【文档说明】卓越高中千校联盟2021届高三下学期5月高考终极押题卷文科数学试题含答案.docx，共(23)页，1.071 MB，由小赞的店铺上传

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1卓越高中千校联盟2021高考终极押题卷文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z满足()1zii−=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.12−B.12C.12iD.12i−2.已知集合ln(3)Axyx=

=+，2Bxx=，则下列结论正确的是（）A.AB=B.AB=C.ABD.BA3.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”该问题中善走男第5日所走的路程是（）A.10B.100C.1

40D.6004.已知直线l过圆2220xyx+−=的圆心，且与直线210xy−−=平行，则l的方程是（）A.220xy+−=B.220xy−+=C.230xy−−=D.220xy−−=5.已知点F是抛物线24xy=的焦点，点P为抛物线上的任意一点，(1,2

)M为平面上点，则||||PMPF+的最小值为（）A.3B.2C.4D.236.设正数x，y，z满足111345yxz==，则下列关系中正确的是（）A.432xyzB.243zxyC.324yzxD.234zyx7.“三分损益法”是古代中国发明制定音律

时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的23得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的43为第三根琴弦，第三根琴弦长度的23为第四根琴弦，第四根琴弦长度的为43第五根琴弦.琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的

声音按音调由低到高分別称为“宫、商、角(jué)、徵(zhǐ)、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（）A.32B.8164C.3227D.988.已知表中数据求得的线性回归方程为0.70.35yx=+，则t等

于（）x34562y2.5t44.5A.4.5B.3.5C.3.15D.39.函数()2sin()0,22fxx=+−的部分图象如图所示，则，的值为（）A.2，23

B.2，3−C.1，12D.1，12−10.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，且212FFc=，若椭圆上存在点M使得21MFF△中，1221sinsinMFFMFFac=，则该椭圆离心率的取值范围为（）A.()0,21−B.2,12

C.20,2D()21,1−11.统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现：我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有0.73(约2.16)倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家

的实际面积大约．．是该县面积的（）()lg20.3010,lg30.4771,lg70.8451A.18倍B.21倍C.24倍D.27倍12.已知函数2()()xfxeaxxR=−有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A

.,4e+B.,2e+C.2,4e+D.2,2e+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知非零向量a，b两向量夹角为锐角，(1,4)a=−，(,2)bm=，求m的取值范围_

______.14.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造，古代的算筹，实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，3万位再用纵式……这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任

意大的自然数了，中国古代数学在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上归功于十进位制的算筹记数法.下面右面图形中表示6728，图中的6728由6，7，2，8四个数字组成，在由6，7，2，8这四个数字组成的所有

四位数中任取一个四位数，则所取的这个四位数恰有两位是连续数字(例如：6728，7628，8726等符合条件，如2876则不符合条件)的概率为_______.15.在ABC△中，8AB=，6BC=，10AC=，P为ABC△平面外一点（如图），满足55PAPBPC===，则三棱锥的外接球的半

径为_______.16.已知数列na满足132a=，133nnnaaa+=+，若3nnnca=，则12nccc+++=_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2223abcab+=+.（1）求角C的值；（2）若ABC△为锐角三角形，且1c=，求3ab−的取值范围.1

8.(12分)如图，在四棱锥PABCD−中，AB//CD，且90BAPCDP==.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；4(2)若PAPDABDC===，90APD=，且四棱锥PABCD−的体积为83，求该四棱锥的侧面积.19.（12分）

目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为

“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得

到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上60岁及以下140合计300附表及公式：22()()()()()na

dbcKabcdacbd−=++++()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2

F，且椭圆C上的点31,2P到1F，2F两点的距离之和为4.5（1）求椭圆C的方程；（2）若直线ykxm=+与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点，直线OM、ON的斜率之积等于14−，试探求OMN△的面积是否为定值，并说明理由.21.（12分）已知函数()ln()f

xxx=.（1）求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若对于1,xee，都有()1fxax−，求实数a的取值范围；（3）若()ln()fxxx=的函数图像与ym=交于不同的两点()1,Axm，()2,Bxm证明：122xxe+（二）选考题

