【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题20 数列的通项公式及数列求和大题综合 Word版无答案.docx，共(14)页，806.709 KB，由小赞的店铺上传

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专题20数列的通项公式及数列求和大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1等差数列的通项公式及前n项和（10年5考）2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅱ卷、2019·全国卷、2018·全国卷、

2016·全国卷1.掌握数列的有关概念和表示方法，能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式，理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题该内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项

或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等

差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和，需综合复习3.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题，考点2等比数列的通项

公式及前n项和（10年4考）2020·全国卷、2019·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷考点3等差等比综合（10年6考）2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷、2019·北京卷2017·北京卷、2017·全国卷、2016·北京卷2015·天津卷考点4数列通项公式的构造（10年9考

）2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲卷2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·天津卷2021·浙江卷、2021·全国乙卷、2021·全国卷2020·全国卷、2019·全国卷、2018·全国卷2016·山东卷、

2016·天津卷、2016·天津卷2016·全国卷、2016·全国卷、2016·全国卷2015·重庆卷、2015·全国卷考点5数列求和（10年10考）2024·天津卷、2024·全国甲卷、2024·全国甲卷2023·全国甲卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·天津卷2020·天津卷、

2020·全国卷、2020·全国卷2019·天津卷、2019·天津卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·山东卷、2016·浙江卷2016·山东卷、2016·天津卷、2016·北京卷2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·天津卷2015·天津卷、2015·

山东卷、2015·山东卷2015·湖北卷、2015·安徽卷熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习4.熟练掌握裂项相消求和和、错位相

减求和、分组及并项求和，该内容是新高考卷的常考内容，常考结合不等式、最值及范围考查，需重点综合复习考点6数列中的不等式、最值及范围问题（10年几考）2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021

·浙江卷2021·全国乙卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷2017·北京卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2015·重庆卷、2015·浙江卷、2015·四川卷2015·上海卷、2015·安徽卷

考点7数列与其他知识点的关联问题（10年5考）2024·上海卷、2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2019·全国卷、2017·浙江卷、2015·陕西卷2015·湖南卷考点01等差数列的通项公式及前n项和1．（2023·全国乙卷·高考真题）

记nS为等差数列na的前n项和，已知21011,40aS==．(1)求na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nT．2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设等差数列na的公差为d，且1d．令2nnnnba+=，记,nnST分别为数列,nnab的前n项和．(1)

若2133333,21aaaST=++=，求na的通项公式；(2)若nb为等差数列，且999999ST−=，求d．3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若35244,aSaaS==．（1）求数列na的通项公式na；（2）求使nnSa成

立的n的最小值．4．（2019·全国·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．5．（2018·全国·高考真题）记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a=−，315S=−．（1）

求{}na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．6．（2016·全国·高考真题）等差数列{na}中，34574,6aaaa+=+=.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设[]nnba=，求数列{}nb的前10

项和，其中[]x表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.考点02等比数列的通项公式及前n项和1．（2020·全国·高考真题）设等比数列{an}满足124aa+=，318aa−=．（1）求{an}的通项公式；（

2）记nS为数列{log3an}的前n项和．若13mmmSSS+++=，求m．2．（2019·全国·高考真题）已知{}na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa==+.（1）求{}na的通项公式；（2）设2lognnba=，求数列{}nb的前n项和.3．（2

018·全国·高考真题）等比数列na中，15314aaa==，．（1）求na的通项公式；（2）记nS为na的前n项和．若63mS=，求m．4．（2017·全国·高考真题）记Sn为等比数列na的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求na的通项公式；（2）求Sn，

并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．考点03等差等比综合1．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知na为等差数列，nb是公比为2的等比数列，且223344ababba−=−=−．(1)证明：11

ab=；(2)求集合1,1500kmkbaam=+中元素个数．2．（2020·全国·高考真题）设{}na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项．（1）求{}na的公比；（2）若11a=，求数列{}nna的前n项和．3．（2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=

–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．4．（2017·北京·高考真题）已知等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求na的通项

公式；（Ⅱ）求和：13521nbbbb−++++…．5．（2017·全国·高考真题）已知等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前n项和为nT，且11a=，11b=，224ab+=.（1）若337ab+=，求nb的通项公式；（2）若313T=，

求5S.6．（2016·北京·高考真题）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式．7．（2015·天津·高

考真题）已知na是各项均为正数的等比数列，nb是等差数列，且111ab==，2332bba+=，5237ab−=.(Ⅰ)求na和nb的通项公式；(Ⅱ)设nnncab=，*nN，求数列nc的前n项和.考点04数列通项公式的构造1．（2024·全国甲卷·高考真题）记n

S为数列na的前n项和，已知434nnSa=+．(1)求na的通项公式；(2)设1(1)nnnbna−=−，求数列nb的前n项和nT．2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列na的前n项和为nS，且1233nnSa+=−.(1)求na的通项公式；(2

