【文档说明】【精准解析】山东省潍坊市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题.doc，共(20)页，1.374 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年下学期期中检测高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班級和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上.2.第

Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶

带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足25zii+=（），则复数z的虚部为.

A.-2B.-1C.1D.2.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法的运算法则去计算即可.【详解】因为25zii+=（），所以()()()52512222iiiziiii−===+++−，虚部是2，故选D.【点睛】本题考查复数的除

法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算2.若函数()yfx=在区间(,)ab内可导，且0(,)xab，则000()()limhfxhfxhh→+−−的值为（）A.0()fxB.0C.02()fxD.

02()fx−【答案】C【解析】试题分析：由函数()yfx=在某一点处的定义可知，()()()0000000002()()()()lim2lim2lim222hhhfxhfxfxhfxhfxhfxhfxhhh→→→+−+−−+−−===

.考点：函数在某一点处导数的定义.3.已知随机变量~(,)Bnp，若()1.2,()0.96ED==，则实数n的值为（）A.4B.6C.8D.24【答案】B【解析】【分析】直接用二项分布的期望与方差公式计算即可.【详解】由题意()1.2Enp==①，()(1)0.96

Dnpp=−=②，由①②可得，10.8p−=，所以0.2p=，6n=.故选：B【点睛】本题考查已知二项分布的期望和方差求参数的问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.4.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则(2)PX

=（）A.38B.1314C.45D.78【答案】D【解析】【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为4182=．从中取3次，X为取

得次品的次数，则13,2XB,()3102323331(2)(2)(1)0111722228PXPXPXPXCCC==+=+==+=+,选择D答案．【点睛

】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．5.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则()PBA=（）A.13B.16C.17

D.112【答案】B【解析】【分析】用列举法分别写出事件A和红骰子向上的点数小于4且两颗骰子的点数之和等于7的基本事件，再根据条件概率的公式求出()PBA.【详解】解：由题可知，事件A为“红骰子向上的点数小于4”，

而红骰子向上的点数小于4的有：1，2，3，共3种情况，则()3162PA==，而“红骰子向上的点数小于4且两颗骰子的点数之和等于7”，有：()()()1,6,2,5,3,4，共3种情况，则()316612==PAB，所以()()()1112

162PABPBAPA===.故选：B.【点睛】本题考查利用条件概率公式求概率，考查分析问题能力和运算能力.6.已知7270127(1)xaaxaxax−=++++则127aaa+++=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】令0x=,可得01a=−，令1x=代入等式，可得01

270aaaa++++=，从而得到答案..【详解】由7270127(1)xaaxaxax−=++++令0x=得：70(01)a−=，则01a=−令1x=得：70127(11)aaaa−=++++所以01270aaaa++++=，则127

01aaaa++=−+=故选：C【点睛】本题主要考查二项式定理求解系数和，系数和问题一般是利用赋值法进行求解，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题.7.如图，()yfx=是可导函数，直线:2lykx=+是曲线()yfx=在3x=处的切线，令()()gxx

fx=，'()gx是()gx的导函数，则'(3)g=（）．A.－1B.0C.2D.4【答案】B【解析】【分析】将点()3,1的坐标代入切线方程得出k的值，得出()3fk=以及()31f=，再对函数()ygx=求导得()()()gxfxxfx=+，即可得出()3g的值．【详解】将点

()3,1代入直线2ykx=+的方程得321k+=，得13k=−，所以，()133fk==−，由于点()3,1在函数()yfx=的图象上，则()31f=，对函数()()gxxfx=求导得()()()gxfxxfx=+，()()()133331303

gff=+=+−=，故选B．【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；（2）切点是切线与函数图象的公共点．8.函数2()lnfxaxxx=−在1,e+

上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.1,2+B.1,2+C.[1,)+D.(1,)+【答案】A【解析】【分析】首先对函数求导，将函数在给定区间上单调增，转化为其导数在相应区间上大于等于

零恒成立，构造新函数，利用导数研究其最值，求得结果.【详解】()2ln1fxaxx=−−，若函数2()lnfxaxxx=−在1,e+上单调递增，则()0fx在1,e+上恒成立，则ln12xax+在1,e+上恒成立，令ln11

(),[,)2xgxxxe+=+，则2222ln2ln()42xxgxxx−−==−，可以得出01x时()0gx，当1x时()0gx，所以函数()gx在1[,1]e上单调递增，在[1,)+上单

调递减，所以max1()(1)2gxg==，所以12a，故选：A.【点睛】该题考查的是与导数有关的问题，涉及到的知识点为根据函数在给定区间上单调增，确定参数的取值范围，属于中档题目.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20

分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.以下为真命题的是（）A.纯虚数z的共轭复数等于z−B.若120zz+=，则12zz=C.若12zz+R，则1z与2z互为共轭复数

