【文档说明】北京市房山区2023届高三二模数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.711 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ae4b6bae9dc0a170b69c7cfdfac62ba1.html

以下为本文档部分文字说明：

房山区2023年高三年级第二次模拟考试数学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|0}Axx=，{12345}B=，，，，，则（）A.ABB.BAC.ABB=D.AB=【答案】B【解析】【分析】考查两集合的基本运算，根据集合的运算规律即可得出答案.【详解】{|0}Axx=，12345B=，，，，BA，故B选项正确，A

选项错误，ABA=，故C选项错误，{1,2,3,4,5}ABB==，故D选项错误，故选：B.2.在复平面内，复数23ii+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.

【详解】2332iii+=−，在复平面内对应的点的坐标为()3,2−，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.3.已知等比数列{}na的各项均为正数，{}na的前n项和为nS，若3

21S=，29S=，则1a的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据已知条件列方程组来求得1a.【详解】设等比数列na的公比为()0qq，则12312219aaaaa++=+=，312129aaa=+=，21111

29aqaaq=+=，两式相除得224,344013qqqq=−−=+，解得2q=（负根舍去），所以121232a==.故选：C4.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足1()2APABAC=+，则APAB的值为（）A.2B.4−C.4D.22【答案】C【解析】【分析】

利用数量积的定义和性质，即可计算结果.【详解】由条件可知()2111222APABABACABABABAC=+=+211cos4522ABABAC=+122222422=+=.故选：C5

.下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）A.2()2fxxx=−B.()|ln|fxx=C.()sinfxxx=D.()22xxfx−=+【答案】D【解析】【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数2()2fx

xx=−不是偶函数，判断选项A，根据函数()|ln|fxx=的定义域判断选项B，判断得()()fxfx−=，从而得函数()sinfxxx=为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据()()fxfx−=，得函数()22xxfx−=+为偶函

数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.【详解】对A，二次函数2()2fxxx=−的对称轴为1x=，不是偶函数，故A错误；对B，函数()|ln|fxx=的定义域为()0,+，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对C，()()()()sins

infxxxxxfx−=−−==，定义域为R，所以函数()sinfxxx=是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数()sinfxxx=无最小值，故C错误；对D，()()22xxfxfx−−=+=，定义域为R，所以函数()22xx

fx−=+是偶函数，因为20x，20x−，所以222222xxxx−−+=，当且仅当22xx−=，即0x=时取等号，所以函数()22xxfx−=+有最小值2，故D正确.故选：D6.已知圆C的圆心在抛物线24yx=上，且此圆C过定点(10)，，则圆C

与直线10x+=的位置关系为（）A.相切B.相交C.相离D.不能确定【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线24yx=的焦点为()1,0，准线方程为=1x−，根据抛物线的定义可知，C到焦点的距离等于到准线的距离，所以圆C与直线10x+=相切.故选：A7.高为H

、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数()vfh=的大致图像是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加

，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.【详解】根据题意知，函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，所以当0h=时，体积0v=，所以函数图像过原点，故排除A、C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随

着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知双曲线C的方程为2214xy−=，点P，Q分别在双曲

线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A.11()22−，B.(22)−，C11()()22−−+，，D.(，2)(2，)−−+的.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线渐近线的斜率求得直线PQ的斜率的取值

范围.【详解】双曲线2214xy−=的渐近线方程为12yx=，斜率为12，依题意，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，所以直线PQ的斜率的取值范围是11()22−，.故选：A9.已知函数2232,1()22,1xax

xfxaxxx+−=+则“0a”是“()fx在R上单调递减”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求得()fx在R上单调递减时a的取值范围，从而判断出充分、必要条件.【

详解】若2232,1()22,1xaxxfxaxxx+−=+在R上单调递减，则14011432212aaaaa−−+−+，解得4a−.所以“0a”是“()fx在R上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B10.设集合(){,|0,2,2}Ax

yxyaxyxay=−+−，则（）A.当1a=时，()1,1AB.对任意实数a，()1,1AC.当a<0时，()1,1AD.对任意实数a，()1,1A【答案】C【解析】【分析】依据选项将点()1,1代入验证即可.【详解】当1a=时，(){,|0,2,2}Axyx

yxyxy=−+−，将()1,1代入A得：110112112−+−成立，故()1,1A，即A错误；若0a=时，此时将()1,1代入12axy+=不成立，即B错误；当a<0时，此时将()1,1代入12axya+=+不成立，即C正确

；若2a=时，此时将()1,1代入A得110212122−+−成立，即D错误；故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若443243210(21)xaxaxaxaxa−=++++

，则01234aaaaa++++=______．【答案】1【解析】【分析】利用赋值法即可求解系数和.【详解】在443243210(21)xaxaxaxaxa−=++++中，令1x=得：443210(211)1aaaaa=−+++=+，故答案为：1