：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如有多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修4-4，坐标系与参数方程]已知曲线1C，2C的参数方程分别为2124cos:4sinxCy==（为参

数），21:1xttCytt=+=−（t为参数）.（1）将1C，2C的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设1C，2C的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.23.（10分）

[选修4-5：不等式选讲]已知关于x的不等式|4|||2xxmm−+−的解集为R.（1）求m的最大值；（2）若a，b，c都是正实数，且111123abc++=，求证：239abc++.6卓越高中千校联盟2021高考终极押题卷文科数学试题参考答案与评分标准一、单项选择

题答案1-5：BDCDA6-10：DCDBD11-12：DC1.B【命题意图】求出复数即可知其虚部.【解题思路】解：ii(1i)11(1i)ii1i222zz+−====−+−，故虚部为12.故选B.2.D【命题意图】此题考查集合的交集运算及集合的关系，熟

练掌握交集运算及集合的关系是解本题的关键，根据函数的定义域确定出A，得出A与B的交集及集合的关系.【解题思路】解：3Axx=−，2Bxx=，结合数轴可得BA.故选D.3.C【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式，属

于基础题【解题思路】解：1100a=，91260S=，98910012602d+=，10d=，5100104140a=+=.故选C.4.D【命题意图】本题考查由圆的方程求得圆心坐标，考查两直线平行与斜率的关系，考查直线方程的求法，是基础题

.【解题思路】解：圆2220xyx+−=的圆心为(1,0)，由题意可知，所求直线l的斜率为2，则直线l的方程为02(1)yx−=−，即220xy−−=.故选D.由圆的方程可得圆心坐标，再由两直线平行则斜率相等求得直线l的斜率，然后利用直线方程的点斜式

得答案.5.A【命题意图】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，7得到PMPFPAPMAM+=+，是解题的关键，属于基础题.根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得PMPFPAPMAM+=+，故AM(M到准线的距

离)为所求.【解题思路】解：抛物线标准方程24xy=，则2p=，焦点(0,1)F，准线方程为1y=−.设P到准线的距离为PA，(即PA垂直于准线，A为垂足)，由抛物线定义可得PFPA=，则3PMPFP

APMAM+=+=，(当且仅当P、A、M共线时取等号).故选A.6.D【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的综合应用，属于基础题根据指数和对数运算计算即可.【解题思路】解：设1112345tyx===，所以log3tx=，log4ty=，5log5z=，由已知得1t，且44

log3log81ttx==，33log4log64tty==，22log5log25ttz==，所以234zyx.故选D.7.C【命题意图】本题主要考查了函数模型的应用，属于基础题.分别求出第一至第五根琴弦的长度.【解题思路】解：设第一根琴弦长度为1，由题意可得，第二根

琴弦长度为22133=，8第三根琴弦长度为248339=，第四根琴弦长度为82169327=，第五根琴弦长度为1646427381=，琴弦越短发出的声音音调越高，则“宫、商、角、徵、羽”对应的琴弦长度分别为1、89、6481、23、1627，“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为6

432812273=.故选C.8.【答案】D【命题意图】本题考查了线性回归方程过样本中心的性质，属于基础题.计算x代入回归方程求出y，根据平均数公式列方程解出t.【解题思路】解：34564.54x+++

==，0.74.50.353.5y=+=，2.544.53.54t+++=，解得3t=，故选D.9.B【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查图象的识别能力、运算求解能力，属于中档题，由图象先求出函数的解析式，再利用正弦型

三角函数的性质即可求解.结合函数的图象，由周期求出，再由函数图象经过点5,212，代入解析式的值，本题主要考查利用sin()yAx=+的图象特征，由函数sin()yAx=+的部

分图象求解析式.【解题思路】解；由函数的图象可知，周期354123T=−−，可得T=，22==，函数图象经过点5,212，9可得522sin212=+，5262k+=+

，kZ，即23k=−，kZ，22−，3=−.故选B.10.D【命题意图】本题考查正弦定理，椭圆的几何性质，离心率的范围的求法.【解题思路】在12MFF△中，由正弦定理结合条件有：12222MFaMFca

