【文档说明】安徽省定远县第三中学2022-2023学年高一下学期2月月考 数学 含解析.docx，共(15)页，732.295 KB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年度第二学期高一2月月考试卷数学试卷2023．2考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直

径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.3．本卷命题范围：新人教A版必修第二册第六章.一、选择

题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知在ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若sin:sin1:2,2ABa==，则b的值为（）A.1B.2C.2D.22【答案】C【解析】

【分析】根据正弦定理可得sin:sin:ABab=，结合a的值可求b的值.【详解】由正弦定理sinsinabAB=可得sin:sin:ABab=，所以:1:2ab=，因为2a=，所以2b=.故选：C.2.已知向量(1,2),(3,5)

ab=−=−，则32ab+等于（）A.(3,4)−B.(0,4)−C.(3,6)D.(0,6)【答案】A【解析】【分析】由向量坐标运算直接求解即可.【详解】323(1,2)2(3,5)(3,4)ab+=−+−=−.故选：A3.在ABC中，

3a=，7b=，60B=，则c等于（）A.1B.2C.1或2D.2或3【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理运算求解.【详解】由余弦定理：2222cosbacacB=+−，即2179232cc=+−，则2320cc−+=，解得1c=或2c=.故选：C.4.设1e，2e是平面向量的一组基底

，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（）A.212ee−和2112ee−ururB.122ee−和2163−eeC.122ee+−和212133−+eeD.12ee+和12ee−【答案】D【解析】【分析】根据基底向量的定义逐项分

析判断.【详解】对A：∵21211222eeee−−=urururur，则212ee−与2112ee−urur共线，故212ee−和2112ee−urur不能作为基底向量，A错误；对B：∵()11226323eeee=−−−rrrr，则122ee

−与2163−ee共线，故122ee−和2163−ee不能作为基底向量，B错误；对C：∵2121212333eeee−−+=−ururrr，则212ee−与212133−+ee共线，故212ee−和212133−+ee不能作为

基底向量，C错误；对D：∵1111−，则12ee+与12ee−不共线，故12ee+和12ee−不能作为基底向量，D正确；故选：D.5.在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为2224bca+−，则角A等于（）A.30B.45C.60D.90

【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理可得2221cos42bcabcA+−=，再根据面积公式可得sincosAA=，从而可求出角A．【详解】解：由余弦定理得2222cos1cos442bcabcAbcA+−=

=，又根据三角形面积公式得2221sin42bcabcA+−=，∴sincosAA=，又角A为ABC的内角，∴45A=，故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题．6.已知点()1,1A−，()1,2B，(

)2,1C−−，()3,4D，若e是与CD方向相同的单位向量，则向量AB在CD方向上的投影向量为（）A.3152eB.322eC.322e−D.3152e−【答案】B【解析】【分析】根据题意向量的坐标运算

求,ABCDCDuuuruuuruuur，再由投影向量的定义运算求解.【详解】由题意可得()()2,1,5,5ABCD==，则22251515,5552ABCDCD=+==+=uuuruuuruuur，故向量

AB在CD方向上的投影向量为()1532cos,252ABCDABCDABABCDeABeeeeABCDCD====uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurru

uurrrrruuuruuuruuur.故选：B.7.如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42海里，则此船的航行速度是（）A.16海里/小时B.15海里/小时C.93海里

/小时D.102海里/小时【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由图可知42BS=，753045ASB=−=，则42sin45sin30AB=，得8AB=，所以该船的航行速度为1162AB=（海里/小时）．故选：A

8.在ABC中，已知点P在线段BC上，点Q是AC的中点，APxAByAQ=+，0x，0y，则11xy+的最小值为（）A.32B.4C.322+D.322+【答案】C【解析】【分析】利用,,BPC三点共线可得12yx+=，由11112yyxxxy+=++，利用基本不等式

