；（2）如果2•M{2，x+2，x+4}＝max{2，x+2，x+4}，求x的值；（3）如果M{9，x2，3x﹣2}＝max{9，x

2，3x﹣2}，求x的值．【分析】（1）根据定义写出sin45°，cos60°，tan60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝3，可得不等式组：则{3≥5−3𝑥3≥2𝑥−6，可得结论；（2）根据新定义

和已知分情况讨论：①2最大时，x+4≤2时，②2是中间的数时，x+2≤2≤x+4，③2最小时，x+2≥2，分别解出即可；（3）不妨设y1＝9，y2＝x2，y3＝3x﹣2，画出图象，根据M{9，x2，3x﹣2}＝max{9，x2，3x﹣2}，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时

对应的x的值符合条件，结合图象可得结论．【解析】（1）∵sin45°=√22，cos60°=12，tan60°=√3，∴M{sin45°，cos60°，tan60°}=√22，∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}

＝3，则{3≥5−3𝑥3≥2𝑥−6，∴x的取值范围为：23≤𝑥≤92，故答案为：√22，23≤𝑥≤92；（2）2•M{2，x+2，x+4}＝max{2，x+2，x+4}，分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤﹣2，原等式变为：2（x+4）＝2，x＝﹣3，②x+2≤

2≤x+4时，即﹣2≤x≤0，原等式变为：2×2＝x+4，x＝0，③当x+2≥2时，即x≥0，原等式变为：2（x+2）＝x+4，x＝0，综上所述，x的值为﹣3或0；（3）不妨设y1＝9，y2＝x2，y3＝3x﹣2，画出图象，如图所示：结合图象，不难得

出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9，x2，3x﹣2}＝max{9，x2，3x﹣2}＝yA＝yB，此时x2＝9，解得x＝3或﹣3．69．（2018•成都）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．【分析】根据方程的系数

结合根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝4a+1＞0，解得：a＞−14．70．（2018•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x

+（m2﹣2m）＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：△＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实

数根．（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，∴𝑥12+𝑥22=（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m＝﹣1或m＝371．（2018•巴中）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】移项后提取公因式

x﹣2后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【解析】3x（x﹣2）＝x﹣2，移项得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0整理得：（x﹣2）（3x﹣1）＝0x﹣2＝0或3x﹣1＝0解得：x1＝2或x2=1372．（2017•巴中）巴中市某楼

盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次

下调的百分率．【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据调价前后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取小于1的正值即可得出结论．【解析】设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题

意，舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．73．（2017•眉山）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为

14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【分析】（1）根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量＝总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）（14﹣10）÷2+1＝3（档次）．答：此批次蛋糕属第三档次产品．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：（2x

+8）×（76+4﹣4x）＝1080，整理得：x2﹣16x+55＝0，解得：x1＝5，x2＝11（不合题意，舍去）．答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．74．（2017•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）

x﹣m＝0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得

m的值．【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，∴△＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，方程的

两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，∴(𝑥1+𝑥2)2−3𝑥1𝑥2=7，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）＝7，解得，m1＝1，m2＝2，即m的值是1或2．75．（2016•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程

的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2

＝2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．【解析】（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1

+x2＝6，x1x2＝2m+1，而2x1x2+x1+x2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．76．（2016•巴中）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣

3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．【分析】根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的

取值范围，再由根的判别式得出△＝（﹣b）2﹣8a，结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论．【解析】∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，△＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0

有两个不相等的实数根．一．选择题（共20小题）1．（2020•富顺县校级一模）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+1𝑥2−3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据一元二次方程的定

义逐个判断即可．【解析】一元二次方程只有④，共1个，故选：A．2．（2020•成都模拟）下列是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+3＝0D．x2+2y﹣10＝0【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．【解析】A

