【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：2.1.2.2直线方程的两点式和一般式【高考】.docx，共(11)页，243.982 KB，由小赞的店铺上传

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1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称两点式截距式已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在x，y轴上的截距分别为a，b示意图方程y－y1y2－y1＝x

－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围y1≠y2且x1≠x2ab≠02.直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A，B满足A，B不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．(√)2．截距式可表示除过原

点外的所有直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)4．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示．(√)5．过点P1(x1，y1)和P2(x2，y

2)的直线都可以用方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1表示．(×)6．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa＋yb＝1.(×)7．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)8．若直线Ax＋By＋C＝0与两坐标轴都相交，则A≠0或B≠

0.(×)想一想1.过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不

能，因为ab≠0，即有两个非零截距．3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．4．当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？提示：当C＝

0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图像．故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.直线xa＋yb＝1(ab<0)的图

像可能是()答案：C2．过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是()A．x＝2018B．x＝2019C．y＝2018D．x＋y＝2020答案：A3．直线x－y＋5＝0的倾斜角为()A．45°B．60°C．12

0°D．135°答案：A4．在x轴、y轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为()A.x5＋y3＝1B.x5－y3＝1C.y3－x5＝1D.x5＋y3＝0答案：B5．直线2x＋3y－6＝0与坐标轴围

成的三角形面积为________．答案：3知识点一直线的两点式方程1.已知直线l经过点A(1，－2)，B(－3,2)，则直线l的方程为()A．x＋y＋1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0解析：

由两点式得直线l的方程为y＋22－(－2)＝x－1－3－1，即y＋2＝－(x－1)．故选A.答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A．－32B．－23C.25D．2解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y－19－1＝x＋13＋1，即2x

－y＋3＝0，令y＝0得x＝－32.故选A.答案：A知识点二直线的截距式方程3.过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为()A．x＋y＝5B．x－y＝5C．x＋y＝5或x－4y＝0D．x－y＝5或x－4y＝0解析

：当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝14x，即x－4y＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为xa＋ya＝1(a≠0)，把(4,1)代入，解得a＝5，∴直线方程为x＋y＝5.综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝

0.选C.答案：C4．两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一平面直角坐标系中的图像可以是()解析：将两直线方程化成截距式为l1：xa＋y－b＝1，l2：xb＋y－a＝1，则l1与x轴交于(a,0)，与y轴交于(0，－b)，l2与x轴交

于(b,0)，与y轴交于(0，－a)．结合各选项，先假定l1的位置，判断出a，b的正负，然后确定l2的位置，知A项符合．选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l的方程为x－3y＋2＝0，则直线l的倾斜角为()A．30°B．45°C．60

°D．150°解析：设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＝13，则θ＝30°.答案：A6．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围是________．解析：将直线l的方程化为y＝－(a＋

1)x＋a－2.则－(a＋1)>0，a－2≤0或－(a＋1)＝0，a－2≤0，∴a≤－1.答案：(－∞，－1]知识点四直线方程的应用7.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l

总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．解析：(1)证明：方法一将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，∴l的斜率为a，且过定点A15，35，而点A15，35在第一象限，故不论

a为何值，l恒过第一象限．方法二直线l的方程可化为(5x－1)a＋(3－5y)＝0.当定点为(x，y)时，上式对任意的a总成立，必有5x－1＝0，3－5y＝0，即x＝15，y＝35，即l过定点A15，35.以下同方法一．(2)如图

，直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3.要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－a－35≤0，∴a≥3.8．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：对于任意的实数k，直线l恒过一个定点；(2)当－3<x<3时

，直线l上的点都在x轴的上方，求实数k的取值范围．解析：(1)由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l恒过定点(－2,1)．(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1.若－3<x<3时，直线l上的点

都在x轴的上方，则f(－3)≥0，f(3)≥0，即－3k＋2k＋1≥0，3k＋2k＋1≥0，解得－15≤k≤1.所以实数k的取值范围是－15，1.综合知识直线的方程9.分别求符合条件的直线方程，并化为一般式．(1)经过点(－1,3)，且斜

率为－3；(2)经过两点A(0,4)和B(4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x－4y＋5＝0平行；(4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x－8y＋3＝0.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为y－3＝－3(x＋1)，即y－3＝－3x－3，整理得其一般式为3x＋y＝0.(2)根

据条件，写出该直线的截距式为x4＋y4＝1，整理得其一般式为x＋y－4＝0.(3)设与直线3x－4y＋5＝0平行的直线为3x－4y＋c＝0，将点(2，－4)代入得6＋16＋c＝0，所以c＝－22.故所求直线的一般式为3x－4y－22＝0.

(4)设与直线6x－8y＋3＝0垂直的直线为8x＋6y＋c＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c＝0，c＝－36.从而得8x＋6y－36＝0，即所求直线的一般式为4x＋3y－18＝0.10．已知△ABC的三个顶点为A(0,3)，B(1,5)，C(3，－

5)．(1)求边AB所在的直线方程；(2)求中线AD所在直线的方程．解析：(1)设边AB所在的直线的斜率为k，则k＝5－31－0＝2.它在y轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB所在的直线的方程为y＝2x＋3.(2)B(

1,5)、C(3，－5)，1＋32＝2，5＋(－5)2＝0，所以BC的中点D(2,0)．由截距式得中线AD所在的直线的方程为x2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用

方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过

定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示解析：当直线与y轴平行或重合时，斜率不存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；选项B正确．故选B.答案：B2．已知

直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a＝0时，y＝2不合题意．②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝a＋2a，则a＋2a＝a＋2，得a＝1或a＝－2.故选D.答案：D3．直线l过点P