MFMF−==，再由2MF的范围可求出离心率；解：设12MFF=，21MFF=，1MFm=，2MFn=；在12MFF△中，由正弦定理有：sinsinmn=；1221sinsinMFFMFFac=，则2cmanann−==；解得：2

2anac=+；由于2acMFac−+；即22()()2()acacaac+−+；又2222aca−成立；则有2aac+；离心率：211e−；故选D.11.D【命题意图】本题主要考查了对数函数模型的实际

应用.【解题思路】10设实际面积为该县面积的k倍，则由题意，得0.710k=，化为0.7lglg10k=，再利用对数运算求解.解：设实际面积为该县面积的k倍，则由题意得0.710k=，化为0.7lglg10k=，所以0.7lg1k=，所以10lg1.42850.477137k=，得lg3l

g3lg27k=，27k.故选D.12.C【命题意图】本题考查函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性与极值，函数图象的应用，属于中档题.由2()0xfxeax=−=，得x2eax=，令2()xegxx=，问题转化为ya=与2()xegxx=有三个交点，利用导数研究()g

x的单调性与极值，作出()gx的图象，由图可得结论.【解题思路】解：0x=时，(0)10f=，令2()0xfxeax=−=，得2xeax=，令2()xegxx=，则问题转化为ya=与()gx有三个交点，3

(2)()xxegxx−=，令()0gx=，解得2x=，当0x或2x时，()0gx，()gx在(,0)−，(2,)+单调递增，当02x时，()0gx，()gx在(0,2)单调递减，()gx在2x=处取极小值，2(2)4eg=，作出()gx的图象如下：11要使直

线ya=与曲线2()xegxx=有三个交点，则24ea，故实数a的取值范围是2,4e+.故选C.二、填空题13.182mmm−且【命题意图】考查向量夹角的判断方法.【解题思路】解析：a，b两向量夹角为锐角，0

ab，且a，b的夹角不为0(1)420abm=−+，当12m=−，时，a，b两向量夹角为08m且12m−.14.23【命题意图】本题考查合情推理的应用，关键是理解题目中算筹记数的方法，属于基础题.根据题意得到这四个数字组成的所有四位数共24个，其中恰有

两位是连续数字的共有16个，即可得解.【解题思路】解：在由6；7，2，8这四个数字组成的所有四位数共24个，其中恰有两位是连续数字的共有16个，可以考虑列举法2678×2687276827861228672876×6278628767286782×6827×68727268×7286×76

28768278267862826782768627×867287268762×所以任取一个数，有16个符合，这个数恰有两位是连续数字的概率为23.15.254【命题意图】本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，球与锥体之间的关系，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及

思维能力，属于中档题.首先求出线面的垂直，进一步求出球心的位置，最后利用勾股定理的应用求出结果.【解题思路】解：在ABC△中，8AB=，6BC=，10AC=，所以222ABBCAC+=，ABBC⊥，取AC中点D，

则BDAD=，又P为ABC△外一点，满足55PAPBPC===，PDAC⊥，则PD⊥平面ABC，球心O为PD上一点，所以22()()10PDPAAD=−=，设球的半径为R，所以2225(10)RR=+−，解得：254R=.故答案为25

4.16.(21)314nn+−【命题意图】本题考查数列的递推关系，错位相减法求数列的和，等差数列的概念及通项公式.根据条件得到11113nnaa+−=，13则数列1na是首项1123a=，公差为13的等差数列，得到1na，则可得nc，写出12nccc+++

，利用错位相减法可求解.【解题思路】解：因为132a=，133nnnaaa+=+，所以1311133nnnnaaaa++==+，即11113nnaa+−=，所以数列1na是首项1123a=，公差为13的等差数列，所以1211(1)333n

nna+=+−=，则13(1)3nnnncna−==+，则012112233343(1)3nncccn−+++=+++++，设0121233343(1)3nTn−=+++++①，则1233?233343(1)3nTn=+++