即可求解.【详解】由点Q是AC的中点，则2yAPxAByAQxABAC=+=+，又因为点P在线段BC上，则12yx+=，所以333222222212111yxyxyxxxyxxyyy+=++=+++=+，当且仅当22x=−，222y=−时取等号，故选：C【点

睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论，考查了基本运算求解能力，属于基础题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知ABC中，,2,45axbB===，若三角形有

两解，则x不可能的取值是（）A.2B.2.5C.3D.3.5【答案】ACD【解析】【分析】若三角形有两解，则,sin1abA，结合正弦定理即可求解【详解】解：因为ABC中，,2,45axbB===，且三角形有两解，所以,sin1abA，由正弦定理得sinsina

bAB=，所以2sin22sin124xaBxAb===，解得22x，因为ab，所以2x，所以222x，故选：ACD10.对任意向量a、b，下列关系式中恒成立的是（）A.()()22ababab+−=−

B.22()||abab+=+C.ababD.abab−−【答案】ABC【解析】【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义与运算逐项分析判断.【详解】对A：根据数量积的运算律可得：()()22ababab+−=−恒成立，A正确；对

B：根据22||aa=rr，可得22()||abab+=+恒成立，B正确；对C：coscosababab==，其中为,ab的夹角，∵cos1，可得coscosabababab==，∴abab恒成立，C正确；对D：根

据向量减法可得：abab−−rrrr，当且仅当,ab同向或,ab中有零向量时等号成立，故abab−−不恒成立，D错误；故选：ABC.11.在ABC中，角A、B，C所对的边分别为a，b，c，且()(

)::()9:10:11abacbc+++=，则下列结论正确的是（）A.sin:sin:sin4:5:6ABC=B.ABC的最小内角是最大内角的一半C.ABC是钝角三角形D.若6c=，则ABC的外接圆直径为877【答案】AB【解析】【分析】不妨设9abm+=，10acm+

=，11bcm+=，解得4am=，5bm=，6cm=．对四个选项一一验证：由正弦定理可以判断选项A；先判断出最大的内角为C，最小的内角为A，再由余弦定理求出12AC=，即可判断选项B；由余弦定理判断出C为锐角

，即可判断选项C；用正弦定理可以判断选项D．【详解】不妨设9abm+=，10acm+=，11bcm+=，解得4am=，5bm=，6cm=．由正弦定理知sin:sin:sin::4:5:6ABCabc==，即A正确；∵cba

，∴最大的内角为C，最小的内角为A，由余弦定理知，2222222536163cos22564bcammmAbcmm+−+−===，2222221625361cos022458abcmmmCabmm+−+−===，2231cos22cos121

cos48AAC=−=−==，故12AC=，即B正确；∵cos0C，∴C为锐角，ABC是锐角三角形，即C错误；∵1cos8C=，∴37sin8C=，∵2sincRC=，∴ABC的外接圆直

径616727378R==，即D错误．故选：AB.12.引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量()11,mxy=ur，()22,nxy=r，规定1212mnxxyy=−，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有（）A.abba=B.()()abab=

C()()abcabc=D.||||||abab【答案】ABD【解析】【分析】根据坐标运算计算出每个等式等号左右两边的值，由此判断出AB是否正确；理解C选项中“”的含义，由此可判断是否正确；将不

等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法判断是否正确.【详解】A．因为12122121,abxxyybaxxyy=−=−，所以abba=，故正确；B．因为()()()()()12121212abxxyyxxyyab=−

=−=，故正确；C．()()()()23231212,abcxxyyaabcxxyyc=−=−，此时()()abcabc=不恒成立，故错误；D．因为()()22222222222222112

212121221||||abxyxyxxyyxyxy=++=+++，2222212121212||=2abxxyyxxyy+−，.所以()()2222222122112121221||||||2

0ababxyxyxxyyxyxy−=++=+，所以()22||||||0abab−，且||||0ab，||0ab，所以||||||abab，故正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解新运算的运算方法，将其与坐标形式下向量的数量积公式区