)求数列nS的前n项和.3．（2023·全国甲卷·高考真题）设nS为数列na的前n项和，已知21,2nnaSna==．(1)求na的通项公式；(2)求数列12nna+的前n项和nT．4．（2022·全国甲卷·高考真题）记nS为数列

na的前n项和．已知221nnSnan+=+．(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa=是公差为13的等差数

列．(1)求na的通项公式；(2)证明：121112naaa+++．6．（2021·天津·高考真题）已知na是公差为2的等差数列，其前8项和为64．nb是公比大于0的等比数列，1324,48bbb=−=．（I）求

na和nb的通项公式；（II）记2*1,nnncbbnN=+，（i）证明22nncc−是等比数列；（ii）证明()*112222nkkkkkanNcac+=−7．（2021·浙江·高考真题

）已知数列na的前n项和为nS，194a=−，且1439nnSS+=−.（1）求数列na的通项；（2）设数列nb满足*3(4)0()nnbnanN+−=，记nb的前n项和为nT，若nnT

b对任意Nn恒成立，求实数的取值范围.8．（2021·全国乙卷·高考真题）记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb+=．（1）证明：数列nb是等差数

列;（2）求na的通项公式．9．（2021·全国·高考真题）记nS为数列na的前n项和，已知210,3naaa=，且数列nS是等差数列，证明：na是等差数列.10．（2020·全国·高考真题）设数列{an}满足a1=3，134nnaan+=−．（1

）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．11．（2019·全国·高考真题）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，1434nnnaab+−=+，1434nnn

bba+−=−.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.12．（2018·全国·高考真题）已知数列na满足11a=，()121nnnana+=+，设nnabn=．（1）求123bbb，，；（2）判断数列nb是否为等比数

列，并说明理由；（3）求na的通项公式．13．（2016·山东·高考真题）已知数列na的前n项和238nSnn=+，nb是等差数列，且1nnnabb+=+.（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（

Ⅱ）令1(1)(2)nnnnnacb++=+.求数列nc的前n项和nT.14．（2016·天津·高考真题）已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na+的等比中项.（Ⅰ）设22*1,Nnnncbb

n+=−，求证：nc是等差数列；（Ⅱ）设()22*11,1,nknkkadTbnN===−，求证：2111.2nkkTd=15．（2016·天津·高考真题）已知na是等比数列，前n项和为()nSnN，且6123112,63Saaa−==.（

Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）若对任意的,nnNb是2logna和21logna+的等差中项，求数列()21nnb−的前2n项和.16．（2016·全国·高考真题）已知数列{}na的前n项和1nn

Sa=+，其中0．（Ⅰ）证明{}na是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S=，求．17．（2016·全国·高考真题）已知各项都为正数的数列na满足11a=，211(21)20nnnnaaaa++−−−=.（Ⅰ）求23,aa；（Ⅱ）求na的通项公式.18．（2016·全国

·高考真题）已知na是公差为3的等差数列，数列nb满足12111==3nnnnbbabbnb+++=1，，．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求nb的前n项和．19．（2015·重庆·高考真题）在数列na中，()21113,0nnnnaaaaanN+

++=++=（1）若0,2,==−求数列na的通项公式；（2）若()0001,2,1,kNkk+==−证明：010011223121kakk+++++20．（2015·全国·高考真题）nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，

22nnaa+=43nS+.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa+=,求数列{nb}的前n项和.考点05数列求和1．（2024·天津·高考真题）已知数列na是公比大于0的等比数列．其前n项和为nS．若1231,1aSa==−．(

1)求数列na前n项和nS；(2)设11,2,knnkkknabbkana−+==+，*,2kkN．（ⅰ）当12,kkna+=时，求证：1nknbab−；（ⅱ）求1nSiib=．2．（2024·全国甲卷·高考真题）记

nS为数列na的前n项和，已知434nnSa=+．(1)求na的通项公式；(2)设1(1)nnnbna−=−，求数列nb的前n项和nT．3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列na的前n项和为nS，且1233nnSa+=−.(1)求na的通项公式；(

2)求数列nS的前n项和.4．（2023·全国甲卷·高考真题）设nS为数列na的前n项和，已知21,2nnaSna==．(1)求na的通项公式；(2)求数列12nna+的前n项和nT．5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知na

为等差数列，6,2,nnnanban−=为奇数为偶数，记nS，nT分别为数列na，nb的前n项和，432S=，316T=．(1)求na的通项公式；(2)证明：当5n时，nnTS．6．（2022·天津·高考真

题）设na是等差数列，nb是等比数列，且1122331ababab==−=−=．(1)求na与nb的通项公式；(2)设na的前n项和为nS，求证：()1111nnnnnnnSabSbSb+++++=−；(3)求211(1)nkkkkkaab