、是一元二次方程，故此选项正确；B、是二元一次方程，故此选项错误；C、是一元一次方程，故此选项错误；一年模拟新题D、是二元二次方程，故此选项错误；故选：A．3．（2020•宜宾模拟）不解方程，方程x2﹣2√

2x+2＝0的解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【分析】计算出此方程根的判别式的值即可得出答案．【解析】∵a＝1，b＝﹣2√2，c＝2，∴△＝（﹣2√2）2﹣4×1×2＝8﹣8＝0，∴方程

有两个相等的实数根，故选：B．4．（2020•新宾县二模）方程x2﹣2x＝5的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解析】原方程化为：x2﹣2x﹣5＝0，∴△＝4+

4×5＝24＞0，故选：A．5．（2020•巴中模拟）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣5n+m）＝10，则a的值是（）A．﹣5B．5C．﹣9D．9【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2﹣2

m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，结合（7m2﹣14m+a）（3n2﹣5n+m）＝10，可求出a的值，此题得解．【解析】∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2．∵（7m2﹣14

m+a）（3n2﹣5n+m）＝10，即（7+a）（3+2）＝10，∴a＝﹣5．故选：A．6．（2020•泸县模拟）一元二次方程x2＝x的实数根是（）A．0或1B．0C．1D．±1【分析】方程利用因式分解法求出解即可．

【解析】方程整理得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，解得：x＝0或x＝1，故选：A．7．（2020•仁寿县模拟）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则1𝑚+1𝑛=（）A．3B．﹣3C．13D．−13【分析】先

根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣1，再把1𝑚+1𝑛转化成含m+n和mn的代数式的形式，然后利用整体代入的方法计算．【解析】根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，所以1𝑚+1𝑛=𝑚+𝑛𝑚

𝑛=3−1=−3．故选：B．8．（2020•成都模拟）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根．则k的取值范围是（）A．k≤32B．k＞32C．k＜32D．k≥32【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一

次不等式，解之即可得出结论．【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣2）＝﹣8k+12≥0，解得：k≤32．故选：A．9．（2020•井研县一模

）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是（）A．有两个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式，再利用完全平方公式得到△＝（k﹣1）2

≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【解析】∵△＝（k+3）2﹣4×2（k+1）＝k2+6k+9﹣8k﹣8＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程有两个实数解．故选：A．10．（2020•海东市一模）《九章算术》是我国古代数学名著

，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（）A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2C．x2+（

x﹣2）2＝（x﹣4）2D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，长为对角线x尺，根据勾股定理可得的方程．【解析】设门对角线的长为x尺，由题意得：（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，故选：B．

11．（2020•武侯区模拟）在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均毎天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润

平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（）A．（x﹣2500）（8+4×𝑥50）＝5000B．（x﹣2500）（8+4×2900−𝑥50）＝5000C．（2900﹣x﹣2500）（8+4×𝑥50）＝5000D．

（2900﹣x）（8+4×2900−𝑥50）＝5000【分析】设每台冰箱的定价x元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可；【解析】设每台冰箱定价x元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得：（x﹣2500）（8+

4×2900−𝑥50）＝5000，故选：B．12．（2020•开远市模拟）已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代数式（5𝑥−2−x﹣2）÷𝑥−3𝑥2−2𝑥的值是（）A．√3−1B．√3+1C．√3−1或−√3−1D．√3−1或√3+1【分析】利用方程解

的定义得等式x2+2x＝2，利用分式的计算法则化简后整理出x2+2x的形式，再整体代入x2+2x＝2，即可求解．【解析】x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2．解得x＝±√3−1∴（5𝑥−2−x﹣2）÷𝑥−3𝑥2−2𝑥=5−𝑥2+4𝑥−2×𝑥(𝑥−2)𝑥−3=(3+𝑥)