分开来，通过坐标运算达到判断的目的.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量()5,=ak，()2,8=b，若ab⊥，则实数k=__________．【答案】54−##1.25−【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算即可.【详解】ab⊥=5280

abk+=；54k=−故答案为：54−14.在ABC中，内角、、ABC所对的边分别为a、b、c，2b=，3c=，7cos4C=，则B=__________．【答案】30##π6【解析】【分析】根据题意先求3sin4C=，再结合正弦定理可得

1sin2B=，即可得结果，注意根据大边对大角判断角B的范围.【详解】∵7cos04C=，则C为锐角，∴23sin1cos4CC=−=，由正弦定理sinsinbcBC=，可得32sin14sin32bCBc===，又∵bc，则BC，即B为锐角，故30B=.故答案为：30.15.已

知三条线段的长度分别为x、3、4，且03x，若这三条线段能构成锐角三角形，则实数x的取值范围为______.【答案】()7,3【解析】【分析】由最大角的余弦值大于零，结合题中已给条件，即可得到x的范围.【详解】设该

锐角三角形的最大边4对应的角度为，故由题可得291606xcosx+−=，解得27x，即可得7x又因03x，故可得()7,3x.故答案为：()7,3.【点睛】本题考查余弦定理的推论，需要注意的是，若要构成锐角三角形，只需最大角为锐角即可.16.如图，在平面四边形ABCD中，若

6AC=，()()11++=ABDCACBD，则BD=__________．【答案】5【解析】【分析】根据,ABACDCBDBBCC=+=+uuuruuuruuruuuruuuruuur，将问题转化为,ACBD，结合数量

积的运算律求解.【详解】由题意可得：()()()()()()22ABDCACBDACDBACBDACBDACBBCBDACBCD++−++=++==−+uuuruuuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruu

uruuur为，故23611BD−=uuur，则225BD=uuur，即5BD=uuur.故答案为：5.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知平面内三个向量()7,5a=，()3,4b=−，(

)1,2c=．（1）求23abc−+；（2）求满足ambnc=−的实数m，n；（3）若()()//kacbc−+，求实数k．【答案】（1）265；（2）943,1010mn=−=−；（3）526k=.【解析】【分析】（1）根据向量坐标运算法则求出()2316,3abc−+=求

出模长；（2）根据ambnc=−得()()7,53,42mnmn=−−−，建立方程组即可求解；（3）求出()71,52kackk−=−−，()2,6bc+=−，根据向量平行的坐标表示即可得解.【详解】（1）∵()()()()23

7,523,431,216,3abc−+=−−+=，∴2223163265abc−+=+=．（2）由ambnc=−得()()7,53,42mnmn=−−−，∴3,425.7mmnn−=−−=解得9,

1043.10mn=−=−（3）()71,52kackk−=−−，()2,6bc+=−．∵()()//kacbc−+，∴()()6712520kk−+−=，解得526k=．18.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin2A+

sin2B﹣sin2C＝23sinAsinB．（1）求cosC的值；（2）若c＝3，a+b＝5，求a、b的值．【答案】（1）13（2）2,3ab==或3,2ab==.【解析】【分析】（1）根据正弦定理得22223abcab+

−=，再根据余弦定理可得结果；（2）根据余弦定理得到6ab=，再结合5ab+=可解得结果.【详解】（1）因为sin2A+sin2B2sinC−＝23sinAsinB，所以由正弦定理得22223abcab+−=，即222123abcab+−=，即1cos3C=.（2）由余弦

定理得2222coscababC=+−，所以229()23ababab=+−−，所以6ab=，由56abab+==，解得2,3ab==或3,2ab==.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，属于基础

题.19.设向量a，b满足1a=，1b=，满足3(0)+=−kabakbk．（1）判断a与b能否垂直；（2）若a与b的夹角为60，求实数k的值．【答案】（1）a与b不垂直（2）1【解析】【分析】（1）根据题意结合数量积的运算律可得214kabk+=，结合向量垂直分析