D.若120zz−=，则1z与2z互为共轭复数【答案】AD【解析】【分析】根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项.【详解】解：对于A，若z为纯虚数，可设()0zbib=，则zb

iz=−=−，即纯虚数z的共轭复数等于z−，故A正确；对于B，由120zz+=，得出12zz=−，可设11zi=+，则21zi=−−，则21zi=−+，此时12zz，故B错误；对于C，设12,zabizcdi=+=+，则()()12acbdiRzz=++++，则

0bd+=，但,ac不一定相等，所以1z与2z不一定互为共轭复数，故C错误；对于D，120zz−=，则12zz=，则1z与2z互为共轭复数，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.10.设离散型随机

变量X的分布列为X01245Pq0.30.20.20.1若离散型随机变量Y满足21YX=+，则下列结果正确的有（）A()2EX=B.()2.4DX=C.()2.8=DXD.()14=DY【答案】AC【解析】【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求得0.2q=，可求出()EX和()DX，再由离

散型随机变量Y满足21YX=+，从而可求出()DY.【详解】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：10.30.20.20.10.2q=−−−−=，则()00.210.320.240.250.12EX=++++

=，()()()()()()22222020.2120.3220.2420.2520.1DX=−+−+−+−+−，即()0.80.300.80.92.8DX=++++=，因为离散型随机变量Y满足21YX=+，()()()22442.811.2DYDYDY

====故结果正确的有AC.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，考查运算求解能力.11.如图是()yfx=的导函数()fx的图象，则下列判断正确的是（）A.()fx在区间[2,1]−−

上是增函数B.1x=−是()fx的极小值点C.()fx在区间[1,2]−上是增函数，在区间[2,4]上是减函数D.1x=是()fx的极大值点【答案】BC【解析】【分析】根据导函数与函数的单调性、函数的极值的关系判断．

【详解】在(2,1)−−上()0fx，()fx递减，A错；(1)0f−=，且当21x−−时，()0fx，12x−时，()0fx，所以1x=−是()fx的极小值点，B正确；在(1,2)−上，()0fx，()fx递增，在(2,4)上()0fx，()fx递减，C

正确；()fx在区间[1,2]−上是增函数，1x=不是()fx的极大值点，D错．故选：BC．【点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数的极值的关系，掌握用导数判断单调性的方法是解题关键．12.下列命题正确的是（）A

.已知随机变量X服从正态分布(3,1)N，且(24)0.683PX=，则(4)0.317PX=B.以模型kxyce=去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy=，将其变换后得到线性方程0.34zx=+，则4,0.3cek==C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程

为ˆˆˆyabx=+，若ˆ2,1bx==.3y=，则ˆ1a=D.1231312422nnnnnnnCCCC−−++++=【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据正态分布的性质求解；对B，将kxyce=两边取对数，可得()lnlncelnlnl

nkxkxyceckx==+=+，结合已知，进行求解；对C，根据回归直线方程ˆˆˆyabx=+必过样本点中心，求解；对D，根据二项式定理，写出()12n+展开式，即可求得答案.【详解】对A，随机变量X服从正态分布

(3,1)N，(24)0.683PX=，(2)(24)(4)1PXPXPX++=，且(2)(4)PXPX=可得：()12410.683(4)0.158522PXPX−−===，故A错误；对B，kxyce=两边取对数，可得()lnln

celnlnlnkxkxyceckx==+=+令lnzy=，可得lnzckx=+0.34zx=+ln4,0.3ck==4ce=，故B正确；对C，其回归直线方程为ˆˆˆyabx=+，且ˆ2,1bx=

=.3y=回归直线方程ˆˆˆyabx=+必过样本点中心()1,3，32ˆ1a=+，解得ˆ1a=，故C正确；对D，200011233223(12)1212121212nnnnnnnnnnnnnCCCCC−−−−−+=++++

+213322(12)22221nnnnnnCCCC+=+++++即212233322212nnnnnnCCCC=+++++化简可得：1231312422nnnnnnnCCCC−−++++=，故D正确.故选：BCD

【点睛】本题解题关键是掌握正态分布的特征和回归直线必过样本点中心(,)xy，及其二项式定理的应用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在

答题卡相应的横线上）13.复数2020i=______．【答案】1【解析】【分析】利用ni运算的周期性求解【详解】()505202041ii==故答案为：1【点睛】本题考查复数的乘方运算，涉及ni运算的周期性，是基础题14.在杨辉的《详解九章算法》中载有一个

“开方作法本源”图，就是“杨辉三角”．我们可以从中发现下列的等式：第1行：1011=，第2行：1010110111+=，第3行：210101102101121++=，第4行：32101011031031011331+++=，第5行