.12.已知角终边过点(12)P，，角终边与角终边关于y轴对称，则tan=______；cos()−=______．【答案】①.2②.35##0.6【解析】【分析】根据三角函数的定义求出角的正切值，得到点P关于y轴的对称点，即可求得sin,cos，再结合余弦的差

角公式即可得到结果.【详解】由题意，角终边过点(12)P，，由三角函数定义知：22225sin512==+，2215cos512==+，2tan21==，由角终边与角终边关于y轴对称得角终边过点()1,2-，所以22225sin5(1)2==−+，2215cos5(

1)2−==−−+，故()5525253coscoscossinsin()55555−=+=−+=.故答案为：2，35.13.已知函数()fx，给出两个性质：①()fx在R上是增函数；②对任意xR，

()1fx．写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式，()fx=_______．【答案】21x+（答案不唯一）【解析】【分析】取函数()21xfx=+，检验条件①②即可.【详解】取函数()21xfx=+，由指数函数的单调性可知，函数()21xfx=+在R上为增函数

，满足性质①；因为20x恒成立，所以211x+恒成立，所以对任意xR，()1fx，满足性质②.故答案为：21x+（答案不唯一）14.若函数ππ()sin(2),[0,]42fxxx=−的图象与直线ya=有两个交点，则这两个交点横坐标的和为_______．【答案】3π4

【解析】【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案.的【详解】当π02x时，ππ3π2444≤≤−−x，由ππ242x−=解得3π8x=，所以两个交点横坐标和为3π3π284=.故答案为：3π415.如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，M是棱1AA上一点，平面1M

BD与棱1CC交于点N．给出下面几个结论：①四边形1MBND是平行四边形；②四边形1MBND可能是正方形；③存在平面1MBND与直线1BB垂直；④任意平面1MBND与平面1ACB垂直；⑤平面1MBND与平面ABCD夹角余弦的最大值为63

．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①④⑤【解析】【分析】通过几何性质得出四边形1MBND的形状，由线线、线面垂直即可得出面1MBND与直线1BB和面1ACB的关系，以及面1MBND与面ABCD夹角余弦的最大值.【详解】由题意，在正方体1111ABCDABCD−中，M是棱1AA上一

点，平面1MBD与棱1CC交于点N，由平面11//BCCB平面11ADDA,并且1,,,BMND四点共面，∴1MDBN∥,同理可证，1//NDMB，的故四边形1MBND一定是平行四边形，故①正确；②在正方体1111ABCDABC

D−中，由几何知识得，11AD⊥面11ABBA，∵BM面11ABBA，∴11ADBM⊥，若1MBND是正方形,有1MDBM⊥,这个与11ADBM⊥矛盾，故②错误；③由几何知识得,1BD面1MBND，11BBD小于90，若直线1BB与平面1MBND垂直，则直线11BBBD⊥，∴平面1M

BND与直线1BB不可能垂直，故③错误.④设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，由几何知识得，()()()()()112,0,0,2,2,0,0,2,0,2,2,2,0,0,2ABCBD,∴()()()112,2,2,2,2,0,0,2,2DBAC

AB=−=−=,∵1110DBACDBAB==，∴111,DBACDBAB⊥⊥，∵1DB面1ACB，AC面1ACB，1AB面1ACB，∴1DB⊥面1ACB，∵1DB面1MBND，∴任意平面1

MBND与平面1ACB垂直，故④正确.⑤由几何知识得，当点M和N分别是对应边的中点时,平面1MBND与面ABCD夹角最大，∵22222222BDADAB=+=+=为：()222211226cos3222BDBDBDBDDD====++

,故⑤正确.故答案为：①④⑤.【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的证明，考查学生的数形结合能力，转化能力，逻辑推理能力与运算求解能力，考查直观想象，数学运算和立体几何的画图能力，具有极强的综合性.三、解答题共6小题，共85分．解答

应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC△中，1cos22B=−，8c=，7b=．（1）求sinC；（2）若角C为钝角，求ABC△的周长．【答案】（1）437（2）18【解析】【分析】（1）用二倍角公式及正弦定理即可求解；（2）用角C余弦定理即可求出a.【小问1详解】在ABC

中，因为1cos22B=−，所以2112sin2B−=−，因为0πB，sin0B，所以3sin2B=，由sinsinbcBC=，得78sin32C=，解得43sin7C=【小问2详解】因为22sincos1

CC+=，C为钝角，所以2431cos177C=−−=−，由2222coscababC=+−，得222187277aa=+−−，整理得22150aa+−=，解得3a=或5a=−（舍），所以3a=.所以ABC的周长为37818abc++=++=.17.如

图，已知直三棱柱111ABCABC-中，2ABAC==，D为BC中点，12AA=，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：（1）证明：11ABBC⊥；（2）求直线1BC与平面11ABD所成角的正弦值．条件①：11BDBC⊥；条件②：22BC=．注：如果选