(3−𝑥)𝑥−2×𝑥(𝑥−2)𝑥−3＝﹣（x2+3x）＝﹣（x2+2x+x）＝﹣（2+x）当x=±√3−1时，原式＝﹣（2±√3−1）故选：C．13．（2020•南充模拟）若△ABC的一边为4，另两边同时满足方程x2﹣6

x+k＝0，则△ABC的周长（）A．为10B．为11C．为12D．不确定【分析】设x2﹣6x+k＝0的两个根分别为x1、x2，由根与系数的关系可得出x1+x2＝6，分两种情形分别求解即可．【解析】设x2﹣6x+k＝0的两个根分别为x

1、x2，则有x1+x2=−𝑏𝑎=−−61=6，当两边不同时，周长为4+4+2＝10，当两边相同时．周长为4+3+3＝10，故选：A．14．（2020•游仙区模拟）有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干

人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14B．15C．16D．25【分析】根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一

天患病的人数+第二天患病的人数＝225，列出方程求解即可．【解析】设平均每天一人传染了x人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，（1+x）2＝225，解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．答：平均每天一人传

染了14人．故选：A．15．（2020•东坡区模拟）α、β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两根，则（α+1）（β+1）的值为（）A．−12B．12C．72D．32【分析】首先根据根与系数的关系求得α+β＝1，α•β=−32；再进一步利用整式的乘法把（α+1）（β+1）展开，代入求得数值即可．【

解析】∵α+β＝1，α•β=−32，∴（α+1）（β+1）＝α+β+α•β+1＝1−32+1=12．故选：B．16．（2020•成都模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a≥1D

．a≤1且a≠0【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△≥0，解得即可．【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，∴a≠0，且△＝（﹣2）2﹣4a×1≥0，解得：a≤1且a≠0，故选：D．17．（2020•成都模拟）关于x的一元二次方程x2+5x＝0的根的说法，正确的是（

）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．确定a，b，c的值，代入公式判断出△

的符号．【解析】∵△＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×0＝25＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：D．18．（2020•金牛区模拟）由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨瘦肉价格由原来每千克2

3元，上升到每千克40元，设平均每次上涨a%，则下列方程中确的是（）A．23（1+a%）2＝40B．23（1﹣a%）2＝40C．23（1+2a%）＝40D．23（1﹣2a%）＝40【分析】可先用a%表示第一次提

价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于a%的方程．【解析】当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%＝23（1+a%）；当猪肉第二次提价a%后，其售价为23（1+a%）+23（1+a%）a%＝23（1+a%）2．∴23（1+a%）2＝40．故选：A．19

．（2020•龙泉驿区模拟）我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220C．70（1﹣x）2＝220D．

70+70（1+x）+70（1+x）2＝220【分析】等量关系为：四月份共借出图书+五月份共借出图书＝220．【解析】四月份共借出图书量为70×（1+x），五月份共借出图书量为70×（1+x）（1+x），那么70（1+x）+70（1+x）2＝220．故选：B．20．（2020•江油市一模）关于

一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜34D．a＞34【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，可以得到△＜0，从而可以求得a的取值范围，本题得以解决．【解

析】∵一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣a）＜0，解得，a＜0，故选：A．二．填空题（共12小题）21．（2020•仁寿县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有

两个实数根，则实数k的取值范围是k≥﹣1．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣k）≥0，然后解不等式即可．【解析】根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（﹣k）≥0，解得k≥﹣1．故答案为k≥﹣1．22．（2020•武侯区校级模拟）若m，n是方程x2+2019

x﹣2020＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为1．【分析】直接利用根与系数的关系得出m+n，mn的值，进而得出答案．【解析】∵m，n是方程x2+2019x﹣2020＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2020，则m+

n﹣mn＝﹣2019﹣（﹣2020）＝1．故答案为：1．23．（2020•都江堰市模拟）若方程x2﹣4x+1＝0的两根是α、β，则α+αβ+β的值为5．【分析】直接利用二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，

x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎，进而得出答案．【解析】∵方程x2﹣4x+1＝0的两根是α、β，∴αβ＝1，α+β＝4，∴α+αβ+β＝4+1＝5．故答案为：5．24．（2020•成都模拟）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根