(1,3)，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A．3x＋y－6＝0B．x＋3y－10＝0C．3x－y＝0D．x－3y＋8＝0解析：设所求的直线方程为xa＋yb＝1.所以1a＋3

b＝1，12|ab|＝6，解得a＝2，b＝6.故所求的直线方程为3x＋y－6＝0.故选A.答案：A4．如果AB<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：

因为直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－ABx－CB，又AB<0，BC<0，所以－AB>0，－CB>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D.答案：D5．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为()A．3B．－3C.13D．－13

解析：由题意，得a－3m＋2a＝0，所以a＝m，又因为m≠0，所以直线ax＋3my＋2a＝0的斜率k＝－a3m＝－13.故选D.答案：D6．已知两条直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b>0，d<0，a<cB．b>0，d<0

，a>cC．b<0，d>0，a>cD．b<0，d>0，a<c解析：由题图可知，直线l1的斜率－1a>0，在y轴上的截距－ba<0，因此a<0，b<0；直线l2的斜率－1c>0，在y轴上的截距－dc>0，因此c<0，d>0.且l1的斜率大于l2的斜率，即－1a>－

1c，因此a>c，故选C.答案：C7．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足()A．m≠0B．m≠－32C．m≠1D．m≠1且m≠－32且m≠0解析：∵当2m2＋m－3＝0时，m＝1或m＝－32；当m2－

m＝0时，m＝0或m＝1，要使方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则2m2＋m－3，m2－m不能同时为0，∴m≠1，故选C.答案：C二、填空题8．经过A(1,3)和B(a,4

)的直线方程为________________________________________________________________________．解析：当a＝1时，直线AB的斜率不存在，所求直线的方程为x＝1

；当a≠1时，由两点式，得y－34－3＝x－1a－1，即x－(a－1)y＋3a－4＝0.这个方程中，对a＝1时方程为x＝1也满足．所以，所求的直线方程为x－(a－1)y＋3a－4＝0.答案：x－(a－1)y＋3a－4＝09．过点(5,2)，且

在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是________________。解析：当直线在y轴上的截距b＝0时，方程可设为y＝kx，将(5,2)代入得k＝25，故y＝25x，即2x－5y＝0；当直线在y轴上的截距b≠0时，方程可设为x2b＋yb＝1，将(5,2)代入得b＝

92，故x9＋2y9＝1，即x＋2y－9＝0.答案：x＋2y－9＝0或2x－5y＝010．已知直线l的两点式方程为y－0－3－0＝x－(－5)3－(－5)，则l的斜率为________．解析：由两点式方程y－0－3－0＝x－(－5)3－(－5)，知直线l过点(－5,0)

，(3，－3)，所以l的斜率为0－(－3)(－5)－3＝－38.答案：－3811．经过点(－2,0)与点(6,2)的中点，在x轴上的截距是－2的直线方程是________．解析：因为点(－2,0)与点(6,2)的中点是(2,1)，所以直线经过(2,1)，(－2,0)两点，由两点式得y－01

－0＝x＋22＋2，即x－4y＋2＝0.答案：x－4y＋2＝012．过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．解析：(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为xa＋y－a＝1.又直线l过点A(5,2)，所以5a＋2－a＝

1，解得a＝3，所以直线l的方程为x3－y3＝1，即x－y－3＝0.(2)当直线l过坐标原点时，l在两坐标轴上的截距均为0，也互为为相反数，此时直线l的方程为y＝25x，即2x－5y＝0.综上可知，所求直线l的方程为

x－y－3＝0或2x－5y＝0.故填2x－5y＝0或x－y－3＝0.答案：2x－5y＝0或x－y－3＝0三、解答题13．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距

分别是32，－3；(4)经过两点P1(3，－2)、P2(5，－4)．解析：(1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)，化成一般式得x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，化成一般式得y－2＝0.(3)由截距式得x32＋y－3＝1，化

成一般式得2x－y－3＝0.(4)由两点式得y＋2－4－(－2)＝x－35－3，化成一般式得x＋y－1＝0.14．已知直线l经过点(7,1)，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．解析：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上的截距均

等于0，符合题意．又直线l过点(7,1)，∴所求直线方程为y＝17x，即x－7y＝0.当直线l不经过原点时，设其方程为xa＋yb＝1，由题意可得a＋b＝0，①又l经过点(7,1)，有7a＋1b＝1，②由

①②，得a＝6，b＝－6，则l的方程为x6＋y－6＝1，即x－y－6＝0.故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0.能力提升15.直线过点P43，2，且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直

线能同时满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解析：设所求的直线方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)．由已知，得43a＋2b＝1，①12ab＝6，②a＋b＋

a2＋b2＝12.③由①②解得a＝4，b＝3或a＝2，b＝6.经验证，只有a＝4，b＝3满足③式．所以存在直线满足题意，其方程为x4＋y3＝1，即3x＋4y－12＝0.16．

直线l的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．(1)求证：直线l必过定点；(2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围．解析：(1)证明：直线方程可变为a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0的形式，令3x－y＝0，x－2y＋1＝0，得x＝15，y＝35.所以

无论a取R中的任何值，点15，35都适合直线方程．故直线恒过定点15，35.(2)当斜率不存在，即a－2＝0时，a＝2，方程为x＝15，直线过第一、四象限，符合条件；当斜率存在时，则斜率应大于等于0，在y轴上的截距小于等于0，即

3a－1a－2≥0，－1a－2≤0.解得a≤13或a>2，a>2.所以a>2.综上，实数a的取值范围是[2，＋∞)．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com