：4321010110410610410114641++++=，那么由此可得，第2020行的等式等号右侧的数值为_________．（结果保留最简形式）【答案】201911【解析】【分析】观察前几行可得规律为011111，，231111，，411，，可归纳猜想得第n行为111n−，得

出答案.【详解】第1行：010111=，第2行：10110110111+=，第3行：2102101102101121=11++=，第4行：32103101103103101133111+++==，第5行：432104101104

1061041011464111++++==归纳猜想可得第n行为111n−所以第2020行的等式等号右侧的数值为201911故答案为：201911【点睛】本题考查归纳推理，根据有限的信息得出规律，归纳出一般结论，考查学生的抽象概括能力，属于中档题.15.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某

学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为_____．【答案】13【解析】【分析】先求出3名志愿者辅导4门学科情况总数，再计算出数学学科由甲辅导的种数，由古典概型

的计算公式即可得到答案.【详解】甲、乙、丙辅导某学生4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则有一名志愿者辅导了2门，共有234336CA=种不同的情况，数学学科恰好由甲辅导共有2212323212CACA+=种不同情况，由古典概型

的概率计算公式可知，所求概率为121363=.故答案为：13【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.16.若点()()()112212,,,AxyBxyxx是函数1,1()ln,1xexfx

xx−+=的图象上任意两点，且函数()fx分别在点A和点B处的切线互相垂直，则12xx的最大值为__________.【答案】e【解析】【分析】由题得12xxe=，即得21x，101x.所以1211xxxxe=，设()(01)xhxx

ex=„，利用导数求函数的最值即可.【详解】由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为1()fx，点B处的切线的斜率为2()fx，函数()fx的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有12()()1fxfx=−，由(

1)xxee−=−，1()lnxx=，可得1211xex−=−，即12xxe=，因为21x，所以101x.所以1211xxxxe=，设()(01)xhxxex=„，可得()(1)0xhxxe=+，即()hx在(0，1]递增，可得

()hx有最大值11=ee，故答案为：e【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若12nxx+展开式的二项式系数之和是64．（1）求n的

值；（2）求展开式中的常数项．【答案】（1）6；（2）60【解析】【分析】由二项式系数和求出指数n，再写出展开式通项后可得常数项.【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264nnnnnnCCCC++++==，6n=；（2）通项公式为366622166(2

)2rrrrrrrTCxxCx−−−−+==，令3602r−=，得4r=展开式中的常数项为4464256(2)60TCxx−−==．【点睛】该题主要考查二项式定理，在()nab+展开式中二项式系数为2n，只与指数n有关，求特定项时要注意通项的正确应用.18.函数()ln1fxxxax=−+在

点(1,(1))Af处的切线斜率为2−．（1）求实数a的值；（2）求()fx的单调区间和极值．【答案】（1）3；（2）增区间为()2,e+，减区间为()20,e．极小值21e−，无极大值．【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，导

数值为切线的斜率求出实数a的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）函数()ln1fxxxax=−+的导数为()ln1fxxa=+−，在点(1,(1))Af处的切线斜率为12ka=−=，(1)2f=−，即12a−=−，3a=

；（2）由（1）得，()ln2,(0,)fxxx=−+，令()0fx，得2xe，令()0fx，得20xe，即()fx的增区间为()2,e+，减区间为()20,e．在2xe=处取得极小值21e−，无极大值．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研

究函数的单调性、极值问题，属于容易题．19.第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园.(1)若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？(2)

每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设,XY分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记XY=−，求随机变量的分布列和数学期望()E.【答案】（1）8；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用分布计数乘法原理解答即可；（2）的所有可

能取值是1，3，5，分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.试题解析：(1)依题意甲，乙，丙三人的分配方法有2种，其余二人的分配方法有22种，故共有2228=种不同的分配方案.(2)设5名学生中恰有i名被分到王城公园的事件为()0,1,2,3,4,5iAi=，的所

有可能取值是1，3，5.()()()()2332535223235551228CCCCPPAAPAPA==+=+=+=，()()()()11115451141455532216CCCCPPAAPAPA==+=+=+=，()()()()055555050555152216CCCPPAAPAPA

==+=+=+=，则随机变量的分布列为135P58516116故随机变量的数学期望()55115135816168E=++=.20.“十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标，打响了精

准扶贫的攻坚战，为完成脱贫任务，某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工，已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为()gx万

元，已知22111.8(010),30()1542000(10).3xxgxxxx−=−„（1）请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（2）月产量为多少千件时，该公司在

这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润（精确到0.1万元）．【答案】（1）316.420,01030100013422.7,103xxxyxxx−−=−+„（2）当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1

万元．【解析】【分析】（1）分别求出010x„和10x两种情况所对应的利润即可；（2）利用导数及基本不等式求出（1）中分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）当010x„时，231111.8205.46.4203030yxxxxx=−−−=−−，当10x