，则x13+2021x2﹣2020＝2021．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x12＝x1+2020，再用x1表示出x13，则x13+2021x2﹣2020＝2021（x1+x2），然后根据根与系数的关系计算．【解

析】∵x1是方程x2﹣x﹣2020＝0的实数根，∴x12﹣x1﹣2020＝0，∴x12＝x1+2020，∴x13＝x1（x1+2020）＝x1+2020+2020x1＝2021x1+2020，∴x13+2021x2﹣2020＝2021x1+2020+2021x2﹣2020＝2

021（x1+x2），∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，∴x1+x2＝1，∴x13+2021x2﹣2020＝2021×1＝2021．故答案为：2021．25．（2020•成都模拟）已知x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则𝑥2𝑥1+𝑥1𝑥2=﹣3．【分析

】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解析】根据题意得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，所以𝑥2𝑥1+𝑥1𝑥2=𝑥22+𝑥12𝑥1𝑥2=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥2𝑥1𝑥

1𝑥2=1+2−1=−3．故答案为﹣3．26．（2020•金牛区模拟）若一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是34．【分析】先由根与系数的关系得出x1+x2=32，x1x2=12，再代入原式＝（x1+x2）2﹣3x1x2计算可得．【解析

】∵一元一次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=32，x1x2=12，则原式＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝（32）2﹣3×12=94−32=34，故答案为：34．27．（2020•成华区模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x

2，则1𝑥1+1𝑥2的值为﹣2．【分析】由根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，代入到原式=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2计算可得．【解析】∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x

2＝﹣1，则原式=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=2−1=−2，故答案为：﹣2．28．（2020•泸县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1，x2，且x1+3x2＝5，则m的值是74．【分析】根据一元

二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．【解析】∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2=12，把x2=12代入x2﹣4x+m＝0得：（12）2﹣4×12+m＝0，解得：m=74．故答案为：74．29．（2020•双流区模拟）若

关于x的一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的两个实数根为x1和x2，则1𝑥1+1𝑥2=−32．【分析】根据一元二次方程的关系可得x1+x2=−−63=2；x1•x2=−43；把1𝑥1+1𝑥2变形为𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2即可得到答案．【解析】∵关于x的一元二次方程3x

2﹣6x﹣4＝0的两个实数根为x1和x2，∴x1+x2=−−63=2；x1•x2=−43=−43，∴1𝑥1+1𝑥2=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=2−43=−32．故答案为：−32．30．（2020•龙泉驿区模拟）已知方程3x2﹣5x﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，则（x1﹣x2）2＝37

9．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把（x1﹣x2）2变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得（x1﹣x2）2的值．【解析】∵方程3x2﹣5x﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1+x2=53，x1x2=−13，则（x1﹣x

2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2=259+43=379．故答案为：379．31．（2020•成都模拟）已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则𝑎𝑏+𝑏+1𝑏的值为3．【分析】先变形b2+2b﹣1＝0得到（1𝑏）2﹣2•1𝑏−1

＝0，则a和1𝑏可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【解析】b2+2b﹣1＝0变形为（1𝑏）2﹣2•1𝑏−1＝0，∵ab≠1，∴a和1𝑏可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴a+1𝑏=2，∴

𝑎𝑏+𝑏+1𝑏=a+1+1𝑏=2+1＝3．故答案为：3．32．（2020•成都模拟）已知x1，x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0的两个实数根，而a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0的实数

根，则代数式（1𝑎−𝑎𝑎+1）÷4𝑎+1•𝑎2−1𝑎的值是−18．【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝2（k+1），x1•x2＝k2+2k﹣1，求出x1+x2﹣2k＝2，（x1﹣k）（x2﹣k）＝﹣1，求出方程②，求出a2﹣2a﹣1＝0，即可得