择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明详见解析（2）条件选择见解析，直线1BC与平面11ABD所成角的正弦值为155【解析】【分析】（1）若选①11BDBC⊥，则通过证明1BC⊥平面1ABD来证得11BDBC⊥.若选②，则先证明11BCBD⊥，然后通过证明1BC⊥平

面1ABD来证得11BDBC⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线1BC与平面11ABD所成角的正弦值.【小问1详解】若选择条件①:11BDBC⊥，连接AD，在直三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，AD平面ABC，所以1CCAD⊥.在三角形ABC中，ABAC=，

D为BC的中点，所以BCAD⊥，由于1BCCCC=，1,BCCC平面11BBCC，所以AD⊥平面11BBCC，由于1BC平面11BBCC，所以1ADBC⊥，由于11BDBC⊥，1ADBDD=，1,ADBD平面

1ABD，所以1BC⊥平面1ABD，由于1AB平面1ABD，所以11ABBC⊥.若选择条件②：22BC=，连接AD，由于,ABACD=是BC中点，所以ADBC⊥，根据直三棱柱的性质可知1BBAD⊥，由于11,,BCBBBBCBB=平面1BCCC，所以AD⊥平面1BCCC，由于1BC平面1BC

CC，所以AD⊥1BC.由于22BC=，所以2BD=，111222tan2,tan222BDBCBB====所以111BDBCBB=，则11π2BDBCBD+=，则11BCBD⊥，由于1ADBDD=，1,ADB

D平面1ABD，所以1BC⊥平面1ABD，由于1AB平面1ABD，所以11ABBC⊥.【小问2详解】先得到BC:若选①，则在1RtBBD中，由11BDBC⊥，得211BBBOBC=，又113BOBC=，所以123BC

=，11==22BCBC.若选②，则22BC=.在三角形ABC中，2,22ABACBC===，所以222BCABAC=+，所以ABAC⊥，根据直三棱柱的性质可知1AAAB⊥，1AAAC⊥，以点A为原点，分别以1ACABAA，，为,,xy

z轴建立空间直角坐标系，则0,2,0)B（，12,0,2)C（，1(0,2,2)B，1(0,0,2)A，(1,1,0)D，(0,2,0)B，11(020),,AB=，1(1,1,2)AD=−，1,,(222)BC=−，设平面

11ABD的法向量为(,,)nxyz=，则1112020nABynADxyz===+−=，令1z=，得(2,0,1)n=，设直线1BC与平面11ABD所成角为，则111||615sincos,5523BCn

BCnnBC====.18.2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时．某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，

统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图．（1）从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于8小时的概率；（2）从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为X，求X

的分布列和数学期望()EX；（3）从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为1Y，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为2Y，试比较方差1()DY与2()DY的大小．（只需写出结论）【答案】（1）3740

（2）分布列详见解析，3(X)2E=（3）12()()DYDY=【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公司号求得正确答案.（2）先求得高二学生平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的概率，然后根据二项分布的

知识求得X的分布列和数学期望()EX.（3）通过观察条形图求得正确答案.【小问1详解】记事件A为“从该校高一学生中随机抽取1人，该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”，样本中高一学生人数为：31614740+++=，其中平均每天的睡眠时间不少于8小时的人数为37，则：37()40P

A=.【小问2详解】从高二年级学生中随机抽取1人，其平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的概率为16143404P+==.X的可能取值为012.，，0022311(0)C()()4416PX===；11123163(1)C()()441

68PX====；2202319(2)C()()4416PX===.X的分布列为：X012P116389161393(X)012168162E=++=.【小问3详解】通过观察条形图可知，高一年级和高二年级的统计数据有对称性，根据方差的定义可知：12()()DYDY=.1

9.已知函数sin()xfxx=．（1）求曲线()yfx=在πx=处的切线方程；（2）当(0,π]x时，求函数()fx的最小值；（3）证明：11sin.3π【答案】（1）11πyx=−+（2）0（3）证明详见解析【解析】【分析】（

1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）利用导数研究()fx在区间(0,π]x上的单调性，由此求得()fx在区间(0,π]x上的最小值.（3）结合（2）的结论证得不等式成立.【小问1详解】()2cossinxxxf

xx−=.所以()1ππf=−，sinπ(π)0πf==，所以()fx在点πx=处切线的方程为()10ππyx−=−−，即11πyx=−+.【小问2详解】当(0,π]x时，sin()xfxx=，

()2cossinxxxfxx−=，令()cossingxxxx=−，则()singxxx=−.当(0,π)x时，()0gx，所以()gx在(0,π)单调递减.所以()(0)0gxg=.所以()0fx，函数()fx在(0,π)上单调递减.函数()

fx在(0,π]上单调递减.所以()(π)0fxf=，即函数()fx的最小值为0.【小问3详解】由（2）可知()fx在(0,π)上单调递减.又因为1π0π36，所以1π()()36ff.所以1πsinsin361π36，即11sin.3π20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab

+=的一个顶点为(01)，，焦距为23．椭圆E的左、右顶点分别为AB，，P为椭圆E上异于AB，的动点，PB交直线4x=于点T，AT与椭圆E的另一个交点为Q．（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线PQ是否过x轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．【答案】（1

）2214xy+=（2）经过定点，定点(1,0)【解析】【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解a、b、c即可；（2）使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，得到P、Q两点的坐标，求出其方程，化简为直线的点斜式方程即可得到定

点坐标.【小问1详解】椭圆()2222:10xyCabab+=的一个顶点为(01)，，焦距为23，13bc==，解得132a=+=，椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详解】T在直线

:4lx=上，则点(4,)Tt，(2,0),(2,0)AB−()():2,:262ttATyxBTyx=+=−由2214(2)6xytyx+==+，得2221826,99ttQtt−++，为由()221422xytyx+==−,得2222

22,11ttPtt−−++，223PQtkt=−，22222222:131tttPQyxttt−+=−+−+，22222222223311ttttyxtttt−=−−−−++()

()()()22222222232313tttttyxttt−+−=−−+−222233ttyxtt=−−−，22:(1)3tPQyxt=−−，直线PQ过定点(1,0).【点睛】（1）利用椭圆的基本性质，结合椭圆的定量关系222abc=+可求得所要的

椭圆方程；（2）直线经过定点问题，使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，这样得到直线PQ上两点，写出直线方程，化为00()yykxx−=−点斜式的方程，可得到直线所过的定点.21.若项数为*(3)kkkN，≥的有穷数列{}

na满足：1230kaaaa≤，且对任意的(1)ijijk，≤≤≤，jiaa+或jiaa−是数列{}na中的项，则称数列{}na具有性质P．（1）判断数列012,,是否具有性质P，并说明理由；（2）设数列{}na具有性质P，(12)iaik=，，，是{}na中的任意一项

，证明：kiaa−一定是{}na中的项；（3）若数列{}na具有性质P，证明：当5k时，数列{}na是等差数列．【答案】（1）数列0,1,2具有性质P，理由见解析；（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由数列0,1,2中，得到jiaa−，一定是

数列na中的项，即可求解；（2）根据题意，得到kiaa+一定不是数列na中的项，进而证得kiaa−一定是数列na中的项；（3）根据题意得到kknaaa+，且kknaaa−，进而得

到10a=，得到kinaaa−，当2ik，证得1kkiiaaa−+−=，当32ik−，得到1kkiiaaa−−−=，由5k时，得到1(11)kkiiaaaik−−−=−，两式相减得出()1111kkiiaaaa

ik−+−=−−，结合等差中项公式，即可求解.【小问1详解】解：数列0,1,2具有性质P.理由：根据有穷数列na满足：1230kaaaa≤，且对任意的,(1)ijijk，jiaa+或jiaa−是数列na中的项，则称数列na具有性质P，对

于数列0,1,2中，若对任意的,(1)ijijk，可得0jiaa−=或1或2，可得jiaa−一定是数列na中的项，所以数列0,1,2具有性质P.【小问2详解】证明：由(1,2,,)iaik=是数列na中的任意一项，因为数列{}na具有性质P

，即jiaa+或jiaa−是数列na中的项，令jk=，可得kiaa+或kiaa−是数列na中的项，又因为120kaaa，可得kiaa+一定不是数列na中的项，所以kiaa−一定是数列

na中的项.【小问3详解】解：由数列{}na具有性质P，可得kknaaa+，所以kknaaa−，则0na，且10a=，又由kinaaa+，所以kinaaa−，又由12210kkkkkkkkaaaaaaaaaa−−=−−−−−L，①设2ik

，因为120kaaa可得12232110,,,,,kkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaa−−−−=−=−=−=−=，当5k时，可得()111kkiiaaaik−+−=−，（）②设32ik−，则112kikkaaaaa−−++=，所以

1kinaaa−+，由111213320kkkkkkkaaaaaaaaa−−−−−−=−−−−=L，又由12320kkaaaa−−，可得111122133133,,kkkkkkkkaaaaaaaaaaaa−−−−−−−−−=−=

−=−=，所以1(13)kkiiaaaik−−−=−，因为5k，由以上可知：111kkaaa−−−=且122kkaaa−−−=，所以111kkaaa−−−=且122kkaaa−−−=，所以1(11)kkiiaaaik−−−=−，（）

由（）知，()111kkiiaaaik−+−=−两式相减，可得()1111kkiiaaaaik−+−=−−，所以当5k时，数列na为等差数列.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com