++②，①-②可得01212?23333(1)3nnTn−−=++++−+()1313112(1)331322nnnnn−−=+−+=−+−，则(21)314nnT+−=.即12(21)314nnn

ccc+−+++=.故答案为(21)314nn+−.三、解答题1417.【命题意图】考查解三角形的余弦定理公式的使用，余弦定理公式与基本不等式的综合应用，第二问考查学生通过角的范围求三角函数的值域的能力.【解题思路】解：（1）由余

弦定理可得2222coscababC=+−，且2223abcab+=+，22233cos222abcabCabab+−===，0C，6C=；（2）由正弦定理可得121sinsinsin2abCABC====，2sinaA=，2sinbB=，由（1）得56AB+=，即

56BA=−，5323sin2sin23sin2sin6abABAA−=−=−−3sincos2sin6AAA=−=−，又ABC△为锐角三角形，506202AA−，解得32A，663A

−，13sin262A−，3ab−的取值范围为()1,3.18.【命题意图】本题考查使用几何法的面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法.【解题思路】(1)推导出ABPA⊥，CD

PD⊥，从而ABPD⊥，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD.15(2)设PAPDABDCa====，取AD中点O，连结PO，由ABPO⊥，POAD⊥，得PO⊥底面ABCD，且2ADa=，22POa=，由四棱锥PABCD−的体积为83，求出2a=，由此能求出该四棱锥的侧

面积.证明：(1)90BAPCDP==，即ABPA⊥，CDPD⊥，又AB//CD，ABPD⊥，PAPDP=，PA，PD平面PAD，AB⊥平面PAD，AB平面PAB，平面PAB⊥平面PAD.解：(2)设PAPDABDCa====，取AD中点O，连结PO，由(1)知AB⊥平面PA

D，又OP平面PAD，ABPO⊥，PAPD=，90APD=，POAD⊥，222ADaaa=+=，22POa=，又AB，AD平面ABCD，ABADA=，PO⊥平面ABCD，四棱锥PABCD−的体积为83，由AB

⊥平面PAD，AD平面PAD，得ABAD⊥，又ABDC=，AB//CD16所以四边形ABCD为矩形13pABCABCDVSPO−=四边形13ABADPO=3121823233aaaa===，解得2a=，2PAPDABDC====，22ADBC==，2PO=，

4422PBPC==+=，由上述可知PAD△，PAB△，PCD△都是直角三角形，PBC△是等腰三角形该四棱锥的侧面积：PADPABPDCPBCSSSSS=+++△△△△侧22111122222BCPAPDPAABPDDCBCPB=+++−1111222

22222822222=+++−623=+.19.【命题意图】考查学生识别条形直方图的能力；第二问考察独立性检验的基本分析方法；第三问考查概率分布列的基本分析方法。【解题思路】解：（1）平均数(0.0210.0830.1550.1870.0390.03110.0113)26x=+

+++++=，这500名患者中“长潜伏者”的频率为(0.180.030.030.01)20.5+++=，所以“长潜伏者”的人数为5000.5250=人.（2）由题意补充后的列联表如下，短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁及以下6080140合计150150300

17则2K的观测值为2300(90806070)755.3575.02415015016014014k−==，经查表，得()25.0240.025PK，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.20.【命题意图】第

一问考查解析几何椭圆的标准方程的求解方法；第二问考查圆锥曲线中椭圆与直线方程求解过程中设而不求的解题思想，重点考查学生的计算能力.【解题思路】解：（1）由已知可得：2a=，点31,2A在椭圆上，213144b+=，21b=，椭圆C的方程为2214xy

+=；（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，由2214ykxmxy=++=得：()()222148410kxmkxm+++−=，()()222264161410mkkm=−+−，即得22140km+−，且122814mkxxk+=−+，

()21224114mxxk−=+，因为直线OM，ON的斜率之积等于14−()()()()22221212121212(8)411414kmmkkmmkkxmkxmyyxxxxxx−+−++++===−所以()()()222222212(8)411441441kmmkkmmkmkxxm−+

−++−==−−，即得22241mk=+.又O到直线MN的距离为2||1mdk=+，18()222212122168||1418kMNkxxxxkm+=++−=+−，即得()2222111||16881684411222OMNSMNdkmkk=