出答案．【解析】∵x1，x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0①的两个实数根，∴x1+x2＝2（k+1），x1•x2＝k2+2k﹣1，∴x1+x2﹣2k＝2（k+1）﹣2k＝2，（x1﹣k）（x2﹣k）＝x1•x2﹣（x1+x2）k+k2＝k2+2k﹣1﹣（2k+2）k+k2

＝﹣1，方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0②为y2﹣2y﹣1＝0，∵a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，∴a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣1＝

2a，∴（1𝑎−𝑎𝑎+1）÷4𝑎+1•𝑎2−1𝑎=𝑎+1−𝑎2𝑎(𝑎+1)×𝑎+14×2𝑎𝑎=𝑎−2𝑎𝑎(𝑎+1)×𝑎+14×2=−12．故答案为：−12．三．解答题（共18小题）33．（2020•青白江区模拟）

已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）当x1＝﹣1时，求另一个根x2的值．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【解析】（1）△＝4﹣4m＞0，∴m＜1．（2）根据根

与系数的关系可知：x1+x2＝2，∴x2＝3．34．（2020•新宾县二模）①计算：(12)−2−(√3−𝜋)0−√20−√15√5−√12②解方程：9x2﹣6x+1＝0【分析】①利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及化简二次根式即可求出值；②利用因式

分解法求解可得．【解析】①原式＝4﹣1﹣2+√3−2√3，＝1−√3．②9x2﹣6x+1＝0，∴（3x﹣1）2＝0∴x1＝x2=13．35．（2020•新都区模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实

数根，求k的取值范围．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣4）2﹣4×k×2＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解析】根据题意知△＝（﹣4）2﹣4×k×2＞0，解得：k＜2，由k≠0，∴k的取值范围是k＜2且k≠0．36．（2

020•成都模拟）（1）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°−√16+|1−√3|（2）解方程：x2﹣5x+4＝0．【分析】（1）原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；（2

）方程利用因式分解法求出解即可．【解析】（1）原式＝1﹣2×√32−4+√3−1＝1−√3−4+√3−1＝﹣4；（2）分解因式得：（x﹣1）（x﹣4）＝0，可得x﹣1＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝1，x2＝4．37

．（2020•南充模拟）a为实数，关于x的方程（x﹣a）2+2（x+1）＝a有两个实数根x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）若（x1﹣x2）2+x1x2＝12．试求a的值．【分析】（1）把方程化为一般式得到x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0，再根据判别式

的意义得到△＝4a﹣4≥0，然后解不等式即可求解；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，再利用（x1﹣x2）2+x1x2＝12得到a2﹣5a﹣14＝0，然后解关于a的方程后利用a的范围确定满足条件的a的值．【解析】（1）（x﹣a）2+2（x+1）＝a，变形

为x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0．根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a+2）＝4a2﹣8a+4﹣4a2+4a﹣8＝﹣4a﹣4≥0，解得a≤﹣1．即a的取值范围是a≤﹣1；（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，∵（x1

﹣x2）2+x1x2＝12，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝12，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a+2）＝12，即a2﹣5a﹣14＝0，解得a1＝﹣2，a2＝7，∵a≤﹣1，∴a的值为﹣2．38．（2020•夹江县二模）已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0有

两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，并求出该最小值．【分析】（1）先把方程整理为一般式，然后计算判别式的值得到△＝4k+1≥0，于是根据判别式的意义可得k为任意实数；（2）根据根与系数的关系

得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，则x12+x22﹣x1•x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1x2+1＝（2k+1）2﹣3（k2+2k）+1，然后整理后配方得到（k﹣1）2+1，再利用非负数的性质确定最

小值．【解析】（1）一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0可化为：x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0，由题意得：△＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+2k）＝﹣4k+1≥0，解得：𝑘≤14．故实数k的取值范围为：𝑘≤14；（2）∵x1+x2＝2k+1，𝑥1⋅𝑥2=𝑘2+2𝑘，

