【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练72 离散型随机变量及其分布列、均值与方差.docx，共(11)页，58.394 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。七十二离散型随机变量及其分布列、均值与方差(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3

,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值的个数为()A.25B.10C.7D.6【解析】选C.X的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=2+3=5,1+5=4+2=6,2+5=3+4=7,3+5=8,4+5=9.

2.(5分)设随机变量ξ的概率分布列如表,则P(|ξ-3|=1)=()ξ1234P112a1313A.712B.12C.512D.16【解析】选A.因为112+a+13+13=1,所以a=14,由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4,所以P(|ξ-

3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=14+13=712.3.(5分)设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)和D(X)分别为()A.4,8B.2,8C.2,16D.2+b,

16【解析】选B.由题意可知{𝐸(𝑌)=2𝐸(𝑋)+𝑏=4+𝑏,𝐷(𝑌)=4𝐷(𝑋)=32,所以E(X)=2,D(X)=8.4.(5分)有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的个数,则P(X<2)=()A.715B.815C

.1415D.1【解析】选C.由题意知X可取0,1,2,X服从超几何分布,则P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C71C31C102=715,于是P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=715+715=1415.5.(5分)(2

023·长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目,能否猜对每件商品的名称相互独立,该听众猜对三件商品D,E,F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示:商品DEF猜对的概率0.80.50.3获得的奖金/元

100200300规则如下:只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品,你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大()A.FDEB.FEDC.DEFD.EDF【解析】选C.按照FDE的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.2+400×0.3×0

.8×0.5+600×0.3×0.8×0.5=138(元);按照FED的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.5+500×0.3×0.5×0.2+600×0.3×0.5×0.8=132(元);按照DEF的顺序获

得的奖金的均值为100×0.8×0.5+300×0.8×0.5×0.7+600×0.8×0.5×0.3=196(元);按照EDF的顺序获得的奖金的均值为200×0.5×0.2+300×0.8×0.5×0.7+600×0.8×0.5×0.3=176(元),综上所述,按照

DEF的顺序获得的奖金的均值最大.6.(5分)(多选题)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2道题才算合格.则下列选项正确的是()A.

答对0道题和答对3道题的概率相同,都为18B.答对1道题的概率为38C.答对2道题的概率为512D.合格的概率为12【解析】选CD.设此人答对题目的个数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=C50C53C103=112,P(ξ=1)=C51

C52C103=512,P(ξ=2)=C52C51C103=512,P(ξ=3)=C53C50C103=112,则答对0道题和答对3道题的概率相同,都为112,故A错误;答对1道题的概率为512,故B

错误;答对2道题的概率为512,故C正确;合格的概率P=P(ξ=2)+P(ξ=3)=512+112=12,故D正确.7.(5分)设X是一个离散型随机变量,其分布列为X-101P121-qq-q2则q=________.【解析】由离散型随机变量分布列的性质得{12+1−

𝑞+𝑞−𝑞2=1,0≤1−𝑞≤12,0≤𝑞−𝑞2≤12,解得q=√22.答案:√22【加练备选】若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为________.X0123P14a14b【解析】由分布列的性质可知a+b=12,而

a2+b2≥(𝑎+𝑏)22=18(当且仅当a=b=14时,等号成立),所以a2+b2的最小值为18.答案:188.(5分)某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目,假设小张甲科目合格的概率为34,乙、丙科目合格的概率均为23,且3个科目是否合格相互独

立.设小张3个科目中合格的科目数为X,则P(X=2)=________,E(X)=________.【解析】P(X=2)=(1-34)×23×23+34×(1-23)×23+34×23×(1-23)=49;P(X=0)=(1-34)×(1-23)×(1-23)=136,P(X=1)=34

×(1-23)×(1-23)+(1-34)×23×(1-23)+(1-34)×(1-23)×23=736,P(X=3)=34×23×23=13,所以E(X)=0×136+1×736+2×49+3×13=2512.答案:4925129.