=+−=+−+=△（定值）所以OMN△的面积为定值.21.【命题意图】本题考查导函数的基本分析方法，第一问求解经过函数图像上某点的切线方程；第二问则是求解参数范围的常见参变分离形式；第三问则考查使用构造函数分析极值点偏移的问题.【解题思路】解：（1）因为函数()lnfxxx=定义域为

(0,)+所以1()lnln1fxxxxx=+=+(1)ln111f=+=.又因为(1)0f=，所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为1yx=−.（2）当1xee时，“()1fxax−”等价

于“1lnaxx+”恒成立，令1()lngxxx=+，1,xee，22111()xgxxxx−=−=，1,xee.当1,1xe时，()0gx，所以()gx在区间1,1e单调递减.当(1,]xe时，()

0gx，所以()gx在区间(1,]e单调递增.而1ln11.5geeee=−+=−，1()11.5gee=+，所以()gx在区间1,ee上的最大值为11gee=−.19所以当1ae−时，对于任意1,xee，都有()1fxax−.（3）

函数()lnfxxx=定义域为(0,)+，由（1）可知，()ln1fxx=+.令()0fx=，解得1xe=.()fx与()fx在区间(0,)+上的情况如下：x10,e1e1,e+()fx-0+()fx

减函数极小值增函数故()fx的增区间为1,e+，减区间为10,e.021lnlimln011xxxxxxxx+→===−=−10,xe时，()fx为减函数10,xe

，()0fx1,xe+时，()fx为增函数又(1)0f=1,1xe时，()0fx(1,)x+时，()0fxym=与()fx的图像交于A，B两点，即()()12fxfxm==2012101xxe设1()2gxfxe=−当

12,xee时，22()lngxxxee=−−设()()()hxgxfx=−22()lnlnhxxxxxee=−−−2222()lnlnln1hxxxx

xxeeee=−−+−−−−221ln(1)ln12xxxeexe=−−+−−−−−222lnxxe=−−−+12,xee22210,xxee

−+22ln2xxe−+−()0hx即当12,xee时，()hx为增函数21()0hx即当12,xee时22()ln()lngxxxfxxxee=−−=()(

)12fxfx=此时12101xxe()()1122fxgxfxe=−=当110xe时，可得1122xeee−记12xte−=即12tee由当12,xee时，22()ln()lngxxxfxxxee=−−=()(

)gtft即()()111222fxgxfxfxee−−==()122fxfxe−此时112xee−，21xe又当1,xe+时，()fx为增函数，()122fxfxe−可得122xxe−122xxe+2

2.【命题意图】考查对直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的相互转换的方法【解题思路】22解：（1）曲线1C参数方程为：224cos4sinxy==，（为参数），转换为直角坐标方程为：40xy+−=，所以1C的普通方程为4(04)xyx+=.

曲线2C的参数方程：1,1,xttytt=+=−①②（t为参数）.所以22−①②整理得直角坐标方程为22144xy−=，所以2C的普通方程为224xy−=.（2）由224144xyxy+=−=，整理得4

1xyxy+=−=，解得：5232xy==，即53,22P设圆的方程222()xayr−+=，由于圆经过点P和原点，所以222225322arar=−+=，解得21710289100ar=

=，故圆的方程为：221728910100xy−+=，即221705xyx+−=，转换为极坐标方程为17cos5p=.23.【命题意图】第一问考查含有参数的绝对值不等式的分类讨论的求解方法；

第二问考查.对柯西不等式的构造及运用【解题思路】解：（1）分类讨论当0m时，不等式显然成立当0m时，分类讨论①04m时44xxmm−+−−2342mm−解得：403m②4m=时440xxmm−+−−=解得：m③4m时44

xxmm−+−−42mm−解得：m综上所述，43mm的最大值为43；（2）证明：1111(,,0)23abcabc++=由柯西不等式得：111111323232323abcabcabcabc=++++++整理得239abc++.当

且仅当23abc==，即3a=，32b=，1c=时取等号.