∴𝑥12+𝑥22−𝑥1⋅𝑥2+1=(𝑥1+𝑥2)2−3𝑥1⋅𝑥2+1=（2k+1）2﹣3（k2+2k）+1＝k2﹣2k+2＝（k﹣1）2+1，∵𝑘≤14，∴当𝑘=14时，𝑥12+𝑥22−𝑥1⋅𝑥2+1=(𝑘−1)2+1取得最小值，且最小值为：(1

4−1)2+1=2516．39．（2020•成都模拟）（1）计算：√18−（π﹣1）0﹣2cos45°+（14）﹣1．（2）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．【分析】（

1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算；（2）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝4m2﹣4（m﹣1）（m+3）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解析】（1）原式＝

3√2−1﹣2×√22+4＝3√2−1−√2+4＝2√2+3；（2）根据题意得m﹣1≠0且△＝4m2﹣4（m﹣1）（m+3）＞0，解得m＜32且m≠1．40．（2020•金牛区模拟）（1）计算：tan45°−

√12+20190+4•sin60°（2）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0【分析】（1）将特殊锐角三角函数值代入、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）利用公式法求解可得．【解析】

（1）原式＝1﹣2√3+1+4×√32＝1﹣2√3+1+2√3＝2；（2）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，则x=3±√174，即x1=3+√174，x2=3−√174．41．（2020•龙泉驿区模拟）已

知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有两个相等的实数根，求m的值．【分析】根据根的判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）＝0，然后解一元一次方程即可．【解析】根据题意知△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）

＝0，整理得：32﹣16m＝0，解得：m＝2．故m的值为2．42．（2020•涪城区模拟）解下列方程：（1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2（2）x2﹣4x﹣7＝0【分析】（1）移项，利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【

解析】（1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0，[（2x﹣1）+（3﹣x）][（2x﹣1）﹣（3﹣x）]＝0，∴x+2＝0或3x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2=43；（2）x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣4x＝7，x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，∴x﹣2=±√1

1，∴x1＝2+√11，x2＝2−√11．43．（2020•涪城区模拟）已知关于x的方程3x2﹣mx+2＝0（1）若方程有两相等实数根，求m的取值；（2）若方程其中一根为23，求其另一根及m的值．【分析】（1）由方程有两相等实数根结合根的判别式即可

得出关于m的方程，解之即可得出实数m的取值；（2）设方程的另一根为x2，由根与系数的关系即可得出关于m、x2的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】（1）依题意得：△＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×3×2＝m2﹣24＝0，解得：m＝±2√6．故m的取值为±2

√6．（2）设方程的另一根为x2，由根与系数的关系得：{23𝑥2=2323+𝑥2=𝑚3，解得：{𝑥2=1𝑚=5．故另一根为1，m的值为5．44．（2020•武侯区模拟）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，

甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的34，求甲工

厂最多可生产多少万片的口罩？（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．【分析】（1）设甲

工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得关于x的一元一次不等式，求解即可；（2）根据乙工厂实际每天生产的口罩数量乘以每万片的实际成本等于乙工厂实际每天生产口罩的成本，列出关于m的一元二次方程，求解即可

．【解析】（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得：0.6x≤0.8（2000﹣x）×34，解得：x≤1000．答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．（2）由题意得：（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，整理得：m2﹣8m

+16＝0．解得：m1＝m2＝4．答：m的值为4．45．（2020•凉山州一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+12k2﹣2＝0．（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等实数根．（2）设x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2

＝5，则k的值．【分析】（1）先计算出判别式得到△＝2k2+8，从而得到△＞0，于是可判断不论k为何值，方程总有两个不相等实数根（2）先利用方程解得定义得到x12﹣2kx1=−12k2+2，根据根与系