+=−−．7．（2020·天津·高考真题）已知na为等差数列，nb为等比数列，()()115435431,5,4abaaabbb===−=−．（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）记na的前n项和为nS，求证：()2*21nnnSSSn++N；（Ⅲ）对任

意的正整数n，设()21132,,,.nnnnnnnabnaacanb+−+−=为奇数为偶数求数列nc的前2n项和．8．（2020·全国·高考真题）设数列{an}满足a1=3，134nnaan+=−．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通

项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．9．（2020·全国·高考真题）设{}na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项．（1）求{}na的公比；（2）若11a=，求数列{}nna的前n项和．1

0．（2019·天津·高考真题）设na是等差数列，nb是等比数列，公比大于0，已知113ab==，23ba=，3243ba=+.（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设数列nc满足21,,,

nnncbn=为奇数为偶数求()*112222nnacacacnN+++.11．（2019·天津·高考真题）设na是等差数列，nb是等比数列.已知1122334,622,24abbaba===−

=+，.（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设数列nc满足111,22,1,,2,kknkknccbn+===其中*kN.（i）求数列()221nnac−的通项公式；（ii）求()*221iiniacn=N.12．（2018·天

津·高考真题）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+

（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．13．（2017·天津·高考真题）已知{}na为等差数列，前n项和为*()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,1

1bbbaaSb+==−=.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}nnab的前n项和*()nN.14．（2017·山东·高考真题）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且121236,aaaaa+==.(I)求数列{an}通项公式；(II){

bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知211nnnSbb++=,求数列nnba的前n项和nT.15．（2016·浙江·高考真题）设数列{na}的前n项和为nS.已知2S=4，1na+=2nS

+1，*Nn.（Ⅰ）求通项公式na；（Ⅱ）求数列{|2nan−−|}的前n项和.16．（2016·山东·高考真题）已知数列na的前n项和238nSnn=+，nb是等差数列，且1nnnabb+=+.（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)nnnnnacb+

+=+.求数列nc的前n项和nT.17．（2016·天津·高考真题）已知na是等比数列，前n项和为()nSnN，且6123112,63Saaa−==.（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）若对任意的,nnNb是2logna和21logna+的等差中项，求数列()21nn

b−的前2n项和.18．（2016·北京·高考真题）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式．1

9．（2015·浙江·高考真题）已知数列na和nb满足，()1112,1,2,nnabaanN+===12311111,.23nnbbbbbnNn+++++=−（1）求na与nb；（2）记数列nnab的前n项和为nT，求nT

.20．（2015·全国·高考真题）nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，22nnaa+=43nS+.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa+=,求数列{nb}的前n项和.21．（2015·天津·高考真题）已知na是各项均为正数的等比数

列，nb是等差数列，且111ab==，2332bba+=，5237ab−=.(Ⅰ)求na和nb的通项公式；(Ⅱ)设nnncab=，*nN，求数列nc的前n项和.22．（2015·天津·高考真题）已知数列{}na满足212(1)*,1,2nnaqaqqn

Naa+===为实数，且，，且233445,,aaaaaa+++成等差数列.（Ⅰ）求q的值和{}na的通项公式；（Ⅱ）设*2221log,nnnabna−=N，求数列nb的前n项和.23．（2015·山东·高考真题）已知数列

na是首项为正数的等差数列，数列11nnaa+的前n项和为21nn+.（1）求数列na的通项公式；（2）设()12nannba=+，求数列nb的前n项和nT.24．（2015·山东·高考真题）设数列na的前n项和为nS.已知233=+nnS.（Ⅰ）求n

a的通项公式；（Ⅱ）若数列nb满足3lognnnaba=，求nb的前n项和nT.25．（2015·湖北·高考真题）设等差数列{}na的公差为d，前n项和为nS，等比数列{}nb的公比为q．已知11ba=，22b=，qd=，10100S=．26．（2015·安徽·高考真题）已知数

列na是递增的等比数列，且14239,8.aaaa+==（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设nS为数列na的前n项和，11nnnnabSS++=，求数列nb的前n项和nT．考点06数列中的不等式、最值及范围问题1．（2023·全国新Ⅱ卷·高

考真题）已知na为等差数列，6,2,nnnanban−=为奇数为偶数，记nS，nT分别为数列na，nb的前n项和，432S=，316T=．(1)求na的通项公式；(2)证明：当5n时，nnTS．2．（2022·全国新Ⅰ卷

·高考真题）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa=是公差为13的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)证明：121112naaa+++．3．（2021·浙江·高考真题）已知数列na的前n项和为nS，194a=−，且1439nnSS+=−.（1）