(10分)(2023·南京模拟)设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个.(1)若甲从中一次性摸出2个球,求两个球颜色不相同的概率;(2)若乙从中一次性摸出3个球,设3个球中的红球个数为X,求随机变量X的概率分布列及数学期望.【解析】(1)记“甲从中一

次性摸出2个球,两个球颜色不相同”为事件A,甲从中一次性摸出2个球共有C72=21种等可能的情况,两个球颜色不相同的有C31C41+C42=12+6=18种,所以P(A)=1821=67.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=

0)=C43C73=435,P(X=1)=C42C31C73=1835,P(X=2)=C41C32C73=1235,P(X=3)=C33C73=135,所以随机变量X的概率分布列为X0123P43518351235135E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×13

5=97.【能力提升练】10.(5分)(多选题)口袋中有大小、形状都相同的4个红球,n个白球,每次从中摸一个球,摸后再放回口袋中,摸到红球记2分,摸到白球记1分,共摸球3次.设所得分数为随机变量ξ,若P(𝜉=3)=

27343,则随机变量ξ的取值可能为()A.2B.3C.4D.5【解析】选BCD.由题意得摸到红球的概率是p1=4𝑛+4,白球的概率是p2=𝑛𝑛+4,而ξ=3即得3分,表示这3次摸的都是白球且P(𝜉=3)=27343,所以(𝑛𝑛+4)

3=27343,解得n=3,所以ξ的可能取值为3,4,5,6.11.(5分)已知集合A=B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,若a与b的和记为随机变量X,P(X=i)=pi>0(i∈N*)

,X的数学期望和方差分别为E(X),D(X),则()A.p4=2p2B.P(3≤X≤5)=79C.E(X)=3D.D(X)=23【解析】选B.因为A=B={1,2,3},所以X的所有可能取值为2,3,4,5,6,P(X=2)=13×13=19,P(X=3)=1

3×13+13×13=29,P(X=4)=13×13+13×13+13×13=39=13,P(X=5)=13×13+13×13=29,P(X=6)=13×13=19,所以p4=3p2,A错误;P(3≤X≤5)=29

+13+29=79,B正确;E(X)=2×19+3×29+4×13+5×29+6×19=4,C错误;D(X)=(2-4)2×19+(3-4)2×29+(4-4)2×13+(5-4)2×29+(6-4)2×19=43,D

错误.12.(5分)(多选题)已知随机变量ξ的分布列如表:ξ012Pb-aba则当a在(0,12)内增大时()A.E(ξ)增大B.E(ξ)减小C.D(ξ)先增大再减小D.D(ξ)先减小再增大【解析】选AC.由随机变量ξ的分布列得{0≤𝑏−𝑎≤1,0≤𝑏≤1,0≤�

�≤1,𝑏−𝑎+𝑏+𝑎=1,解得b=0.5,0≤a≤0.5,所以E(ξ)=0.5+2a,0≤a≤0.5.故a在(0,12)内增大时,E(ξ)增大.D(ξ)=(-2a-0.5)2(0.5-a)+(0.5-2a)2×0.5+(1.5-

2a)2a=-4a2+2a+14=-4(a-14)2+12,所以当a∈(0,14)时,D(ξ)增大,当a∈(14,12)时,D(ξ)减小,故当a在(0,12)内增大时,D(ξ)先增大再减小.13.(5分)(2021·浙江高考)

袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=________,E(ξ)=________.【解析】由题意

可得,P(ξ=2)=C42C4+𝑚+𝑛2=12(4+𝑚+𝑛)(3+𝑚+𝑛)=16,化简,得(m+n)2+7(m+n)-60=0,解得m+n=5(负值舍去),取出的两个球一红一黄的概率P=C41C𝑚1C4+𝑚+𝑛2=4𝑚36=1

3,解得m=3,故n=2.所以m-n=1,易知ξ的所有可能取值为0,1,2,且P(ξ=2)=16,P(ξ=1)=C41C51C92=59,P(ξ=0)=C52C92=518,所以E(ξ)=0×518+1×59+2×16=89.答案:18914.(10分)(2023·沧衡八校联考)某商

店欲购进某种食品(保质期两天),此商店每两天购进该食品一次(购进时,该食品为刚生产的).根据市场调查,该食品每份进价8元,售价12元,如果两天内无法售出,则食品过期作废,且两天内的销售情况互不影响,为了解市场的需求情况,现统计该食品在本地区10

0天的销售量如表(视样本频率为概率):销售量/份15161718天数20304010(1)根据该食品100天的销售量统计表,记两天中一共销售该食品份数为X,求X的分布列与数学期望;(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据,该商店一次性购进32或33

份,哪一种得到的利润更大?【解析】(1)根据题意可得,X的所有可能取值为30,31,32,33,34,35,36.则P(X=30)=15×15=125,P(X=31)=15×310×2=325,P(X=32)=15×25×2+310×310=14,P(X=33)=15×110×2+310

×25×2=725,P(X=34)=310×110×2+25×25=1150,P(X=35)=25×110×2=225,P(X=36)=110×110=1100,X的分布列如表:X30313233343536P1253251472