数的关系得到x1x2=12k2﹣2，则−12k2+2+2•（12k2﹣2）＝5，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：△＝（﹣2k）2﹣4（12k2﹣2）＝2k2+8＞0，所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：∵x1是方程的根

，∴x12﹣2kx1+12k2﹣2＝0，∴x12﹣2kx1=−12k2+2，∵x12﹣2kx1+2x1x2＝5，x1x2=12k2﹣2，∴−12k2+2+2•（12k2﹣2）＝5，整理得k2﹣14＝0，∴k＝±√14．46．（2020•南充模

拟）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义

判断方程根的情况；（2）分类讨论：当b＝c时，△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．【解答】（1）证明：△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，∵（

k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；当b＝a＝1或c＝a＝1时，

把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△ABC的周长为5．47．（2020•南充一模）已知关于x的一元二次方程（m

﹣2）x2﹣mx+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0且𝑥1𝑥2＞−1，试求整数m的值．【分析】（1）由题意得到：△＞0，解不等式即可；（2））利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．【解析】（1）由题意，得

△＝m2﹣8（m﹣2）＝（m﹣4）2＞0，∴m≠4．同时二次项系数m﹣2≠0，即m≠2．综上所述，m的取值范围是：m≠4且m≠2．（2）方程解得：x=𝑚±(𝑚−4)2(𝑚−2)，即x＝1或x=2𝑚−2，∵x2＜0，∴x2=

2𝑚−2＜0，即m＜2，∵𝑥1𝑥2＞−1，∴𝑚−22＞−1，∴m＞0，∴0＜m＜2，∵m为整数，∴m＝1．48．（2020•新都区模拟）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x（元∕件）…30405060

…每天销售量y（件）…500400300200…（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？【分析】（1）利用待定系数法求

解可得；（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得．【解析】（1）设y＝kx+b，根据题意可得{30𝑘+𝑏=50040𝑘+𝑏=400，解得：{𝑘=−10𝑏=800，则y＝﹣10x+800；（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣1

0x+800）＝8000，整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，∵销售单价最高不能超过45元/件，∴x＝40，答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元．49．（2020•渠县校级

一模）已知：关于x的方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（m≠0）．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含m的式子表示）；（3）若m为整数，当m取何值时方程的两个根均为

正整数？【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论；（3）根据（2）的结论结合方程的两个根均为正整数，即可得出3𝑚的值，解之即可得出m的值．【解析】（1）∵方程有两个相等的实数根

，∴△＝[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）＝0，∴（m+3）2＝0，∴m1＝m2＝﹣3．（2）∵mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0，即[mx﹣（2m+3）]（x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2=2𝑚+3𝑚．（3

）∵x1＝1、x2=2𝑚+3𝑚=2+3𝑚均为正整数，且m为整数，∴3𝑚=1、﹣1或3．当3𝑚=1时，m＝3，当3𝑚=−1时，m＝﹣3，当3𝑚=3时，m＝1．∴当m取1、3或﹣3时，方程的两个根均为正整数．50．（2020•郫都区模拟）某商店将进货价为8元/件的商

品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）每件涨0.5元，其销量就减少1

0件．那么涨价1元，销量就减少20件．设涨价x元，每件的利润＝10+涨价的价格﹣8，销售量为：（200﹣20x）件，利润＝每件的利润×相应的数量，把相关数值代入计算即可；（2）根据（1）得到的利润配方整理为a（x﹣h）2+k可得应涨价的价格和最大利润．【解析】（1）设涨价x元，（

10+x﹣8）×（200﹣20x）＝700，解得x1＝3，x2＝5，∴此时的售价为10+3＝13或10+5＝15，答：售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）利润为：（10+x﹣8）×（200﹣20x）＝﹣20x2+160x+400＝﹣20（x﹣4）2+720，∵a＝﹣20，∴

当涨价4元时即售价为14元时，利润最大，为720元．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com