时，215420001000205.413422.733yxxxxxx=−−−=−+，316.420,01030100013422.7,103xxxyxxx−−=−+„（2）①当010x

时，216.410yx=−，令'0y=，可得8,(0,8)xx=时，0;(8,10]yx时，'0y，8x=时，max21214.115y=（万元）；②当10x时，100013422.7134120143yxx

=−+−=„（万元）（当且仅当1009x=时取等号）．综合①②知，当8x=时，y取最大值14.1，故当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元．【点晴】本题主要考查函数模型的

应用，考查学生数学建模能力，数学运算能力，是一道中档题.21.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的

考生原始成绩从高到低划分为AB+、、BC+、、CD+、、DE、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,1

00]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生共6000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩大致

服从正态分布(70,169)N．（1）求该市化学原始成绩在区间(57,96)的人数；（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求(2)PX…．（附

：若随机变量()2~,N，则()0.683P−+=，(22)0.954P−+=，(33)0.997P−+=）【答案】（1）4911人（2）44125【解析】【分析】（1）由正态分布曲线的对称性计算概率；（2）根据已知条件得等级成绩在区间[

61,80]内的概率为25，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5XB，(2)(2)(3)PXPXPX==+=，由二项分布概率公式可计算出概率．【详解】解：（1）∵化学原始成绩()2~70,13N，(579

6)(5770)(7096)PPP=+„11(70137013)(7021370213)22PP=−++−+0.6830.9540.818522=+=．∴化学原始成绩在(57,96)的人数为60000.81854911=（人）；（2）因为以各等级人数所占比例作为

各分数区间发生的概率，且等级成绩在区间[71,80]、[61,70]的人数所占比例分别为16%、24%，则随机抽取1人，其等级成绩在区间[61,80]内的概率为25．所以从全省考生中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5XB

，23233323244(2)(2)(3)555125PXPXPXCC==+==+=．【点睛】本题考查正态分布，考查二项分布，掌握正态分布曲线的性质和二项分布的概率公式是解题关键．22

.函数()(1)2ln(1)fxaxx=+−+（a为常数，且0a）在1x=处取得极值．（1）求实数a的值，并求()fx的单调区间；（2）关于x的方程2()618ln(1)fxxbxx++=+−+在[1,2]上恰有1个实

数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当*nN时，()1*1111ln22ninniNi−=−+．【答案】（1）1a=，()fx的单调递增区间是(1,)+，函数()fx的单调递减区间是(1,1)−．（2）66ln34

6ln2b−−．（3）见解析【解析】【分析】（1）首先写出函数的定义域，之后求函数的导函数，利用条件，得到等式()01f=，解出1a=，代入导函数解析式，令()0fx，()0fx，求得函数的单调增、减区间；（2）将()fx的解析式代入方程

，化简得256ln(1)0xxxb−+++=，令2()56ln(1)gxxxxb=−+++，利用导数研究其单调性，结合题意，得到不等式组，求得结果；（3）结合（1），得到2ln(1)1xx++，进一步得到112ln11nn++成立，对n依次取值，

累加得到结果.【详解】（1）(1,)x−+，2()1fxax=−+，由题意得，()01f=，得1a=，当1a=时，1()1xfxx−=+，令()0fx，得1x，令()0fx，得11x−，∴函

数()fx的单调递增区间是(1,)+，函数()fx的单调递减区间是(1,1)−．（2）关于x的方程2()618ln(1)fxxbxx++=+−+，化简为256ln(1)0xxxb−+++=，令2()56l

n(1)gxxxxb=−+++，6(21)(1)()2511xxgxxxx−−=−+=++，令()0gx=，解得12x=或1，令()0gx，得1x，函数()gx在[1,2]上单调递增，关于x的方程2()618ln(1)fxxbxx++=+−+在[1,2]上恰有1个实数根，则只需

(1)0,(2)0,gg…得66ln346ln2b−−．（3）由（1）知，当(0,1]x时，()(1)22ln20fxf=−…，即2ln(1)1xx++，当*nN时，令1(0,1]xn=，则112ln11nn++成立，即1

1ln(1)ln22nnn+−+成立将n依次取1，2，3，4，5，…………1n−，可得11lnln(1)2(1)2nnn−−+−，11ln(1)ln(2)2(2)2nnn−−−+−，……11ln3ln2222−+，11ln2ln1212−+，累加求和得：1

1111ln2(1)2(2)22212nnnn−+++++−−，即当*nN时，11111ln22ninni−=−+成立．【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值求参数，利用导数求函数的单调性，根据函数零点个数确定

参数的取值范围，与数列相关的证明问题，属于较难题目.