511502251100E(X)=30×125+31×325+32×14+33×725+34×1150+35×225+36×1100=32.8.(2)当购进32份时,利润为32×4×(14+725+1150+225+1100)+(31×4-8)×325+(30×4-16)×125=107.52+1

3.92+4.16=125.6(元).当购进33份时,利润为33×4×(725+1150+225+1100)+(32×4-8)×14+(31×4-16)×325+(30×4-24)×125=77.88+30+12.96+

3.84=124.68(元).125.6>124.68,因此,当购进32份时,利润更大.15.(10分)某大学志愿者协会有10名同学,成员构成如表,表中部分数据不清楚,只知道从这10名同学中随机抽取1名同学,该名同学的专业为数学的概率为25,现从这10名同学中随机选取3名

同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).项目中文英语数学体育男n1m1女1111(1)求m,n的值;(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率;(3)设X为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数,求随机变量X的分布列、数学期望及方差.【解析】(1)因为该名同学的专业

为数学的概率为25,所以1+𝑚10=25,解得m=3,因为m+n+6=10,所以n=1.(2)设事件A为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”,则P(A)=C31C32+C33C103=112.(3)由题意可知

,这10名学生中是女生或专业为数学的人数为7,X所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C33C103=1120,P(X=1)=C71C32C103=740,P(X=2)=C72C31C103=2140,P(X=3)=C73C103=724,故X的

分布列为:X0123P11207402140724故E(X)=0×1120+1×740+2×2140+3×724=2110,D(X)=(0-2110)2×1120+(1-2110)2×740+(2-2110)2×2140+(3-21

10)2×724=49100.【素养创新练】16.(5分)(多选题)(2023·承德模拟)设随机变量ξ的分布列如表:ξ123…20232024Pa1a2a3…a2023a2024则下列说法正确的是()A.当{an}为等差数列时,a2+

a2023=11012B.数列{an}的通项公式可能为an=20252024𝑛(𝑛+1)C.当数列{an}满足an=12𝑛(n=1,2,…,2023)时,a2024=122024D.当数列{an}满足P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,…,2024)

时,(n+1)an=(n-1)𝑎𝑛−1(n≥2)【解析】选ABD.对于A,因为{an}为等差数列,所以S2024=2024(𝑎1+𝑎2024)2=1,则有a2+a2023=a1+a2024=110

12,故A正确;对于B,若数列{an}的通项公式为an=20252024𝑛(𝑛+1)=20252024(1𝑛-1𝑛+1),则S2024=20252024(1-12+12-13+…+12024-12025)=20252024(1-12025)=1,故B正确;对于C,因为an=

12𝑛(n=1,2,…,2023),所以S2024=12(1−122023)1−12+a2024=1-122023+a2024=1,则有a2024=122023,故C错误;对于D,令Sk=P(ξ≤k)=k2ak,则𝑎𝑘+1=𝑆𝑘+1-Sk=(

k+1)2𝑎𝑘+1-k2ak,故𝑎𝑘+1𝑎𝑘=𝑘𝑘+2,所以𝑎𝑛𝑎𝑛−1=𝑛−1𝑛+1(n≥2),即(n+1)an=(n-1)𝑎𝑛−1(n≥2),故D正确.17.(5分)冰壶比赛的场地如图所示,其中左端(投掷线

MN的左侧)有一个发球区,运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出,使冰壶沿冰道滑行,冰道的右端有一圆形营垒区,以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负,甲、乙两人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的中心落在圆O中得3分,冰壶的中心落在圆环A中得2分,冰壶的中心落在圆环B中得1

分,其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响,甲、乙得3分的概率分别为13,14;甲、乙得2分的概率分别为25,12;甲、乙得1分的概率分别为15,16.甲、乙所得分数相同的概率为________;若甲、乙两人所得的分数之和为X,则X的均值为______.【解析】由题意知,甲得

0分的概率为1-13-25-15=115,乙得0分的概率为1-14-12-16=112,则甲、乙所得分数相同的概率为13×14+25×12+15×16+115×112=2990.因为甲、乙两人所得的分数之和为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,则P(X=0)=

115×112=1180;P(X=1)=115×16+15×112=136;P(X=2)=115×12+15×16+25×112=110;P(X=3)=115×14+15×12+25×16+13×112=1990;P(X=4)=15×14+25×12+13×16=1136;P(X=5)=

25×14+13×12=415;P(X=6)=13×14=112,则E(X)=0×1180+1×136+2×110+3×1990+4×1136+5×415+6×112=4712.答案:29904712