求数列na的通项；（2）设数列nb满足*3(4)0()nnbnanN+−=，记nb的前n项和为nT，若nnTb对任意Nn恒成立，求实数的取值范围.4．（2021·全国乙卷·高考真题）设na是

首项为1的等比数列，数列nb满足3nnnab=．已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前n项和．证明：2nnST．5．（2020·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}

中，1111121,,()nnnnnnnbabccaaccnb+++====−=*N．（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比0q，且1236bbb+=，求q与{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差0d，证明：1211ncccd++++．*()nN6．（20

19·浙江·高考真题）设等差数列{}na的前n项和为nS，34a=，43aS=，数列{}nb满足：对每12,,,nnnnnnnSbSbSb+++++N成等比数列.（1）求数列{},{}nnab的通项公式；（2）记,,2nn

naCnb=N证明：12+2,.nCCCnn++N7．（2017·北京·高考真题）已知等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求和：13

521nbbbb−++++…．8．（2016·浙江·高考真题）设数列na满足112nnaa+−，n．（Ⅰ）证明：()1122nnaa−−，n；（Ⅱ）若32nna，n，证明：2na，n．9．（2016·天津·高考真

题）已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na+的等比中项.（Ⅰ）设22*1,Nnnncbbn+=−，求证：nc是等差数列；（Ⅱ）设()22*11,1,nknkkadTbnN

===−，求证：2111.2nkkTd=10．（2015·重庆·高考真题）在数列na中，()21113,0nnnnaaaaanN+++=++=（1）若0,2,==−求数列na的通项公式；（2）若(

)0001,2,1,kNkk+==−证明：010011223121kakk+++++11．（2015·浙江·高考真题）已知数列na满足1a=12且1na+=na-2na（n*N）.（1）证明：112nnaa+（n*N）；（2）设数列2na的前项和为nS，证明112

(2)2(1)nSnnn++（n*N）.12．（2015·四川·高考真题）设数列na的前n项和12nnSaa=−，且123,1,aaa+成等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）记数列1na前n项和nT，求使111000nT−成立的n的最小值．13．（2015·

上海·高考真题）已知数列na与nb满足()112nnnnaabb++−=−，n.（1）若35nbn=+，且11a=，求数列na的通项公式；（2）设na的第0n项是最大项，即0nnaa（n），求证：数列nb的第0n项是最大项；（3）设10a=，nnb=（n

），求的取值范围，使得na有最大值与最小值m，且()2,2m−.14．（2015·安徽·高考真题）设*nN，nx是曲线221nyx+=+在点(12)，处的切线与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列nx的通项公式；（Ⅱ）记

2221321nnTxxx−=，证明14nTn.考点07数列与其他知识点的关联问题1．（2024·上海·高考真题）若()log(0,1)afxxaa=．(1)()yfx=过()4,2，求()()22fxfx−

的解集；(2)存在x使得()()()12fxfaxfx++、、成等差数列，求a的取值范围．2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线()22:0Cxymm−=，点()15,4P在C上，k为常数，01k．按照如下方式依

次构造点()2,3,...nPn=：过1nP−作斜率为k的直线与C的左支交于点1nQ−，令nP为1nQ−关于y轴的对称点，记nP的坐标为(),nnxy.(1)若12k=，求22,xy；(2)证明：数列nnxy

−是公比为11kk+−的等比数列；(3)设nS为12nnnPPP++的面积，证明：对任意正整数n，1nnSS+=.3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6

，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量iX服从两点分布，且()()110,1,2,,iiiPXPXqin=

=−===，则11nniiiiEXq===．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求()EY．4．（2019·全国·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药

更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更

有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药

均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi=表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则

00p=，81p=，11iiiipapbpcp−+=++(1,2,,7)i=，其中(1)aPX==−，(0)bPX==，(1)cPX==．假设0.5=，0.8=．(i)证明：1{}iipp+−(0,1,2,,7)i=为

等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性．5．（2017·浙江·高考真题）已知数列nx满足：11x=，()()11ln1nnnxxxnN++=++证明：当*nN时，（I）10nnxx+；（II）1122nnnnxxxx++−；（III）121122nnnx

−−.6．（2015·陕西·高考真题）设()nfx是等比数列1，x，2x，，nx的各项和，其中0x，n，2n．（Ⅰ）证明：函数()()F2nnxfx=−在1,12内有且仅有一个零点（记为nx），且11122nnnxx+=+；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项

、项数分别相同的等差数列，其各项和为()ngx，比较()nfx与()ngx的大小，并加以证明．7．（2015·湖南·高考真题）已知0a，函数()sin([0,))axfxexx=+，记nx为()fx的从

小到大的第n*()nN个极值点，证明：（1）数列()nfx是等比数列（2）若211ae−，则对一切*nN，()nnxfx恒成立.