判断；（2）根据数量积的定义可得21124kk+=，运算求解即可.小问1详解】∵3kabakb+=−，即()()223kabakb+=−rrrr，整理得()()222238130kakabkb−++−=rrrr，又∵1ab==，即

221ab==rr，则()()2238130kkabk−++−=rr，整理得214kabk+=，【注意到0k，则2104kabk+=rr，故a与b不垂直.【小问2详解】若a与b夹角为60，则2111cos6011224kababk+====rrrr，则2210kk−+=

，解得1k=，故实数k的值为1.20.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若2,3cC==，且ABC的面积3S=，求a，b的值；（2）若sinsin()sin2CBAA+−=，判断ABC的形状．【答案】（1）2ab==；（2）ABC是直角

三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得224abab+−=，由三角形面积得到4ab=，进而即得；（2）根据题中条件及两角和与差的正弦公式，得到cossinsincosABAA=，求出cos0A=或sins

inAB=，进而可得出结果.【小问1详解】因为2,3cC==，又余弦定理可得：2222coscababC=+−，即224abab+−=，又ABC的面积3S=，所以1sin32abC=，因此4ab=，；解得：2ab==；【小问2详解】因为()()sinsinsin2

ABBAA++−=，所以sincoscossinsincoscossin2sincosABABBABAAA++−=，即cossinsincosABAA=，所以cos0A=或sinsinAB=，的因此2A

=或AB=，所以ABC是直角三角形或等腰三角形.21.设G为ABC的重心，过G作直线l分别交线段,ABAC(不与端点重合)于,PQ．若,APABAQAC==．（1）求11+的值；（2）求的取值范围．【答案】（1）

113+=；（2）41,92．【解析】【分析】（1）连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，设,ABbACc==，根据,APABbAQACc====，用,bc表示PQ，P

G，再由,,PGQ三点共线求解；（２）由（1）得到()0,131=−，进而得到2211331==−−+，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）如图所示：连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，设,ABbACc==，则11()()22AMABACbc=+=+，21()33A

GAMbc==+①又,APABbAQACc====，②PQAQAPucb=−=−，111()()333PGAGAPbcbbc=−=+−=−+，,,PGQ三点共线，故存在实数t，使PGtPQ=，11()33bctctb−+=−，则1313

tt−=−=，消t得：13−=−，即113+=.（２）(),0,1，()0,131=−，1,12，即()11,2，222111313931()24===−−+−−

+，其中132=时，213−+有最大值94，112=，时，213−+有最小值2，所以的取值范围是41,9222.如图，在扇形AOB中，圆心角AOB等于60°，半径为4，在弧AB上有一

动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP=.（1）若点C为OA的中点，试求的正弦值；（2）求POC△面积的最大值及此时的值.【答案】（1）3938sinθ−=；（2）POC△面积的最大值为433，此时o30=.【解析】【分析】（1）（2），做，CDOBPFOB⊥

⊥，因CPOB∥，则可得CDPF=，有()6060oosinsinCOPOθ=−，再借助三角恒等变换、三角函数性质求解得答案.【小问1详解】如图，做，CDOBPFOB⊥⊥，因CPOB∥，CDPF∥，则四边形CDFP为平行四边形，则CDPF=，有()6060oosinsinCOPOθ=−.当点C为

OA的中点，又4PO=，则()260460oosinsinθ=−1232323sincossincosθθθθ−==+，又2210sincos，sinθθθ+=，则221123sinsinθθ++=2164390sinsinθθ+−=.解得：39

38sinθ−=小问2详解】因()6060oosinsinCOPOθ=−，则4PO=，则()()608360360ooosinsinsinPOθCOθ−==−，则()11636023osinsinsinPOCSOCOPθθθ==−，其中060ooθ.21633116

3311223223422cossincossinsinθθθθθ−=−=−()1631116311432303243243osinθ=+−−=，当且仅当23090

ooθ+=，即o30=时取等号.故POC△面积的最大值为433，此时o30=.【