【文档说明】2021-2022学年高中数学人教B版必修5教学教案：1.2 应用举例 （5） Word版含解析.doc，共(8)页，335.000 KB，由envi的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

解三角形应用举例一、教学目标1、知识与技能目标初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题．2、过程与方法目标（1）通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题

转化为解斜三角形问题的方法；（2）进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3、情感、态度与价值观目标（1）通过学生亲自实施对“测量”问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；（2）发展学生搜集和处理信息的能力、

获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。二、教学重点、难点1、重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．2、分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．三、教学方法与手段1、教学

方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．2、学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。3、教学手段：实际模拟、合作学

习、多媒体（投影仪）四、教学过程：（一）检查预习效果：问题1：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？问题2：怎样测量地面上两个不能到底的地方之间的距离？问题3：物理问题；问题4:台风问题。（二）一些术语：仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角

，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方

位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。如图，点B的方位角是0135=。方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)

多少度。如图为南偏西060方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转060）；如图为北偏东030方向（指从正北开始向正东方向旋转030）.东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；（三）典型例题：类型一：距离问题例1．如图，某

公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝3

8.12°，β＝18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)．【答案】(1)28.28米.(2)26.93米.【思路点拨】(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边AC、CB的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得

到CD的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得CD的长。【解析】(1)设CD的长为x米，则tanα＝35x，tanβ＝80x，∵220παβ，∴tanα≥tan2β，∴ββα2tan1tan2tan−，即2264001606400180235xxxxx−=−，解得28

.282200x0，即CD的长至多为28.28米．(2)设DB＝a，DA＝b，CD＝m，则∠ADB＝180°－α－β＝123.43°，由正弦定理得ADBsinABsin=αa，即06.8543.123sin12.38sin115

=a，∴93.2645.18cos1608022−+=aam，答：CD的长为26.93米．【总结升华】1.此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数

量关系从题目准确地提炼出来.2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。3.

在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。举一反三：【变式1】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点

，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．【答案】△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，∴AC＝45sin100＝1002．△AMC

中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得AMCsinACACMsinAM=，即45sin210060sinAM＝，解得AM＝1003．Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝1003×sin60°＝15

0(m)，故答案为：150．【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA=400m，CB=600m，∠ACB=60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m(A、D、E、B在一条直线上)，计算隧道DE

的长.【答案】在△ABC中，CA=400m，CB=600m，∠ACB=60°，由余弦定理得2222cos60ABACBCACBC=+−∴22140060024006002007529.2()2ABm=+−=∴409.2()DEABADBEm=−

−答：隧道长约为409.2m.类型二：测量高度问题例2某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高.【解析】由上图所示，过B做BECD⊥于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角030，

在00CD=40,BCD=30,135BCDDBC=中，.由正弦定理，得,sinsinCDBDDBCBCD=∴0040sin30202sin135BD==在RtBED中，00001801353015BDE=−−=∴062sin1520210(31)4BEBD−===−在RtA

BE中，030,AEB=∴010tan30(33)3ABBE==−（米）故所求塔高为10(33)3−米.举一反三：如图，无人机在离地面高200m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为_____

___m。类型三：方位角问题例3如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北030的方向上,行驶82km后到达B处,测得此山顶在西偏北075的方向上,仰角为015,求此山的高度CD.【思路点拨】欲求出CD，只需在BCD中求出BD或BC，而在BCD中先

求BC边比较适合；或设CD=x,列方程解答.【解析】方法一：在ABC中,030CAB=，000753045ACB=−=，82ABkm=,根据正弦定理：ABCsin=CABsin,有00sin82sin308sinsin4

5ABCABBCACB===，∴00tantan158tan151683()CDCBDBCCBkm====−.方法二：设CD=x，则0(23)tantan15CDCDCBxDBC===+，根据正弦定理：ABCsin=CABsin,有00sin82si

n308sinsin45ABCABBCACB===，∴(23)8x+=，解得1683()xkm=−，即1683()CDkm=−.举一反三：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏西30

，灯塔B在观察站C南偏西60，则A、B之间的距离为；【答案】2kma；如图，ACBCa==，0000180306090ACB=−−=，2kmABa=。类型四：航海问题例4如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为(31−)km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75

°方向，距A为2km的C处的缉私船奉命以103km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.【思路点拨】这里必须弄清楚三个概念：(1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3

)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等，画出示意图，即可求出CD的方位角及由C到D所需航行的时间.【解析】设缉私船追上走私船需th，则103CDt=，10BDt=.由余弦定理，得222cos

BCABACABACBAC=+−82322(31)cos(4575)=−−−+6()km=，由正弦定理，得sin1202sin2ACABCBC==，∴45ABC=，而120CBD=，∴sin10sin1201sin2103BDCBDtBCDCDt

===∴30BCD=，30BDC=.∴6()BDBCkm==，即106t=，∴6().10th=答：缉私船向东偏北30方向，只需610h便能追上走私船.【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图形.举一反三：【变式

1】如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救

援船到达D点需要多长时间？【答案】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，

由正弦定理得sinsinDBABDABADB=∴DBsinsinABDABADB=＝00533sin45sin105+＝00000533sin45sin45cos60cos45sin60++＝103(海里)又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30

°＋(90°－60°)＝60°BC＝203海里在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1

(小时)答：救援船到达D点需要1小时．五、课堂总结：本节课你收获了什么？六、课堂作业：习题A：1，2，3；卷七、教学反思：本节课学生预习效果非常好，但节奏有些快，学生可能会吃不消，下节课还要对航海类型应用题进一步

研究。